數(shù)學(xué)-專項(xiàng)20 四邊形中的折疊問題（原版）

專題20四邊形中的折疊問題（原卷版）類型一平行四邊形的折疊問題1．（2021?饒平縣校級(jí)模擬）如圖，E，F(xiàn)分別是?ABCD的邊AD，BC上的點(diǎn)，∠DEF＝60°，EF＝2，將四邊形EFCD沿EF翻折，得到四邊形EFC′D′，ED′交BC于點(diǎn)G，則△GEF的周長為（）A．6 B．12 C．62 D．2（1+22．（2022秋?市南區(qū)校級(jí)期末）如圖，將平行四邊形ABCD沿EF對(duì)折，使點(diǎn)A落在點(diǎn)C處．若∠A＝60°，AD＝4，AB＝6，則AE的長為．3．（2012?威海）（1）如圖①，?ABCD的對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，直線EF過點(diǎn)O，分別交AD，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)．求證：AE＝CF．（2）如圖②，將?ABCD（紙片）沿過對(duì)角線交點(diǎn)O的直線EF折疊，點(diǎn)A落在點(diǎn)A1處，點(diǎn)B落在點(diǎn)B1處，設(shè)FB1交CD于點(diǎn)G，A1B1分別交CD，DE于點(diǎn)H，I．求證：EI＝FG．4．（2020秋?興慶區(qū)校級(jí)月考）如圖，在平行四邊形ABCD中，AB＝2，AD＝1，∠B＝60°，將平行四邊形ABCD沿過點(diǎn)A的直線l折疊，使點(diǎn)D落到AB邊上的點(diǎn)D'處，折痕交CD邊于點(diǎn)E．（1）求證：四邊形BCED'是菱形；（2）若點(diǎn)P是直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，請(qǐng)作出使PD'+PB為最小值的點(diǎn)P，并計(jì)算PD'+PB．

5．（2020秋?淮陰區(qū)校級(jí)月考）我們知道平行四邊形有很多性質(zhì)．現(xiàn)在如果我們把平行四邊形沿著它的一條對(duì)角線翻折，會(huì)發(fā)現(xiàn)這其中還有更多的結(jié)論．如圖，已知平行四邊形ABCD中，∠B＝30°，AB≠BC，將△ABC沿AC翻折至△AB′C，連接B'D．【發(fā)現(xiàn)與證明】：如圖1：（1）說明：△AGC是等腰三角形；（2）填空：B'D與AC的位置關(guān)系是．【應(yīng)用與解答】：如圖2：如果AB＝5，BC=3，AB'與CD相交于點(diǎn)E，求AE【拓展與探究】：當(dāng)AB＝5，BC＝時(shí)，△AB′D為直角三角形．類型二矩形中的折疊問題6．（2020?長清區(qū)二模）將矩形ABCD按如圖所示的方式折疊，BE、EG、FG為折痕，若頂點(diǎn)A、C、D都落在點(diǎn)O處，且點(diǎn)B、O、G在同一條直線上，同時(shí)點(diǎn)E、O、F在另一條直線上，則ADAB的值為27．（2021春?德宏州期末）如圖，將矩形紙片ABCD沿BE折疊，使點(diǎn)A落在對(duì)角線BD上的A′處．若∠DBC＝24°，則∠A′EB等于（）A．24° B．33° C．57° D．66°8．（2021春?蒼溪縣期中）如圖，有一張長方形紙片ABCD，AB＝8cm，BC＝10cm，點(diǎn)E為CD上一點(diǎn)，將紙片沿AE折疊，BC的對(duì)應(yīng)邊B'C'恰好經(jīng)過點(diǎn)D，則線段CE的長為（）cm．A．3 B．4 C．5 D．6

9．（2022?石城縣模擬）如圖，把一張矩形紙片ABCD按如圖所示方法進(jìn)行兩次折疊后，△BEF恰好是等腰直角三角形，若BC＝1，則AB的長度為（）A．43 B．2 C．5+1210．（2021春?江陰市期中）如圖①是一張矩形紙片，按以下步驟進(jìn)行操作：（Ⅰ）將矩形紙片沿DF折疊，使點(diǎn)A落在CD邊上點(diǎn)E處，如圖②；（Ⅱ）在第一次折疊的基礎(chǔ)上，過點(diǎn)C再次折疊，使得點(diǎn)B落在邊CD上點(diǎn)B′處，如圖③，兩次折痕交于點(diǎn)O；（Ⅲ）展開紙片，分別連接OB、OE、OC、FD，如圖④．【探究】（1）證明：△OBC≌△OED；（2）若AB＝8，設(shè)BC為6，求OB的長．11．（2020春?鯉城區(qū)校級(jí)期中）如圖，在矩形紙片ABCD中，AB＝3cm，AD＝5cm，折疊紙片使B點(diǎn)落在邊AD上的點(diǎn)E處，折痕為PQ．過點(diǎn)E作EF∥AB交PQ于點(diǎn)F，連接BF．（1）若AP：BP＝1：2，則AE的長為．（2）求證：四邊形BFEP為菱形；（3）當(dāng)點(diǎn)E在AD邊上移動(dòng)時(shí)，折痕的端點(diǎn)P、Q也隨之移動(dòng)．若限定點(diǎn)P，Q分別在邊AB、BC上移動(dòng)，求出點(diǎn)E在邊AD上移動(dòng)的最大距離．

類型三菱形中的折疊問題12．（2022春?河北區(qū)校級(jí)月考）如圖，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AB，BC上，將菱形沿EF折疊，點(diǎn)B恰好落在AD邊上的點(diǎn)G處，且EG⊥AC，若CD＝8，則FG的長為（）A．6 B．43 C．8 D．6213．（2020?雁塔區(qū)校級(jí)模擬）如圖，菱形ABCD的對(duì)角線長分別為6和8，點(diǎn)O為對(duì)角線的交點(diǎn)，過點(diǎn)O折疊菱形，使B，H兩點(diǎn)重合，EF是折痕．若HE＝1.5，則CF的長為（）A．52 B．4 C．7214．（2019春?臨海市期末）在?ABCD中，點(diǎn)E是AB邊上的點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B重合），點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)，連接EO并延長交CD于點(diǎn)F，將四邊形ADFE沿EF折疊，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A'，點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為D'．（1）如圖1，若AB與D'F交點(diǎn)為K，求證：△EKF為等腰三角形；（2）若∠B＝60°，AB＝6，BC＝4．①如圖2，當(dāng)點(diǎn)A'與點(diǎn)C重合時(shí)，求CE的長；②當(dāng)∠AEA'＝90°時(shí)，請(qǐng)?jiān)趫D3中畫出示意圖，并求出AE的長；（3）如圖4，若四邊形ABCD是菱形，AB＝6，∠B＝60°，將菱形ABCD沿EF折疊，D'F交BC于點(diǎn)Q，D'A'分別交AB、BC于點(diǎn)G、P．請(qǐng)判斷△PQD'的周長是否為定值，如果是，請(qǐng)直接寫出這個(gè)定值．

類型四正方形中的折疊問題15．（2022?興慶區(qū)校級(jí)一模）如圖，正方形紙片ABCD中，AB＝6，G是BC的中點(diǎn)．將△ABG沿AG翻折至△AFG，延長GF交DC于點(diǎn)E，則DE的長等于．16．（2022春?河西區(qū)期末）如圖，正方形紙片ABCD的邊長為12，E是邊CD上一點(diǎn)，連接AE，折疊該紙片，使點(diǎn)A恰好落在AE上的G處，得到折痕BF，與AD交于點(diǎn)F．（Ⅰ）當(dāng)E是CD的中點(diǎn)時(shí)，求AF的長；（Ⅱ）若DE＝5，求GE的長．17．（2020秋?達(dá)川區(qū)期末）如圖，有一張面積為1的正方形紙片ABCD，M、N分別是AD，BC邊上的中點(diǎn)，將點(diǎn)C折疊至MN上，落在P點(diǎn)的位置上，折痕為BQ，連PQ，則PQ的長為（）A．12 B．33 C．1318．（2021?漢陽區(qū)校級(jí)模