數(shù)學-專項9.4 菱形的性質(zhì)與判定【八大題型】（舉一反三）（蘇科版）（原版）

專題9.4菱形的性質(zhì)與判定【八大題型】【蘇科版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1由菱形的性質(zhì)求線段的長度】 1【題型2由菱形的性質(zhì)求角的度數(shù)】 2【題型3由菱形的性質(zhì)求面積】 3【題型4由菱形的性質(zhì)求點的坐標】 4【題型5菱形判定的條件】 5【題型6證明四邊形是菱形】 6【題型7菱形中多結(jié)論問題】 8【題型8菱形的判定與性質(zhì)綜合】 9【知識點1菱形的定義】有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形．【知識點2菱形的性質(zhì)】①菱形具有平行四邊形的一切性質(zhì)；②菱形的四條邊都相等；③菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角；④菱形是軸對稱圖形，它有2條對稱軸，分別是兩條對角線所在直線．【題型1由菱形的性質(zhì)求線段的長度】【例1】（2022?青縣二模）如圖，在菱形ABCD中，AB＝BD＝10，點F為AD的中點，F(xiàn)E⊥BD于E，則EF的長為（）A．23 B．52 C．53【變式1-1】（2022春?北碚區(qū)校級期中）如圖，菱形ABCD的對角線交于點O，過點A作AE⊥CD于點E，連接OE．若AB＝3，OE=2，則DE

A．53 B．32 C．43【變式1-2】（2022春?江漢區(qū)期中）如圖，菱形ABCD的對角線AC．BD相交于點O，過點D作DH⊥AB于點H，連接CH，若AB＝2，AC＝23，則CH的長是（）A．5 B．3 C．7 D．4【變式1-3】（2022春?沙坪壩區(qū)校級期中）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，點E、F分別是AB、AO的中點，連接EF、BF．若AF＝1，AE=3，則FBA．32 B．22 C．7 D．3【題型2由菱形的性質(zhì)求角的度數(shù)】【例2】（2022春?延津縣期中）如圖，在菱形ABCD中，直線MN分別交AB、CD、AC于點M、N和O，且AM＝CN，連接BO．若∠OBC＝65°，則∠DAC為（）A．65° B．30° C．25° D．20°【變式2-1】（2022?道里區(qū)二模）如圖，四邊形ABCD是菱形，對角線AC，BD相交于點O，DH⊥AB

于點H，連接OH，∠CAD＝20°，則∠DHO的度數(shù)是（）A．20° B．25° C．30° D．40°【變式2-2】（2021秋?泰和縣期末）如圖，在菱形ABCD中，點E是CD上一點，連接AE交對角線BD于點F，連接CF，若∠AED＝50°，則∠BCF＝度．【變式2-3】（2022?玄武區(qū)二模）如圖，菱形ABCD和正五邊形AEFGH，F(xiàn)，G分別在BC，CD上，則∠1﹣∠2＝°．【題型3由菱形的性質(zhì)求面積】【例3】（2022?焦作模擬）如圖，在菱形ABCD中，點E，F(xiàn)分別是邊BC，CD的中點，連接AE，AF，EE若菱形ABCD的面積為16，則△AEF的面積為（）A．4 B．6 C．8 D．10【變式3-1】（2022春?禹州市期中）如圖，已知菱形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，點E，P，F(xiàn)分別是線段OB，CD，OD的中點，連接EP，PF，若AC＝8，PE＝210，則菱形ABCD的面積為（）

A．64 B．48 C．24 D．16【變式3-2】（2022?阿榮旗二模）兩張菱形賀卡如圖所示疊放，其中菱形ABCD的邊長為6cm，∠BAD＝60°，菱形A'B'C'D'可以看作是由菱形ABCD沿CA方向平移23cm得到，AD交C'D'于點E，則重疊部分的面積為（）cm2．A．83 B．93 C．103 D．113【變式3-3】（2022?藍田縣二模）如圖，在菱形ABCD中，∠A＝120°，點P為邊AB上一點（點P不與端點重合），連接CP，點E、F分別為AP、CP的中點，連接EF，若EF＝2，則菱形ABCD的面積為（）A．8 B．83 C．9 D．93【題型4由菱形的性質(zhì)求點的坐標】【例4】（2022?東麗區(qū)一模）如圖，四邊形ABCD為菱形，A，B兩點的坐標分別是（?23，2），（﹣1，?3），對角線相交于點A．（?23，?2） B．（23，?2） C．（1，【變式4-1】（2022?太湖縣校級一模）如圖，在平面直角坐標系中、四邊形OABC為菱形，O為原點，A點坐標為（8，0），∠AOC＝60°，則對角線交點E的坐標為（）

A．（4，23） B．（23，4） C．（23，6） D．（6，23）【變式4-2】（2022?西平縣模擬）如圖，在平面直角坐標系xOy中，菱形OABC的頂點B在x軸上，且OB＝8cm，∠AOB＝60°．點D從點O出發(fā)，沿O→A→B→C→O以2cm/s的速度做環(huán)繞運動，則第85秒時，點D的坐標為（）A．(33，5) B．(3，33) C．【變式4-3】（2022?巧家縣二模）如圖，菱形ABCD的四個頂點位于坐標軸上，對角線AC，BD交于原點O，線段AD的中點E的坐標為(?3，1)，P是菱形ABCD邊上的點，若△PDE是等腰三角形，則點P的坐標可能是【知識點3菱形的判定】①一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；②四條邊都相等的四邊形是菱形．

③對角線互相垂直的平行四邊形是菱形（或“對角線互相垂直平分的四邊形是菱形”）．【題型5菱形判定的條件】【例5】（2022春?房山區(qū)期中）在四邊形ABCD中，對角線AC，BD交于點O．現(xiàn)存在以下四個條件：①AB∥CD；②AO＝OC；③AB＝AD；④AC平分∠DAB．從中選取三個條件，可以判定四邊形ABCD為菱形．則可以選擇的條件序號是（寫出所有可能的情況）．

【變式5-1】（2022?海淀區(qū)二模）如圖，在平行四邊形ABCD中，過AC中點O的直線分別交邊BC，AD于點E，F(xiàn)，連接AE，CF．只需添加一個條件即可證明四邊形AECF是菱形，這個條件可以是（寫出一個即可）．【變式5-2】（2022春?無錫期中）如圖，已知點E、F分別是四邊形ABCD的邊AD、BC的中點，G、H分別是對角線BD、AC的中點，要使四邊形EGFH是菱形，則四邊形ABCD需滿足的條件是（）A．AB＝CD B．AC＝BD C．AC⊥BD D．AD＝BC【變式5-3】（2022?上海模擬）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，平行四邊形BCDE的頂點E在邊AB上，聯(lián)結(jié)CE、AD．添加一個條件，可以使四邊形ADCE成為菱形的是（）A．CE⊥AB B．CD⊥AD C．CD＝CE D．AC＝DE【題型6證明四邊形是菱形】【例6】（2022春?泗洪縣期中）如圖，點D、E、F分別是△ABC各邊的中點，連接DE，EF，AE．（1）求證：四邊形ADEF為平行四邊形；（2）從下列條件①∠BAC＝90°，②AE平分∠BAC，③AB＝AC中選擇一個添加到題干中，使得四邊形ADEF為菱形．我選的是（寫序號），并證明．

【變式6-1】（2022?南京一模）如圖，在?ABCD中，E、F分別是AB、CD的中點，AF與DE相交于點G，CE與BF相交于點H．（1）證明：四邊形EHFG是平行四邊形；（2）當?ABCD具備怎樣的條件時，四邊形EHFG是菱形？請直接寫出條件，無需說明理由．【變式6-2】（2022?鹽城二模）如圖，在平行四邊形ABCD中，點O是BC的中點，連接DO并延長，交AB延長線于點E，連接BD，EC．（1）求證：四邊形BECD是平行四邊形；（2）若∠A＝50°，則當∠ADE＝°時，四邊形BECD是菱形．【變式6-3】（2022?靜安區(qū)二模）已知：如圖，在四邊形ABCD中，點E、F分別是邊BC、DC的中點，AE、AF分別交BD于點M、N，且BM＝MN＝ND，聯(lián)結(jié)CM、CN．（1）求證：四邊形AMCN是平行四邊形；（2）如果AE＝AF，求證：四邊形ABCD是菱形．

【題型7菱形中多結(jié)論問題】【例7】（2022春?番禺區(qū)校級期中）如圖，菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AC與BD交于點O，E為CD延長線上的一點，且CD＝DE，連接BE分別交AC，AD于點F、G，連接OG，則下列結(jié)論：（）①OG=1②與△EGD全等的三角形共有2個；③S四邊形ODEG＝S四邊形ABOG；④由點A、B、D、E構(gòu)成的四邊形是菱形；A．①③④ B．①④ C．①②③ D．②③④【變式7-1】（2022春?下城區(qū)校級月考）如圖，平行四邊形ABCD中，對角線AC，BD交于點O，BD＝2AD，E，F(xiàn)，G分別是OC，OD，AB的中點．下列結(jié)論正確的是（）①EG＝EF；②△EFG≌△GBE；③FB平分∠EFG；④EA平分∠GEF；⑤四邊形BEFG是菱形．A．③⑤ B．①②④ C．①②③④ D．①②③④⑤【變式7-2】（2022?泰安一模）如圖，在菱形ABCD中，AB＝BD，E，F(xiàn)分別是AB，AD上的點（不與端點重合），且AE＝DF，連接BF，DE相交于點G，連接CG與BD相交于點H．下列結(jié)論：①DE＝BF；②∠BGE＝60°；③CG⊥BD；④若AF＝2DF，則BG＝6GF．其中正確結(jié)論的序號是（）

A．①② B．①②④ C．②③④ D．①③④【變式7-3】（2022?天橋區(qū)一模）如圖，△ABC是邊長為1的等邊三角形，D，E為線段AC上兩動點，且∠DBE＝30°，過點D，E分別作AB，BC的平行線相交于點F，分別交BC，AB于點H，G．現(xiàn)有以下結(jié)論：①S△ABC=34；②當點D與點C重合時，F(xiàn)H=12；③AE+CD=3DE；④當AE＝CD時，四邊形BHFG【題型8菱形的判定與性質(zhì)綜合】【例8】（2022?巴彥縣二模）如圖，AB＝BD，AC＝CD，AD平分∠BAC，AD交BC于點O．（1）如圖1，求證：四邊形ABDC是菱形；（2）如圖2，點E為BD邊的中點，連接AE交BC于點F，若2∠FAO＝∠ACD，在不添加任何輔助線和字母的條件下，請直接寫出圖2中所有面積是△ABF面積的整數(shù)倍的三角形．【變式8-1】（2022?南崗區(qū)模擬）已知：BD是△ABC的角平分線，點E在AB邊上，BE＝BC，過點E作EF∥AC，交BD于點F，連接CF，DE．（1）如圖1，求證：四邊形CDEF是菱形；（2）如圖2，當∠DEF＝90°，AC＝BC時，在不添加任何輔助線的情況下，請直接寫出圖2中度數(shù)為∠ABD的度數(shù)2倍的角．

【變式8-2】（2022春?東莞市期中）如圖，在平行四邊形ABCD中，CE平分∠BCD，交AB邊于點E，EF∥BC，交CD于點F，點G是BC邊的中點，連接GF，且∠1＝∠2，CE與GF交于點M，過點M作MH⊥CD于點H．（1）求證：四邊形BCFE是菱形；（