數(shù)學(xué)-專項(xiàng)9.14正方形的性質(zhì)與判定大題專練（重難點(diǎn)培優(yōu)八下蘇科）-【】2022-2023學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)尖子生培優(yōu)必刷題（帶答案）【蘇科版】

【拔尖特訓(xùn)】2022-2023學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)尖子生培優(yōu)必刷題【蘇科版】專題9.14正方形的性質(zhì)與判定大題提升訓(xùn)練（重難點(diǎn)培優(yōu)30題）班級(jí)：___________________姓名：_________________得分：_______________注意事項(xiàng)：本試卷試題解答30道，共分成三個(gè)層組：基礎(chǔ)過關(guān)題（第1-10題）、能力提升題（第11-20題）、培優(yōu)壓軸題（第21-30題），每個(gè)題組各10題，可以靈活選用．答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級(jí)等信息填寫在試卷規(guī)定的位置．一、解答題1．（2022春·江蘇揚(yáng)州·七年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，將正方形紙片ABCD折疊，使點(diǎn)D落在BC邊點(diǎn)E處，點(diǎn)A落在點(diǎn)F處，折痕為MN，若∠NEC=32°，求∠FMN的大?。敬鸢浮?19°【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)得到∠A=∠C=∠D=90°，根據(jù)折疊的性質(zhì)，得到∠F=∠A=90°，∠FEN=∠C=90°，∠DNM=∠ENM，根據(jù)平角的定義得到∠ENM的度數(shù)，根據(jù)四邊形的內(nèi)角和即可得到結(jié)論．【詳解】解：∵四邊形ABCD是正方形，正方形紙片ABCD折疊，使點(diǎn)D落在BC邊點(diǎn)E處，點(diǎn)A落在點(diǎn)F處，∴∠F=∠A=90°，∠DNM=∠ENM，∠FEN=∠D=90°，∵∠NEC=32°，∴∠ENC=90°?32°=58°，∴∠DNM=∠ENM=1∴∠FMN=360°?90°?90°?61°=119°．【點(diǎn)睛】本題考查了角的計(jì)算，翻折變換的問題，折疊問題其實(shí)質(zhì)是軸對(duì)稱，對(duì)應(yīng)線段相等，對(duì)應(yīng)角相等，找到相等的角是解決本題的關(guān)鍵．2．（2021春·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知四邊形ABCD是矩形，點(diǎn)E在對(duì)角線AC上，點(diǎn)F在邊CD上（點(diǎn)F與點(diǎn)C、D不重合），BE⊥EF，且∠ABE+∠CEF=45°．求證：四邊形ABCD是正方形．

【答案】證明見解析．【分析】可作EM⊥BC于點(diǎn)M，由∠ABE+∠CEF=45°可得∠BEM+∠CEF=45°，進(jìn)一步可得∠BAC=∠ACB=45°，從而可得AB=BC，再根據(jù)四邊形ABCD是矩形即可得到結(jié)論．【詳解】證明：如圖，作EM⊥BC于點(diǎn)M，∵四邊形ABCD是矩形，∴AB⊥BC，∴EM//∴∠ABE=∠BEM，∠BAC=∠CEM，∠ABC=90°∵∠ABE+∠CEF=45°，∴∠BEM+∠CEF=45°，∵BE⊥EF，∴∠CEM=45°=∠BAC，∴∠BAC=∠ACB=45°，∴AB=BC∴矩形ABCD是正方形．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，熟記正方形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2022春·江蘇宿遷·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)E在AB延長(zhǎng)線上，且BE=2．求證：DE平分∠BDC【答案】見解析【分析】求得BE=2，證明BE=BD，推出∠BDE=∠E=∠DCE【詳解】證明：∵四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，∴BD=12+∵BE=2，∠CDE=∠E∴BE=BD，∴∠BDE=∠E=∠CDE，∴DE平分∠BDC．

【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，證明BE=BD是解題的關(guān)鍵．4．（2022秋·江蘇·八年級(jí)期中）如圖，四邊形ABCD是正方形，E、F分別是DC和CB的延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，且DE＝BF，連接AE．(1)求證：△ADE≌△ABF；(2)若BC＝12，DE＝4，求△AEF的面積．【答案】(1)見解析(2)80【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AD＝AB，∠ABF＝∠ABC＝∠D＝90°，可利用SAS證得△ADE≌△ABF；（2）根據(jù)勾股定理可得AE＝410，再由全等三角形的性質(zhì)可得AE＝AF，∠EAF＝90°，即可求解．【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠D＝∠ABC＝90°∵F是CB的延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，∴∠ABF＝∠ABC＝∠D＝90°在△ADE和△ABF中，AD=AB∴△ADE≌△ABF（SAS）．（2）解：∵BC＝12，∴AD＝12在Rt△ADE中，DE＝4，AD＝12，∴AE＝AD2+D由（1）知△ADE≌△ABF，∴AE＝AF，∠DAE＝∠BAF．

∴∠EAF＝90°∴S【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理是解題的關(guān)鍵．5．（2022春·江蘇揚(yáng)州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在AB、BC邊上，DE⊥AF于點(diǎn)G．(1)求證：DE＝AF；(2)若點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，AB＝4，求GF的長(zhǎng)．【答案】(1)見解析(2)6【分析】（1）證明△ADE≌△BAF，即可求證；（2）根據(jù)勾股定理可得DE=25，從而得到AF=25，再由S△ADE（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BAD=∠ABC=90°，AB=AD，∴∠BAF+∠DAF=90°，∵DE⊥AF，∴∠AGD=90°，∴∠ADE+∠DAF=90°，∴∠ADE=∠BAF，∴△ADE≌△BAFASA

∴DE=AF．（2）解：∵AB=4，點(diǎn)E是AB中點(diǎn)，∴AE=2，在Rt△ADE中，DE=A∵DE=AF，∴AF=25∵S△ADE∴AG=4∴GF=6【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握正方形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．（2022春·江蘇鎮(zhèn)江·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，正方形ABCD的對(duì)角線交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是線段OD上一點(diǎn)，連接EC，過點(diǎn)B作BF⊥CE于點(diǎn)F，交OC于點(diǎn)G．(1)求證：BG=CE；(2)若OB=2，BF是∠DBC的角平分線，求OE【答案】(1)見解析(2)OE=2?【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)，可得∠EOC=∠GOB=90°，OC=OB，易證△EOC≌△GOB（ASA），根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得證；（2）根據(jù)BF⊥CE，可得∠EFB=∠CFB=90°，根據(jù)BF是∠DBC的角平分線，可知∠EBF=∠CBF，可證△EBF≌△CBF（SAS），可得BE=BC，根據(jù)正方形的性質(zhì)，可知BC=2，即可求出OE．（1）

證明：在正方形ABCD中，AC⊥BD，OC=OB，∴∠EOC=∠GOB=90°，∴∠OEC+∠OCE=90°，∵BF⊥CE，∴∠OEC+∠OBG=90°，∴∠OBG=∠OCE，在△EOC和△GOB中，∠EOC=∠GOBOC=OB∴△EOC≌△GOB（ASA），∴BG=CE；（2）解：∵BF⊥CE，∴∠EFB=∠CFB=90°，∵BF是∠DBC的角平分線，∴∠EBF=∠CBF，∵BF=BF，∴△EBF≌△CBF（SAS），∴BE=BC，在正方形ABCD中，OB=OC，∠BOC=90°，∵OB=2，根據(jù)勾股定理，得BC=2，∴OE+2=2，∴OE=2-2．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，涉及全等三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理等，熟練掌握正方形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7．（2022春·江蘇無錫·八年級(jí)宜興市實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，在正方形ABCD中，E是BC的中點(diǎn)，連接AE，過點(diǎn)B作射線BM交CD于點(diǎn)F，交AE于點(diǎn)O，且BF⊥AE．

(1)求證：BF＝AE；(2)連接OD，猜想OD與AB的數(shù)量關(guān)系，并證明．【答案】(1)見解析(2)OD=AB，理由見解析【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)和BF⊥AE，可得∠BAE=∠CBF，從而得到△ABE≌△BCF，即可求證；（2）延長(zhǎng)AD交射線BM于點(diǎn)G，根據(jù)△ABE≌△BCF，可得BE=CF，從而得到CF=DF，再由AD∥BC，進(jìn)而得到∠DGF=∠CBF，可證得△DGF≌△CBF，從而得到DG=BC，進(jìn)而得到OD為△AOG的中線，再由直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，即可求解．(1)證明：在正方形ABCD中，∠ABC=∠C=90°，AB=BC，∴∠BAE+∠AEB=90°，∵BF⊥AE，∴∠EOB=90°，∴∠CBF+∠AEB=90°，∴∠BAE=∠CBF，∴△ABE≌△BCF，∴BF=AE；(2)解：OD=AB，理由如下：如圖，延長(zhǎng)AD交射線BM于點(diǎn)G，

由（1）得：△ABE≌△BCF，∴BE=CF，∵E是BC的中點(diǎn)，∴CF=BE=1∴CF=DF，∵AD∥BC，∴∠DGF=∠CBF，在△DGF和△CBF中，∵∠DGF=∠CBF，∠DFG=∠BFC，DF=CF，∴△DGF≌△CBF，∴DG=BC，∴DG=AD，即OD為△AOG的中線，∵BF⊥AE，∴OD=1【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半是解題的關(guān)鍵．8．（2022春·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)F為CD上一點(diǎn)，BF與AC交于點(diǎn)E．(1)∠ACB的大?。絖_____°；

(2)求證：△ABE≌△ADE；(3)若∠CBF=20°，則∠AED的大小＝______°．【答案】(1)45(2)證明見解析(3)65【分析】（1）由正方形的性質(zhì)求解即可；（2）由正方形ABCD可知，AB=AD，∠EAB=∠EAD，進(jìn)而可證△EAB≌△EAD（SAS）；（3）由△EAB≌△EAD可知∠AED=∠AEB，由三角形外角的性質(zhì)可知∠AEB=∠EBC+∠BCE，計(jì)算求解即可．（1）解：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BCD=90°，∠ACB=故答案為45．（2）證明：∵四邊形ABCD是正方形∴AB=AD，∠EAB=∠EAD在△EAB和△EAD中∵EA=EA∴△EAB≌△EAD（SAS）．（3）解：∵△EAB≌△EAD∴∠AED=∠AEB∵∠AEB=∠EBC+∠BCE=20°+45°=65°∴∠AED=65°故答案為65．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，三角形全等，三角形外角的性質(zhì)．解題的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)的靈活運(yùn)用．

9．（2020春·江蘇揚(yáng)州·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在正方形ABCD中，點(diǎn)P是對(duì)角線BD上的一點(diǎn)，點(diǎn)E在AD的延長(zhǎng)線上，且PA＝PE，PE交CD于點(diǎn)F．（1）證明：PC＝PE；（2）求∠CPE的度數(shù)．【答案】（1）見解析；（2）90°【分析】（1）由四邊形ABCD是正方形，BD是正方形ABCD的對(duì)角線，得AB＝BC，∠ABP＝∠CBP＝45°，利用SAS可證得△ABP≌△CBP即可證明PC＝PE．（2）由△ABP≌△CBP，得∠BAP＝∠BCP，從而得∠DAP＝∠DCP，再由PA＝PE即可證出∠DCP＝∠E，進(jìn)而可證出∠CPE＝∠EDF＝90°．【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，BD是正方形ABCD的對(duì)角線，∴AB＝BC，∠ABP＝∠CBP＝45°，在△ABP和△CBP中，AB=BC∠ABP∴△ABP≌△CBP（SAS），∴PA＝PC，∵PA＝PE，∴PC＝PE，（2）解：由（1）知，△ABP≌△CBP，∴∠BAP＝∠BCP，∴∠DAP＝∠DCP，∵PA＝PE，∴∠DAP＝∠E，∴∠DCP＝∠E，

∵∠CFP＝∠EFD，∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF＝180°﹣∠DFE﹣∠E，即∠CPE＝∠EDF＝90°．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解．10．（2022春·江蘇宿遷·八年級(jí)沭陽(yáng)縣懷文中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E在邊AD上，連接CE，以CE為邊向右上方作正方形CEFG，作FH⊥AD，垂足為H，連接AF．（1）求證：FH＝ED；（2）若AB＝3，AD＝5，當(dāng)AE＝1時(shí)，求∠FAD的度數(shù)．【答案】（1）見解析；（2）∠FAD＝45°【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)，可得EF=CE，再根據(jù)∠CEF=∠90°，進(jìn)而可得∠FEH=∠DCE，結(jié)合已知條件∠FHE=∠D=90°，利用“AAS”即可證明△FEH≌△ECD，由全等三角形的性質(zhì)可得FH=ED；（2）根據(jù)矩形的性質(zhì)得到CD=AB=3，求得DE=4，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到FH=DE=4，EH=CD=3，得到AH=FH，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵四邊形CEFG是正方形，∴CE=EF，∵∠FEC=∠FEH+∠CED=90°，∠DCE+∠CED=90°，∴∠FEH=∠DCE，在△FEH和△ECD中，∠FHE=∠D∠FEH=∠DCE∴△FEH≌△ECD（AAS），∴FH=ED；（2）解：∵在矩形ABCD中，AB=3，AD=5，

∴CD=AB=3，∵AE=1，∴DE=4，∵△FEH≌△ECD，∴FH=DE=4，EH=CD=3，∴AH=4，∴AH=FH，∵∠FHE=90°，∴∠FAD=45°．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，正確的識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵．11．（2021春·江蘇常州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)是5，BE⊥AE，DF⊥CF，垂足分別是E、F，且AE=CF=3，則EF的長(zhǎng)是______________．【答案】7【分析】延長(zhǎng)EB,FC交于點(diǎn)G，證明△BAE≌△DCF≌△CBG，根據(jù)勾股定理即可求得EF【詳解】如圖，延長(zhǎng)EB,FC交于點(diǎn)G，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=5，∵AE=CF=3，BE⊥AE，DF⊥CF，∴∠AEB=∠CFD=90°，

∴BE=AB2∴△BAE≌△DCF（SSS），∴∠ABE=∠CDF，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠DCB=∠ABC=90°，∴∠DCF+∠BCG=90°，∠ABE+∠CBG=90°，∵∠DFC=90°,∠BEA=90°，∴∠DCF+∠CDF=90°，∠BAE+∠ABE=90°，∴∠CDF=∠BCG,∠CBG=∠BAE，∵∠ABE=∠CDF，∴∠ABE=∠BCG，在△ABE和△BCG中∠ABE=∠BCGAB=BC∴△ABE≌△BCG，∴∠G=∠AEB=90°，GB=AE=3,CG=BE=4，∴GE=GB+BE=3+4=7，GF=GC+CF=4+3=7，∴EF=G故答案為：72【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，三角形全等的性質(zhì)與判定，正確的添加輔助線是解題的關(guān)鍵．12．（2022春·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD中，以對(duì)角線BD為邊作菱形BDFE，C，E點(diǎn)在同一直線上，連接BF（1）求菱形BDFE的面積；（2）求CG的長(zhǎng)度．

【答案】（1）162；（2）4【分析】（1）已知正方形的邊長(zhǎng)可求BD，根據(jù)BE，DC即可求菱形BDFE的面積．（2）連接DE，可證△BCG≌△DCE，得出CG＝CE，可求CG的長(zhǎng)度．【詳解】解：（1）正方形邊長(zhǎng)為4，則BD＝BC2+DC2菱形BDFE的面積為S＝42×4＝162．答：菱形BDFE的面積為162．（2）連接DE，則DE⊥BF，∴∠CBG+∠DEC＝90°，∵∠CDE+∠DEC＝90°，∴∠CDE＝∠CBG，又∵BC＝DC，∠BCG＝∠DCE，∴△BCG≌△DCE（ASA），∴CG＝CE=BE-BC=42【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的對(duì)角線垂直的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理，本題中證△BCG≌△DCE是解題的關(guān)鍵．13．（2021秋·江蘇鹽城·八年級(jí)統(tǒng)考期末）通過折紙活動(dòng)，可以探索圖形的性質(zhì)，也可以得到一些特殊的圖形．如圖，取一張正方形紙片ABCD，第一次先將其對(duì)折，展開后進(jìn)行第二次折疊，使正方形右下角的頂點(diǎn)C落在第一次的折痕EF上點(diǎn)G處，折痕為BH

試探究∠CBH、∠GBH、∠GBA三個(gè)角之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】∠CBH＝∠GBH＝∠GBA，理由見解析【分析】連接CG，由折疊的性質(zhì)得出EF垂直平分BC，則BG=CG，證明△BCG是等邊三角形，由等邊三角形的性質(zhì)得出∠CBG=60°，則可得出答案．【詳解】∠CBH＝∠GBH＝∠GBA．理由：連接CG，由第一次折疊知點(diǎn)B、C關(guān)于EF對(duì)稱，∴EF垂直平分BC，∴BG＝CG，由第二次折疊知△BCH≌△BGH，∴BG＝BC，∴BG＝CG＝BC，∴△BCG是等邊三角形，∴∠CBG＝60°，∵△BCH≌△BGH，∴∠CBH＝∠GBH＝30°，∵∠ABC＝90°，∴∠GBA=90°?60°=30°，∴∠CBH＝∠GBH＝∠GBA．【點(diǎn)睛】本題考查的是折疊的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，掌握等邊三角形的判定與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．

14．（2019秋·江蘇鎮(zhèn)江·八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，線段AB=8，射線BG⊥AB，P為射線BG上一點(diǎn)，以AP為邊作正方形APCD，且點(diǎn)C、D與點(diǎn)B在AP兩側(cè)，在線段DP上取一點(diǎn)E，使∠EAP=∠BAP，直線CE與線段AB相交于點(diǎn)F（點(diǎn)F與點(diǎn)A、B不重合）．（1）求證：△AEP≌△CEP；（2）判斷CF與AB的位置關(guān)系，并說明理由；（3）求△AEF的周長(zhǎng)．【答案】（1）見解析；（2）CF⊥AB，理由見解析；（3）16【分析】（1）四邊形APCD正方形，則PD平分∠APC，PC=PA，∠APD=∠CPD=45°，即可求解；（2）由△AEP≌△CEP，則∠EAP=∠ECP，而∠EAP=∠BAP，則∠BAP=∠FCP，又∠FCP+∠CMP=90°，則∠AMF+∠PAB=90°即可求解；（3）過點(diǎn)C作CN⊥BG，垂足為N，證明△PCN≌△APB（AAS），則CN=PB=BF，PN=AB，即可求解．【詳解】（1）證明：∵四邊形APCD為正方形∴PD平分∠APC，∠APC=90°，PC=PA∴∠APD=∠CPD=45°在△AEP和△CEP中，{∴△AEP≌△CEP(SAS)（2）CF⊥AB．理由如下：∵△AEP≌△CEP，∴∠EAP=∠ECP∵∠EAP=∠BAP∴∠BAP=∠FCP∵∠FCP+∠CMP=90°，∠AMF=∠CMP∴∠AMF+∠PAB=90°

∴∠AFM=90°∴CF⊥AB（3）過點(diǎn)C作CN⊥BG，垂足為N∵CF⊥AB，BG⊥AB∴四邊形BFCN為矩形，F(xiàn)C∥BN∴∠CPN=∠PCF=∠EAP=∠PAB又AP=CP，∠ABP=∠CNP=90°∴△PCN≌△APB(AAS)∴CN=PB=BF，PN=AB∵△AEP≌△CEP∴AE=CE∴AE+EF+AF=CE+EF+AF=BN+AF=PN+PB+AF=AB+BF+AF=2AB=16【點(diǎn)睛】本題為四邊形綜合題，涉及到正方形的性質(zhì)、三角形全等等知識(shí)點(diǎn)，其中（3），證明△PCN≌△APB（AAS），是本題的關(guān)鍵．15．（2022秋·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）（1）作圖發(fā)現(xiàn)如圖1，已知△ABC，小涵同學(xué)以AB、AC為邊向△ABC外作等邊△ABD和等邊△ACE．連接BE，CD．這時(shí)他發(fā)現(xiàn)BE與CD的數(shù)量關(guān)系是．（2）拓展探究

如圖2．已知△ABC，小涵同學(xué)以AB、AC為邊向外作正方形ABFD和正方形ACGE，連接BE，CD，試判斷BE與CD之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】（1）BE＝CD；（2）BE＝CD，理由見解析．【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得到：AD＝AB，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝60°，再通過角的等量代換可證出∠CAD＝∠EAB，因此△CAD≌△EAB，即可求解．（2）根據(jù)正方形的性質(zhì)可得到：AD＝AB，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝90°，再通過角的等量代換可證出∠CAD＝∠EAB，因此△CAD≌△EAB，即可求解．【詳解】解：（1）∵△ABD和△ACE都是等邊三角形，∴AD＝AB，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝60°，∴∠BAD+∠BAC＝∠CAE+∠BAC，即∠CAD＝∠EAB，在△CAD和△EAB中，∵AD=∴△CAD≌△EAB（SAS），∴BE＝CD．（2）BE＝CD，理由同（1），∵四邊形ABFD和ACGE均為正方形，∴AD＝AB，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝90°，∴∠BAD+∠BAC＝∠CAE+∠BAC，即∠CAD＝∠EAB，∵在△CAD和△EAB中，AD=∴△CAD≌△EAB（SAS），∴BE＝CD．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，等邊三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．16．（2020春·江蘇宿遷·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在正方形ABCD中，點(diǎn)E在邊CD上（1）以A為中心，把△ADE按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°，畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形；（2）設(shè)旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為F，連接EF，△AEF是什么三角形（3）若四邊形AECF的面積為25，DE=2，求AE的長(zhǎng)【答案】（1）見解析；（2）△AEF是等腰直角三角形；（3）29【分析】（1）利用正方形的性質(zhì)，可畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形；（2）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可得AF=AE，∠FAE=90°，即△AEF是等腰直角三角形的性質(zhì)．（3）由四邊形AECF的面積為25，易知正方形的面積也為25，從而得到正方形的邊長(zhǎng)AD=5，而DE=2，再利用勾股定理即可求出AE.【詳解】解：（1）如圖，△ABF即是旋轉(zhuǎn)后的圖形；（2）△AEF是等腰直角三角形．理由：∵以A為中心，把△ADE按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到△ABF，∴AF=AE，∠FAE=90°，∴△AEF是等腰直角三角形的性質(zhì)．（3）∵△ADE≌△ABF，∴SΔADE∴SΔADE∴S四邊形AECF

∴AD∴AD=5,在RtΔADE中，DE=2，AD=5，∴AE=A【點(diǎn)睛】此題考查了正方形的性質(zhì)與旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及勾股定理．此題難度不大，注意掌握旋轉(zhuǎn)前后圖形的對(duì)應(yīng)關(guān)系，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．17．（2019春·江蘇蘇州·八年級(jí)蘇州市景范中學(xué)校?？计谥校┤鐖D，正方形ABCD中，G為BC邊上一點(diǎn)，BE⊥AG于E，DF⊥AG于F，連接DE（1）求證：ΔABE?ΔDAF（2）若AF=1，ΔAED的面積為4.5，求EF的長(zhǎng)【答案】（1）見解析；（2）2．【分析】（1）首先根據(jù)正方形的性質(zhì)得出AB=AD,∠BAD=90°，然后通過等量代換得到∠DAF=∠ABE，從而利用AAS即可證明；（2）由全等三角形的性質(zhì)得出AE=DF，設(shè)EF=x，則DF=AE=1+x，然后利用S△AED【詳解】（1）∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=AD,∠BAD=90°∴∠BAE+∠DAF=90°∵BE⊥AG，DF⊥AG∴∠AEB=∠DFA=90°∴∠BAE+∠ABE=90°∴∠DAF=∠ABE在△ABE和△DAF中，∠AEB=∠DFA∠ABE=∠DAF

∴△ABE?△DAF(AAS)；（2）∵△ABE?△DAF∴AE=DF設(shè)EF=x，則DF=AE=1+x∵∴x=2或x=?4（舍去）∴EF=2【點(diǎn)睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，掌握正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．18．（2022秋·江蘇蘇州·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，正方形網(wǎng)格中的每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1，每個(gè)頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)．(1)在圖（1）中以格點(diǎn)為頂點(diǎn)畫一個(gè)面積為17的正方形（正方形是四條邊相等，四個(gè)內(nèi)角都是90°的四邊形）；(2)在圖（2）中以格點(diǎn)為頂點(diǎn)畫一個(gè)等腰三角形，使其底邊為32，腰長(zhǎng)為5(3)在圖（3）中，A、B均為格點(diǎn)，請(qǐng)畫出一個(gè)格點(diǎn)C，使得∠CBA=45°．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)見解析【分析】（1）根據(jù)要求作一個(gè)邊長(zhǎng)為17的正方形即可；（2）根據(jù)要求作出圖形即可；（3）利用等腰直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理的逆定理解決問題即可．【詳解】（1）解：如圖1中，正方形ABCD即為所求；

根據(jù)作法得：∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=AD=1∴該四邊形為正方形，∴該四邊形的面積為172（2）解：如圖2中，△ABC即為所求．根據(jù)作法得：AB=AC=1（3）解：如圖3中，點(diǎn)C即為所求．根據(jù)作法得：BC=AC=1∴BC∴∠ACB=90°，∴∠CBA=∠CAB=45°．【點(diǎn)睛】本題考查正方形的判定和性質(zhì)，勾股定理的逆定理，等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題．19．（2019春·江蘇南京·八年級(jí)南京市寧海中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在Rt△ABC中，過點(diǎn)C的直線MN∥AB，D為AB邊上一點(diǎn)、過點(diǎn)D作DE⊥BC，交直線MN于E，垂足為F，連接CD

(1)求證：CE=AD；(2)當(dāng)D在AB中點(diǎn)時(shí)，四邊形BECD是什么特殊四邊形？說明你的理由；(3)若D為AB中點(diǎn)，則當(dāng)∠A=______時(shí)，四邊形BECD是正方形（直接寫出答案）．【答案】(1)見解析(2)四邊形BECD是菱形，理由見解析(3)45°【分析】（1）先求出四邊形ADEC是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)推出即可；（2）求出四邊形BECD是平行四邊形，求出CD=BD，根據(jù)菱形的判定推出即可；（3）求出∠CDB=90°，再根據(jù)正方形的判定推出即可．【詳解】（1）證明：∵DE⊥BC，∴∠DFB=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ACB=∠DFB，∴AC∥DE，∵M(jìn)N∥AB，即CE∥AD，∴四邊形ADEC是平行四邊形，∴CE=AD；（2）解：四邊形BECD是菱形，理由是：∵D為AB中點(diǎn)，∴AD=BD，∵CE=AD，∴BD=CE，∵BD∥CE，∴四邊形BECD是平行四邊形，∵∠ACB=90°，D為AB中點(diǎn)，

∴CD=BD（直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半），∴四邊形BECD是菱形；（3）解：當(dāng)∠A=45°時(shí)，四邊形BECD是正方形，理由是：解：∵∠ACB=90°，∠A=45°，∴∠ABC=∠A=45°，∴AC=BC，∵D為BA中點(diǎn)，∴CD⊥AB，∴∠CDB=90°，∵四邊形BECD是菱形，∴菱形BECD是正方形，故答案為：45°．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的判定、平行四邊形的性質(zhì)和判定，菱形的判定，直角三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生運(yùn)用定理進(jìn)行推理的能力．20．（2022春·江蘇南京·八年級(jí)期末）如圖，△ABC的中線AF與中位線DE相交于點(diǎn)O．(1)求證：AF與DE互相平分；(2)當(dāng)△ABC滿足___________時(shí)，四邊形ADFE是正方形．【答案】(1)見解析(2)AB＝AC且∠BAC＝90°【分析】（1）證明四邊形DFEA是平行四邊形，即可得出結(jié)論；（2）由等腰三角形的性質(zhì)得出AF⊥BC，再根據(jù)三角形中位線定理及正方形的判定可得出結(jié)論．（1）證明：∵△ABC的中線AF與中位線DE相交于點(diǎn)O，

∴EF是△ABC的中位線，AD＝BD，∴EF∥AB，EF=12AB＝∴四邊形DFEA是平行四邊形，∴AF與DE互相平分．（2）解：當(dāng)△ABC滿足AB＝AC，∠BAC＝90°時(shí)，四邊形ADFE是正方形，理由如下：由（1）得：四邊形ADFE是平行四邊形，∵AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形，∵AF是△ABC的中線，∴AF⊥BC，∵DE是△ABC的中位線，∴DE∥BC，∴AF⊥DE，∴平行四邊形ADFE是菱形．又∵∠BAC＝90°，∴四邊形ADFE是正方形．故答案為：AB＝AC，∠BAC＝90°．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的判定、平行四邊形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形中位線定理等知識(shí)，熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．21．（2021秋·江蘇宿遷·八年級(jí)沭陽(yáng)縣修遠(yuǎn)中學(xué)校考期末）如圖，在四邊形ABCD中，AB=BC，對(duì)角線BD平分∠ABC，P是BD上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分別為M、N．（1）求證：∠ADB=∠CDB；

（2）若∠ADC=90°，求證：四邊形MPND是正方形．【答案】見解析【分析】（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)和全等三角形的判定方法證明△ABD≌△CBD，由全等三角形的性質(zhì)即可得到：∠ADB=∠CDB；（2）若∠ADC=90°，由（1）中的條件可得四邊形MPND是矩形，再根據(jù)鄰邊相等的矩形是正方形即可證明四邊形MPND是正方形．【詳解】證明：（1）∵對(duì)角線BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，在△ABD和△CBD中，AB=CB∠ABD=∠CBD∴△ABD≌△CBD（SAS），∴∠ADB=∠CDB；（2）∵PM⊥AD，PN⊥CD，∴∠PMD=∠PND=90°，∵∠ADC=90°，∴四邊形MPND是矩形，∵∠ADB=∠CDB，∴∠ADB=45°∴PM=MD，∴四邊形MPND是正方形．22．（2022秋·江蘇揚(yáng)州·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）（1）【閱讀理解】如圖，已知△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D、E是邊BC上兩動(dòng)點(diǎn)，且滿足∠DAE=1求證：BD+CE>DE．我們把這種模型稱為“半角模型”，在解決“半角模型”問題時(shí)，旋轉(zhuǎn)是一種常用的方法．小明的解題思路：將半角∠DAE兩邊的三角形通過旋轉(zhuǎn)，在一邊合并成新的△AFE

，然后證明與半角形成的△ADE全等，再通過全等的性質(zhì)進(jìn)行等量代換，得到線段之間的數(shù)量關(guān)系．請(qǐng)你根據(jù)小明的思路寫出完整的解答過程．證明：將△ABD繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)至△ACF，使AB與AC重合，連接EF，……（2）【應(yīng)用提升】如圖，正方形ABCD（四邊相等，四個(gè)角都是直角）的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿射線AD點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)Q點(diǎn)D同時(shí)出發(fā)，以相同的速度沿射線AD方向向右運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)D時(shí)，點(diǎn)Q也停止運(yùn)動(dòng)，連接BP，過點(diǎn)P作BP的垂線交過點(diǎn)Q平行于CD的直線l于點(diǎn)E，BE與CD相交于點(diǎn)F，連接PF，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts①求∠PBE的度數(shù)；②試探索在運(yùn)動(dòng)過程中△PDF的周長(zhǎng)是否隨時(shí)間t的變化而變化？若變化，說明理由；若不變，試求這個(gè)定值．【答案】（1）見解析；（2）①45°；②不變，2【分析】（1）如圖1，將△ABD繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)至△ACF，使AB與AC重合，連接EF，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)結(jié)合已知可證△DAF≌△FAE，再根據(jù)三角形三邊關(guān)系定理即可證得結(jié)論；（2）①如圖2，根據(jù)已知結(jié)合正方形性質(zhì)證得△ABP≌△QPE，推出PB=PE，即可證出結(jié)論；②如圖3，延長(zhǎng)DA到G，使AG=CF，連接BG，證出△BAG≌△BCF，得到BG=BF，∠ABG=∠CBF，證出△PBG≌△PBF，由全等三角形的性質(zhì)得出PF=PG，由此可得出△PDF的周長(zhǎng)是定值8．【詳解】（1）如圖1，將△ABD繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)至△ACF，使AB與AC重合，連接EF，∵△ABD繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)至△ACF，∴△ABD≌△ACF

∴BD=CF，AD=AF，∠BAD=∠CAF，∵∠BAD+∠DAE+∠CAE=∠BAC，∠DAE=1∴∠BAD+∠CAE=∠DAE∴∠CAF+∠CAE=∠DAE∵∠CAE+∠CAF=∠EAF∴∠DAE=∠FAE∵AE=AE∴△DAE≌△FAE∴DE=FE∵CF+CE>EF∴BD+CE>DE（2）①如圖2，由題意：AP=DQ∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠A=90°∵AP=DQ∴AD=PQ=AB∵PB⊥PE∴∠BPE=90°∴∠ABP+∠APB=90°∠APB+∠EPQ=90°∴∠ABP=∠EPQ在△ABP和△QPE中

∵∠ABP=∠EPQ∴△ABP≌△QPE∴PB=PE∴∠PBE=∠PEB=45°②△PDF的周長(zhǎng)不隨時(shí)間t的變化而變化，如圖3，延長(zhǎng)DA到G，使AG=CF，連接BG，在△BAG和△BCF中∵BA=BC∴△BAG≌△BCF∴BG=BF，∠ABG=∠CBF∵∠PBE=45°，∠ABC=90°∴∠ABP+∠CBF=∠ABP+∠ABG=45°，∴∠PBG=∠PBF在△PBG和△PBF中∵BG=BF∴△PBG≌△PBF∴PF=PG∴PF=PA+AG=PA+CF∵正方形ABCD（四邊相等，四個(gè)角都是直角）的邊長(zhǎng)為4∴△PDF的周長(zhǎng)

=PF+DP+DF=∴△PDF的周長(zhǎng)是定值8．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)，學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形是解決本題的關(guān)鍵．23．（2022春·江蘇無錫·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6，菱形EFGH的三個(gè)頂點(diǎn)E、G、H分別在正方形ABCD的邊AB、CD、DA上，AH=2．(1)如圖1，當(dāng)DG=2時(shí)，求證：菱形EFGH是正方形．(2)如圖2，連接CF，當(dāng)△FCG的面積等于1時(shí)，求線段DG的長(zhǎng)度．【答案】(1)見解析(2)5【分析】（1）根據(jù)菱形和正方形的性質(zhì)，去證明Rt△HDG≌Rt△AEH，即可得到∠DHG=∠AEH，從而推出∠DHG+∠AHE=90°，得到（2）過F作FM⊥CD，交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，連接GE，根據(jù)菱形和正方形的性質(zhì)得到∠A=∠M，∠AEH=∠MGF，HE=FG，從而證明得到△AEH≌△MGF，得到FM=AH=2，根據(jù)△FCG的面積等于1，即可求出（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠D=∠A=90°，∵四邊形EFGH是菱形，∴HG=HE，∵DG=AH=2∴在Rt△HDG和Rt

HG=HEDG=AH∴Rt△HDG≌Rt∴∠DHG=∠AEH，∴∠DHG+∠AHE=90°，∴∠GHE=90°，∴菱形EFGH為正方形；（2）過F作FM⊥CD，交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，連接GE，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠A=90°，CD∥∴∠AEG=∠MGE，∵四邊形EFGH是菱形，∴HE∥GF，∴∠HEG=∠FGE，∴∠HEA=∠FGM，∵FM⊥CD∴∠M=90°，∴∠M=∠A，在△AEF和△MGF中，∠A=∠M∠AEH=∠MGF∴△AEH≌△MGF（AAS），∴FM=AH=2，∴S△FCG

∴CG=1，∴DG=DC?CG=6?1=5．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)和判定，菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，綜合掌握以上性質(zhì)和判定是本題的關(guān)鍵．24．（2022春·江蘇無錫·八年級(jí)統(tǒng)考期末）在正方形紙片ABCD中，點(diǎn)M、N分別是BC、AD上的點(diǎn)，連接MN．問題探究：如圖1，作DD′⊥MN，交AB于點(diǎn)D′，求證：MN＝DD′；問題解決：如圖2，將正方形紙片ABCD沿過點(diǎn)M、N的直線折疊，點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D′恰好落在AB上，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)C′，若BD′＝6，CM＝2，求線段MN的長(zhǎng).【答案】（1）見解析；（2）3【分析】（1）過點(diǎn)N作NH⊥BC于H，利用ASA證明△ADD'≌△HNM，得DD'=MN；（2）連接MD'，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x，由勾股定理得，BD'2+BM2=D'C'2+C'M2，解方程可得x的值，利用勾股定理求出DD'，再根據(jù)（1）知，DD'=MN，從而解決問題．【詳解】解：（1）證明：過點(diǎn)N作NH⊥BC于H，

∵四邊形ABCD是正方形，∴AD=AB，∠DAB=∠ABM=90°，∵∠NHB=90°，∴四邊形ABHN是矩形，∴AB=HN，∵DD′⊥MN，∴∠DON=90°，∴∠OND+∠ODN=90°，∵∠OND+∠MNH=90°，∴∠ODN=∠MNH，∵∠DAD'=∠NHM，AD=NH，∴△ADD'≌△HNM（ASA），∴MN=DD'；（2）連接MD'，DD'，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x，由勾股定理得，BD'2+BM2=D'C'2+C'M2，∴62+（x-2）2=x2+22，解得x=9，

∴AB=AD=9，∴AD'=3，由勾股定理得，DD'=310∵M(jìn)N是DD'的垂直平分線，由（1）知，DD'=MN，∴MN=310【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，翻折的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，熟練掌握正方形中的十字架模型是解題的關(guān)鍵．25．（2022春·江蘇南京·八年級(jí)校聯(lián)考期中）數(shù)學(xué)問題：如圖①，正方形ABCD中，點(diǎn)E是對(duì)角線AC上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)E作EF⊥AC，垂足為E，交BC所在直線于點(diǎn)F．探索AF與DE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．(1)特殊思考：如圖②，當(dāng)E是對(duì)角線AC的中點(diǎn)時(shí)，AF與DE之間的數(shù)量關(guān)系是______．(2)探究證明：①小明用“平移法”將AF沿AD方向平移得到DG，將原來分散的兩條線段集中到同一個(gè)三角形中，如圖③，這樣就可以將問題轉(zhuǎn)化為探究DG與DE之間的數(shù)量關(guān)系．請(qǐng)你按照他的思路，完成解題過程．②請(qǐng)你用與（2）不同的方法解決“數(shù)學(xué)問題”．【答案】(1)AF=(2)①見解析

②見解析【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)和勾股定理即可解決問題；（2）①延長(zhǎng)BC，作DG∥AF，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，連接EG，證明四邊形AFGD為平行四邊形．從而證明△CDE≌△FGE，得到△②作DG⊥DE，并截取DG=DE，連接AG，證明△DEG是等腰直角三角形，得到EG=2DE，再證明△GDA≌△EDC，EF=AG，AG∥EF，再得到四邊形

（1）AF=2∵四邊形ABCD是正方形，E是對(duì)角線AC的中點(diǎn)，∴AC⊥BD，AE＝BE＝CE＝DE，∵AB2＝AE2＋BE2，∴AB2＝2DE2，∵B點(diǎn)與F點(diǎn)重合，∴AF2＝2DE2，∴AF=2故答案為：AF=2（2）①如下圖，延長(zhǎng)BC，作DG∥AF，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，連接∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC=CD=AD，AD∥∵DG∥AF，∴四邊形AFGD為平行四邊形．∴AF＝DG，AD＝FG．∴FG＝CD．∵∠ABC=90°，AB＝BC，∴∠ACB=45°．∴∠ACD=45°∵EF⊥AC．∴∠FEC=90°．∴∠EFC=∠ECF=45°．∴EF=EC．

∴∠EFC=∠ECD．∴△CDE≌∴ED=EG，∠FEG=∠CED．∴∠DEG=∠FEC=90°．∴△DEG是等腰直角三角形∴DG∴DG=2∴AF=2②如圖，作DG⊥DE，并截取DG=DE，連接AG、GE．∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ADC=90°，CD＝AD．∴∠DAC=DCA=45°同理，∠ACB=45°．∵GD⊥DE，∴∠GDE=90°．又∵DG＝DE，∴△DEG是等腰直角三角形∴EG∴EG=2∵∠ADC=∠GDE=90°，∴∠GDA=∠EDC．∴△GDA≌∴∠GAD=∠ECD=45°，AG＝EC．

∴∠GAE=90°．∵EF⊥AC，∴∠FEC=∠FEA=90°．∴∠EFC=∠ECF=45°．∴EF=EC．∴EF=AG．∵∠GAE=∠FEA=90°，∴AG∴四邊形AGEF為平行四邊形．∴AF＝EG．∴AF=2【點(diǎn)睛】此題考查正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，生活中的平移現(xiàn)象，關(guān)鍵是根據(jù)正方形與平行四邊形的性質(zhì)、等腰直角三角形和全等三角形的判定和性質(zhì)解答．26．（2022春·江蘇南通·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，已知矩形ABCD中，AB=9，AD>AB．菱形EFGH的頂點(diǎn)H在邊AD上，且AH=4，頂點(diǎn)G，E分別是邊DC，AB上的動(dòng)點(diǎn)，連接CF．(1)當(dāng)四邊形EFGH為正方形時(shí)，直接寫出DG的長(zhǎng)等于________；(2)連接GE，判斷圖中∠1與∠2的大小關(guān)系，并說明理由；(3)若ΔFCG的面積等于12，求DG【答案】(1)4(2)∠1=∠2，理由見解析(3)3【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)及矩形的性質(zhì)得出∠DHG=∠AEH，利用全等三角形的判定和性質(zhì)求解即可；

（2）根據(jù)矩形及菱形的性質(zhì)得出∠CGE=∠GEA，∠FGE=∠HEG，結(jié)合圖形，找準(zhǔn)各角之間的關(guān)系即可得出結(jié)果；（3）作FM⊥CD，交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，連接EG，利用矩形及菱形的性質(zhì)得出∠MGF=∠AEH，再由全等三角形的判定和性質(zhì)得出MF=AH=4，利用三角形面積得出CG=6，結(jié)合圖形求解即可．（1）解：如圖所示，當(dāng)四邊形EFGH為正方形時(shí)，GH=HE，∠EHG=90°，∵四邊形ABCD為矩形，∴∠D=∠A=90°，∴∠DHG=90°-∠AHE=∠AEH，∴?DHG??AEH，∴DG=AH=4，故答案為：4；（2）證明：∵四邊形ABCD為矩形，∴AB∥CD，∴∠CGE=∠GEA，∵四邊形EFGH為菱形，∴GF∥HE，∴∠FGE=∠HEG，∴∠CGE-∠FGE=∠GEA-∠HEG，即∠1=∠2；（3）如圖，作FM⊥CD，交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，連接EG，

∵四邊形EFGH為菱形，∴GF∥HE，∴∠FGE=∠HEG，∵AB∥CD，∴∠CGE=∠GEA，∴∠CGE-∠FGE=∠GEA-∠HEG即∠MGF=∠AEH∵∠D=∠A=90°，GF=EH，∴?MGF??AEH，∴MF=AH=4，∵ΔFCG的面積等于12∴12∴CG=6，∵CD=AB=9，∴DG=CD-CG=3．【點(diǎn)睛】題目主要考查矩形、正方形及菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等，理解題意，綜合運(yùn)用這些知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．27．（2022春·江蘇泰州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知點(diǎn)E為平行四邊形ABCD外一點(diǎn)．

(1)如圖1，若∠AEC=∠BED=90°，求證：平行四邊形ABCD是矩形；(2)如圖2，若∠AEB=∠BEC=∠CED=45°，過點(diǎn)B作BF⊥BE交EC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．①求證：四邊形ABCD是正方形；②探索線段AE、CE與BE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明你的理由；直接寫出線段DE、CE與BE之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)證明見解析(2)①證明見解析；②CE+AE=2BE，理由見解析；【分析】（1）連接EO，利用直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半進(jìn)行證明即可；（2）①通過證明△ABE≌△CBF，即可證明四邊形ABCD是正方形；②由△ABE≌△CBF，可得AE=CF，再由CE+AE=EF=2BE；過點(diǎn)C作CP⊥BE交于P，過點(diǎn)C作CQ⊥ED交于Q，可證明△BCP≌△DCQ，再由EC=2（1）證明：如圖，連接OE，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴點(diǎn)O為AC，BD的中點(diǎn)，∵∠AEC=∠BED=90°，∴AC=2OE，BD=2OE，

∴AC=BD，∴四邊形ABCD是矩形；（2）①證明：∵∠AEB=∠BEC=∠CED=45°，∴∠AEC=∠BED=90°，由（1）得：四邊形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，∵∠BEC=45°，BF⊥BE，∴△BEF是等腰直角三角形，∴BE=BF，∠F=45°，∴∠AEB=∠F，∵∠ABC=90°，∠EBF=90°，∴∠ABE=∠CBF，∴△ABE≌△CBF（ASA），∴AB=BC，∴四邊形ABCD是正方形；②CE+AE=2∵△ABE≌△CBF，∴AE=CF，∴CE+AE=CE+CF=EF，∵△BEF是等腰直角三角形，∴EF=2∴CE+AE=2過點(diǎn)C作CP⊥BE于點(diǎn)P，過點(diǎn)C作CQ⊥ED于點(diǎn)Q，

∵四邊形ABCD是正方形，∴BC=CD，∠BCD=90°，∵∠PCQ=∠BCD=90°，∴∠DCQ=∠BCP，∴△BCP≌△DCQ（AAS），∴BP=DQ，∵∠CED=45°，∴△CEQ是等腰三角形，∴EQ=CQ，∴EC=∵∠BEC=45°，∴PE=PC，∴EC=2∴PE=2∴EC=2∴DE+BE=2【點(diǎn)睛】本題是四邊形的綜合題，熟練掌握矩形的判定及性質(zhì)，正方形的判定及性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形全等的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．28．（2022春·江蘇泰州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）已知：在正方形ABCD中，AB=4，點(diǎn)E是邊CD上一點(diǎn)（點(diǎn)E不與點(diǎn)C、D重合），DE=t，連接AE，過點(diǎn)B作BF⊥AE，垂足為G，交AD于點(diǎn)F．(1)如圖1，若t=3．①求BF的長(zhǎng)；

②求四邊形DEGF的面積．(2)如圖2，過點(diǎn)E作AE的垂線，交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，交BC于點(diǎn)H，求DG+CH的長(zhǎng)（用含t的代數(shù)式表示）．【答案】(1)①5；②96(2)t【分析】（1）①由“ASA”證明△BAF≌△EAD，得出AF＝DE＝3，再由勾股定理即可求出BF的長(zhǎng)；②利用等積法求出AG的長(zhǎng)度，由勾股定理得出BG的長(zhǎng)度，再由S四邊形DEGF＝S△ABG，即可求出四邊形DEGF的面積；（2）先證明四邊形四邊形BHGF是平行四邊形，得出FG＝BH，由BC＝BH＋CH，AD＝AF＋FD，得出FD＋DG＋CH＝AF＋FD，即可得出DG＋CH＝AF＝t．（1）解：①∵在正方形ABCD中，∴∠BAF=∠ADE=90°，∵BF⊥AE，∴∠AGB=90∴∠ABG+∠BAG=90°，∴∠DAE=∠ABF，在ΔBAF和Δ{∠FBA=∠EAD∴ΔADE?∴AE=BF，DE=AF，∵AB=4，AF=3，在Rt△ABF中，BF∴BF=5；②由①知ΔADE?∴SΔADE＝∵AB=4，AF=3，BF=5，

∴12AB·AF=1∴SΔ∴S四邊形∵在RtΔABG中，∠AGB=90°，AB=4，∴BG=A∴S四邊形DEGF=（2）解：∵AE⊥HM，BF⊥AE，∴∠AGB=∠AEH=90∴BF∥∵四邊形ABCD是正方形，∴AD∥∴四邊形FBHM為平行四邊形，∴FM=BH，而BH+HC=BC，∴FM+HC=BC=AD，∴FD+DM+HC=AD，∵AF+FD=AD，∴AF=DM+HC，由（1）知DE=AF，∴DM+HC=DE=t．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，掌握正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定，直角三角形的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．29．（2022春·江蘇泰州·八年級(jí)校聯(lián)考期中）在矩形ABCD中，AB=10，BC=6，P為射線BC上一點(diǎn)，將△ABP沿直線AP翻折至△AEP的位置，使點(diǎn)B落在點(diǎn)E處．

(1)若P為BC邊上一點(diǎn)．①如圖1，當(dāng)點(diǎn)E落在邊CD上時(shí)，直接寫出此時(shí)CE=；②如圖2，連接CE，若CE∥則BP與BC有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說明理由；(2)如果點(diǎn)P在BC的延長(zhǎng)線上，當(dāng)△PEC為直角三角形時(shí)，求PB的長(zhǎng)．【答案】(1)①2；②BC＝2BP，見解析(2)BP＝10或30【分析】（1）①利用勾股定理求出DE的長(zhǎng)即可；②根據(jù)平行線的性質(zhì)和翻折的性質(zhì)可證EP=CP，BP=PE，從而BP=PC，進(jìn)而得BC＝2BP；（2）由△PEC是直角三角形，∠EPC=90°時(shí)，這時(shí)四邊形ABPE是正方形，得PB=AB=10；當(dāng)∠ECP=90°時(shí)，設(shè)BP=x，則PC=x-6，在Rt△