初中數(shù)學(xué)八年級上冊 探究角的平分線的性質(zhì)“十市聯(lián)賽”一等獎

探究角的平分線的性質(zhì)12.3.1角的平分線的性質(zhì)

問題1：在白紙上畫一個角，怎樣得到這個角的平分線？

用量角器度量，也可用折紙的方法．

下圖是一個平分角的儀器，其中AB=AD，BC=DC，將點A放在角的頂點，AB和AD沿著角的兩邊放下，沿AC畫一條射線AE，AE就是∠DAB的平分線．你能說明它的道理嗎？ABDCEAAEAEA

B

C

D

證明：在△ACD和△ACB中，

AD=AB（已知），

DC=BC（已知），

CA=CA（公共邊），∴△ACD≌△ACB（SSS）．∴∠CAD=∠CAB．（全等三角形的對應(yīng)角相等）∴AC平分∠DAB．（角平分線的定義）ADBCE

２．分別以M，N為圓心，大于MN的長為半徑作弧．兩弧在∠AOB的內(nèi)部交于點C．如何用尺規(guī)作角的平分線？ABOMNC

１．以O(shè)為圓心，適當(dāng)長為半徑作弧，交OA于點M，交OB于點N．３．畫射線OC．射線OC即為所求．

任意作一個角∠AOB，作出∠AOB的平分線OC，在OC上任取一點P．過點P畫PD⊥OA，PE⊥OB，點D、E為垂足．

1．操作測量：分別測量PD、PE的長．你得到什么結(jié)論？2．觀察測量結(jié)果，猜想線段PD與PE的大小關(guān)系，寫出結(jié)論：____________

PD

PE

第一次第二次第三次

COBAPD=PEPDE角平分線有什么性質(zhì)呢？角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等．

題設(shè)：

已知：OC是∠AOB的平分線，點P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別是D、E．求證：PD=PE．一個點在一個角的平分線上．結(jié)論：它到角的兩邊的距離相等．AOBPEDC證明：∵OC平分∠

AOB（已知）∴∠1=∠2（角平分線的定義）∵PD⊥OA，PE⊥OB（已知）∴∠PDO=∠PEO=90°（垂直的定義）在△PDO和△PEO中

∠PDO=∠PEO（已證）

∠1=∠2（已證）

OP=OP（公共邊）

∴

△PDO≌△PEO（AAS）∴PD=PE（全等三角形的對應(yīng)邊相等）PAOBCED12PD⊥OA

，PE⊥OB∵OP平分∠AOB∴PD=PE.用符號語言表示為：

角的平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等．AOBPEDC

角的平分線的性質(zhì)的作用是什么？主要是用于判斷和證明兩條線段相等，與以前的方法相比，運用此性質(zhì)不需要先證兩個三角形全等．在此題的已知條件下，你還能得到哪些結(jié)論？

如圖，△ABC中，AD

是∠BAC的平分線，

DE⊥AB，DF⊥AC，BD=DC，垂足分別為E，F(xiàn)．求證：EB=FC．ABCDEF溫馨提示:做完題目后,一定要“悟”到點東西,納入到自己的認知結(jié)構(gòu)中去.

如圖，在△ABC中，∠BCA=90°，AD

是∠BAC的平分線，E是線段AC上一點，DE=DB，若AE=3，EC=2．求AB的長ABCDE探究角的平分線的性質(zhì)

(1)實驗：把剪好的角對折，使角的兩邊疊合在一起，再把紙片展開，折痕和這個角有什么關(guān)系?再把對折后的紙片繼續(xù)折一次，折出一個直角三角形（使第一次