高數(shù)下冊(同濟(jì))期末復(fù)習(xí)試題

高等數(shù)學(xué)(下冊)考試試卷(一)

一、填空題(每小題3分，共計(jì)24分)

22

1、z=71ogfl(x+y)(a>0)的定義域?yàn)镈=。

2、二重積分/jln(x2+y2)dxdy的符號為。

l.vl+lyl￡l

3、由曲線y=Inx及直線x+y=e+1,y=1所圍圖形的面積用二重積分表示為,其值為

[x=(pit)

4、設(shè)曲線L的參數(shù)方程表示為《94%?￡),則弧長元素/=_________。

[y=Mt)

5、設(shè)曲面￡為％2+儼=9介于z=0及z=3間的部分的外側(cè)，則JJ(x2+y2+1)/=

z

6、微分方程生=工+tan上的通解為______________o

dxxx

7、方程y(4)_4y=0的通解為O

81

8、級數(shù)￡---的和為_________________?

士〃(〃+1)

二、選擇題(每小題2分，共計(jì)16分)

1、二元函數(shù)z=/*,y)在a0，%)處可微的充分條件是()

(A)/(x,y)在(%,以))處連續(xù);

(B)f'(x,y),f'y(x,y)在(x0,y0)的某鄰域內(nèi)存在；

(C)Az—1'(Xo，yo)Ax—/；(/，為心，當(dāng)JO)?+(固)2-0時(shí),是無窮小；

(D)lim--------.=^=-------=0o

:::"+(△?

2、設(shè)〃=才(±)+獷(2),其中/具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則x駕+y也等于()

yxdxdy

(A)x+y；(B)x；(C)y；(D)0。

3、設(shè)Q：爐+>2+產(chǎn)<1“20,則三重積分/=jj.dv等于()

(A)4r3sin^9coscpdr；

CK1

(B).49J。d(p^r2sin(pclr；

(C)￡\10d(p^r3sin(pcos(pdr；

(D)『46jjsin0cos爾廠。

4、球面/+)/+[2=4/與柱面％2+/=2QX所圍成的立體體積V=()

/?—廣2a8s夕/7晨

(A)4C旬d4a2-產(chǎn)dr；

JoJo

r-r2acose/z-

(B)d0\r>J4a~-r~dr；

JoJo

7[八

f—『2。cos"/7晨

(C)8f2frd4a2-rdr；

JoJo

pp2acos。/Z~

(D)J'deJr\4a~-r~drQ

"I"

5、設(shè)有界閉區(qū)域D由分段光滑曲線L所圍成，L取正向，函數(shù)尸(x,y),Q(x,y)在D上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則

jPdx+Qdy=()

(A)11嗜一等)dxdy；(B)口仔一%dxdy；

dyoxydyox

<c)"嚀―M)dxdy；(D)張祟_當(dāng)dxdy。

書oxdy為Joxdy

6、下列說法中錯(cuò)誤的是()

(A)方程盯"+2y"+x2y=o是三階微分方程；

(B)方程y包+工包=>《11%是一階微分方程；

dxdx

(C)方程，+2盯3)dx+(y2+3x2y2)dy=0是全微分方程：

(D)方程立+jx=@是伯努利方程。

dx2x

7、已知曲線y=y(x)經(jīng)過原點(diǎn)，且在原點(diǎn)處的切線與直線2x+y+6=0平行，而y(x)滿足微分方程

y"-2y'+5y=0,則曲線的方程為丁=()

(A)-exsin2A-；(B)ex(sin2x-cos2x)；

vx

(C)e(cos2x-sin2x)；(D)esin2xo

8、設(shè)lim〃〃,？=O,則=4〃（）

“T8

n=\

（A）收斂；（B）發(fā)散；（C）不一定；（D）絕對收斂。

三、求解下列問題（共計(jì)15分）

1>（7分）設(shè)均為連續(xù)可微函數(shù)。u=/（x,孫），u=g（x+孫），

dudu

<K~~~,~~~o

dxdy

2、（8分）設(shè)〃（x/）=「+'/（z）dz,求絲，”。

JiQxdt

四、求解下列問題（共計(jì)15分）。

「2r22

1>計(jì)算/=，dy。（7分）

2、計(jì)算/=0]（，+）,2）dv,其中。是由、2+y2=2z,z=l及z=2所圍成的空間閉區(qū)域（8分）。

C

五、（13分）計(jì)算/=（fX*一呼其中心是xoy面上的任一條無重點(diǎn)且分段光滑不經(jīng)過原點(diǎn)。（0,0）的封閉曲

x+y

線的逆時(shí)針方向。

六、（9分）設(shè)對任意x,y,/（x）滿足方程/（%+?）=白士/”2,且/（0）存在，求/（x）。

七、（8分）求級數(shù)￡（-1）"/三一的收斂區(qū)間。

占2〃+1

高等數(shù)學(xué)（下冊）考試試卷（二）

一、填空題（每小題3分，共計(jì)24分）

1、設(shè)2sin（x+2y—3z）=x+2y-3z，Wd—+—=____。

dxdy

3-'9+盯

2、hm----------=o

y->0

f2clx、

3、設(shè)/=f（x,y）dy,交換積分次序后，/=__________。

JOJx

4、設(shè)/（“）為可微函數(shù)，且/（0）=0,則lim—!k[[f（ylx2+y2）d（y^_______

—入出2

5、設(shè)乙為取正向的圓周+y2=4,則曲線積分

cfy（yex+l）dx+（2ye*-x）dy=。

6、設(shè)A=(x?+yz)i+()J+xz)/+(z2+盯)々，則divA=

2

7、通解為y=qe，+c2e~'的微分方程是。

8、設(shè)/(x)=《，則它的Fourier展開式中的a〃=_______

1,0<X<7T

二、選擇題(每小題2分，共計(jì)16分)。

,J+y2Ho

1、設(shè)函數(shù)/(X,y)=?x2+y4，則在點(diǎn)(0,0)處()

0,x2+y2=0

(A)連續(xù)且偏導(dǎo)數(shù)存在；(B)連續(xù)但偏導(dǎo)數(shù)不存在；

(C)不連續(xù)但偏導(dǎo)數(shù)存在；(D)不連續(xù)且偏導(dǎo)數(shù)不存在。

2、設(shè)“(x,y)在平面有界區(qū)域D上具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且滿足

d2ud2ud2u

——*0及--+—7=0,

dxdydx~dy~

貝U()

(A)最大值點(diǎn)和最小值點(diǎn)必定都在D的內(nèi)部；

(B)最大值點(diǎn)和最小值點(diǎn)必定都在D的邊界上；

(C)最大值點(diǎn)在D的內(nèi)部，最小值點(diǎn)在D的邊界上；

(D)最小值點(diǎn)在D的內(nèi)部，最大值點(diǎn)在D的邊界上。

3、設(shè)平面區(qū)域D：(x-2)2+(y—l)241,若人=JJ(x+y)2db,l2=jj(x+y)\/<T

DD

則有()

(A)/|<，2；(B)/,=/2；(C)/,>/2;(D)不能比較。

4、設(shè)。是由曲面z==1及z=0所圍成的空間區(qū)域，貝U“Jx/z3dxdydz=()

n

(C)1

(A)—(B)—心(D)

361362364°

X=(pit)

5、設(shè)f(x,y)在曲線弧L上有定義且連續(xù)，2的參數(shù)方程為<(a<t<p),其中。"),〃”)在[a,￡]

[y=以“

上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且9'2?)+〃，2。)H0,則曲線積分()

(A)J：/?。),〃⑺)力；(B)J；/?。),/(f))J。"(f)+〃“⑴力；

(C)，〃C))(f)+w'2")dt；(D)力。

6、設(shè)Z是取外側(cè)的單位球面/+V+z2=i,則曲面積分

^xdydz+ydzdx+zdxdy=()

(A)0；(B)2?；(C)萬；(D)4萬o

7、下列方程中，設(shè)口，力是它的解，可以推知H+%也是它的解的方程是()

(A)y'+p(x)y+q(x)=0；(B)y"+p(x)y'+q(x)y=0；

(C)y"+p(x)y'+q(x)y=/(x)；(D)y"+p(x)y'+q(x)=0。

8、設(shè)級數(shù)f%為一交錯(cuò)級數(shù)，則()

W=1

(A)該級數(shù)必收斂；(B)該級數(shù)必發(fā)散；

(C)該級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散；(D)若%-0(〃—0),則必收斂。

三、求解下列問題(共計(jì)15分)

1、(8分)求函數(shù)〃=ln(x+Jy?+72)在點(diǎn)A(0,1,0)沿A指向點(diǎn)B(3,-2,2)

的方向的方向?qū)?shù)。

2、(7分)求函數(shù)/(x,y)=x，(4-x-y)在由直線x+y=6,y=0,x=0所圍成的閉區(qū)域D上的最大值和

最小值。

四、求解下列問題(共計(jì)15分)

1>(7分)計(jì)算/=------...-,其中。是由x=0,y=0,z=0及x+y+z=1所圍成的立體域。

2、(8分)設(shè)/(x)為連續(xù)函數(shù)，定義/(f)=0卜2+/(/+/)]小，

C

其中Q={(x,y,z)10<z<h,x2+y2<t2],求警。

五、求解下列問題(15分)

1、(8分)求/=Jje*siny-機(jī)y)dx+(e*cosy-，〃)dy,其中L是從A(a,0)經(jīng)y=yax-x。到O(0,

0)的弧。

2、(7分)計(jì)算/=JJ/dydz+yZdzdx+z2dxdy，其中E是/+)/=z?(0Wz?的外側(cè)。

z

六、(15分)設(shè)函數(shù)夕。)具有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，并使曲線積分

Jj3”(x)-2夕(x)+xe2x]ydx+(p'(x)dy與路徑無關(guān)，求函數(shù)0(x)。

高等數(shù)學(xué)(下冊)考試試卷(三)

一、填空題(每小題3分，共計(jì)24分)

1、設(shè)“=fe'dt,則包=______。

ixzdz

2、函數(shù)/0,>)=孫+5]!10+2)0在點(diǎn)(0,0)處沿/=(1,2)的方向?qū)?shù)

引?0)=------°

3、設(shè)0為曲面Z=1—，一y2,z=o所圍成的立體，如果將三重積分/=y,z)dv化為先對Z再對y最

Q

后對X三次積分，則1=。

4、設(shè)/(x,y)為連續(xù)函數(shù)，則/=,其中。：/+y24f?。

5、^(x2+y2)ds=,其中L：/+y2=。

6、設(shè)O是一空間有界區(qū)域，其邊界曲面5Q是由有限塊分片光滑的曲面所組成，如果函數(shù)P(x,y,z),

Q(x,y,z),R(x,y,z)在Q上具有??階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則三重積分與第二型曲面積分之間有關(guān)系

式：，該關(guān)系式稱為公式。

7、微分方程y"—6y'+9y=——6x+9的特解可設(shè)為y*=。

8、若級數(shù)之想上發(fā)散，則p。

“=1

二、選擇題(每小題2分，共計(jì)16分)

1、設(shè)f；(a,b)存在，則lim，ga,b)-j(a-x,b)=()

X

(A)/；(?,/?)；(B)0；(C)2/；(?,/?)；(D)

2、設(shè)z=了,結(jié)論正確的是()

a2d2zd2zd2z

(A)7----->0；(B)----------=0n；

dxdydydxdxdydydx

d27d2zd2zd2z

(C)-----<0；(D)----------。0n。

dxdydydxdxdydydx

3、若/(x,y)為關(guān)于x的奇函數(shù)，積分域D關(guān)于y軸對稱，對稱部分記為R,。？，/(x,y)在D上連續(xù)，則

JJ7(x，y)db=()

D

(A)0；(B)2JJ/(x,y)db；(C)4JJ/(x,y)dcr；(D)2y)dcr。

DiD1D2

4、設(shè)。：x2+y2+z2</?2,則Jj1/+y2)dxdydz=()

c

QAQ]A

(A)-兀RS；(B)—成5；(C)—成5；(D)—兀RM

331515

5、設(shè)在xoy面內(nèi)有一分布著質(zhì)量的曲線L,在點(diǎn)(x,y)處的線密度為P(x,y),則曲線弧心的重心的x坐標(biāo)x為

()

(A)x=——xp(x,y)ds；(B)x=——xp(x,y)dx；

M九M兒

(C)x=[xp(x,y)ds；(D)x=—[xds,其中M為曲線弧心的質(zhì)量。

JLMJL

6、設(shè)X為柱面/+y2=l和x=0,y=o,z=l在第一卦限所圍成部分的外側(cè)，則曲面積分

2

耳y2zclxdy+xzdydz+xydxdz=()

s

乃57r7i

(A)0；(B)---；(C)—；(D)一o

4244

7、方程y"-2y'=f(x)的特解可設(shè)為()

(A)A,若/(x)=l；(B)Ae',若/(x)=e'；

(C)Ax4+Bx}+Cx2+Dx+E,/(x)-x2-2x；

(D)x(Asin5x+5cos5x),若/(x)=sin5x。

—1,一萬Wx<0

8、設(shè)/(x)=<，則它的Fourier展開式中的a“等于()

10<x<^-

214

(A)—[1-(-1)"]；(B)0；(C)_L；(D)——。

n兀nnn兀

三、(12分)設(shè)？=f為由方程尸(x,yj)=0確定的的函數(shù)，其中/，/具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，

求%。

四、(8分)在橢圓1+4/=4上求一點(diǎn)，使其到直線2工+3、-6=0的距離最短。

五、(8分)求圓柱面/+y2=2y被錐面1=尸寸和平面z=0割下部分的面積A。

222

六、(12分)計(jì)算/=jjxyzdxdy,其中￡為球面x+y+Z的x20,yN0部分

的外側(cè)。

七、(10分)設(shè)“(COSX)=]+.2-求/(X)。

d(cosx)

八、(10分)將函數(shù)/(x)=ln(l+x+x2+x3)展開成X的基級數(shù)。

高等數(shù)學(xué)(下冊)考試試卷(四)

一、填空題(每小題3分，共計(jì)24分)

1、由方程xyz+y1x2+y2+Z1=6所確定的隱函數(shù)z-z(x,y)在點(diǎn)(1,0,-1)處的全微分

dz=。

2、橢球面/+2)，2+322=6在點(diǎn)(1,1,1)處的切平面方程是o

3、設(shè)D是由曲線y=x2,y=x+2所圍成，則二重積分/=口(1+/)公6=。

D

4、設(shè)。是由/+y2=4,z=0,z=4所圍成的立體域，則三重積分

I=JJJ(X2+y2)dv=。

Q

5、設(shè)E是曲面Z=J-+y2介于z=o,z=1之間的部分,則曲面積分

I=jj(x2+y2)ds=。

z

6、ds—o

ix2+y2+z2=a2

[x+y+z=0

7、已知曲線y=y(x)上點(diǎn)M(0,4)處的切線垂直于直線x—2)，+5=0,且y(x)滿足微分方程y"+2y'+y=0,

則此曲線的方程是o

8、設(shè)/(x)是周期T=27的函數(shù)，則/")的Fourier系數(shù)為。

二、選擇題(每小題2分，共計(jì)16分)

1、函數(shù)z=arcsin)+J石的定義域是()

x

(A){(x,y)l|x|<|y|,x^o}；<B){(x,y)I|x|>|y|,x*o)；

(C){(x,y)I|x|>y>0,xho}U{(x,y)Ix<y<0,x豐0}；

(D){(x,y)Ix>0,y>0}U{(x,y)Ix<0,y<0}。

2、已知曲面z=4-/一在點(diǎn)p處的切平面平行于平面2x+2y+z-1=0，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是()

(A)(1,-1,2)；(B)(-1,1,2)；(C)(1,1,2)；(D)(-1,-1,2)。

3、若積分域D是由曲線y=/及y=2-1所圍成，則07(x,y)db=()

D

X

(A)￡dx^2f(x,y)dy；(B)J：dx]、J(x,y)dy；

(C)￡d)C/(x,y)dx；(D)J：*dy[J(x,y)dx。

2222

4、設(shè)+>2+z2</?2,zNO；Q2:X+y+z</?,x>0,y>0,z>0,則有()

(A)JJb八=4JJ卜du；(B)=4；

Q|Q,QjQ2

(C)JJN"=4JJ卜”du;(D)肝小=4肝小。

5、設(shè)E為由曲面Z=舊了/及平面Z=1所圍成的立體的表面，則曲面積分”(Y+y2Ms=()

(A)上口;

(B)I；V2

(C)——71；(D)0o

22

6、設(shè)X是球面/+y2+z2=/表面外側(cè)，則曲面積分

jjldydz+y^dzdx+z3dxdy=()

z

1212412

(A)7CCl;(B)71(C)—71o'；(D)----71a，°

5555

xInx

7、一曲線過點(diǎn)(e,l),且在此曲線上任一點(diǎn)〃(x,y)的法線斜率a=——-——,則此曲線方程為()

x+ylnx

XX

(A)y=—4-xln(lnx)；(B)y=—+xlnx；

ee

x

(C)y=ex+x\n(\nx)；(D)y=—+In(lnx)□

e

8、幕級數(shù)￡(〃+l)x"的收斂區(qū)間為()

n=l

(A)(-1,1)；(B)(-oo,+oo)；(C)(-1,1)；(D)[-1,1],

三、（10分）已知函數(shù)〃=W（二）+xg（））,其中￡g具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，求

）'X

d2ud2u_

定+＞麗的直

四、（10分）證明：曲面盯Z=c\c>0）上任意點(diǎn)處的切平面與三坐標(biāo)面所圍成立體的體積為一定值。

五、（14分）求拋物面z=4+/+V的切平面乃，使得乃與該拋物面間并介于柱面

（x-l）2+y2=1內(nèi)部的部分的體積為最小。

六、(10分)計(jì)算/=j(e*siny+y)dx+(e'cosy-x)dy,其中L為y=-^4-x2由A(2,0)至B

(-2,0)的那一弧段。

2

七、（8分）求解微分方程y"+——y,2=0o

l-y

n

八、（8分）求寒級數(shù)￡8二Y的和函數(shù)S（x）。

高等數(shù)學(xué)（下冊）考試試卷（五）

一、填空題（每小題3分，共計(jì)24分）

1、設(shè)z=/(x,y)是由方程z—y—x+x/7T=0所確定的二元函數(shù)，貝U

dz=o

2、曲線)在點(diǎn)(1,1,1)處的切線方程是_____________o

2x-3y+5z-4=0

3、設(shè)Q是由％2+儼+22<1,則三重積分口卜因小=。

4、設(shè)/(無)為連續(xù)函數(shù)，a,機(jī)是常數(shù)且a>0,將二次積分J：dy￡e"'ST-/(x)dx化為定積分

為O

5、曲線積分fPtZx+Q/y與積分路徑L(AB)無關(guān)的充要條件為____________=

JL(AB)

6、設(shè)￡為z=yja2-x2-y2,則jj(x2+y2+z2)ds=。

￡

7、方程y'+3y=e2"的通解為。

8、設(shè)級數(shù)￡>,,收斂，￡b“發(fā)散，則級數(shù)五(a“+b“)必是。

n=]”=1〃=1

二、選擇題(每小題2分，共計(jì)16分)

U(x,y)w(0,0)

1、設(shè)/(x,y)=?x-+y2,在點(diǎn)(o,0)處，

0,(x,y)=(0,0)

下列結(jié)論()成立。

(A)有極限，且極限不為0；(B)不連續(xù)；

(c)/；(0,0)=/；(0,0)=0；(D)可微。

2、設(shè)函數(shù)z=f(x,y)有空=2,且f(x,0)=l,f'(x,0)=x,則〃x,y)=()

為

22222

(A)[-xy+y；(B)l+xy+V；(C)I-xy+y；(D)1+xy+yo

3、設(shè)D：l<x2+y2<4,/在D上連續(xù)，則+產(chǎn))db在極坐標(biāo)系中等于()

D

(A)2%j；；(B)2萬[力(/"；

(C)27r[^r2f(r)dr-^r2f(r)dr]；(D)2H0/(產(chǎn)C)-￡J(戶)dr]。

4、設(shè)。是由R=0,y=0,z=0及x+2y+z=l所圍成，則三重積分仃,(匕乂z)du=()

?1f—rl-x-2y

J的卜az]xf{x,y,z)dy：

<B)JXfXf；i%'(x，y，z)dz；

r

(。)￡到。dy廠'xf{x,y,z)dz；

(D)fdxf[xf(x,y,z)dz。

*oJoJo

5、設(shè)2是山％=0,y=0,z=0,x=ly=Lz=1所圍立體表面的外側(cè)，則曲面積分

y^xdydz+ydzdx+zdxdy=()

z

(A)0；(B)1；(03；(D)2o

6、以下四結(jié)論正確的是()

(A)JJJ(x2+y2+z2)dv=-7ra5；

222一2

x+y+z"<a'3

(B)+V+乃%=%〃4；

x2+y2+z2=a2

(C)日(x2+y2+z2)dxdy-4-TTa4；

r+r+z24?外側(cè)

(D)以上三結(jié)論均錯(cuò)誤。

7、設(shè)g（x）具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，g（0）=l。并設(shè)曲線積分，yg（x）tanxdx-g{x}dy與積分路徑無關(guān)，則

J，o：)yg㈤tanxdx-g(x)dy=(

)

V2V2（c）&(D)&

(A)---n；(B)--——7i；

2288

8、級數(shù)￡（一1產(chǎn)

的和等于（)

/l=l2"T

（A）2/3；（B）1/3；（C）1;(D)3/2o

三、求解下列問題（共計(jì)15分）

，八八、、，：dududu

1、（8分）設(shè)〃=/，求一,------

dxdydz

2、（7分）設(shè)“=/（二,2）,/具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求力,。

yz

四、求解下列問題（共計(jì)15分）

1、（8分）計(jì)算［=+其中。：》2+/《廢。

2、(7分)計(jì)算/=jjj(x+y+z+l)dv，其中。：/+?2+/4R2。

Q

五、(15分)確定常數(shù)丸，使得在右半平面x〉0匕

，2孫(/+y2ydx-x\x4+y2ydy與積分路徑無關(guān)，并求其一個(gè)原函數(shù)〃(x,y)。

1+X

六、(8分)將函數(shù)/(x)=-----展開為x的基級數(shù)。

(1-x)3

七、(7分)求解方程y"-6y'+9y=0。

高等數(shù)學(xué)(下冊)考試試卷(六)

一、填空題(每小題3分，共計(jì)24分)

1、設(shè)/(x+y,))=/—/，貝U/(x,y)=o

X

2、設(shè)/(x,y,z)=/+2/+3z?+盯+3x-2y-6z，則gr?；?1,1,1)=。

3、設(shè)/=f'jxP'/U,y)dy,交換積分次序后，則1=________________。

JoJex

4、設(shè)Q:0K尤4。;0<y<力;0<z<c,則三重積分^xyzdv=。

Q

5、設(shè)曲面￡的方程為z=z(x,y),(%y)￡。，則E的面積元素為ds=。

222…

6、設(shè)Z為彳+%+芻■=1,內(nèi)側(cè)，貝ij積分到xdydz+ydzdx+zdxdy=

7、設(shè)%，為，為是y"+p(x)V+q(x)y=/(x)的三個(gè)不同的解，且上匚&?不是常數(shù)，則該方程的通解為

乃-為

y=?

8、函數(shù)y=—^關(guān)于x的幕級數(shù)展開式為。

二、選擇題(每小題2分，共計(jì)16分)

1、設(shè)函數(shù)/(x,y)滿足方程裝=注及條件/(x,2x)=x,/；(x,2x)=x2

dxdy

則/二(x,2x)=()

2、二元函數(shù)/(x,y)在點(diǎn)*0，為)處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)《(Xo，%),存在是/(x,y)在該點(diǎn)連續(xù)

的()

(A)充分條件非必要條件；(B)必要條件非充分條件；

(C)充分必要條件；(D)既非充分條件又非必要條件。

3、由/+/=R2及/+z2=R2所圍成的立體的表面積$=（)

r?,fV?2-x2RfRfV/?2-x2R

(A)16dx.dy；(B)8dxi.dy；

JoJ。JoJo

「VCTR7'盧--R

(D)4jfR"x

(C)idy

山XLOJR2“

4、設(shè)區(qū)域D={(x,y)IW+|y|<1),D是D在第一象限部分。/（x,y）在D上連續(xù)，等式

JJ/（x,yMcr=4jj/（x,y）dcr成立的充分條件是（）

D4

(A)f(-x,-y)=f(.x,y)；(B)f(-x,-y)=-f(x,y)；

(C)f(-x,y)=f(-x,-y)=f(x,y)；

(D)f(-x,y)=f(x,-y)=-f(x,y).

5、設(shè)上是圓周/+V=-2x的正向，則曲線積分j（x3—y）dx+（x—＞3）辦,

=()

3

(A)—2TT；(B)0；(C)—71；(D)2萬o

2

6、設(shè)，為錐面2=尸"被柱面x2+y2=2x所截下的部分，則積分

1=-y4+y2z2-x2z2+l)ds=()

￡

(A)71；(B)—乃；(C)4171；(D)-叵兀o

7、方程了'=苫的經(jīng)過點(diǎn)(0,1)且在此點(diǎn)與直線y=；x+l相切的積分曲線為()

11

(A)y=—X3+X+1;(B)y=—x'3+;

1312

(C)y=—x+—x+1；(D)y=cx+cx。

62t2

8、若一收斂（?！?）,則。的范圍為（)

aln（〃+1）

(A)(0,1)；(B)(1,2);(C)(l,+oo)；(D)(0,+8)。

x-Clv—/?

三、（10分）設(shè)可微，試證曲面產(chǎn)（——-）=0上任一點(diǎn)處的切平面都經(jīng)過某個(gè)定點(diǎn)（其中a/,c

Z-CZ-C

均為常數(shù)）。

四、（1。分）求，（乂＞）=（%-1）2+（＞一2）2+1在區(qū)域。=｛（元）011+?242。｝上的最大值和最小值。

五、(8分)計(jì)算/="sinmdb,其中D是由曲線y=?,直線y=x和y=2圍成。

D2y

六、(12分)計(jì)算/=產(chǎn)收土必”生，蟲,其中工是」+與+馬=i的外側(cè)。

P+/+/)%/b2C2

七、(10分)將/(x)=「四吧土dx展開為x的幕級數(shù)。

八、(10分)求解方程xdy+2y(lny-lnx)dx=O。

高等數(shù)學(xué)(下冊)考試試卷(七)

一、填空題(每小題3分，共計(jì)24分)

1>u=ln(x2+y2+z?)在M(1,T,2)處的梯度為8人。力，|時(shí)=。

2、設(shè)z=—『(孫)+yp(x+y)J、夕具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，貝|」…土=o

xoxoy

.22

3、設(shè)D:廠+y?<R~，則ff(--+^-r-)d(y—___________。

**ab

22

4、設(shè)乙,+(-=1,其周長為小則曲線積分，J2孫+3，+4y2)A=0

5、設(shè)/(幻是周期T=2的函數(shù)，它在(一1,1)上定義為

2,-1<x<0

/(%)=\,則/(x)的Fourier級數(shù)在%=1處收斂于___________。

x3,0cx<1

0000

6、設(shè)箱級數(shù)2%x"的收斂半徑為3,則惠級數(shù)Z〃%的收斂區(qū)間為

n=0n=\

______________________o

7、方程y'+ytanx-cosx的通解為。

8、方程y"—4y=0的通解為。

二、選擇題(每小題2分，共計(jì)16分)

1、設(shè)函數(shù)/(x,y)在點(diǎn)(0,0)附近有定義，且f；(0,0)=3,f；(0,0)=l,則

()成立。

(A)“o,o)=3dx+dy；

(B)曲面Z=/(x,y)在點(diǎn)(0,0,f(0,0))處的法向量為(3,1,1)；

(C)曲線1在點(diǎn)(0,0,f(0,0))處的切向量為(1,0,3)；

y=0

z—f(xv)

(D)曲線《在點(diǎn)(0,0,f(0,0))處的切向量為(3,0,Do

y=0

x=t

2、曲線，y=—/的所有切線中與平面z+2y+x=4平行的切線()

_.3

(A)只有一條；(B)只有兩條；(C)至少有三條；(D)不存在。

3、設(shè)D是xoy面上以(1,1),(―1,1)和(一1,一1)為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域,Di是D在第一

象限內(nèi)的部分，則二重積分Jj(xy+cosxcosy)dxdy=()

D

(A)2jjcosxsinydxdy；(B)2^xydxdy；

PA

(C)4^xydxdy；(D)0。

4、已知為某個(gè)函數(shù)的全微分,則。=()

(x+y)?

(A)-l；(B)0；(C)1；(D)2。

5、若1)"在x=—1收斂，則此級數(shù)在x=2處()

n=\

(A)條件收斂；(B)絕對收斂；(C)發(fā)散；(D)收斂性不能確定。

o<x<y.

/2,心)=&+

6設(shè)/(%)=,Zancosn7iG(-oo,+oo)

2—21,%<x<l2n=0

其中=2，/(x)cos〃;m/x,(”=0,1,2…)則s(-。)=()

(A)1/2；(B)-1/2；(C)3/4；(D)-3/4。

7、下列函數(shù)組中線性無關(guān)的是()

(A)x,x+l,x-l：(B)0,x,x2,x3；

(C)ex+2,ex~2(D)ex'2,e2~x。

8、已知xy〃+y'=4x的一個(gè)特解為Y,對應(yīng)齊次方程盯"+y'=0有一個(gè)特解為Inx,則原方程的通解為

()