北航概率統(tǒng)計與隨機過程歷年期末復習試題（大學期末復習資料）

吐京瓶寶蝙天大老

BEIHANGUNIVERSITY

2008-2009學年第二學期期末

考試統(tǒng)一用答題冊

多燈魁呈概率統(tǒng)計(09J70040)

概率統(tǒng)計與隨機過程A(09J70050)

班級學號

姓名成績

題號―?二三四五八七八總分

［七］［八］

分數(shù)

閱卷人

校對人

A

2009年6月19日10:30-12:30

一、單項選擇題(每小題3分，滿分18分)

1、設(shè)隨機變量X,?N(0q2),i=1,2,則下列說法中正確的是()。

(A)(X1,X?)必服從二維正態(tài)分布；(B)E(XtX2)=0;

(C)(4)2+(匹服從才2Q)分布；⑺)￡(X1+X2)=()o

2、設(shè)隨機變量X存在數(shù)學期望EX和方差OXWO,則對任意正數(shù)￡,

下列不等式成立的是()?

DYDX

(A)P[\X-EX\>E}>^-；(B)P[\X-EX\<￡}<\一一r

E2￡

irIy_FXF

(C)P{\X-EX\>(D)P{|X|>f}<—!—三——(Z:>1)?

￡-E

3、設(shè)X”…,X”是來自正態(tài)總體N(〃,a-)的樣本,

當。=()時，42=又2+。62是〃②的無偏估計，

其中又=_L￡x,,存2=々fix,—》)2。

n,=1n-\,=|

(A)--------,(B)-----------,(C),(D)-o

設(shè)隨機變量X?陽〃,。2),則石|X—m4=

(A)(T4；(B)2cr4；(c)6cr4；(D)3cr4。

5、設(shè)為任意兩事件，則下列關(guān)系成立的有()

(A)(A+B)-B=A；(B)(A+B)-B=A-B；

(C)(A-B)+B=A；(D)(A-B)+B=AB.

6、從0?9這十個數(shù)碼中任意取出4個排成一串數(shù)碼,則數(shù)碼恰成四位偶數(shù)的概率為:

;(B)-；(C)—；(D)—

二、填空題（每小題3分，滿分18分）

1、設(shè)有〃個球,每個球都能以同樣的概率!落到N個格子（N2〃）的每一個格子中，

則恰有〃個格子中各有一個球的概率為。

2、一盒子內(nèi)裝有5個紅球，15個白球,從中不放回取10次,每次取一個球，

則第5次取到的是紅球的概率為。

3、袋中裝有編號1?8的八個球,從中任取3個,則最小號碼為偶數(shù)的概率為0

4、對目標進行射擊,直到擊中目標為止，若每次擊中目標的概率為

記X為所需射擊次數(shù)，則X取奇數(shù)的概率為o

5、設(shè)隨機變量X在（-1,%）上服從均勻分布,則K=tanX的概率密度為

人（＞）=。

一J〃

6、設(shè)總體X?Na，"）,X"X,,…,X”是來自于X的一個樣本，令乂=一￡乂,.，

1n―

S2=」一＞（X,「X）2,則o

“-16，----------------

三、（滿分12分）

將紅、白、黑三只球隨機地逐個放入編號為1,2,3的三個盒內(nèi)（每盒容納球的個數(shù)

不限），以X表示有球盒子的最小號碼，求：（1）隨機變量X的分布律；（2）X的分布函

數(shù)。

四、(滿分12分)

設(shè)隨機變量X的概率密度為/(*)=—--,—8<彳<+8,

e'+e~x

⑴確定常數(shù)a;(2)求X的分布函數(shù)尸(x);⑶求尸{0<X<lnJ^}.

2,0<x<1,0<^<x

五'(滿分8分)設(shè)隨機變量(X,Y)的概率密度為7(無,y)二

0,其它

求E(x+y)及E(xy)。

六、（滿分12分）

設(shè)總體X?N（M，b2）,丫?且X與y相互獨立；

X”X2,…,x“；x，T，…，工別是來自X和丫的樣本,

令x」zx,，，k=1^（Xj—x）2,

〃汽

mTfn-l（=）

__x-y-（/z,-z/j

試求：（1）x服從的分布，y服從的分布；（2）----------1s服從的分布;

1

后Vnm

（3）統(tǒng)計量T=X-V?LZ"2）服從的的分布。

s尸Vnm

七、(滿分8分)(此題學過1-9章和11-13章的學生做，僅學過1至9章的學生不做)

設(shè)隨機過程X。)=acos(。/+。)，式中。和。是常數(shù)，0是在[0,24]上服從均勻分

布的隨機變量.試求：

(1)。的概率密度/(6)；(2)E[X(0].E[X(t)X(t+T)],E[(X(r))2]；

(3)問XQ)是否為廣義平穩(wěn)過程？

[七]、(滿分8分)(此題僅學過1至9章的學生做；學過1至9章和11-13章的學生不

做)

設(shè)隨機變量x,y的二階矩EX?,石丫？存在，

證明：成立不等式|E[xy]|4[￡x2]%,[Ey2]%。

八、（滿分12分）（此題學過1至9章和11-13章的學生作，僅學過1至9章的學生不做）

在一串貝努利試驗中，事件A在每次試驗中發(fā)生的概率為p,設(shè)4=1一〃，

Q第〃次試瞼4不發(fā)生

令=<1,第〃次試瞼4發(fā)生，〃=1，23…；

試求：（1）證明=1,2,…｝是齊次馬爾可夫鏈；

（2）寫出｛X,,〃=1,2,…｝的狀態(tài)空間和轉(zhuǎn)移概率矩陣；

（3）求二步轉(zhuǎn)移概率矩陣尸⑵，求〃步轉(zhuǎn)移概率矩陣產(chǎn).

［八］、（滿分12分）（此題僅學過1至9章學生做，學過1-9章和11-13章學生不做）

根據(jù)大量調(diào)查得知，我國健康成年男子的脈搏平均為72次/分，標準差為

6.75次/分，現(xiàn)從某體院男生中，隨機抽出25人，測得平均脈搏為69.3次/分。根據(jù)

經(jīng)驗脈搏X服從正態(tài)分布.如果標準差不變，試問該體院男生的脈搏與一般健康成年男子的

脈搏有無差異？（檢驗水平a=0.05.）

（已知z095=1.645；z0975=1.96；彳）975（24）=2.0639,

九975Q5）=2.0595；%95（24）=L7109；?095（25）=1.7081）

概率統(tǒng)計(09J70040)、概率統(tǒng)計與隨機過程A(09J70050)

概率論與數(shù)理統(tǒng)計考試卷

A、B卷答案及評分細則(2009-6-19)

1卷\一、單項選擇題(每小題3分，滿分18分)

1、D；2、C；3、C；4、D；5、B；6、A°

二'填空題(每小題3分，滿分18分)

C'n\A"N\51

1、P(B)=---=—―=-------------；2,-------=一；

NnN"N"(N—〃)！5+154

4、R乂取奇數(shù)｝=0------一7=—5—

1-(1-P)22-p

<y<+°0

B卷一、單項選擇題(每小題3分，滿分18分)

1、D；2^B；3、A°4^D：5、C；6^C：

二、填空題(每小題3分，滿分18分

11=

1、P{X取奇數(shù)}=p------=——；2、fY(y)~--7>-8<y<+8

1-(1-pY2-p%1+y

2cr4

3、DS2

(H-l)

5_1

5、6、

4、P?=等=*^F5+15-4

2211

P(A)二—

5628

三、（滿分12分）

解（1）根據(jù)題意知，隨機變量X可能取的值為：1,2,3;

]3io3-P733-2319…

口*=3}=33=27，口乂=2}=33=-P{X=\}=R=,........6分

3327

即隨機變量X的分布律為

X123

1971

P

272727

.......8分

0,x<l

—,1<x<2

(2)X的分布函數(shù)為

F(X)=ZP{X=4}=427................12分

——,2<x<3

27

l,x>3

四、（滿分12分）

,+8p+8/7p+8P'

解(1)由1=[f{x}dx=[-------dx=a\—---dx

J_8J\/J_8?r+e-xJ_oo/r]

jr?

=aarctane"I：=a?一,得Q二一;....................................4分

2兀

(2)X的分布函數(shù)為尸(x)=「f(t)dt=「,a,dx=-「一一dt

J-0°e+e7tJ-00e+1

22

=—arctane1=—arctanex,-oo<x<+8；.........8

兀7t

分

(3)P{0<X<In73)=F(ln73)-F(0)=-..........................................12

"346

分

五'(滿分8分)

解E(X+y)=JJ(x+y)f(x,y)dxdy....................................................................2分

=(*+y)勿>)公=((2/+x2)dx=x31；=1,................................4分

E(Xy)=jjxyf(x,y)dxdy............................................................................6分

===b；............................................................8分

六、(滿分12分)

解由正態(tài)總體樣本函數(shù)的分布知,

_1_1

(1)X?N(41,一?N(42，—b2),..................................................4分

n'm

——c]]

(2)X-y?N(〃]一—I—)),......................................................6分

nm

經(jīng)標準化得到x—yy"?陽0,1)；.....................................................8分

氣卜+-

Vnm

(3)又由定理三知~/2(?-1),.............................................................10分

(J

再由t分布定義知

X_Y：("二外)x-y-(A-A)〃T)S；

T==l2/(?t(n-l),

H~1-(7y/]/n+i/mvCT2(/J-1)

E\一+一

V〃m

T=X"W~-1)。

即

七[—、(滿分8分)解(1)?的概率密度/(e)=—2〃,0we<2TC；..........2分

0,其它

(2)E[X(r)]=E[acos(tw+0)]=「8qcos(0r+e)/(e)d6

J—oo

廣2萬1

二])acos(M+0)~Y~d^~0;

E[X(Z)X?+2)]=E[acos(69f+€))?〃cos(69(/+2)+0)]

1

=E[a9-(cos(69f+co(t+r)+20)+coscar)]

22

=-[E(COS(69T+以1+u)+20))+E(COSCOT)]=——COSCOT；

22

22

E[(X(r))2]='cos。71r=0='是常數(shù)，.....................................6分

(3)因為，仇(x?))2]存在，￡[X(。]是常數(shù)，磯X(r)X(r+7)]僅依賴于C；

所以X(7)=acos(@+0)是廣義平穩(wěn)過程.......................................8分

J\x(滿分12分)(此題學過1至9章和11-13章的學生作，僅學過1至9章的學生不做)

解⑴根據(jù)題設(shè)條件，知道X1,X2,…,X“，…是相互獨立的，所以｛X,,,〃=l,2,…｝是馬

C,_0

爾可夫鏈,又轉(zhuǎn)移概率P{X“+1=/|X〃=i}=P{X“M=/}=4''，一與〃無關(guān),

p，J=1

故{X“,〃=1,2,…}是齊次馬爾可夫鏈；...........................................4

分

(2)狀態(tài)空間3={0,1},一步轉(zhuǎn)移概率矩陣P=(〃〃)=\qP

\qp

%=P{X"+i=/|X,=i}=P{X“+I=1/?}=1q,[j=0................8分

[p,/=i

(3)二步轉(zhuǎn)移概率矩陣

P(2)=P2夕，丫qq(q+p){q+p)py_(qp'

p)G+PM(q+p)p)(qp,

〃步移概率矩陣P(")=(〃/))=「"=P=?...................12分

2p)

［七］、(滿分8分)證明對任意實數(shù)/，恒有

E(Y+tX)2=t2EX2+2tEXY+EY2>0,..............4分

當石X2〉0時，取.=_雙，代入上式，........................6分

EX2

則有EV?一生絲匚20；

EX2

(EXY)2<[EX2][EY2],

即得[E[XV]區(qū)[m2]%,[石丫2]%............................&分

(或直接由判別式△=62-4勿:40,得

(2EXr)2-4[EX2]-[￡r2]<0,

即得(Exy)2&Ex2].[Ey2],

于是\E[XY]\<[EX2]^[EY2]^^

當七X?=0時，對任意實數(shù)t，恒有2tEXY+EY->0,

必有EXY=O,于是自然有|仇xwiw[Ex2]%.[Ey2]%,

結(jié)論得證。

DI］、(滿分12分)(此題僅學過1至9章學生做，學過1-9章和11-13章學生不做)

解：此題是在已知<7=6.75的情況下，

(1)檢驗假設(shè)“0："=72,.............................................2分

(2)選檢驗用的統(tǒng)計量(7=土及?N(0,l),..............................4分

X.即693-72

(3)現(xiàn)在〃=25,x=68.6,|w0|二=|-^7-|=2.00,6分

(4)對于a=0.05,查標準正態(tài)分布表得z0=Z().975=L96,................8分

1——

2

(5)因為=2.00>1.96=za,.............................................................10分

1—

2

(6)故拒絕“。，說明該體院男生的脈搏與一般健康成年男子的脈搏存在差異。......12

吐東航左航天大學

BEIHANGUNIVERSITY

2009-2010學年第二學期期末

考試統(tǒng)一用答題冊

考試課程概率統(tǒng)計(09J7004汁

概率統(tǒng)計與隨機過程A(09J70050)

A

班級學號

姓名成績

考場教室任課教師

題號—■二三四五六七八總分

［七］［八］

分數(shù)

閱卷人

校對人

2010年6月24B8:00-10:00

一、單項選擇題（每小題3分，滿分18分）

1、設(shè)A,8為任意兩事件，則下列關(guān)系成立的是（）.

(A)(A+B)-B=A;(B)(A+B)-AB=A;

(C)(A-B)+AB+(B-A)=A+B;(D)(A-B)+B=A.

2、一盒內(nèi)裝有5個紅球和15個白球,從中不放回取10次,每次取一個球,

則第5次取球時得到的是紅球的概率是（）。

(A(C

4(B)4；(D)-

42

0,%<1

0.3,1<%<3

3、己知離散型隨機變量X的分布函數(shù)為尸（x）=<

0.5,3<JC<4

l,x>4

則尸{X>l|Xw3}=(）。

5577

(A)-(B)-(C)-；(D)—

78810

4、設(shè)隨機變量X~N(4，<J2),則?X-〃|3=().

(A)噌"；(B)%；(0半爐；(D)莘

yjTTyJTT\!兀7兀

5、設(shè)隨機變量X的概率密度為f(x)=13e"，”>0,則石(x-2x)=()o

[0,x<0

6、已知隨機變量X的分布函數(shù)為/")=。+力arctanx,-8</<+8,(〃,匕為常數(shù));

若實數(shù)C滿足P{X>c}=3,貝吐=()。

(A)1；(B)---；(C)y/3;(D)—o

33

二、填空題(每小題3分，滿分18分)

1、在長度為。(。>0)的線段上任取兩點，則所取兩點之間的距離小于9的概率為。

2

2、袋中裝有r紅球和卬個白球，從中作有放回的抽取,每次取一球，這樣抽取〃次(〃之2),

則在〃次抽取中恰好有兩次取到紅球的概率為o

0,x<—1

3、已知隨機變量X的分布函數(shù)/(幻=<+

l,x>1

則y=2X?+1的分布函數(shù)弓(丁)=。

-(x-A)1>幾

4、設(shè)總體X的概率密度為了(冗,4)二〈'一「，

0,x<A

又玉,馬,％為來自于總體X的樣本值,則參數(shù)A的極大似然估計2=O

一1”

5、設(shè)X1,X2,…，X,,是來自總體X的樣本，且EX=〃,OX=〃，記4=X=-Zx

〃/?=]

1〃_

2

B1=1V（X.-X）,若尸=4：+c8是〃2的無偏估計量，則常數(shù)c=_________

■n,=1

6、設(shè)隨機變量序列X,X,X,…獨立同分布,且X,.?NQ/,〃），a=1,2,..,

記y=：X，工*=^^，F(xiàn)Y.（X）=P{Y；＜X},

則對任意實數(shù)X,有l(wèi)im4；（x）=。

〃一＞8

三、（滿分8分）設(shè)隨機變量X~B（〃,p）,求E（/x）。

四、（滿分16分）設(shè)二維隨機變量（x,y）的概率密度為

1

f(x,y)=——e2(1+sinxsiny),-8<x,y<+?o,

2兀

（1）求（x,y）關(guān)于x的邊沿概率密度/x（x）；（2）求（x,y）關(guān)于y的邊沿概率密度4（y）；

（3）x與丫是否相互獨立？（4）利用本題可以用于說明一個什么樣的問題？

五、（滿分8分）設(shè)總體X的分布律為P{X=x}=（l-P），-”，x=l,2,…;

X「X2,…,X”是來自于X的樣本,試求參數(shù)p的矩估計量。

六'（滿分12分）設(shè)總體X和丫相互獨立且都服從正態(tài)分布NS,。?），

而乂，乂2,…，Xg和工,“,…，匕分別是來自總體x和丫的簡單隨機樣本,

919

試求：（1）Zx,服從的分布；（2）「yZP服從的分布;

；=1b/=1

9

（3）統(tǒng)計量服從的分布；（4）。2服從的分布。

七、（滿分8分）（此題學過1-9章和11-13章的學生做，僅學過1至9章的學生不做）

設(shè)丫（，）=Xcos（cot+Q）,-oo<r<+<?，其中仞是常數(shù)，

X與0是相互獨立的隨機變量，且同在區(qū)間［0,2）］上服從均勻分布，

試求：（1）X的概率密度/（x）；EX,EX2；

（2）。的概率密度力⑻；E［Y（t）］,E［Y（t）Y（t+T）］,E［Y\t）］;

（3）丫（。是否為廣義平穩(wěn)過程？

［七］、（滿分8分）（此題僅學過1至9章的學生做；學過1至9章和11-13章的學生

不做）

將紅、白、黑三只球隨機地逐個放入編號為1,2,3,4的四個盒內(nèi)

（每盒容納球的個數(shù)不限），以X表示有球盒子的最小號碼，

試求：（1）隨機變量X的分布律；（2）EX.

八、（滿分12分）（此題學過1至9章和11-13章的學生作，僅學過1至9章的學生不做）

設(shè)齊次馬爾可夫鏈{X“,〃=0,1,2,…}的狀態(tài)空間為S={1,2,3},

0

3

22

轉(zhuǎn)移概率矩陣為P=

33

0

3>

試求：（1）二步轉(zhuǎn)移概率矩陣尸⑵；（2）平穩(wěn)分布（P1,〃2，P3）。

［八］、（滿分12分）（此題僅學過1至9章的學生做，學過1-9章和1173章的學生不

做）

設(shè)X1,X2,X”,???是相互獨立的隨機變量序列，且X,的分布律為

=0}=1—,(i=1,2,…)；

P{Xj=-$/?)=2,,P[Xj=y/1)=u,P{Xi

記工,tx,,(〃=1，2,…)。

〃/=!

試求：(1)EXi，EX；,DXj；(2)EYn,DYni

(3)證明：對任給￡>0,成立limP{|匕|2￡}=()。

概率統(tǒng)計(09J70040)、概率統(tǒng)計與隨機at程A(09J70050)

考試A、B卷

A、B卷答案及評分細則(2010-06-24)

A卷：一'單項選擇題(每小題3分，滿分18分)

1、(C)；2、(B)；3、(B)；4、(D)；5(A)；6、(C)。

二、填空題(每小題3分，滿分18分)

?M-2

3)〃-2廣卬

1、—=0.75；2、C"—)2(.a

4w4-rw+r(w+r)"

O,y<l

3、4（y）='（U）%」<”3；

4、2=min{X[,X2,…，龍〃}；

Ly>3

B卷：一、單項選擇題(每小題3分，滿分18分)

1、(D)；2(A)；3,(C)；4、(C)；5、(B)；6、(B)；

二、填空題(每小題3分，滿分18分)

1、4=min{X1,X2,…,NJ；

72-1

尸1—

3

4、-=0.75；

4

0,y<l

5、量(七)2(/)1=。；二^7；（Zd）M<<

6、弓(y)=?4J3;

w+rw-\-r(vv+r)

Ly>3

三、(滿分8分)

解X的分布律P[X=k}=C：pkqi,k=()/,???,〃；............2分

E（e3X）=^e3kP{X=k}.......................................4分

k=0

k=0

這O尸.........................................6分

4=0

=（/〃+夕）”=（/p+l—〃）”o......................8分

四、（滿分16分）

廣+oo廣+?o1

2

解⑴A(x)=f/(x,y)<fy=f—(1+sin尤siny)〃y

J—ooJ—ooZ冗

1x2V22

?“r+oo——y——

——e2(e2+sinxe2siny)dy

2萬J

，22

i.vv-i.v________i

1~~-T.10/TZ1

——e1e2ay=——e，72兀=-j=e，2,—oo<X<4-<x>;

2%J-2%12兀

4分

1上

(2)6(y)=『f{x,y')dx=-=e2,一8<),<—；

JJ2j4

............................8分

（3）因為/（無,y）H/x（x）人（y），所以X與y是不相互獨立；

.................12分

（4）本題提供了例子，僅有x與丫的分布，不能確定（x,y）的分布，

或由x與y都服從一維正態(tài)分布，不能推出（x,y）服從二維正態(tài)分布。

.................16分

五、（滿分8分）

解總體矩EX=￡XP{X=X}...................................2分

X=1

=￡x(l—p)x'p=p1=-,...........................4分

X=1[1-(1-/?)]p

1—

令一=EX=X,.............................................6分

P

得〃的矩估計量為力=L

8分

X

六、（滿分12分）

9

解（1）根據(jù)題設(shè)條件知gx,~N（0,9〃）；3分

/=1

19

⑵—)

2~/⑼;6分

919

-------?9),

（3）由r分布的構(gòu)造方式，得到。一,=|bMT

i=l

即統(tǒng)計量U服從自由度為9的，分布;9分

(4)~尸(1,9)12分

七、（滿分8分）解（1）由題設(shè)條件X的概率密度/"）=（方'一一

0,其它

「241

EX=x—dx=兀,

24

與廣2萬1141

EX2=fx2—dx=-7r2；.....................................3分

J。2萬3

（2）。的概率密度/?（e）=，2萬'——，乂與。相互獨立，

0,其它

c兀1

4y（/）=E［Y（t）］=EX-E［cos（^+0）］=EX|cos（協(xié)+6）—d。=0,

J。2萬

品（J+T）=譏y⑺y?+c）］

4rl

=EX9-E［cos（6x+O）-COS（69（?+T）+0）］=——2.—COSOT,

32

E［y2?）］=g萬2.g=g〃2；........................................6分

（3）因為y（f）的均值與自相關(guān)函數(shù)滿足平穩(wěn)過程的定義，

所以y⑺是平穩(wěn)過程。.......................................一8分

/I、（滿分12分）（此題學過1至9章和11-13章的學生作，僅學過1至9章的學生不做）

<122

00

3333

1_11111

解（1）P2）=P2=—

333333

2121

03）0

1333J\

g近玲△丸/、出口大針如J（P"P2'，3）=（PI，〃2，，3）P

（2）平穩(wěn)分布（p”p,,P3）滿足方程組〈，

0+%+%=1

11212

?

P\=P1-+P2-+/3°>P2=Pl§+P2§+P3g，

c11,

Pi=Pt0+P2~+P3-,R+「2+03=1

1?1

解之得Pi=a，〃2=『，3=z'

121

得平穩(wěn)分布（PI，〃2，P3）=（4，W，Z）?..................................12分

［七］、（滿分8分）（此題僅學過1至9章學生做，學過卜9章和11-13章學生不做）

解（1）根據(jù)題意知，隨機變量X可能取的值為：1,2,3,4

I3_123-I37

P（X=4}=P{X=3}=

不一區(qū)64

33-231943-33_37

P{X=2}=P{X=1}

6443-64

即隨機變量X的分布律為

X1234

371971

P

64646464

4分

4371971

(2)EX=ykP{X=k}=\x—+2x—+3x—+4x—

￡64646464

10025

--64-16'...................................................

分

[J\]K（滿分12分）（此題僅學過1至9章學生做，學過1-9章和11-13章學生不做）

證明由數(shù)學期望和方差的性質(zhì)及條件,有

(1)EXj=-4i-pr+yfi---+0'(1----廣)=0，

2Vz2VzVz

EX^—(—5//)2—7；4-(V/)2—j=-+02-(1—-=)=y[i,

2yji2y/iy/i

DXi=EX：-(EXj)2=4l4分

11〃

⑵EYn=E(-XXi)=-YEXi=0,

〃I=I

ii

DX

Dy?=D(-±Xi)=-Yi=—X^'.........................8分

n/=i幾i=\Hi=]

⑶DY=—rY'V/<\n4n--^=>