Ch5-6 隨機變量的數(shù)字特征

第五章

隨機變量的數(shù)字特征2024/2/141皖西學院經(jīng)濟與管理學院一、為什么要引入隨機變量的數(shù)字特征1.實際中，有些隨機變量的分布不易求。2.有些實際問題往往對隨機變量的分布不感興趣，只隨機變量的幾個特征指標感興趣。二、幾個常用的特征指標數(shù)學期望、方差、標準差、協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)、矩2024/2/142皖西學院經(jīng)濟與管理學院第一節(jié)數(shù)學期望2024/2/143皖西學院經(jīng)濟與管理學院一、數(shù)學期望的引入例1〔分賭本問題〕甲、乙兩個賭徒賭技相同，各出賭注50法朗，每局無平局，且約定：先贏三局者得到全部賭本100法朗。當甲贏了兩局，乙贏了一局時，因故要中止賭博，問這100法朗的賭本應如何分配才合理？分析：假設賭博繼續(xù)下去，再賭兩局必出結(jié)果情況如下：乙勝甲輸甲勝乙輸乙勝甲輸甲勝乙輸甲勝的概率為：?.2024/2/144皖西學院經(jīng)濟與管理學院例1〔分賭本問題〕甲、乙兩個賭徒賭技相同，各出賭注50法朗，每局無平局，且約定：先贏三局者得到全部賭本100法朗。當甲贏了兩局，乙贏了一局時，因故要中止賭博，問這100法朗的賭本應如何分配才合理？設甲得到的賭本為X，則X的分布為甲勝的概率為：?.甲應該獲得賭本的3/4.說明：該問題涉及隨機變量的分布，且含有均值的意義.2024/2/145皖西學院經(jīng)濟與管理學院算術(shù)平均與加權(quán)平均問題：如果已知離散隨機變量X的分布如何求X的平均取值？2024/2/146皖西學院經(jīng)濟與管理學院加權(quán)平均數(shù)的計算：隨機變量的平均值：概率替換頻率2024/2/147皖西學院經(jīng)濟與管理學院二、數(shù)學期望的定義

為隨機變量X的數(shù)學期望.2024/2/148皖西學院經(jīng)濟與管理學院補充說明：加權(quán)平均數(shù)：離散隨機變量期望：連續(xù)隨機變量期望：頻率概率概率注：期望是均值的推廣或更一般的形式.2024/2/149皖西學院經(jīng)濟與管理學院2024/2/1410皖西學院經(jīng)濟與管理學院2024/2/1411皖西學院經(jīng)濟與管理學院例4一批產(chǎn)品中有一、二、三等品、等外品及廢品5種，相應的概率分別為0.7,0.1,0.1,0.06，0.04，若其價格分別為6元，5.4元，5元，4元及0元。求產(chǎn)品的平均價值。XP2024/2/1412皖西學院經(jīng)濟與管理學院三、一維隨機變量的函數(shù)的數(shù)學期望

2024/2/1413皖西學院經(jīng)濟與管理學院例5設隨機變量X的分布為解：2024/2/1414皖西學院經(jīng)濟與管理學院練習

設隨機變量X的分布為XP2024/2/1415皖西學院經(jīng)濟與管理學院2024/2/1416皖西學院經(jīng)濟與管理學院2024/2/1417皖西學院經(jīng)濟與管理學院數(shù)學期望在解決實際問題中有著非常重要的應用，見下面的例子.2024/2/1418皖西學院經(jīng)濟與管理學院XiP2024/2/1419皖西學院經(jīng)濟與管理學院2024/2/1420皖西學院經(jīng)濟與管理學院例10某公司生產(chǎn)的機器無故障工作時間X有密度函數(shù)公司每售出一臺機器可獲利1600元，若機器在售出1.2萬小時之內(nèi)出現(xiàn)故障，則予以更換，這時每臺虧損1200元；若在1.2到2萬小時之內(nèi)出現(xiàn)故障，則予以維修，由公司負擔維修費400元；若在使用2萬小時以上出現(xiàn)故障，則用戶自己負責。求該公司售出每臺機器的平均獲利。2024/2/1421皖西學院經(jīng)濟與管理學院解決方法：求隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望.關(guān)鍵：2024/2/1422皖西學院經(jīng)濟與管理學院則用戶自己負責。公司每售出一臺機器可獲利1600元，若機器在售出1.2萬小時之內(nèi)出現(xiàn)故障，則予以更換，每臺虧損1200元；若在1.2到2萬小時之內(nèi)出現(xiàn)故障，則予以維修，由公司負擔維修費400元；若在使用2萬小時以上出現(xiàn)故障，2024/2/1423皖西學院經(jīng)濟與管理學院2024/2/1424皖西學院經(jīng)濟與管理學院四、多維隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望2024/2/1425皖西學院經(jīng)濟與管理學院2024/2/1426皖西學院經(jīng)濟與管理學院1x2y02024/2/1427皖西學院經(jīng)濟與管理學院五、數(shù)學期望的運算性質(zhì)線性性質(zhì)2024/2/1428皖西學院經(jīng)濟與管理學院2024/2/1429皖西學院經(jīng)濟與管理學院條件期望離散型2024/2/1430皖西學院經(jīng)濟與管理學院第二節(jié)方差與標準差2024/2/1431皖西學院經(jīng)濟與管理學院引例1比較甲、乙兩班學生成績的差異百分比若把兩班成績看作隨機變量的取值，其分布有什么區(qū)別？隨機變量取值的分散程度不同，乙班成績分布較集中。2024/2/1432皖西學院經(jīng)濟與管理學院引例2比較兩種型號手表的質(zhì)量設甲、乙兩種型號的手表的日走時誤差分別為X、Y，其分布如下哪種手表質(zhì)量較好？注：X、Y的期望相同，但誤差取值的波動性不同。對產(chǎn)品質(zhì)量的穩(wěn)定性，市場的波動性，投資的風險度量與風險管理等問題的研究，都涉及到對隨機變量分布的分散程度的研究，從而引入方差的概念。2024/2/1433皖西學院經(jīng)濟與管理學院一、方差與標準差的定義2024/2/1434皖西學院經(jīng)濟與管理學院方差的常用計算公式：方差的定義式：怎么記住呢？平方的期望減去期望的平方2024/2/1435皖西學院經(jīng)濟與管理學院離散型和連續(xù)型隨機變量的方差計算公式定義2024/2/1436皖西學院經(jīng)濟與管理學院離散型和連續(xù)型隨機變量的方差計算公式常用公式2024/2/1437皖西學院經(jīng)濟與管理學院分布列與方差大小的關(guān)系：結(jié)論1：取值分布集中，方差較??；反之方差較大.2024/2/1438皖西學院經(jīng)濟與管理學院密度函數(shù)與方差大小的關(guān)系：結(jié)論2：密度函數(shù)圖形較陡峭的方差較??；反之方差較大.2024/2/1439皖西學院經(jīng)濟與管理學院例1計算泊松分布的方差。解：泊松分布的分布律為2024/2/1440皖西學院經(jīng)濟與管理學院例2計算均勻分布的方差。2024/2/1441皖西學院經(jīng)濟與管理學院例3正態(tài)分布的方差。2024/2/1442皖西學院經(jīng)濟與管理學院例4計算指數(shù)分布的方差。2024/2/1443皖西學院經(jīng)濟與管理學院二、方差的性質(zhì)方差不具備線性性質(zhì).2024/2/1444皖西學院經(jīng)濟與管理學院例5計算二項分布的方差。二項分布的可加性注：直接利用二項分布律和級數(shù)的運算也可以求出二項分布的期望和方差。2024/2/1445皖西學院經(jīng)濟與管理學院注：本例是數(shù)理統(tǒng)計常用的一個重要結(jié)果，它體現(xiàn)了平均值的穩(wěn)定性。2024/2/1446皖西學院經(jīng)濟與管理學院例8

某人有一筆資金，可投入兩個項目：房產(chǎn)和商業(yè)，其收益都與市場有關(guān)。若把未來市場劃分為好、中、差三個等級，其發(fā)生的概率分別是0.2，0.7和0.1。通過調(diào)查，該投資者認為投資房產(chǎn)的收益X（萬元）和投資商業(yè)的收益Y（萬元）的分布分別為請問：該投資者如何投資為好？2024/2/1447皖西學院經(jīng)濟與管理學院第三節(jié)協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)2024/2/1448皖西學院經(jīng)濟與管理學院一、協(xié)方差協(xié)方差也稱為相關(guān)中心矩。聯(lián)合分布中分量間的關(guān)系2024/2/1449皖西學院經(jīng)濟與管理學院2024/2/1450皖西學院經(jīng)濟與管理學院協(xié)方差的常用性質(zhì):注：以上性質(zhì)可以利用定義及期望的性質(zhì)來證明.2024/2/1451皖西學院經(jīng)濟與管理學院2024/2/1452皖西學院經(jīng)濟與管理學院補充說明：2024/2/1453皖西學院經(jīng)濟與管理學院2024/2/1454皖西學院經(jīng)濟與管理學院2024/2/1455皖西學院經(jīng)濟與管理學院二、相關(guān)系數(shù)在表示隨機變量的關(guān)系時，為了消除量綱的影響，引入了相關(guān)系數(shù)的概念。2024/2/1456皖西學院經(jīng)濟與管理學院相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)：

完全正線性相關(guān)

YX

完全負線性相關(guān)YX2024/2/1457皖西學院經(jīng)濟與管理學院補充說明相關(guān)系數(shù)ρ(X,Y)刻畫了隨機變量X、Y間線性相關(guān)的程度。ρ=±1時，表示X、Y幾乎處處具有線性關(guān)系；ρ=0時，表示X、Y不具有線性關(guān)系，但可以具有其他（如曲線）關(guān)系。獨立性是指兩個隨機變量不具有任何關(guān)系。對二元正態(tài)分布來說，獨立性與不相關(guān)〔ρ=0〕是等價的。與協(xié)方差相比較，相關(guān)系數(shù)是一個不帶單位的系數(shù)，消除了量綱的影響，可以更準確地反映隨機變量間的關(guān)系；同時，也方便不同類型隨機變量的比較。2024/2/1458皖西學院經(jīng)濟與管理學院00.511y=x2024/2/1459皖西學院經(jīng)濟與管理學院注：協(xié)方差雖然很小，但相關(guān)系數(shù)卻比較大。所以協(xié)方差反映隨機變量的相關(guān)程度不是很準確的。2024/2/1460皖西學院經(jīng)濟與管理學院作業(yè)P75-77：4、9、13、20、23、242024/2/1461皖西學院經(jīng)濟與管理學院第六章大數(shù)定律與中心極限定理2024/2/1462皖西學院經(jīng)濟與管理學院事件發(fā)生的頻率具有穩(wěn)定性，即隨著試驗次數(shù)的增多，事件發(fā)生的頻率逐漸穩(wěn)定于某個常數(shù)。這就充分說明事件的概率是客觀存在的。頻率的穩(wěn)定性，便是這一客觀存在的反映。人們還認識到大量測量值的算術(shù)平均值也具有穩(wěn)定性。這種穩(wěn)定性就是本節(jié)所要討論的大數(shù)定律的客觀背景。在概率論中，用來闡明大量平均結(jié)果穩(wěn)定性的一系列定理統(tǒng)稱為大數(shù)定律。由大數(shù)定律，大量隨機因素的總和，必然導致某種不依賴于個別隨機事件的結(jié)果。2024/2/1463皖西學院經(jīng)濟與管理學院一、大數(shù)定律2024/2/1464皖西學院經(jīng)濟與管理學院補充說明2024/2/1465皖西學院經(jīng)濟與管理學院2、切比雪夫大數(shù)定律切比雪夫不等式注：對于離散型隨機變量可以類似證明。2024/2/1466皖西學院經(jīng)濟與管理學院切比雪夫大數(shù)定律2024/2/1467皖西學院經(jīng)濟與管理學院3、貝努里大數(shù)定律注：貝努里定理是切比雪夫定理的特例，它從理論上證明了頻率的穩(wěn)定性。只要試驗次數(shù)n

足夠大，事件A出現(xiàn)的頻率與事件A

的概率有較大偏差的可能性很小。即可以用事件發(fā)生的頻率來代替事件發(fā)生的概率。2024/2/1468皖西學院經(jīng)濟與管理學院二、獨立同分布下的中心極限定理2024/2/1469皖西學院經(jīng)濟與管理學院2024/2/1470皖西學院經(jīng)濟與管理學院二項分布的正態(tài)近似定理2〔棣莫弗－拉普拉斯

中心極限定理〕2024/2/1471皖西學院經(jīng)濟與管理學院例1設一個車間里有400臺同類型的機器，每臺機器需要用電為Q瓦。由于工藝關(guān)系，每臺機器不連續(xù)開動，開動的時間只占總工作時間的3/4。問應該供應多少瓦電力才能以99％的概率保證該車間的機器正常工作？〔設各機器的開、停是相