考點(diǎn)26 空間向量在空間幾何中的運(yùn)用（解析版）

考點(diǎn)26空間向量在空間幾何中的運(yùn)用

知識(shí)理解

一.設(shè)直線/,加的方向向量分別為。，b,平面a,4的法向量分別為〃-n2,則有如下結(jié)論:

位置關(guān)系向量表示

ULLSIL<O1

U/lz

直線11,4的方向向量分別

線線位

ULW

置關(guān)系為《，n2

ULLUuUM

山

12nx-Ln2a%?n2=0

1U1K

1//an=〃?m=°

直線]的方向向量為：，平

線面位

置關(guān)系面。的法向量為21OiU

1A.a〃〃機(jī)Q〃=km（A￡R）

1UL1U

aHB〃〃=

面面位平面。，￡的法向量分別為

1UL

置關(guān)系n,m

1111tl

a18n工m。n*m=0

二.點(diǎn)面距

已知A8為平面a的一條斜線段（A在平面a內(nèi)），〃為平面a的法向量，則B到平面a的距離為

d=]\AB\cos<AB,n>|=||AB\竺〃|=理且注：空間中其他距離問題一般都可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距問題.

\AB\\n\\n\

三.異面直線所成角

rr

a冒）ii

設(shè)異面直線a,6所成的角為則cos。=cosO=耶，其中分別是直線a、b的方向向量

四.直線與平面所成角

1為平面。的斜線，a為］的方向向量，”為平面。的法向量，。為I與。所成的角，則

11

rragrirJI"

s〃s=|cos〈a,〃）|=十廣（直線與平面所成角的范圍為|_0,Tj）

五.二面角

IXI*ULUU

平面?的法向量為外,平面p的法向量為〃2，〈/2］，n2>=8,設(shè)二面角大小為9,則

cos0=|cos6|=

IIIn2|

考向分析

考向一空間向量證平行垂直

【例1】（2020?全國高三專題練習(xí)）如圖所示，平面序區(qū)L平面力靦，為正方形，△序〃是直角三角

形，且必=4?=2,E,F,G分別是線段為，PD,5的中點(diǎn).求證：

（1）"7平面EFGx

（2）平面跖6//平面PBC.

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.

【解析】（1）因?yàn)槠矫鏋椤?，平面力及力，且力為正方形，所?反AP,兩兩垂直.

以4為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系4-xyz,則4(0,0,0),8(2,0,0),C(2,2,0),〃(0,2,0),

一(0,0,2),￡(0,0,1),AO,1,1),6(。2,0).

法一：赤=(0,1,0)屈=(1,2,-1)

設(shè)平面加"。的法向量為〃=(x,y,z),

n-EF=0fy=0_

則〈_八，即/c八，令z=l,則"=(1,0,1)為平面￡7若的一個(gè)法向量，

n-EG-0[x+2y-z=0

麗=(2,0,-2)，

二而i=0,所以1"L而,

平面EFG,

JPBH平&EFG.

法二：方=(2,0,-2)，F(xiàn)E=(O,-1,O).W=(l,l,-1).

設(shè)麗=s理+r橋

即(2,0,-2)=s(0,-1,0)+t(l,1,-1),

7=2

所以T-S=0解得s=t-2.

—t=—2

~PB=2FE+2FG＞又戶后與而不共線，所以而，布與時(shí)共面.

冽平面EFG,

.，.必?〃平面EFG.

<2）由（1）知：爐=（0,1,0）,比=（0,2,0），

BC=2EF，所以BC//EF.

乂小平面PBC,B3平面PBC,所以“7/平面PBC,

同理可證GF//PC,從而得出第/平面PBC.

又EFCGF=F,EFu平面EFG,GFu平面EFG,

.?.平面仍少/平面PBC.

【舉一反三】

1.（2020?全國高三專題練習(xí)）如圖所示，在直二面角。-鉆-￡中，四邊形ABC。是邊長為2的正方形,

AE=EB,尸為CE上的點(diǎn)，且平面ACE.

（1）求證：AE_L平面BCE；

（2）求證：平面平面ABC。.

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.

【解析】???48。。為正方形，.，.3。148,

?二面角。為直二面角，,BC_L平面AE3,

以線段AB的中點(diǎn)為原點(diǎn)。，OE所在直線為x軸，

AB所在直線為了軸，過。點(diǎn)平行于AD的直線為z軸,

如圖，建立空間直角坐標(biāo)系。-型,

則4(0,-1,0),3(0,1,0),C(0,l,2),D(0,-l,2),

設(shè)E(Xo,O,O)(』>0),

???F為CE上的點(diǎn)，EC=(-A；),1,2),

...設(shè)前=2沅=(—/Uo，/l,2/l),/((1—田/，42/1),

JBZ7=((1——1,2^,)>AC=(0,2,2)>AE=(毛,1,0),

；8尸，平面ACE,...而./=2(九一1)+4/1=0，

—.—.1212

FLBF-AE=(l-2)^+A-l=0.解得題=1,2=-,AE(l,0,0),,

⑴荏=(1,1,0),而=(-1,1,0),.,?荏?礪=0，???AE18E,

?；BC_L平面AEB,J.AE,A￡_L平面BCE；

(2)由題意可知，平面ABC。的法向量為。2=(1,0,0),

___222

設(shè)面的法向量為正=(x,?z)，BF=,而=(0,—2,—2)，

____222

m-BF=-x——j?+—z=0II.m-BD——2y+2z=0,取z=l,則y=l,x=0,

二行=(0,1,1),...肩.詼=0，?'?平面8QFL平面ABCO.

2.(2020?全國高三專題練習(xí))如圖，在多面體中，四邊形44即是正方形，AB=AC,BC=叵

AB,BxC\=—BC,二面角4-心C是直二面角.

2

求證：（1）45_L平面A4C；

（2）胡〃平面4GC

【答案】（1）證明見解析：（2）證明見解析.

【解析】因?yàn)槎娼?-//。是直二面角，

四邊形4488為正方形，

所以441.平面BAC.

又因?yàn)锳B=AC,BC=y/2AB,

所以NC46=90°,

即CALAB,

所以49,AC,兩兩互相垂直.

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,

設(shè)715=2,則4(0,0,0),5(0,2,2),4(0,0,2),以2,0,0),G(l,1,2).

(1)麗=(0,2,0),卒=(0,0,-2),AC=(2,0,0),

設(shè)平面力4c的一個(gè)法向量［=（人y,z）,

無4^二0—2z=0x=0

則《即V即《取y=l,則］=(0,1,0).

n-AC=02x=0z=Q

所以A瓦=2k

即麗//日.

所以48,平面AA.C.

(2)易知福=(0,2,2),祠=(1,1,0),不=(2,0,-2),

設(shè)平面4GC的一個(gè)法向量而=（加，外,zi）,

ZM-AC.=0[x+y.=0

則〈2LJ，即已：八，

m-A^C=0[2^—2zj=0

令汨=1,則y1=—l,zi=l,

即而=（1，—LD.

所以福石=OX1+2X（—1）+2X1=0,

所以福_1五，

又仍Q平面4GG

所以44〃平面4GC

考向二空間向量求線線角

【例2】（2021?西安市航天城第一中學(xué)）在我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都為直角三角形

的四面體稱為鱉腌，如圖，在鱉蠕/靦中，平面時(shí)，且/廬陷切，則異面直線“1與被所成角的余

弦值為（）

【答案】A

【解析】如圖所示,

分別取AB,AD,BC,的中點(diǎn)E,F,G,O,則EF//8O,EGIIAC,FOLOG,

：.NFEG或其補(bǔ)角為異面直線AC與BD所成角.

設(shè)AB=2a.則EG=EF=V2a?FG=\/a2+a2=42a1

ZFEG=60°,

，異面直線AC與8。所成角的余弦值為J,故選：A.

【方法總結(jié)】

方法一：幾何法求線線角

平移線段法是求異面直線所成角的常用方法，其基本思路是通過平移直線，把異面直線的問題化歸為

共面直線問題來解決，具體步驟如下：

①平移：平移異面直線中的一條或兩條，作出異面直線所成的角；

②認(rèn)定：證明作出的角就是所求異面直線所成的角；

③計(jì)算：求該角的值，常利用解三角形；

④取舍：由異面直線所成的角的取值范圍是（0,^,當(dāng)所作的角為鈍角時(shí)，應(yīng)取它的補(bǔ)角作為兩條

異面直線所成的角.

方法二：空間向量

建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，通過計(jì)算向量夾角（直線方向向量與直線方向向量、直線方向向量與平

面法向量，平面法向量與平面法向量）余弦值，即可求出結(jié)果.

【舉一反三】

1.（2021?廣西河池市）如圖，在四棱錐中，PA_L平面ABC。，四邊形A8CO為正方形,

PA=AB,E為AP的中點(diǎn)，則異面直線PC與OE所成的角的正弦值為（）.

p

rV15

5

【答案】I）

8。相交于點(diǎn)0,連0E、BE,

BC

因?yàn)镋為AP的中點(diǎn)，。為AC的中點(diǎn)，有PC/OE,可得N0ED為異面直線PC與DE所成的角，不

妨設(shè)正方形中，AB=2,則PA=2,

由PA_L平面ABC。，可得

則即—"7=石，OD=-BD=-x2y/2=>/2,

因?yàn)?E=OE,。為8。的中點(diǎn)，所以NEOO=90。，sinNOED="=華=幽.故選：D.

DE&5

2.（2021?陜西西安市?西安中學(xué)）如圖，四面體A8CO中，CD=4,AB=2,E,/分別是的

中點(diǎn)，若EF_LAB,則EF與C。所成的角的大小是（）

【答案】A

【解析】如圖所示:

取比的中點(diǎn)G,連接FG,因?yàn)椤?F,G都為中點(diǎn)，所以EG"AB,FG//CD,

所以NFEG,DEFG分別為異面直線砥與｛及頌與切所成的角，

因?yàn)镋FLAB,所以NEEG=90°

又因?yàn)镃O=4,AB=2,所以EG=1,FG=2所以sin/EFG='，

2

ITIT

因?yàn)镹EFGe（0,-）,所以NEFG=-故選：A

26

3.（2021?安徽高三期末）已知棱長為2的正方體ABC。—44GR中，p,E,F,G分別為Cg,CD,

RD,A4的中點(diǎn)，則異面直線GR與PE所成角的余弦值為（）

A.-B.—C.—D.逅

3336

【答案】C

【解析】如圖所示:

取AG中點(diǎn)H,連接HF,則即//PE,即NGFH為異面直線GF與PE所成的角，可得HF=血，

至=走.故選:

GH=2所以GF=J%,從而得到cosaC

V63

考向三空間向量求線面角

【例3】（2020?北海市北海中學(xué)高三月考）在四棱錐--49（力中，為，底面4靦，ADLAB,AB//DC,AD=

DC=AP=2,/6=1,點(diǎn)￡為棱A7的中點(diǎn).

（1）求證：BELDC；

（2）求直線PC與平面/Y火所成角的正弦值.

72

【答案】（1）證明見詳解；（2）

3

【解析】（1）證明：依題意，以點(diǎn)A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系如圖:

可得B（1,0,0）,C（2,2,（））,0（0,2,0）,P（0,（）,2）,E（1,1,1）,

麗=（0』,1）,配=（2,0,0）,故而.反=0,所以BE，。。.

(2)麗=(—1,2,0),而=(1,0,—2),PC=(2,2,-2)

設(shè)7=（x,y,z）為平面FBD的一個(gè)法向量,

n-BD=0f-x+2y=0

一叫不妨令y=l,可得3=(2,1,1).

nPB=()x-2z=0

設(shè)直線小與平面/少6所成角為。

于是有sind=|cos/n,PC\|=，L|._j|=.廠4廠=坐,

1'71\n\\pc\76x2733

所以直線尸C與平面PBD所成角的正弦值為Y2.

3

【方法總結(jié)】

解決線面角相關(guān)問題通常用向量法，具體步驟為：

（1）建坐標(biāo)系，建立坐標(biāo)系的原則是盡可能的使得已知點(diǎn)在坐標(biāo)軸上或在坐標(biāo)平面內(nèi)；

（2）根據(jù)題意寫出點(diǎn)的坐標(biāo)以及向量的坐標(biāo)，注意坐標(biāo)不能出錯(cuò).

（3）利用數(shù)量積驗(yàn)證垂直或求平面的法向量.

（4）利用法向量求距離、線面角或二面角.

【舉一反三】

1.（2020?浙江高三期中）如圖，已知三棱錐P-ABC中，PA_L平面ABC,

AC1BC,PA=AC=BC,DB=2AD,JAE分別為PB、PC的中點(diǎn)，"為AE的中點(diǎn).

（I）求證：MN1CD；

（ID求直線P8和平面PC。所成角的正弦值.

【答案】（I）證明見解析；（H）旦.

3

【解析】（I）證明：如圖，以。為原點(diǎn)，C4,C8所在直線為x軸、y軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

p

z

設(shè)PA=AC=8C=2,則A(2,0,0),B(0,2,0),C(0,0,0),P(2,0,2),

所以“(1,1,1),E(l,0,1),嗚，。["1*：，。)

所以麗=(W①

―?-.1421

因?yàn)镸N-C0=—x——lx----x0=0,

2332

所以MN，CO.

(II)由(I)知麗=(一2,2,—2),而=(2,0,2)，

設(shè)平面PCD的法向量力=(x,y,z),

[42

CDn=0,—x+—y=0,

則《得<33-

CPn=0.

2x+2z=0.

令x=l，則y=-2,z=-l,故平面PC。的?個(gè)法向量為方=(1,-2,—1),

設(shè)直線PB與平面PC。所成的角為。，則

,八\PBn\|-2xl+2x(-2)-2x(-l)|4夜

~\PB\\n\~V4+4+4XV1+4+1-2Gx而-3

所以直線PB和平面PCO所成角的正弦為YZ.

3

2.(2021?浙江紹興市稀興一中高三期末)在三棱錐A中，AB=AD=BD=2，BC=DC=6,

AC=2.

A

D

B

（1）求證：BDLAC；

3

（2）若P為AC上一點(diǎn)，且AP=—AC,求直線BP與平面ACO所成角的正弦值.

4

【答案】（1）證明見解析；（2）WL

7

【解析】（1）取8。中點(diǎn)。，連接AO，0C,因?yàn)?BC=DC,

所以8O1.AO,BD1OC,又因?yàn)锳OnOC=。，所以30,平面AOC,

即BDYAC.

（2）由（1）得，8O_L平面AOC,又因?yàn)锽Ou平面8CO,

所以平面AOC±平面BDC,

易得AO=g，0C=\,所以4。2+。。2=4。2,即AOJ.OC,

又因?yàn)槠矫鍭OCI平面80c=0C,所以4。_￡平面3。。，

如圖所示，以射線OB，OC,0D為x,y,z正半軸建系，

A(0,0,V3),80,0,0),C(0,l,0),￡>(-1,0,0),P

30—,「—.

丁丁，E>A=(l,0,V3).DC=(1,1,0).

萬,DA,—0x+=0

設(shè)萬=（x,y,z）為平面AOC一個(gè)法向量，則有___=＞〈，取方=（一3,3,6），

設(shè)。為直線5尸與平面ACO所成角，則卜由。|=

即直線與平面ACD所成角的正弦值為勺5.

7

3.（2021?浙江紹興市?高三期末）已知三棱柱ABC—A4G中，平面4CG4?平面ABC,

A4,=AC=CA,=BC,AB=^BC.

（I）求證：8C_L平面AC04:

（ID求直線Ag與平面ABC所成角的大小.

【答案】（I）證明見解析；（II）60°.

【解析】（I）如圖所示：

H

證：作A"，AC于”.

因?yàn)锳"u面AAC,面AAC_L面ABC且交于AC.

二4”_L面ABC,

因?yàn)锽Cu面ABC,.?.A”_LBC(1)

在口48。中，由BC=AC,AB=3BC，得到3。2+4。2=4§2

4CB=90。，即4CJ.8C(2),

由(1)(2)得BCL面4AC.

(II)方法1(幾何法)

如圖所示：

取AC的中點(diǎn)G,取A8的中點(diǎn)。，連AG,DG,則AG^AC,

由（I）可知面ABC面A,AC,且面48cn面AAC=A。

所以AG上面ABC，則ZADG為所求線面角.

在匚A4C,設(shè)4。=*=A4,=2。，則4G=V^a，

由。、G分別為AB,A。中點(diǎn)，得OG=；8C=a,

在RtVADG中，tanZADG=—=—=73.

DGa

即直線AB,與平面ABC所成角60°

方法2（坐標(biāo)法）

以AC中點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系:

設(shè)AC=2,A(1,O,O),5(—1,2,0),C(-1,0,0),型0,0,揚(yáng),西=(1,0,回而=(0,2,0).

設(shè)平面A,BC的法向量為=(x,y,z),則

n-CAj=0y=0

由《解得＜

n-CB=0x=-

取萬=(一G,o,l).

藕=麗+麗=(-2,2,0)+(-1,0,6)=(-3,2,我,

cos〈福,弁＞|=迪=走.

記所求線面角為。則sin6=|

112x42

即直線AB｝與平面ABC所成角60°.

考向四空間向量求二面角

【例4】(2021?鹽城市伍佑中學(xué)高三期末)在三棱柱ABC—44G中，CG，平面ABC,AB1AC,

AB^AC^AA,,E是AG的中點(diǎn).

(1)求證：AB八CE：

（2）求二面角8—CE—A的余弦值.

【答案】⑴證明見解析；⑵

【解析】（1）在三棱柱ABC-44G中，CGJ?平面ABC,則AA,，平面ABC,

vABYAC,以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB.AC、A&所在直線分別為X、》、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

如下圖所示：

設(shè)AB=AC=A^=2,則4(0,0,0)、5(2,0,0),C(0,2,0)、E(0,l,2),

通=(2,0,0),CE=(0,-l,2),則就建=2x0+0x(T)+0x2=0,

因此，AB人CE；

(2)設(shè)平面BCE的法向量為記=(4y,zj,CB=(2,-2,0),CE=(O,-l,2),

由<_k-八，取y=2,則％=2,4=1,可得機(jī)=(2,2,1),

m-CE=—y]+2Z1=0

i一一m-n22

易知平面ACE的一個(gè)法向量為〃=(1,0,0),COS<^,H>=g-p[=—

由圖形可知，二面角3—CE—A為銳角,

2

因此，二面角3—CE—A的余弦值為

【方法總結(jié)】

利用空間向量法求解二面角的步驟如下：

（1）建立合適的空間直角坐標(biāo)系，寫出二面角對(duì)應(yīng)的兩個(gè)半平面中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)：

（2）設(shè)出法向量，根據(jù)法向量垂直于平面內(nèi)兩條直線的方向向量，求解出平面的法向量（注：若半

平面為坐標(biāo)平面，直接取法向量即可）；

（3）計(jì)算（2）中兩個(gè)法向量的余弦值，結(jié)合立體圖形中二面角的實(shí)際情況，判斷二面角是銳角還是

鈍角，從而得到二面角的余弦值.

【舉一反三】

1.（2021?湖北高三月考）如圖，在四棱錐P—A6c。中，平面PA。J_平面

ABCD,AB//CD,AB±AD,CD=PD=AD=.

（1）求證：平面P8CJ?平面PAB；

（2）若AP=OC=2,求二面角。—PC—3的正弦值.

【答案】（1）證明見解析；（2）叵

5

【解析】（1）證明：取的中點(diǎn)的中點(diǎn)F,連接。

AB

因?yàn)辄c(diǎn)E是P8中點(diǎn)，點(diǎn)尸是PA中點(diǎn),

所以EE//A8,且曲'=—.

2

AD

乂因?yàn)锳8〃CD,且C￡>=——，

2

所以EFV/CQ,且EE=CO,

所以四邊形EFOC為平行四邊形，

所以CE//OF.

因?yàn)槠矫鍼AD平面ABCD,平面PAD0平面ABCD=AD,AB±AD,ABu平面ABCD,

所以45，平面PAD,又。尸u平面PAD,

所以A81。立

因?yàn)镻D=AD,點(diǎn)F為PA的中點(diǎn)，

所以AP.

因?yàn)镃E//。匠,所以CE_LA5,CE，AP.

又APcAB=A,AP,A8u平面PAB,

所以CE_L平面PAR

又因?yàn)?u平面PBC,

所以平面PBC,平面PAR

(2)作A。,3c的中點(diǎn)分別為O,G,連結(jié)OP,OG,則OG//AB,

因?yàn)锳B±平面PAD,PO,ADu平面PAD,

所以AD,

所以O(shè)GLAD,OGLPO.

因?yàn)锳P=￡>C=2,CO=PO=AD=2,

所以為正三角形，

所以PO上AD,DF=PO=J^,AB=4

所以PO，OG,PO±A￡>,OG±AD,

即OA,OG,OP兩兩垂直,

以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以礪，礪，麗的方向?yàn)閤，％z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系

則用0,0,6),C(—1,2,0),0(—1,0,0),8(1,4,0),

所以而=(一1,0,—g),PC=(-1,2,-V3),BC=(-2,-2,0).

設(shè)平面PDC的一個(gè)法向量為〃=(x,y,z),

n-PD=0,任=0

貝"一一，即〈「

nPC-0,[—x+2y—y/3z-0,

取z=1,則n=(->/3,0,1)；

設(shè)平面PBC的一個(gè)法向量為m=（x;y',z'）,

m-PC=0,[-x'+2y'->/3z'=0

?5C=0,[-2/-2/=

取x'=-l,則肩=(一1,1,6),

m?n2A/3

所以cos（加?〃）=

\fn\\n\2^5~~T

所以sin(m,〃〉=

所以二面角。-PC-3的正弦值為典.

5

2.（2021?山西呂梁市?高三一模）如圖，四棱錐S-ABCO中，AB//CD,BC1CD,側(cè)面SCO為等

邊三角形，AB=6C=4,CD=2,SB=245-

（1）求證：BC1SD；

（2）求二面角8—AS—。的余弦值.

【答案】（1）證明見解析；（2）得.

19

【解析】（1）由已知BC=4,SC=2,SB=2陋得,

SB2=BC2+SC2^所以NBCS=90。，所以BC_LCS,

乂Bc，a),concs=c,所以8c_L平面sc。,

乂SOu平面SCO,所以BCLSO.

（2）以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，取A8中點(diǎn)￡,

詼，覺的方向分別為“軸，軸正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。-型，

則5（4,2,0）,A（4,-2,0）,S（0,l,V3）.

所以方=（4,一2,0）,DS=（0,l,V3）,AB=（0,4,0）,B5=（-4,-1,^）.

平面DAS的法向量為m=（x,y,z）,

m-DA=04x-2y=0

則《一，叫

m-DS=0y+6z-0

即X=l,則y=2,z=-述

3

所以沅

平面84S的法向量為乃=（。力,c）,

n-AB=04b=0

則〈一，即《，得b=0,

n-BS=0-4a-b+\lr3c=0

取。=百，則c=4,所以乃=（6,0,4卜

m-n5

從而cos俯⑻

同|同l+4+|xV16+319

因二面角8—AS—。為銳角，故二面角8—AS—。的余弦值為白.

19

3.（2021?江西贛州市?高三期末）在如圖所示的幾何體中，口48。，△ACE,△BC。均為等邊三角

形，且平面ACEL平面ABC,平面BCO_L平面ABC.

(1)證明：DEIIABx

(2)若A3=4,求二面角8—CE—。的余弦值.

3

【答案】(1)證明見解析；(2)y.

【解析】(1)

證明：如圖示:分別取AC,的中點(diǎn)尸，G,連結(jié)EF,DG,FG

因?yàn)椤鰽CE,△8CO均為全等的等邊三角形,

故EF_LAC,DG1BC且EF=DG

又因?yàn)槠矫鍭CE，平面ABC且交于AC,

平面BCD±平面ABC且交于BC,

故E尸_L面ABC,OG_L面ABC

從而有EF//DG,又EF=DG,

進(jìn)而得四邊形OEFG為平行四邊形，得：DEI/FG,又FG/IAB

即：DE//AB

(2)連結(jié)尸8,由［lABC為等邊三角形，故結(jié)合E尸_1面48。，故分別以雨，而，F(xiàn)E

為X軸，y軸，z軸的正方向建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系

又48=4,所以A3=AC=3C=C￡=AE=8Q=Cr>=4,DE=2,

則C（—2,0,0）,B（0,273,0）,E（0,0,2>/3）,G（—1,6,0）,

所以麗=（2,2百,0）,在=（2,0,26）,而=而=（一1,百,0）

令平面BCE的一個(gè)法向量為〃=（x,y,z）,

n-CB=2x+2s/3y=0

所以《一l取》=6,y=-lz=-1,

n-CE=2x+2sJ3z=0

所以平面ACD的一個(gè)法向量為〃=（G,—1,-1）

同理可求平面CDE的一個(gè)法向量為1=（后,1,—1）

令二面角8—CE—O為。，山題意M知e為銳角,

聞_gxG+（-l）x]+（_l）x（-l）_3

則COS0=COS

|n|,|^|J3+1+1xJ3+1+15

3

所以二面角8—CE—。的余弦值為彳

考向五空間向量求空間距

【例5】（2020?上海浦東新區(qū)?華師大二附中高三月考）如圖，在四棱錐尸—A8CO中，底面A5C7）為矩

形，側(cè)棱PO_L平面ABC。，E為尸。的中點(diǎn)，AD=3,PD=4,PC=5.

E

//、、、\\/

、\\/

/I//、、\\/

//、、、\\/

AL____'V

B

（1）證明：直線PA//平面BOE；

（2）求點(diǎn)A到平面P8C的距離.

【答案】（1）證明見解析；（2）y.

【解析】（1）連接AC交3。于。，連接E。，因?yàn)榈酌鍭BCD為矩形，所以。為AC中點(diǎn),

因?yàn)镋為尸。中點(diǎn)，在△PAC中，。,后分別為兩邊中點(diǎn)，所以O(shè)E//AP.

又因?yàn)镺Eu平面8QE，所以直線PA//平面5DE,

（2）建立如圖所示空間坐標(biāo)系，8=存*=3，P（0,0,4）,A（3,0,0）,B（3,3,0）,C（0,3,0）,

所以麗=(3,3,-4)，PC=(0,3,-4)>麗=(—3,(),4),

設(shè)”=(x,y,z)為平面PBC的法向量，PBn—0,PCn-0,

3元+3y-4z=0

所以《令y=4,其中一個(gè)法向量7=(0,4,3),

3y-4z=0

設(shè)點(diǎn)A到平面PBC的距離為d,

所以公\n-盾AP\1212

【方法總結(jié)】

利用向量方法求解平面外一點(diǎn)A到平面a的距離的步驟:

(1)建立合適空間直角坐標(biāo)系，在平面a內(nèi)取一點(diǎn)8；

(2)求解出而和平面a的法向量［；

心理

(3)根據(jù)W即可求解出點(diǎn)A到平面a的距離.

【舉一反三】

1.(2021?吉林長春外國語學(xué)校)如圖，平行四邊形ABC。中，AD=2AB=6,E,尸分別為AO,5c的

中點(diǎn).以EF為折痕把四邊形EFCD折起，使點(diǎn)C到達(dá)點(diǎn)M的位置，點(diǎn)D到達(dá)點(diǎn)N的位置，且NF=NA.

M

（1）求證：平面AFN_L平面NEB；

（2）若BE=2。求點(diǎn)尸到平面的距離.

【答案】（1）證明見解析；（2）6

【解析】（1）證明：idAFC\BE=O,連接,慟，

可知四邊形/切/若是菱形，所以AEL3E,且。為小龍的中點(diǎn),

乂NF=NA，所以AFJ.N。，

又因?yàn)镹OnBE=O,NO,BEu平面八班，

所以AFJ.平面M氏

4尸u平面ARV,

平面A尸N,平面NEB.

（2）因?yàn)锽E=2上，所以EO=也,

；四邊形DEBF是平行四邊形，,NF=DF=BE=26,

所以FO7EF2-E。=屈'

所以NO=NNF-F（f=76，

所以NO?+EO?=9=NE?，所以NOJ.BE,

又由（1）可知：NOVAF,且=AF,BEu平面4BFE,

所以NO,平面,仍/■萬，以直線位為x軸，直線以為y軸，直線〃平為z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

則A（0,跖0）,B（-6,0,0）,E（瓜0,0）,F（0,-V6,0）,N（0,0,伺,

???兩=蘇+雨=麗+麗=儀，0,甸+卜鳳跖0）=卜后一跖回

所以皿-6-后佝，所以的=僅,-跖網(wǎng)，BE=（273,0,0）,FB=（-73,76,0）

設(shè)5=（x,y,z）是平面BEM的法向量，則

n-BM=00-V6y+瓜z=0fx=0

一=><廣'，取y=l得反=（0,1,1）,

n-BE=Q[2V3x=0〔尸z

則點(diǎn)F到平面BEM的距離d==半=0.

同V2

7T

2.（2020?全國高三專題練習(xí)）如圖，在直三棱柱ABC-A4G中，NA8C=5，。是棱AC的中點(diǎn),

且AB=BC=B4=1.

（1）求證：做〃平面8CQ；

（2）求直線Ag到平面BQ。的距離.

【答案】（1）證明見解析；（2）旦.

3

【解析】（1）證明：以8為原點(diǎn)，以BC,BA,所在的直線分別為x,J,z軸,

如圖建立空間宜角坐標(biāo)系，B(0,0,0),C,(1,0,1),￡)(1,1,0),A(0,1,0),B,(0,0,1),

—.—.11----

BCt=(1.0,l),BD=(-,-,0),AB,=(0,-1,1).

設(shè)平面BCQ的法向量為元=(x,y,z),

x+z-0

z=-x

1Ic，

—x+—y=0

122，,y=-x

令x=l,IlJH=(l,-l,-l),

A^[7i=0xl+(-l)x(-l)+lx(-l)=0,

所以福，萬，

因?yàn)?旦＜t平面BCtD,所以AB{//平面BCQ.

(2)解：因?yàn)锳B//平面8G。，所以直線上任一點(diǎn)到平面的距離都相等，麗=(0』,0),

\BALn\_15/3

設(shè)直線AB1到平面BCQ的距離為d,則d=閉一國一H

所以直線AB到平面BCQ的距離為旦

｝V

強(qiáng)化練習(xí)

1.(2021?北京高三期末)如圖，在四棱錐P—ABC。中，/胡。=90°，AD//BC,PAA.AD,PALAB,

PA=AB=BC=-AD=2.

2

(I)求證：BC//平面PAO；

(II)求平面PAB與平面PCD所成銳二面角的余弦值.

【答案】(I)證明見解析；(n)逅.

6

【解析】(I)證明：

解法1.因?yàn)?C//4O平面PAOAOu平面所以BC//平面PAO

解法2.因?yàn)镻A_LA￡),PALAB,ADAB,

所以以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，4B,A2AP所在直線分別為x軸、y軸、Z軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)一型，

則40,0,0),8(2,0,0),￡>(0,4,0),P(0,0,2),C(2,2,0),

平面PA。的法向量為7=(1,0,0),阮=(0,2,0)，

因?yàn)?.BC=Oxl+2xO+OxO=O，BC<z平面PAD，所以BC//平面PA。；

(H)解：因?yàn)镻AVABADLAB,

所以以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，ARAD,AP所在直線分別為x軸、，軸、z軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)一肛z,

則4(0,0,0)4(2,0,0),。(0,4,0),P(0,0,2),C(2,2,0)

所以平面PA3的法向量為3=(0,1,0)

設(shè)平面PC。的法向量為而=(x,y,z)定=(2,2,—2)，而=(0,4,—2)

\mLPCfm-PC=0[2x+2y-2z=0x=y_

所以4__=>\=><=>c，令〉=1得利=(1,1,2),

m±PD'PD=0[4y-2z=0z=2y

-------n-m1V6斥

cos<n,m>=^pi=j—設(shè)平面PAB與平面PCO所成角為夕。為銳角，所以cos?=貴.

2.(2021?安徽淮北市?高三一模)如圖，在多面體A3CO"G中，四邊形A3C。是邊長為3的正方形，

EG//AD,DC//FG,且EG=AO,DC=3FG,0G_1面48。￡),DG=2,N為EG中點(diǎn)、.

(1)若M是CF中點(diǎn)，求證：MN"面CDE；

(2)求二面角N—BC—F的正弦值.

【答案】(1)證明見解析；(2)也5

26

【解析】(1)?.?。6，面48。。，四邊形A8CD是邊長為3的正方形，

以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA^DC,0G所在直線分別為X、)'、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖所示:

(3

則5(3,3,0)、C(0,3,0),0(0,0,0)、E(3,0,2)、E(0,l,2)、N-,0,2、M(0,2,1),

7

|，-2,)

反=(0,3,0),海=(3,0,2),MN=

a-DC=3y=0

設(shè)平面COE的法向量為￡=(x,y,z),由

aDE=3x+2z=0

令x=2,可得y=0,z=-3,則〃=(2,0,—3),

—--3

=—x2—2x0—1x3=0:.MN

2

MN(Z平面CDE,：.MN//平面CDE；

(2)設(shè)平面BCN的法向量為而=(%,y,zj,國=(3,0,0),函=(|,—3,2：

m-CB=3%=0

由《一3，

m?CN=5%一3y+24=0

令y=2,則M=0,4=3,可得機(jī)=(0,2,3),

設(shè)平面BC下的法向量為元=(X2，%，Z2)，CF=(O,-2,2),

nCB=3X=0八],i/、

由一一2,取為=1，則％2=0，Z2=l,可得〃二(0」,1),

nCF=-2y2+2z2=0

-m-n55>/26)--------------

c°s<j"=麗=而亞=在''sin<?>=71-cos2<m,H>=—

因此，二面角N—BC—E的正弦值為叵.

26

3.（2020?赤峰二中高三三模）如圖所示，在平行四邊形力以笫中，AB=4,BC=272>NABC=45°,

點(diǎn)￡是位邊的中點(diǎn)，將△ZME沿施折起，使點(diǎn)〃到達(dá)點(diǎn)戶的位置，且PB=2瓜

（1）求證；平面P4E_L平面/腔1；

（2）求點(diǎn)￡到平面為6的距離.

【答案】（1）見解析；（2）0

【解析】（1）；在平行四邊形力比〃中，AB=4,BC=2O,ZA5C=45°,

點(diǎn)f是切邊的中點(diǎn)，將△D4E沿花折起，

使點(diǎn)〃到達(dá)點(diǎn)夕的位