數(shù)學(xué)-專項(xiàng)3.4 乘法公式（知識(shí)解讀）（帶答案）

專題3.4乘法公式（知識(shí)解讀）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.掌握平方差公式、完全平方公式結(jié)構(gòu)特征，并能從廣義上理解公式中字母的含義；2.學(xué)會(huì)運(yùn)用平方差公式、完全平方公式進(jìn)行計(jì)算.了解公式的幾何意義，能利用公式進(jìn)行乘法運(yùn)算；3.能靈活地運(yùn)用運(yùn)算律與乘法公式簡化運(yùn)算.4.能用平方差公式和完全平方公式的逆運(yùn)算解決問題【知識(shí)點(diǎn)梳理】知識(shí)點(diǎn)1：平方差公式平方差公式：語言描述：兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積，等于這兩個(gè)數(shù)的平方差.注意：在這里，既可以是具體數(shù)字，也可以是單項(xiàng)式或多項(xiàng)式.知識(shí)點(diǎn)2：平方差公式的特征抓住公式的幾個(gè)變形形式利于理解公式.但是關(guān)鍵仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同項(xiàng)，又有“相反項(xiàng)”，而結(jié)果是“相同項(xiàng)”的平方減去“相反項(xiàng)”的平方.常見的變式有以下類型：①位置變化，xyyxx2y2②符號(hào)變化，xyxyx2y2x2y2③指數(shù)變化，x2y2x2y2x4y4④系數(shù)變化，2ab2ab4a2b2⑤換式變化，xyzmxyzmxy2zm2x2y2zmzmx2y2z2zmzmm2x2y2z22zmm2⑥增項(xiàng)變化，xyzxyzxy2z2xyxyz2x2xyxyy2z2x22xyy2z2

知識(shí)點(diǎn)3：完全平方公式完全平方公式：兩數(shù)和(差)的平方等于這兩數(shù)的平方和加上（減去）這兩數(shù)乘積的兩倍注意：公式特點(diǎn)：左邊是兩數(shù)的和（或差）的平方，右邊是二次三項(xiàng)式，是這兩數(shù)的平方和加（或減）這兩數(shù)之積的2倍.以下是常見的變形：知識(shí)點(diǎn)4：拓展、補(bǔ)充公式；；；.【典例分析】【考點(diǎn)1：平方差公式】【典例1】用平方差公式計(jì)算：（1）（1+x）（1﹣x）；（2）（a+3b）（a﹣3b）；（3）（3+2a）（3﹣2a）；（4）（x﹣2y）（﹣x﹣2y）．【解答】解：（1）原式＝1﹣x2；（2）原式＝a2﹣（3b）2＝a2﹣9b2；（3）原式＝32﹣（2a）2＝9﹣4a2；（4）原式＝＝．【變式1-1】計(jì)算：（a﹣b）（a+b）．【解答】解：原式＝a2﹣b2．【變式1-2】（2m+n）（2m﹣n）．【解答】解：（2m+n）（2m﹣n）＝4m2﹣n2．

【變式1-3】（2022秋?唐河縣期末）下列能用平方差公式計(jì)算的是（）A．（﹣x+y）（x+y） B．（﹣x+y）（x﹣y） C．（x+2）（2+x） D．（2x+3）（3x﹣2）【答案】A【解答】解：∵（﹣x+y）（x+y）＝﹣（x+y）（x﹣y）；∴選項(xiàng)A符合題意；∵（﹣x+y）（x﹣y）＝﹣（x﹣y）（x﹣y）＝﹣（x﹣y）2，∴選項(xiàng)B不符合題意；∵（x+2）（2+x）＝（x+2）2，∴選項(xiàng)C不符合題意；∵（2x+3）（3x﹣2）不是（a+b）（a﹣b）的形式，∴選項(xiàng)D不符合題意，故選：A．【典例2】用簡便方法計(jì)算下列各題：（1）992；（2）1022﹣101×103．【解答】解：（1）原式＝（100﹣1）2＝1002﹣2×100×1+1＝10000﹣200+1＝9801；（2）原式＝1022﹣（102﹣1）（102+1）＝1022﹣1022+1＝1．【變式2-1】計(jì)算20212﹣2020×2022的結(jié)果是（）A．1 B．﹣1 C．0 D．2×20212﹣1【答案】A【解答】解：原式＝20212﹣（2021﹣1）×（2021+1）＝20212﹣（20212﹣1）＝20212﹣20212+1

＝1．故選：A．【變式2-2】簡便計(jì)算：（1）20222﹣2020×2024；（2）1882﹣376×88+882．【解答】（1）20222﹣2020×2024＝20222﹣（2022﹣2）（2022+2）＝20222﹣（20222﹣4）＝20222﹣20222+4＝4．（2）1882﹣376×88+882＝1882﹣2×188×88+882＝（188﹣88）2＝1002＝10000．【考點(diǎn)2：平方差公式的幾何背景】【典例3】（2022秋?鄒城市校級(jí)期末）從邊長為a的正方形剪掉一個(gè)邊長為b的正方形（如圖1），然后將剩余部分拼成一個(gè)長方形（如圖2）．（1）上述操作能驗(yàn)證的等式是（請(qǐng)選擇正確的一個(gè)）．A．a(chǎn)2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2B．a(chǎn)2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）C．a(chǎn)2+ab＝a（a+b）（2）若x2﹣9y2＝12，x+3y＝4，求x﹣3y的值；

（3）計(jì)算：（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）．【解答】解：（1）根據(jù)題意，由圖1可得，陰影部分的面積為：a2﹣b2，由圖2可得，拼成的長方形長為a+b，寬為a﹣b，面積為（a+b）（a﹣b），所以a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．故選：B．（2）∵x2﹣9y2＝（x+3y）（x﹣3y）＝12，∵x+3y＝4∴x﹣3y＝3（3）＝＝＝．【變式3-1】（2022秋?離石區(qū)期末）在邊長為a的正方形中挖掉一個(gè)邊長為b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪拼成一個(gè)矩形（如圖），通過計(jì)算圖形（陰影部分）的面積，驗(yàn)證了一個(gè)等式，則這個(gè)等式是（）A．a(chǎn)2﹣ab＝a（a﹣b） B．a(chǎn)2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2【答案】B【解答】解：由圖可知，大正方形減小正方形剩下的部分面積為a2﹣b2；拼成的長方形的面積：（a+b）×（a﹣b），所以得出：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），故選：B．

【變式3-2】乘法公式的探究及應(yīng)用．（1）如圖1，是將圖2陰影部分裁剪下來，重新拼成的一個(gè)長方形，面積是；如圖2，陰影部分的面積是；比較圖1，圖2陰影部分的面積，可以得到乘法公式；（2）運(yùn)用你所得到的公式，計(jì)算下列各題：①103×97；②（2x+y﹣3）（2x﹣y+3）．【解答】解：（1）由拼圖可知，圖形1的長為（a+b），寬為（a﹣b），因此面積為（a+b）（a﹣b），圖形2的陰影部分的面積為兩個(gè)正方形的面積差，即a2﹣b2，由圖形1，圖形2的面積相等可得，（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，故答案為：（a+b）（a﹣b），a2﹣b2，（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；（2）①103×97＝（100+3）（100﹣3）＝1002﹣32＝10000﹣9＝9991；②原式＝（2x+y﹣3）[2x﹣（y﹣3）]＝（2x）2﹣（y﹣3）2＝4x2﹣（y2﹣6y+9）＝4x2﹣y2+6y﹣9．【變式3-3】如圖，從邊長為a的正方形紙片中剪掉一個(gè)邊長為b的正方形紙片（如圖1），然后將剩余部分拼成一個(gè)長方形（如圖2）．（1）探究：上述操作能驗(yàn)證的等式是．（2）應(yīng)用：利用（1）中得出的等式，計(jì)算：

．【解答】解：（1）第一個(gè)圖形中陰影部分的面積是a2﹣b2，第二個(gè)圖形的面積是（a+b）（a﹣b），則a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．故答案為：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；（2）原式＝（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）?（1﹣）（1+）＝××××?××＝．【考點(diǎn)3：完全平方公式】【典例4】（2021春?羅湖區(qū)校級(jí)期中）運(yùn)用完全平方公式計(jì)算：（1）（3a+b）2（2）（x﹣2y）2（3）（﹣x﹣y）2（4）1992．【解答】解：（1）（3a+b）2＝9a2+6ab+b2；（2）（x﹣2y）2＝x2﹣2xy+4y2；（3）（﹣x﹣y）2＝x2+2xy+y2；（4）1992＝（200﹣1）2＝40000﹣400+1＝39601．【變式4-1】（2020春?沙坪壩區(qū)校級(jí)月考）（﹣4x﹣）2．【解答】解：原式＝（4x+）2＝16x2+4xy+y2．【變式4-2】（2020春?沙坪壩區(qū)校級(jí)月考）（3a﹣b）2．【解答】解：（3a﹣b）2＝（3a）2﹣2×3a×b+b2

＝9a2﹣6ab+b2．【變式4-3】（2019秋?靜安區(qū)校級(jí)月考）（a+b﹣c）2．【解答】解：原式＝[（a+b）﹣c]2＝（a+b）2﹣2（a+b）c+c2＝a2+2ab+b2﹣2ac﹣2bc+c2．【典例5】（2022秋?豐寧縣校級(jí)期末）若x2+mx+81是完全平方式，則m的值是（）A．±18 B．±9 C．9 D．18【答案】A【解答】解：∵x2+mx+81是一個(gè)完全平方式，∴mx＝±2?x?9，解得：m＝±18．故選：A．【變式5-1】（2022秋?新會(huì)區(qū)校級(jí)期末）已知x2﹣ax+16可以寫成一個(gè)完全平方式，則a可為（）A．4 B．±4 C．8 D．±8【答案】D【解答】解：若x2﹣ax+16＝（x﹣4）2時(shí)，此時(shí)a＝8，若x2﹣ax+16＝（x+4）2時(shí)，此時(shí)a＝﹣8，所以a＝±8，故選：D．【變式5-2】（2022秋?沙坪壩區(qū)期末）若x2+（k+1）x+1是一個(gè)完全平方式，則k的值是（）A．﹣3 B．1 C．﹣3或1 D．±2【答案】C【解答】解：∵（x±1）2＝x2±2x+1，∴k+1＝±2，∴k＝﹣3或1，故選：C

【考點(diǎn)4：完全平方公式的幾何背景】【典例6】（2022秋?西崗區(qū)校級(jí)期末）圖1是一個(gè)長為2a，寬為2b的長方形，沿圖中虛線用剪刀均分成四塊小長方形，然后按圖2形狀拼成一個(gè)正方形．（1）圖2中陰影部分的正方形的邊長是；（用含a、b的式子表示）（2）觀察圖2，用一個(gè)等式表示下列三個(gè)整式：（a+b）2、（a﹣b）2、ab之間的等量關(guān)系；（3）根據(jù)（2）問中的等量關(guān)系，解決如下問題：若m+n＝8，mn＝12，求m﹣n的值．【解答】解：（1）由拼圖可知，陰影部分是邊長為a﹣b的正方形，故答案為：a﹣b；（2）圖2整體是邊長為a+b的正方形，因此面積為（a+b）2，圖2各個(gè)部分的面積和為（a﹣b）2+4ab，所以有（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab，答：（a+b）2、（a﹣b）2、ab之間的等量關(guān)系為（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab；（3）∵m+n＝8，mn＝12，∴（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn＝64﹣48＝16，∴m﹣n＝±4．【變式6-1】（2022秋?南關(guān)區(qū)校級(jí)期末）如圖1，三種紙片A、B、C分別是邊長為a的正方形，邊長為b的正方形和寬與長分別為a與b的長方形．

（1）數(shù)學(xué)課上，老師用圖1中的一張紙片A，一張紙片B和兩張紙片C，拼成了如圖2所示的大正方形，由此可以得到的乘法公式是；（2）若小莉想用圖1中的三種紙片拼出一個(gè)面積為（2a+b）（a+b）的大長方形，需要A、B、C三種紙片分別張．【解答】解：（1）由題意知，（a+b）2＝a2+2ab+b2，故答案為：（a+b）2＝a2+2ab+b2；（2）∵（2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2，∴需要A、B、C三種紙片分別2張，1張，3張，故答案為：2，1，3．【變式6-2】（2022秋?黃石港區(qū)期末）如圖，對(duì)一個(gè)正方形進(jìn)行了分割，通過面積恒等，能夠驗(yàn)證下列哪個(gè)等式（）A．x2﹣y2＝（x﹣y）（x+y） B．（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2 C．（x+y）2＝x2+2xy+y2 D．（x﹣y）2+4xy＝（x+y）2【答案】C【解答】解：首先看四個(gè)等式都是成立的，但是卻并未都正確反映圖示內(nèi)容．圖中大正方形的邊長為：x+y，其面積可以表示為：（x+y）2分部分來看：左下角正方形面積為x2，右上角正方形面積為y2，其余兩個(gè)長方形的面積均為xy，各部分面積相加得：x2+2xy+y2，

∴（x+y）2＝x2+2xy+y2故選：C．【變式6-3】（2022春?邗江區(qū)期末）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2適當(dāng)?shù)淖冃?，可以解決很多的數(shù)學(xué)問題．例如：若a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值；解：因?yàn)閍+b＝3，所以（a+b）2＝9，即：a2+2ab+b2＝9，又因?yàn)閍b＝1，所以a2+b2＝7．根據(jù)上面的解題思路與方法，解決下列問題：（1）若x+y＝8，x2+y2＝40，求xy的值；（2）填空：①若（4﹣x）x＝5，則（4﹣x）2+x2＝；②若（4﹣x）（5﹣x）＝8，則（4﹣x）2+（5﹣x）2＝．（3）如圖，在長方形ABCD中，AB＝25，BC＝15，點(diǎn)E．F是BC、CD上的點(diǎn)，且BE＝DF＝x，分別以FC、CE為邊在長方形ABCD外側(cè)作正方形CFGH和CEMN，若長方形CEPF的面積為200平方單位，求圖中陰影部分的面積和．【解答】解：（1）∵2xy＝（x+y）2﹣（x2+y2）＝64﹣40＝26，∴xy＝13．（2）①令a＝4﹣x，b＝x，則a+b＝4，ab＝5，∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝16﹣10＝6.\，∴（4﹣x）2+x2＝6，故答案為：6．②令a＝4﹣x，b＝5﹣x，則a﹣b＝﹣1，ab＝8，∴a2+b2＝（a﹣b）2+2ab＝1+16＝17，

∴（4﹣x）2+（5﹣x）2＝17，故答案為：17．（3）由題意得：（25﹣x）（15﹣x）＝200，令a＝25﹣x，b＝15﹣x，則：a﹣b＝10，ab＝200，∴a2+b2＝（a﹣b）2+2ab＝100+400＝500，∴（25﹣x）2+（15﹣x）2＝500