八年級數(shù)學(xué) 壓軸題綜合（三）（老師版）

壓軸題綜合訓(xùn)練（三）

（時(shí)間：60分鐘總分：100）班級姓名得分

一、選擇題

1.如圖，點(diǎn)E、F、G、H分別是四邊形A8CZ）邊AB、2C、

CD、D4的中點(diǎn).則下列說法：

①若/C=BD,則四邊形EFGH為矩形；

②若4C_LBD,則四邊形EFGH為菱形；

③若四邊形EFGH是平行四邊形，則AC與BD互相平

分;

④若四邊形EFG"是正方形，則AC與8?；ハ啻怪鼻蚁嗟?

其中正確的個(gè)數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【知識點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)、矩形的判定、四邊形、菱形的判定、正方形的性質(zhì)

【解析】解：因?yàn)橐话闼倪呅蔚闹悬c(diǎn)四邊形是平行四邊形，

當(dāng)對角線=時(shí)，中點(diǎn)四邊形是菱形，當(dāng)對角線時(shí)，中點(diǎn)四邊形是矩形，當(dāng)對

角線=且4?18。時(shí)，中點(diǎn)四邊形是正方形，

故④選項(xiàng)正確，

故選：A.

因?yàn)橐话闼倪呅蔚闹悬c(diǎn)四邊形是平行四邊形，當(dāng)對角線=時(shí)，中點(diǎn)四邊形是菱形，當(dāng)

對角線4clBDB寸，中點(diǎn)四邊形是矩形，當(dāng)對角線AC=BD,且2CJ.BD時(shí)，中點(diǎn)四邊形是

正方形，

本題考查中點(diǎn)四邊形、平行四邊形、矩形、菱形的判定等知識，解題的關(guān)鍵是記住一般四邊

形的中點(diǎn)四邊形是平行四邊形，當(dāng)對角線BD=4c時(shí)，中點(diǎn)四邊形是菱形，當(dāng)對角線AC1BD

時(shí)，中點(diǎn)四邊形是矩形，當(dāng)對角線AC=8。，且4C1BC時(shí)，中點(diǎn)四邊形是正方形.

2.直線"：y=kx+b與直線，2：y=bx+k在同一平面直角坐標(biāo)系中的大致位置可能是

（）.

【答案】c

【知識點(diǎn)】一次函數(shù)的圖象

【解析】

【分析】

本題主要考查了一次函數(shù)的圖象，要掌握它們的圖象才能靈活解題.解答本題注意理解：直

線丁=心:+力所在的位置與k、〃的符號有直接的關(guān)系.分析題意，根據(jù)一次函數(shù)的系數(shù)與

圖象的關(guān)系依次分析選項(xiàng)，找公〃取值范圍相同的即得答案.

【解答】

解：根據(jù)一次函數(shù)的系數(shù)與圖象的關(guān)系依次分析選項(xiàng)可得：

人由圖可得，yi=kx+b中，k<0,b<0,y2=bxk中，b<0,k>0,k的取值矛盾，

故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

8.由圖可得，yj.=kx+b中，k>0,b<0,y2=bx+k中，b>0,k>0,人的取值相矛

盾，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C.由圖可得，yi=kx+b中，k>0,b<0,y2=bx+k中，b<0,k>0,b,k的取值

相一致，故本選項(xiàng)正確；

41

D由圖可得，=/ex+/JM,k>0,b<0,y2=bx+/cM-.b<0,k<0,&的取值相矛

盾，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

故選C.

3.等式J*=署成立的條件是（）

A.x3B.x>-2C.x>一2且x。3D.x>3

【答案】D

【知識點(diǎn)】分式有意義的條件、二次根式的性質(zhì)、二次根式有意義的條件

【解析】

【分析】

本題考查了二次根式的性質(zhì)，二次根式的乘除的有關(guān)知識，二次根式的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù),

分母不為0,是本題確定取值范圍的主要依據(jù).本題需注意的是，被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)，且分式

的分母不能為0,列不等式組求出x的取值范圍.

【解答】

解：...等式匡=萼成立，

x-3Vx-3

（X+2>0

"tx-3>0'

解得：%>3.

故選D

4.如圖，△ACB^LECC都是等腰直角三角形,C4=CB,CE=CD,

△ACB的頂點(diǎn)A在AECD的斜邊QE上，若4E=a,40=通，

則兩個(gè)三角形重疊部分的面積為（）

A.V2

B.3-V2

C.V3-1

D.3-V3

【答案】D

【知識點(diǎn)】角平分線的性質(zhì)、等腰直角三角形、勾股定理、全等三角形的判定與性質(zhì)

【解析】解：如圖設(shè)48交CO于。，連接8/）,作OM1DE于例，ON上BD于N.

V乙ECD=乙ACB=90°,

???Z-ECA=(DCB,

vCE=CD,CA=CB,

/.△ECA=LDCB,

???Z.E=乙CDB=45°,AE=BD=也,

???(EDC=45°,

???Z.ADB=Z.ADC+乙CDB=90°,

在中，AB=y/AD2+DB2=2\/2,

AAC=BC=2,

?*,S〉A(chǔ)BC=aX2x2=2,

???0。平分乙4gOM1DE^M,ON1BD于N,

???OM=ON,

SLQA=；ADCM6

S^moOBDB.ON

SAAOC=2x^7=3-V3.

故選：D.

如圖，設(shè)AB交CO于O,連接8。，作OM_LDE于M,ON1BD于M想辦法求出△ABC的

面積.再求出OA與。8的比值即可解決問題；

本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、角平分線的性質(zhì)等

知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用面積法確定線段之間的關(guān)系，屬于中考選擇題中的壓軸題.

二、填空題

5.如圖，在矩形48co中，AD=5,AB=8,點(diǎn)E為射線0c上一個(gè)動點(diǎn)，把△4DE沿

直線AE折疊，當(dāng)點(diǎn)D的對應(yīng)點(diǎn)廠剛好落在線段AB的垂直平分線上時(shí)，則DE的長為

【答案】1或10

【知識點(diǎn)】翻折變換（折疊問題）、矩形的性質(zhì)、勾股定理

【解析】

【分析】

本題以折疊問題為背景，主要考查矩形的性質(zhì)、翻折變換的性質(zhì)、勾股定理等幾何知識的綜

合應(yīng)用；解決問題的關(guān)鍵利用直角三角形，運(yùn)用勾股定理列方程求解.

分兩種情況討論：點(diǎn)尸在矩形內(nèi)部；點(diǎn)F在矩形外部，分別根據(jù)折疊的性質(zhì)以及勾股定理，

列方程進(jìn)行計(jì)算求解，即可得到。E的長.

【解答】

解：分兩種情況：

①如圖1,當(dāng)點(diǎn)尸在矩形內(nèi)部時(shí)，

???點(diǎn)尸在A8的垂直平分線MN上,

AN=4：

AF=AD=5.

由勾股定理得FN=3,

FM=2,

設(shè)CE為y,貝ljEM=4-y,FE=y,

在AEMF中，由勾股定理得：y2=(4-y)2+22,

即DE的長為|.

同①的方法可得FN=3,

FM=8,

設(shè)。E為z,貝ljEM=z-4,FE=z,

在AEMF中，由勾股定理得：z2=(z-4)2+82,

???z=10,

即DE的長為10.

綜上所述，點(diǎn)尸剛好落在線段A8的垂直平分線上時(shí)，OE的長為g或10.

故答案為：|或10.

6.如圖，10個(gè)邊長為1的正方形擺放在平面直角坐標(biāo)系中,

經(jīng)過4(1,0)點(diǎn)的一條直線將這10個(gè)正方形分成面積相

等的兩部分，則該直線的解析式為.

【答案】y=W

【知識點(diǎn)】待定系數(shù)法求?次函數(shù)解析式

【解析】解：如圖，

將圖中1補(bǔ)到2的位置，

???10個(gè)正方形的面積之和是10,

???梯形ABCD的面積只要等于5即可，

設(shè)點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為x,則8c=4-x,

則(4-x+3)x3+2=5,

解得x=

二點(diǎn)8的坐標(biāo)為答3).

設(shè)過點(diǎn)A和點(diǎn)B的直線的解析式為y=kx+b(k*0),

將4(1,0),8(日,3)分別代入，得

(k+b=0,(k=

鼠+b=3,解得卜

即過點(diǎn)A和點(diǎn)B的直線的解析式為y=1x-l

oo

7-%=1+卷。2=1+表++,。3=1+++*……>即=1+*+島聲其中

〃為正整數(shù)，則扃的值是.

【知識點(diǎn)】數(shù)式規(guī)律問題、二次根式的性質(zhì)

【解析】

【分析】

本題主要考查數(shù)式規(guī)律問題，二次根式的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵運(yùn)用規(guī)律進(jìn)行化簡，先求出的,

。2,。3,即的值，再根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡即可.

【解答】

2

解:??-a1=l+^+i=g))

?2=1+^+^=@>

&3=1+專+*=倨）；

2

c_1,1,1_[n(n+l)+l]

即-1+莪+(n+i)2-[n(n+l)]'

/—/rn(n+l)+ll2n2+n+l

AVttn=JIn(n+l)J=n2+n

故答案為學(xué)1.

n2+n

A

8.如圖，RtAABC,^ACB=90°,AC=6,BC=8,將邊AC卜、

!''、出

沿CE翻折，使點(diǎn)A落在AB上的點(diǎn)。處；再將邊BC沿CF；7K

翻折，使點(diǎn)B落在C。的延長線上的點(diǎn)B'處，兩條折痕與斜\

邊48分別交于點(diǎn)E、尸，貝SB'FC的面積為.臺

【答案】§

【知識點(diǎn)】翻折變換(折疊問題)、勾股定理、三角形的面積

【解析】

【試題解析】

【分析】

本題主要考查了勾股定理，三角形的面積公式，折疊與對稱等有關(guān)知識，根據(jù)勾股定理計(jì)算

出4B的長，再根據(jù)面積法計(jì)算出CE的長，根據(jù)勾股定理計(jì)算出4E的長，進(jìn)一步得到

的長，根據(jù)AECF為等腰直角三角形求出EF的長，即可計(jì)算出8尸的長，再根據(jù)8'F=BF,

然后計(jì)算^B'FC的面積即可解答.

【解答】

解：在Rt^ABC中，AC=6,BC=8,所以4B=10.

根據(jù)折疊的性質(zhì)可得：AE=ED,AC=CD,CELAD,Z.ACE=LDCE,乙BCF=LB'CF,

B'F=BF,

?■SAABC=\ACBC=\AB-CE,

6x8=10xCE,

解得：CE=4.8,

在RMZCE中，

AE=>JAC2-CE2=V62-4.82=3.6,

又因?yàn)?4CE+Z.CED+Z.BCF+乙B'CF=^ACB=90°,

所以NECF=45。，即AECF為等腰直角三角形，

EF=CE=4.8,

o

??,BF=AB-AE-EF=10-3.6-4.8=1.6=

..?B，F(xiàn)—I，

,**S&CFB=—BFxCE=—x—x—=一,

225525

c_c_96

故答案為：

三、解答題

9.如圖，以矩形OA5C的頂點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA所在直線

為x軸，OC所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系.已知，

。4=2,。。=4,點(diǎn)。為x軸上一動點(diǎn)，以3。為一邊在

8。右側(cè)作正方形BDEF.

(1)若點(diǎn)。與點(diǎn)A重合，請直接寫出點(diǎn)后的坐標(biāo)；

(2)若點(diǎn)。在。4的延長線上，且E4=E8,求點(diǎn)E的坐標(biāo);

(3)若OE=2V17，求點(diǎn)E的坐標(biāo).

【答案】解：(1)當(dāng)點(diǎn)。與點(diǎn)A重合時(shí)，如圖1,

圖1

BD=OC=4,

四邊形BDFE是正方形，

??.BD=DE=4,乙BDE=90°,

???OA=2,

???OE=O/+4E=2+4=6,

???F(6,0)；

(2)如圖2,過E作EG14B于G,作E〃l二軸于H,

圖2

vEB=EA,

:.AG=BG=2,

vZ.AGC=Z.GAH=Z.AHE=90°,

???四邊形AGE”是矩形，

:.EH=AG=2,

??,四邊形8DE尸是正方形，

???BD=DE,乙BDE=90°,

???Z.ADB+乙EDH=/-ADB+乙ABD=90°,

.**Z.EDH=乙ABD,

V/.BAD=/.DHE=90°,

??.△BAD三△D，E(4S4),

???DH=AB=4,AD=EH=2,

OH=8,

E(8,2)；

(3)分兩種情況：

①。在點(diǎn)A的右側(cè)時(shí)，如圖3,過E作EHlx軸于H,

圖3

由(2)知：ABADNADHE,

DH=AB=4,AD=EH,

設(shè)則EH=x,OH=2+4+x=6+x,

在RtAOEH中，由勾股定理得：OE2=OH2+EH2,

(2V17)2=(6+x)2+x2,

解得：x=2或一8(舍)，

E(8,2)；

②。在點(diǎn)A的左側(cè)時(shí)，如圖4,過E作EHlx軸于H,

由(2)知：△BAD=^DHE,

：.DH=AB=4,AD=EH,

設(shè)AD=x,則EH=x,OH=x-2-4=x-6,

在RtAOEH中，由勾股定理得：OE2=OH2+E“2,

???(2V17)2=x2+(x—6)2,

解得：x=-2或8(舍)，

???0H=-2—6=—8,

E(-2,-8)；

綜上，點(diǎn)E的坐標(biāo)是(8,2)或(-2,-8).

【知識點(diǎn)】矩形的性質(zhì)、勾股定理、圖形與坐標(biāo)、正方形的性質(zhì)

【解析】(1)根據(jù)正方形的邊長相等和矩形的對邊相等，可得0E的長，從而得E的坐標(biāo)：

(2)作輔助線，先根據(jù)E4=后8可知EG是AB的垂直平分線，證明△BAD*DHE(ASA),

可得結(jié)論；

(3)分兩種情況：點(diǎn)。在點(diǎn)A的左側(cè)和右側(cè)，過￡作石，_1》軸于，，構(gòu)建全等三角形，設(shè)未

知數(shù)，根據(jù)勾股定理列方程可得結(jié)論.

本題是四邊形的綜合題，考查全等三角形的判定和性質(zhì)、正方形和矩形的性質(zhì)和判定、勾股

定理及一元二次方程，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，

屬于中考?？碱}.

10.下表中給出A,B,C三種手機(jī)通話的收費(fèi)方式.

收費(fèi)方式月通話費(fèi)/元包時(shí)通話時(shí)間"超時(shí)費(fèi)/(元/m譏)

A30250.1

B50500.1

C100不限時(shí)

(1)設(shè)月通話時(shí)間為x小時(shí)，則方案A,B,C的收費(fèi)金額為，y2,為都是左的函數(shù)，請

分別求出這三個(gè)函數(shù)解析式；

(2)填空：

若選擇方式A最省錢，則月通話時(shí)間%的取值范圍為;

若選擇方式B最省錢，則月通話時(shí)間x的取值范圍為;

若選擇方式C最省錢，則月通話時(shí)間x的取值范圍為;

(3)小王、小張今年5月份的通話費(fèi)均為80元，但小王比小張通話時(shí)間長，求小王該月

的通話時(shí)間.

【答案】解析(1)0.1元/zn譏=6元/%,

.??由題意可得

<%<25),

120(%>25),

(50(0<%<50),

(6x-250(x>50),

y3=100(%>0).

(2)作出函數(shù)圖象，如圖:

3O

2O

IO

OO

9O

8O

7O

6()

5O

4O

3O

2O

IO

10203()405060708090100*

結(jié)合圖象可得:

若選擇方式A最省錢，則月通話時(shí)間X的取值范圍為OWX<?；若選擇方式B最省錢，則月

通話時(shí)間x的取值范圍為竽<%<?;若選擇方式C最省錢，則月通話時(shí)間x的取值范圍為

47法》、/8585175175

故T答案為0<x<<x<—;%.

(3)結(jié)合圖象可得小張選擇的是方式A,小王選擇的是方式B,將y=80代入=6%-250,

可得6工一250=80,

解得％=55,???55>50,

???小王該月的通話時(shí)間為55小時(shí).

【解析】略

11.⑴用"=">"、“<”填空.

126xg；6+32,6x3;1+2Jlx7+72-7x7.

(2)由(1)中各式猜想a+b與2病(a>0,b>0)的大小，并說明理由.

(3)請利用上述結(jié)論解決下面問題:

某同學(xué)在做一個(gè)面積為1800612,對角線相互垂直的四邊形風(fēng)箏時(shí)，求用來做對角線的

竹條至少要多少厘米?

【答案】解：(1)>，>，>，=；

(2)猜想：a+b22VH^(a20,b20),

理由是：-.-a^O,b>0,

???a+b-2\[ab=(Va—Vfa)2>0>

a+b>2\Tab\

(3)設(shè)對角線長分別為a,b,

由題意得：3ab=1800,

???ab=3600,

??a+b>2Vab?

■■a+b>2V3600.

■■a+b>120,

???用來做對角線的竹條至少要120厘米.

【知識點(diǎn)】非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：偶次方、二次根式的應(yīng)用、數(shù)式規(guī)律問題、完全平方公式

【解析】

【分析】

此題考查了二次根式的實(shí)際應(yīng)用，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，掌握完全平方公式是解決問題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)完全平方公式的非負(fù)性進(jìn)行變形可得結(jié)論；

(2)直接利用完全平方公式的非負(fù)數(shù)的性質(zhì)解答即可；

(3)根據(jù)對角線互相垂直的四邊形面積=相互垂直的對角線乘積的一半，并綜合利用(2)的結(jié)

論得出答案即可.

【解答】

解:⑴屋卜呼＞0,

同理得：6+3>2后I;7+7=2k.

故答案為〉，＞,＞,=;

(2)見答案;

(3)見答案.

12.如圖，已知△ABC中，48=90。，AB=16cm,BC=12cm,P、。是△ABC邊上的兩個(gè)

動點(diǎn)，其中點(diǎn)尸從點(diǎn)4開始沿4rB方向運(yùn)動，且速度為每秒1C7”，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿

BtCt4方向運(yùn)動，且速度為每秒2cm,它們同時(shí)出發(fā)，設(shè)出發(fā)(運(yùn)動)的時(shí)間為f秒.

備用圖

(1)出發(fā)2秒后，求PQ的長；

(2)當(dāng)點(diǎn)Q在邊8c上運(yùn)動時(shí)，出發(fā)幾秒鐘后，△PQB能形成等腰三角形？

(3)當(dāng)點(diǎn)。在邊CA上運(yùn)動時(shí)，求能使△BCQ成為等腰三角形的運(yùn)動時(shí)間.

【答案】解：(1)BQ=2x2=4(cm),BP=AB-AP=16-2x1=14(cm),/.B=90°,

PQ=V42+142=V212=2V53(cfn):

(2)BQ=2t,BP=16-t,

根據(jù)題意得：2t=16-3

解得：t=g,

即出發(fā)g秒鐘后，△PQB能形成等腰三角形;

(3)①當(dāng)CQ=8Q時(shí)，如圖1所示，

則“=上。%

vZ-ABC=90°,

圖'

???Z.CBQ4-乙ABQ=90°.

乙4+"=90°,

???Z-A=乙ABQ,

??.BQ=AQt

:.CQ=AQ=10,

???BC+CQ=22,

圖2

???￡=22+2=11秒.

②當(dāng)CQ=BC時(shí)，如圖2所示,

則BC+CQ=24,

二t=24+2=12秒.

③當(dāng)BC=BQ時(shí)，如圖3所示,

過B點(diǎn)作BE_L4c于點(diǎn)￡,

CE=7BC2-BE2=J122-(y)2=y,

圖3

CQ=2CE=14.4,

BC+CQ=26.4,

???t-26.4+2=13.2秒.

綜上所述：當(dāng)，為11秒或12秒或13.2秒時(shí)，ABCQ為等腰三角形.

【知識點(diǎn)】勾股定理、等腰三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定

【解析】本題考查了勾股定理、三角形的面積以及等腰三角形的判定和性質(zhì)，注意分類討論

思想的應(yīng)用.

(1)根據(jù)點(diǎn)P、。的運(yùn)動速度求出4R再求出8P和8。，用勾股定理求得「。即可；(2)設(shè)

出發(fā)r秒鐘后，△PQB能形成等腰三角形，則8尸=BQ,由8Q=2t,BP=8-t,列式求得

f即可;

(3)當(dāng)點(diǎn)。在