線性代數(shù)第2章矩陣及其運算自然科學(xué)

1/1線性代數(shù)第2章矩陣及其運算-自然科學(xué)

其次章矩陣及其運算

1

1

向前

向后

返回

第一章

矩陣

一、矩陣概念的引入二、矩陣的定義三、小結(jié)、思索題

其次節(jié)矩陣及其運算2

向前

向后

返回

nnnnmmmnnm

axaxax

baxaxaxbaxaxaxb+++=??+++=??

??+++=?1111221121122222

11221.線性方程組的解取決于

,,,;,,,,ijaimjn==1212系數(shù)

,,,ibim=12常數(shù)項一、矩陣概念的引入

3

向前

向后

返回

nnmmmn

maaabaaabaaab????????????

11

12112122221

2

對線性方程組的討論可轉(zhuǎn)化為對這張表的討論.

線性方程組的系數(shù)與常數(shù)項按原位置可排為

2.某航空公司在A,B,C,D四城市之間開拓了若干航線,如圖所示表示了四城市間的航班圖,假如從A到B有航班,則用帶箭頭的線連接A與B.

A

B

C

D

4

向前

向后返回

四城市間的航班圖狀況常用表格來表示:

發(fā)站

到站A

BCDA

BCD

其中表示有航班.

為了便于計算,把表中的改成1,空白地方填上

0,就得到一個數(shù)表:

5

向前

向后

返回

1111111

00

00這個數(shù)表反映了四城市間交通聯(lián)接狀況.

ABCD

ABCD

06

向前

向后

返回

二、矩陣的定義

由個數(shù)排成的行列的數(shù)表

nm×mnnjmiaij,,2,1;,,2,1==nnmmmn

aaaaaaaaa11121212221

2

稱為矩陣.簡稱矩陣.nm×nm×記作

其次章矩陣及其運算

2

7

向前

向后

返回

??

?

??

?

?

?

??

??

??=mnmmnnaaaaaaaaaA11

22221

11211

簡記為

.

ijnmijnmaaAA===××元

的

矩陣nmA,.

,簡稱為元的元素個數(shù)稱為這Anm×元素是實數(shù)的矩陣稱為實矩陣,元素是復(fù)數(shù)的矩陣稱為復(fù)矩陣.

主對角線副對角線8

向前向后返回例如???????10359643是一個實矩陣,

42×?

????

???

?

?2222222613i是一個復(fù)矩陣,33×????

??????421是一個矩陣,13×

9532是一個矩陣,

41×

4是一個矩陣.

11×9

向前

向后

返回

例如

????

??????2222222613i是一個3階方陣.

幾種特別矩陣

(2)只有一行的矩陣

,,,,21naaaA=稱為行矩陣(或行向量).

(1)行數(shù)與列數(shù)都等于的矩陣，稱為階nnA.nA方陣.也可記作10

向前

向后

返回

,????

??=??????

naaBa12只有一列的矩陣

稱為列矩陣(或列向量).稱為對角矩陣(或?qū)顷嚕?

?????

?

?????

?

??nλλλ0000002

1（3）形如的方陣,OO不全為0

11

向前

向后

返回

（4）元素全為零的矩陣稱為零矩陣，零

矩陣記作或.

nm×mnO×O留意.000000

00000000000000≠????

??

???????

?不同階數(shù)的零矩陣是不相等的.

例如

記作

,,,.

nAdiagλλλΛ==1212

向前

向后

返回

(5)方陣

??

??????

??

??==10

001

000

1

nEE稱為單位矩陣（或單位陣）.同型矩陣與矩陣相等的概念

OO

1.兩個矩陣的行數(shù)相等,列數(shù)相等時,稱為同型矩陣.

全為1

其次章矩陣及其運算

3

13向前向后返回2.兩個矩陣為同型矩陣,并且

對應(yīng)元素相等,即

ijijbBaA與=,

,,2,1;,,2,1njmibaijij===則稱矩陣相等,記作BA與.

BA=例如?

??

????????????????

?9348314736521與為同型矩陣.

14

向前向后返回例1之個變量與個變量mnyyymxxxn,,,,,,2121間的關(guān)系式

??????

?+++=+++=+++=.

,,22112222121212121111nmnmmmnnnnxaxaxayxaxaxayxaxaxay的

到變量表示一個從變量mnyyyxxx,,,,,,2121線性變換.

.

為常數(shù)其中ija15

向前

向后

返回

??????

?+++=+++=+++=.

,,

22112222121212121111nmnmmmnnnnxaxaxayxaxaxayxaxaxay?????

?

????

????=mn

mmnnaaaaaaaaaA

1

1

22221

11211

系數(shù)矩陣16

向前

向后

返回

線性變換與矩陣之間存在著一一對應(yīng)關(guān)系.若線性變換為???????===n

nxyxyxy,,2

211稱之為恒等變換.

???????===n

nxyxyxy,,2211對應(yīng)????

???

???????100010001單位陣.17向前向后返回線性變換??

?+=?=.

cossin,sincos11yxyyxx????對應(yīng)

??

?

?

???????cossinsincosX

Y

O

θ

?

yxP,

111,yxP這是一個以原點為中心旋轉(zhuǎn)角的旋轉(zhuǎn)變換.

?18

向前向后返回例2設(shè)

,131

,

213321??

?

?

??=??????=zyxBA.,,,zyxBA求已知=解

,

BA=∵.

2,3,2===∴zyx

其次章矩陣及其運算

4

19向前向后返回三、小結(jié)

(1)矩陣的概念??

?

??

?

?

???

????=mnmmnnaaaaaaaaaA11

22221

11211列的一個數(shù)表

行nm20

向前向后返回(2)特別矩陣????

???方陣;

nm=行矩陣與列矩陣;單位矩陣;對角矩陣;

零矩陣.

.

100

01000

1

???

?

?

??

?

????

??

,

21??????

?

???????=naaaB,,,,21naaaA=????????????

?

?nλλλ000000

2121向前向后返回思索題

矩陣與行列式的有何區(qū)分?

22

向前向后返回思索題解答

矩陣與行列式有本質(zhì)的區(qū)分，行列式是一個算式，一個數(shù)字行列式經(jīng)過計算可求得其值，而矩陣僅僅是一個數(shù)表，它的行數(shù)和列數(shù)可以不同.

23

向前

向后

返回

其次節(jié)矩陣的運算

一、矩陣的加法二、數(shù)與矩陣相乘三、矩陣與矩陣相乘四、矩陣的其它運算五、小結(jié)、思索題

24

向前

向后

返回

１、定義

??????

?

???

??

??+++++++++=+mnmn

mmmmnnnnbababababababababaBA

221

12222

2221

211112

121111一、矩陣的加法

設(shè)有兩個矩陣那么矩陣與的和記作，規(guī)定為

nm×,bB,aAijij==ABBA+

其次章矩陣及其運算

5

25

向前

向后

返回

說明只有當兩個矩陣是同型矩陣時，才能進行加法運算.

例如??????????+????????????

1235189190654368321++?+????=+?++????+++??1213859169504336281.

??

??=???????

1311474468926

向前

向后

返回

2、矩陣加法的運算規(guī)律

;

1ABBA+=+.

2CBACBA++=++??

?

?

?

?

?

?????

???????????=?mnmmnnaaaaaaaaaA

1

1

222

21

112113,.

+?=?=+?AAOABAB4,

ija?=.

負矩陣的稱為矩陣A27向前向后返回1、定義

.

1

1222

21112

11??

?

?

?

?

?

?????

??==mnmmnnaaa

aaaaaaAAλλλλλλλλλλλ

二、數(shù)與矩陣相乘

規(guī)定為或的乘積記作與矩陣數(shù),λλλAAA28

向前向后返回;

λμλμμλ==AAA1;2AAAμλμλ+=+.

3BABAλλλ+=+2、數(shù)乘矩陣的運算規(guī)律

矩陣相加與數(shù)乘矩陣合起來,統(tǒng)稱為矩陣的線

性運算.

（設(shè)為矩陣，為數(shù)）

μλ,nm×BA、29

向前

向后

返回

１、定義

∑=+++==skkj

iksjisjijiijbabababac1

2211,

,,2,1;,2,1njmi==并把此乘積記作

.

ABC=三、矩陣與矩陣相乘

設(shè)是一個矩陣，

是一個矩陣，那末規(guī)定矩陣與矩陣的乘積是一個矩陣，其中

ijaA=sm×ijbB=ns×nm×ijcC=AB30

向前

向后

返回

例１

××?????

=????

???????C2222242412362

2×??????=16?32?816設(shè)

,

A?????=????????

101211300514?????

?=??

??????

B0

3

41213111

21例2

?

其次章矩陣及其運算

6

31

向前向后

返回

故

??????

??

??

?==?????

???????

?

???

CAB03

410121

2

11

1303

1105141

21.

?

????????

?=解,

43×=ijaA∵,

34×=ijbB.

33×=∴ijcC5?6710

26?2?171032

向前

向后

返回

留意只有當?shù)谝粋€矩陣的列數(shù)等于其次個矩陣的行數(shù)時，兩個矩陣才能相乘.?????

?????

?

??

?

??106861985123321例如

???

?

??????123321132231×+×+×=.

10=不行乘.??

??=??????321231×××????×××????×××??313233212223111213????=?

????

?36924612333

向前

向后

返回

２、矩陣乘法的運算規(guī)律

;1BCACAB=,2ACABCBA+=+;

CABAACB+=+BABAABλλλ==3（其中為數(shù)）;

λ;

4AEAAE==若A是階矩陣，則為A的次冪，即并且5nk

Ak

個

kk

AAAA=,AAAkmk

m+=.

mkk

mAA=

為正整數(shù)k,m34

向前

向后

返回

留意矩陣不滿意交換律，即：

,BAAB≠.

BAABkkk≠例設(shè)??

=??

????A1111???=??

???

B1111則

,

0000??

?

???=AB,

??=??????

BA2222.

BAAB≠故35

向前

向后

返回

但也有例外，比如設(shè)

,

2023???

??

?=A,

???

=?????

B1111則有

.

BAAB=?,???=?????AB2222,???=?????

BA222236

向前

向后

返回

例3計算下列乘積：

解(1)

,

Tβα=×+×+×=111123323,,.TTnAAαβαβ??

????

===??????

??

??

111121

233設(shè)，令求nTn

TnT

Aαβαβαβ?∴==1,Tαβ??

??=?????

?1

12132

1233321.

TnTnAβααβ??==113

其次章矩陣及其運算

7

37

向前

向后

返回

??

?

?

????????????????3213332312322211312113212bbbaaaaaaaaabbb解,++ababab121222323??

?

?

?

?????321bbb.

2223223311321122

33322222111bbabbabbabababa+++++=??

?

?

????????????????321333231232221131211321bbbaaaaaaaaabbb(,=++ababab111212313)++ababab131********

向前

向后

返回

解

????

?????

???????????=λλλλλλ0010

01

0010012A.0

0202322

2????

?????

?=λλλλ

λ.0

010

01

kAA求設(shè)???

?

????

?

?=λλ

λ例4

39向前向后返回????

?

?????????????

?

?==λλ

λ

λλλλ

λ0

10

01

020

1222

2

23AAA????

?

????

?=323

2

30

03033λλλλλλ由此歸納出

20

00

211

21

≥??????

?

??????

??=???kkkkkAk

kk

kkk

kλλλλλλ40

向前向后返回用數(shù)學(xué)歸納法證明當時，明顯成立.

2=k假設(shè)時成立，則時，

nk=1+=nk,

00100100021121

1??????????????????

???

??

??==???+λλλλλλλλ

λnnnnnnnnnnnnAAA41

向前

向后

返回

所以對于任意的都有

k.0

00

21121

?

?????

?

??????

??=???kkk

kkkkkkkkAλλλλλ

λ,0

0102

111

1

11

????

?

?

???????

?+++=++?+nn

nnn

nnn

nnλ

λλλλλ42

向前

向后

返回

定義把矩陣的行換成同序數(shù)的列得到的新矩陣，叫做的轉(zhuǎn)置矩陣，記作.ΤAAA例

,

854221??????=A;

825241?

????

???

??=TA,

618=B.

618??

?

???=TB１、轉(zhuǎn)置矩陣

四、矩陣的其它運算

其次章矩陣及其運算

8

43

向前

向后

返回

轉(zhuǎn)置矩陣的運算性質(zhì)

;

1AAT

T=;2TTTBABA+=+;3TTAAλλ=.

4TTTABAB=44

向前

向后

返回

例5已知

,,???

?????==????????

??

AB171202323132201.

TAB求解法1

???

?????=????????

??

AB∵171202323132201,

???=????0143171310.

????

∴=???????

T

AB017141331045

向前

向后

返回

解法2

T

TTABAB=????????=??????????????142217*********.??

?

?=????

??

?017141331046

向前向后返回2、方陣的行列式

定義由階方陣的元素所構(gòu)成的行列式，

叫做方陣的行列式，記作或nAAA.

detA?

??

??

?=8632A例8

63

2=

A則.2?=運算性質(zhì);==T

T

AAA1;

2AAnλλ=

,==ABABBA3.

≠ABBA但47

向前

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3、對稱陣與伴隨矩陣

定義

設(shè)為階方陣，假如滿意，即那么稱為對稱陣.

AnTAA=

n,,,j,iaajiij21==A.

A為對稱陣例如???

?

??????=6010861612.

稱為反對稱的則矩陣假如AAAT?=對稱陣的元素以主對角線為對稱軸對應(yīng)相等.

說明48

向前

向后

返回

例6

設(shè)列矩陣滿意T

nxxxX,,,21=,

1=XXT.

,,2,EHHHXXEHnETT=?=且陣是對稱矩

證明階單位矩陣為證明T

TTXXEH2?=∵

T

T

TXXE2?=,

2HXXET=?=.是對稱矩陣H∴2HHHT=

2

2TXXE?=TTTXXXXXXE44+?=T

TTXXXXXXE44+?=TTXXXXE44+?=.

E=

其次章矩陣及其運算

9

49

向前

向后

返回

例7證明任一階矩陣都可表示成對稱陣與反對稱陣之和.nA證明

T

AAC+=設(shè)T

TTAAC+=則AAT+=,C=所以C為對稱矩陣.,

TAAB?=設(shè)T

TTAAB?=則AAT?=,

B?=所以B為反對稱矩陣.22T

T

AAAAA?++=

,2

2B

C+=命題得證.

故50

向前

向后

返回

定義行列式的各個元素的代數(shù)余子式所

構(gòu)成的如下矩陣

AijA???

??

?

?

???

????=?nnnn

nnAAAAAAAAAA2122212

12111性質(zhì).

EAAAAA==??證明

,ijaA=設(shè),ijbAA=?

記則

jninjijiijAaAaAab+++=2211,

ijAδ=稱為矩陣的伴隨矩陣.

A

51

向前

向后

返回

4、共軛矩陣

定義

當為復(fù)矩陣時，用表示的共軛復(fù)數(shù)，記，稱為的共軛矩陣.

ijaA=ijaijaijaA=AA故ijAAAδ=?

ijAδ=.

EA=同理可得

*

=??

=????

∑nkikjkAAAa1ijAδ=ijAδ=.

EA=52

向前

向后

返回

;2AAλλ=.

3BAAB=運算性質(zhì)

;1BABA+=+設(shè)為復(fù)矩陣，為復(fù)數(shù),且都是可運算的:

BA,λ53

向前

向后

返回

五、小結(jié)

矩陣運算

?????????

加法

數(shù)與矩陣相乘矩陣與矩陣相乘轉(zhuǎn)置矩陣

對稱陣與伴隨矩陣方陣的行列式

共軛矩陣

54

向前向后返回（2）只有當?shù)谝粋€矩陣的列數(shù)等于其次個矩陣的行數(shù)時，兩個矩陣才能相乘,且矩陣相乘不滿意交換律.

（1）只有當兩個矩陣是同型矩陣時，才能

進行加法運算.

留意

（3）矩陣的數(shù)乘運算與行列式的數(shù)乘運算不同.

其次章矩陣及其運算

10

55向前向后返回思索題

問等式階方陣為與設(shè),nBA

BABABA?+=?22成立的充要條件是什么?

56

向前向后返回思索題解答

答

,

22BABBAABABA??+=?+∵故成立的充要條件為

BABABA?+=?2

2.

BAAB=57

向前

向后

返回

第三節(jié)逆矩陣

一、概念的引入

二、逆矩陣的概念和性質(zhì)三、逆矩陣的求法四、小結(jié)、思索題

58

向前

向后

返回

,

111==??aaaa,

11EAAAA==??則矩陣稱為的可逆矩陣或逆陣.

A1

?A一、概念的引入

在數(shù)的運算中，當數(shù)時，0≠a有

aa11=?a其中為的倒數(shù)，a（或稱的逆）；

在矩陣的運算中，E單位陣相當于數(shù)的乘法運算中

的1，A那么，對于矩陣，1?A假如存在一個矩陣,使得

59

向前

向后

返回

二、逆矩陣的概念和性質(zhì)

定義

對于階矩陣，假如有一個階矩陣

則說矩陣是可逆的，并把矩陣稱為的逆矩陣.

nA,B,

EBAAB==BAnA使得.

1?AA的逆矩陣記作例設(shè),,

?????

==?????????

AB111212111212,

EBAAB==∵.

的一個逆矩陣是AB∴60

向前

向后

返回

說明若是可逆矩陣，則的逆矩陣是唯一的.

AA若設(shè)和是的可逆矩陣，

B

CA則有

,

,

ECAACEBAAB====可得EBB=BCA=ABC=.CCE==所以的逆矩陣是唯一的,即

A.

1?==ACB

其次章矩陣及其運算

11

61

向前

向后

返回

例

設(shè),01

12

??

?

?

???=A.的逆陣求A解設(shè)是的逆矩陣,??

?

?

??=dcba

BA則

?????????????=dcbaAB01

12?

?

?

???=1001???

?

??=?????

???++?100122badbca利用待定系數(shù)法

62

向前

向后

返回

??????

?=?=?=+=+?,1,0,02,12badbca,

,,.

=??=????

=??=?abcd0112又由于

???????2110???????0112=???????0112,1001???

???=所以

.

A????

=????

10112AB

A

B??????

?211063

向前

向后

返回

定理1

矩陣可逆的充要條件是，且

,

11??=AA

AA0≠A證明若可逆，A.EAAA=??11使即有,11

==??EA

A故.

0≠A所以.

的伴隨矩陣為矩陣其中AA?64

向前

向后

返回

,

0時當≠A?????

???

?

????=

????

???

?

????

1112111

21121

222122221212

nnnnnnnnnnnnaaaAAAaaaAAAAAaaaAAAA

AaAaAann=+++1112121111A

AaAaAannnnnnnn=+++2211,??????

???????

?=AA

A

A

O

O

65

向前

向后

返回

EAAAAA==?

?

,

EAA

AAAA==??

?.1

A

AA?

?=按逆矩陣的定義得

證畢

.

,0,,0非奇異矩陣稱為時當稱為奇異矩陣時當AAAA≠=奇異矩陣與非奇異矩陣的定義

.

為非奇異矩陣是可逆陣的充要條件是由此可得AA66

向前

向后

返回

,

1==?EBA,

0≠A故,1存在因而?A于是

EBB=BAA1?=

ABA1?=證畢

.

,1?===ABEBAEAB則或若推論證明

.

,,11

11AAAA=???且亦可逆則可逆若逆矩陣的運算性質(zhì)

??==AEA11

其次章矩陣及其運算

12

67

向前

向后

返回

且

可逆則數(shù)可逆若,,0,2AAλλ≠且

亦可逆則為同階方陣且均可逆若,,,3ABBA1

111????=ABBAABAB1?=AEA,

1

EAA==?.

111

???=∴ABAB證明

=?1ABB1?1

?A.

111??=AAλ

λ68

向前

向后

返回

T

T

TAAAA11??=∵TE=,E=.

11

T

TAA??=∴.,

,0,10k

kAAEAA??==≠定義

時當另外證明

為正整數(shù)k.

1

212??=AA推廣

1AmA1?mA1?1A.

,,4AA

AAT=且亦可逆則可逆若TT

1

?1?則

.

kkAA??=1

69

向前

向后

返回

,,

AAA??=1

15若可逆則有證明E

AA=?1

∵1

1=∴?AA.

.下略因此1

1??=AA有

為整數(shù)時當,,,0μλ≠A,

μλμλ+=AAA.

λμμλAA=.

kkk

kkAA

AAA?????===1

1，

70

向前

向后

返回

例1

求方陣的逆矩陣.

???

?

?

?????=343122321A解==123

2212

343

∵A,≠0.

1存在?∴A,23

41

211==

A,33

31

212?=?

=A三、逆矩陣的求法

71

向前

向后

返回

同理可得

,

2,6,6,223222113=?===AAAA,2,5,4333231?==?=AAA,

??????=?????????

A264365222故

??=AA

A1

1?????=?????????264136

522

22.??

???=?????????

132********所以

72

向前

向后

返回

,

331212321?

????

????

?=A.

???

??=????????

B2311351511解

==??A123123

212034

133

1

例2下列矩陣A,B是否可逆?若可逆,求出其逆矩陣.

其次章矩陣及其運算

13

73

向前

向后

返回

,

??=??==≠123

34

0344010

010

.

A可逆所以,

3332

111?==A∵,

43

12212?=?=A,53

11

213==

A.

A,A,A,A,A,A341103333231232221?===?===同理可求得

74

向前向后返回?

?

??

??????==∴?

?3323133222123121111

1AAAAAAAAAAAAA.?????=?????????

33

114044513,

?=?=?B231

13501511

.

B不行逆故由于75

向前向后

返回

,1302

31

,3512,343122

321????

?

?????=???

???=????????

??=CBA例3設(shè).

CAXBX=使?jié)M意求矩陣解,023

431223

21≠==A∵,013

51

2≠==

B.

,11都存在??∴BA76

向前

向后

返回

,???

???=?????????

A1

132********且,????=?????B13152CAXB=又由1111????=?CB

AAXB

BA.

11??=?CBAX于是1

1??=CBAX????????????=????

?????????????

???132133132352205211131E

77

向前

向后

返回

證明

,022

=??EAA由EEAA2=?得,0≠?AEE

AA

=??2

12

=??E

AA

.

,2,:

,022并求它們的逆矩陣都可逆證明滿意方程設(shè)方陣EAAEAAA+=??例4??

?????=????????????1131025202.

?????=????????

21104104.可逆故A1

?A

78

向前

向后

返回

022=??EAA又由0

432=+?+?EEAEAE

EAEA=??

?

?????+?3412.

EA可逆故2+EAEA34121

??=+?且.

4

3AE?=.2

1

1EAA?=

∴?1

2?+EA,134

1

2=??+?EAEA

其次章矩陣及其運算

14

79

向前

向后

返回

,,.ABEAEAEB?????????==+?+?????

??

?1112324567設(shè)求EBEEAEA?+=++?1

由，

)EAEBEAEAE++=++?=2得，

EBEA???

?????∴+=+=?????

??

?11121232

34解例5,,,.

AA

BAEBB?==+21

1設(shè)冪等陣，證明可逆并求,

ABEBEBEBBE=???=???=?22

32,

BBEEBEB???=??=?11

3232

解80

向前向后返回;

X??????????

=?????????????

1111232110204211015.X????????

??????

=???????????????????

1111114233110110015211321211;

X?????

=?

????????

153211414例6解矩陣方程

81向前

向后

返回

X?????????????

=???????

????????????

11

1515153214141414得???????????

?????=41231154.

642817???

???????=解

X?????

=?

???

?????

153211414給方程兩端左乘矩陣,

????

?????1

1514X???????=?????????1

15321414E

82

向前

向后返回??????

????

=?????????????

X1111232110204211015???????

????=????

?????????

X1

123111************給方程兩端右乘矩陣,????

????????

1

111110211得

83

向前

向后

返回

????????

??????

=???????????????????

X1111114233110110015211321211.???????????????=??=?????????????????????????1231212

952041112860151324149給方程兩端左乘矩陣,????

??

??????

1

11111021184

向前

向后

返回

????????

??????=???????????????????????????

121423131111015121132211152.????

??=????????

137530952212112047??????

????

??????

=???????????????

????

X1

1

111423111110015110211211321得給方程兩端右乘矩陣,????

???

?????1

111110321

其次章矩陣及其運算

15

85向前向后返回???

?

??????=+=?714121,61ABAABAA且o

o

.B求A

BABAA61=??ABAEA61=???E

BEA61=???.

61

1???=?EAB解

:

,滿意關(guān)系設(shè)三階矩陣BA例7，86

向前向后返回1

1000100017000400026???

?????????????????????????????=1

6000300016??????

???

??=????????

??=6100031000

16.100020006?

???

??????=

1

16???=EAB87向前向后返回,

0!5≠=A因由伴隨矩陣法得,

1

AAA??=解

.

1

存在故?A,.AA???????

??=????

????11

00000

20000

030000

04

000005已知求例8

88

向前

向后

返回

???????

???????=?????

????????????2345

0000013450001

001245005!0

00123500

0001234.510

004100000310000021000001???????

????????

?=89向前向后返回

四、小結(jié)

逆矩陣的概念及運算性質(zhì)..0≠A逆矩陣的計算方法

;

21

A

AA?

?=利用公式逆矩陣存在1?A?;1待定系數(shù)法.

3下一章介紹初等變換法90

向前

向后

返回

思索題

*******;,;.

nnkAkAAA

AnA

BBA??==≥=2

15627?

?,11??====BAYBYABAXBAXA是否有唯一解矩陣方程是否有唯一解

那么矩陣方程可逆若1.2.證明方陣結(jié)論：**;;

nAAAAA

??==1

112****;;

AAAAAA??′′===1134

其次章矩陣及其運算

16

91向前

向后

返回

.,,

01013nmnmfxaaxaxxbbxbx?=+++=+++設(shè).

AnfAAAfA??=為階方陣，證明:.).

11

4kkAOEAA

EA??+++=?設(shè)=，證明:92

向前向后返回思索題解答

**.;

AAAAE

AAAAAAAEAAAA?????????==?==∴==11111111124答...

A?1

1是的這是由于的唯一性打算的..

klkllkklkllkaAbAabAbAaAfAAAfA??+==∴=3∵ii，.,.

kkkEAEAAEAEEAAEA????+++=?=∴+++=?1114∵93向前向后返回第四節(jié)矩陣分塊法

一、矩陣的分塊

二、分塊矩陣的運算規(guī)章三、小結(jié)、思索題

94

向前向后返回一、矩陣的分塊

對于行數(shù)和列數(shù)較高的矩陣，為了簡化運算，常常采納分塊法，使大矩陣的運算化成小矩陣的運算.詳細做法是：將矩陣用若干條縱線和橫線分成很多個小矩陣，每一個小矩陣稱為的子塊，以子塊為元素的形式上的矩陣稱為分塊矩陣.

AAA95向前向后返回,321??????????=

BBB??????

?

???

????=bbaaA1

10101000001例

??????

????

???

?=A001aba110000b110???

???????=1B2B3B即

96

向前向后返回?????

?

????

???

?=bbaa

A110101000001,??

=????

11

122122AAAA??

?

???=?????

?

????

???

?

=A1a11A0012A1

0010a

21Abb110022A即

其次章矩陣及其運算

17

97向前

向后返回,??=????1

1AOEB(,,,),ααα=124???

???????

???

?=bbaaA1

1

010*******?????

?

????

????=bbaaA1

10101000001,aAa??=????

1

10其中,

bBb??

=????

111.E??=????1001,O??

=????

0000,aα??????=??????1010其中,aα??????=??????2101,

bα????

??=??????

300

1.

bα??????=??????400198

向前

向后

返回

=(,,,),

nααα12列

nnmmmnaaaaaaAaaa??

??

?

?=??

??

??

1112121

22212nnmmmnaaaaaaAaaa?????

?=??????11

12121

2221

2=,TTTmβββ??

??

??????????

12

行99

向前

向后

返回

有

相同的分塊法采納

列數(shù)相同的行數(shù)相同與設(shè)矩陣,,,1BA.1

11111

11????

?

???

??++++=+srsrssrrBABABABABA

二、分塊矩陣的運算規(guī)章

????

?

?????=??????????=srsrsrsrBBBBBAAAAA

1

1111111,那么

列數(shù)相同的行數(shù)相同與其中,,ijijBA100

向前向后返回.

λλλλλ??

??

=????

?

?rssrAAAAA1111(2)設(shè)為數(shù)，那么

???

?=??????

rssrAAAA

A1111

λ101向前

向后

返回

分塊成

矩陣為矩陣為設(shè),,3nlBlmA××,,1

111

1

111

????

?

?????=????

?

?????=trtrststBBBBBAAAAA

????

?

?????=srsrCCCCAB

1

111.

,,1;,,11

rjsiBACkj

t

kikij===

∑

=其中那么

的行數(shù)的列數(shù)分別等于其中,,,,,,,2121tjjjitiiBBBAAA102

向前向后返回,411?

?????????=srAAA設(shè)rA11sATsA1TrA1.11????

??????=TsrTT

AAA

則是方陣且非零子塊都

其余子塊都為零矩陣上有非零子塊角線

的分塊矩陣只有在主對若階矩陣為設(shè).

,,,5AnA

其次章矩陣及其運算

18

103向前

向后

返回

,21??????

????????=sAAAA

OO.

21sAAAA=分塊對角矩陣的行列式具有下述性質(zhì):

即

.

,,2,1對角矩陣為分塊那么稱都是方陣其中AsiAi

=104

向前向后返回并有

則若,0,,,2,10≠=≠AsiAi.21??????

?????

???=sAAAA

o

o

,62

1

??????

????

??

?

?=sAAAA

設(shè)o

o

1?1?1

?1?105向前

向后

返回

??????

???????

??????????????

?ssBBBAAA

000000

00000072121

.

0000002211??

?

?

?

?

?

???

??

??=ssBABABA106

向前

向后

返回

例1設(shè)

,

A??

??

?

?

=??

??

??

1

000010023102

301,

B??

??

?

?

=??

??

??

0001001001001000.

AB求解

分塊成

把BA,????

??

????

???

?

=10

011

01A00

00232

3

,??

?

???=EEO1A107向前

向后

返回

B??

??

?

?=????

??

0001001001001000?

?

?

???=OB1B2O則E

OOBABAEBO????=?

???????

112OEBOO

BOEBABOBAB+????

==?

??

?++????

11211211108

向前向后返回OBABBAB??=?

???12

11又AB11??????

==?

???????????

230132231032，.??????=??????

0010

0100

1321

03

2于是

其次章矩陣及其運算

19

109

向前

向后

返回

,

100100000

001???

?

?

?

?

???

???

?=bbaaA設(shè)?????

???

????=bbaa

B1

00

000001000.

,ABABA+求例2

110

向前

向后返回

解分塊

將BA,??????

?

???

???

?=bbaaA1

00100000001,0021???

???=

AA????

????

????=bbaaB1

00

000001000,0021????

??=BB其中

,011

??????=aaA;1

12??????=bbA,1

01??????=aa

B;1

02??

????=bbB其中111

向前

向后

返回

??

????+????

??=+21