初中數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)1 勾股定理“十校聯(lián)賽”一等獎(jiǎng)

18.1勾股定理

相傳2500年前，畢達(dá)哥拉斯有一次在朋友家作客時(shí)，發(fā)現(xiàn)朋友家用磚鋪成的地面圖案反映了直角三角形三邊的某種數(shù)量關(guān)系．

我們也來(lái)觀察右圖中的地面圖案，看看能發(fā)現(xiàn)些什么？重溫偉大的發(fā)現(xiàn)（圖中每一格代表一平方厘米）觀察左圖：（1）正方形P的面積是

平方厘米。（2）正方形Q的面積是

平方厘米。（3）正方形R的面積是

平方厘米。121SP+SQ=SRRQPACBAC2+BC2=AB2重溫偉大的發(fā)現(xiàn)上面三個(gè)正方形的面積之間有什么關(guān)系？上面三角形ABC三邊之間有什么關(guān)系？請(qǐng)同學(xué)們以格點(diǎn)為頂點(diǎn)，畫(huà)一個(gè)任意三角形ABCRQP把R看作是大正方形面積減去四個(gè)直角三角形的面積。（圖中每一格代表一平方厘米）重溫偉大的發(fā)現(xiàn)ABCRQP把R看作是小正方形面積加上四個(gè)直角三角形的面積。（圖中每一格代表一平方厘米）重溫偉大的發(fā)現(xiàn)ABCRQP（圖中每一格代表一平方厘米）觀察左圖：（1）正方形P的面積是

平方厘米。（2）正方形Q的面積是

平方厘米。（3）正方形R的面積是

平方厘米。9方法二1625（1）你能用直角三角形的邊長(zhǎng)表示上述正方形的面積嗎？（2）你能發(fā)現(xiàn)直角三角形三邊長(zhǎng)度之間存在什么關(guān)系嗎？SQ=AC2,SP=BC2,SR=AB2方法一AC2+BC2=AB2SQ+SP=SR重溫偉大的發(fā)現(xiàn)勾股定理：直角三角形的兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。ABC表示為：在

ABC中，C=90

AC2+BC2=AB2abc（a2+b2=c2）勾股弦在西方又稱(chēng)為畢達(dá)哥拉斯定理……勾股定理注意：勾股定理的前提條件是直角三角形?。aabbbccc大正方形的面積可以表示為：你能通過(guò)構(gòu)造上圖正方形證明勾股定理嗎？abc所以：化簡(jiǎn)得：八年級(jí)下冊(cè)勾股定理的證明aABCbcEFGHPQMN12∟3abc中國(guó)最早對(duì)勾股定理進(jìn)行證明的，是三國(guó)時(shí)期吳國(guó)的數(shù)學(xué)家趙爽。趙爽創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”（左圖），用形數(shù)結(jié)合得到方法，給出了勾股定理的詳細(xì)證明。趙爽的這個(gè)證明可謂別具匠心，極富創(chuàng)新意識(shí)。這個(gè)圖也被后人稱(chēng)為“趙爽弦圖”。大正方形的面積可以表示為：所以：化簡(jiǎn)得：八年級(jí)下冊(cè)勾股定理的證明2002年在北京召開(kāi)的國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)（ICM－2002）的會(huì)標(biāo)，其圖案正是“弦圖”，它標(biāo)志著中國(guó)古代的數(shù)學(xué)成就.加菲爾德證法（總統(tǒng)證法）:aabbcc

s梯形=(a+b)(a+b)=(a2+2ab+b2)=a2+ab+b2s梯形=2×ab+c2=ab+c2∵s梯形=s梯形

∴a2+ab+b2=ab+c2

∴a2+b2=c2詹姆斯·艾伯拉姆·加菲爾德

(1831～1881）

美國(guó)政治家、數(shù)學(xué)家，美國(guó)共和黨人，美國(guó)第20任總統(tǒng).他在數(shù)學(xué)方面的貢獻(xiàn)主要是在勾股定理的證明方面的新成就，他也是美國(guó)歷史上唯一一位數(shù)學(xué)家出身的總統(tǒng)。勾股定理的證明∟∟∟勾股定理的運(yùn)用勾股定理的運(yùn)用:

已知直角三角形的任意兩條邊長(zhǎng)，求第三條邊長(zhǎng).a2=c2-b2b2=c2-a2c2=a2+b2ACBbac例1如圖，在Rt△ABC中,∠ACB=900，BC=12,AC=5,（1）求AB的長(zhǎng).（2）求AB邊上的高的長(zhǎng)。B12AC524勾股定理的運(yùn)用勾股定理的運(yùn)用練習(xí)：1.設(shè)直角三角形的兩條直角邊分別為a，b，斜邊長(zhǎng)為c.(1)已知a=6，c=10，求b.(2)已知a=5，c=12，求b.(3)已知c=25,b=15,求a.ACBbac勾股定理的運(yùn)用練習(xí)：

1.在Rt△ABC中，AB=c,BC=a,AC=b,(1)已知∠C=90°,a=3,b=4,則c=______;(2)已知∠B=90°,a=3,b=4,則c=_____;55或ABCACB343452.已知Rt△ABC中，a=3,b=4,則c=_____________;勾股定理的運(yùn)用例2.如圖，在△ABC中，∠A=45°，