八年級數(shù)學(xué)上冊專題13.3 等腰三角形+專題13.4 最短路徑問題（教師版）

專題13.3等腰三角形+專題13.4最短路徑問題目標導(dǎo)航目標導(dǎo)航1.掌握等腰三角形的性質(zhì)，并能用它證明兩個角相等，兩條線段相等及兩條直線垂直等；2.掌握等腰（等邊）三角形的判定定理；3.熟練運用等腰（等邊）三角形的性質(zhì)定理與判定定理進行推理與計算；4.熟練軸對稱和兩點之間，線段最短解決最短路徑問題（將軍飲馬模型）。知識精講知識精講知識點01等腰三角形的性質(zhì)【知識點】（1）定義：有兩邊相等的三角形，叫做等腰三角形.其中相等的兩條邊叫做腰，另一邊叫做底，兩腰所夾的角叫做頂角，底邊與腰的夾角叫做底角.如圖所示，在△ABC中，AB＝AC，則它叫等腰三角形，其中AB、AC為腰，BC為底邊，∠A是頂角，∠B、∠C是底角．（2）等腰三角形性質(zhì)①等腰三角形的兩個底角相等，即“等邊對等角”；②等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線與底邊上的高線互相重合（簡稱“三線合一”）.特別地，等腰直角三角形的每個底角都等于45°.等腰三角形的性質(zhì)的作用性質(zhì)1證明同一個三角形中的兩角相等.是證明角相等的一個重要依據(jù)．性質(zhì)2用來證明線段相等，角相等，垂直關(guān)系等．【知識拓展1】等腰三角形的性質(zhì)（角度、長度問題）例1.（2022江西吉安期末）已知等腰三角形的其中二邊長分別為3，6，則這個等腰三角形的周長為（

）A．12或15 B．12 C．13 D．15【答案】D【分析】因為已知長度為3和6兩邊，沒有明確是底邊還是腰，所以有兩種情況，需要分類討論．【詳解】解：①當3為底時，其它兩邊都為6，3、6、6可以構(gòu)成三角形，周長為15；②當3為腰時，其它兩邊為3和6，∵3+3=6=6，∴不能構(gòu)成三角形，故舍去，∴答案只有15．故選：D．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系；已知沒有明確腰和底邊的題目一定要想到兩種情況，分類進行討論，還應(yīng)驗證各種情況是否能構(gòu)成三角形進行解答，這點非常重要，也是解題的關(guān)鍵．例2.（2022?紹興）如圖，在△ABC中，∠A＝40°，點D，E分別在邊AB，AC上，BD＝BC＝CE，連結(jié)CD，BE．（1）若∠ABC＝80°，求∠BDC，∠ABE的度數(shù)；（2）寫出∠BEC與∠BDC之間的關(guān)系，并說明理由．【解題思路】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠BDC＝∠BCD=（180°﹣80°）＝50°，根據(jù)三角形的內(nèi)角定理得到∠ACB＝180°﹣40°﹣80°＝60°，推出△BCE是等邊三角形，得到∠EBC＝60°，于是得到結(jié)論；（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠CBE＝∠BEC＝α，再根據(jù)△BDC的內(nèi)角和等于180°，求得β，得出α+β的值，于是得到結(jié)論．【解答過程】解：（1）∵∠ABC＝80°，BD＝BC，∴∠BDC＝∠BCD=（180°﹣80°）＝50°，∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∠A＝40°，∴∠ACB＝180°﹣40°﹣80°＝60°，∵CE＝BC，∴△BCE是等邊三角形，∴∠EBC＝60°，∴∠ABE＝∠ABC﹣∠EBC＝80°﹣60°＝20°；（2）∠BEC與∠BDC之間的關(guān)系：∠BEC+∠BDC＝110°，理由：設(shè)∠BEC＝α，∠BDC＝β，在△ABE中，α＝∠A+∠ABE＝40°+∠ABE，∵CE＝BC，∴∠CBE＝∠BEC＝α，∴∠ABC＝∠ABE+∠CBE＝∠A+2∠ABE＝40°+2∠ABE，在△BDC中，BD＝BC，∴∠BDC+∠BCD+∠DBC＝2β+40°+2∠ABE＝180°，∴β＝70°﹣∠ABE，∴α+β＝40°+∠ABE+70°﹣∠ABE＝110°，∴∠BEC+∠BDC＝110°．【即學(xué)即練】1．（2022江蘇蘇州市月考）等腰三角形的一個角是80°，則它底角的度數(shù)是（

）A．80°或20° B．80° C．80°或50° D．20°【答案】C【分析】據(jù)題意，分已知角是底角與不是底角兩種情況討論，結(jié)合三角形內(nèi)角和等于180°，分析可得答案．【詳解】解：根據(jù)題意，一個等腰三角形的一個角等于80°，①當這個角是底角時，即該等腰三角形的底角的度數(shù)是80°，②設(shè)該等腰三角形的底角是x，則2x+80°=180°，解可得，x=50°，即該等腰三角形的底角的度數(shù)是50°；綜上，該等腰三角形的底角的度數(shù)是50°或80°．故選：C．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，及三角形內(nèi)角和定理；通過三角形內(nèi)角和定理，列出方程求解是正確解答本題的關(guān)鍵．2．（2022?東營期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，DE是邊AB的垂直平分線，交AB于E、交AC于D，連接BD．（1）若∠A＝40°，求∠DBC的度數(shù)；（2）若△BCD的周長為16cm，△ABC的周長為26cm，求BC的長．【解題思路】（1）首先計算出∠ABC的度數(shù)，再根據(jù)線段垂直平分線上任意一點，到線段兩端點的距離相等可得AD＝BD，進而可得∠ABD＝∠A＝40°，然后可得答案；（2）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得AD＝DB，AE＝BE，然后再計算出AC+BC的長，再利用△ABC的周長為26cm可得AB長，進而可得答案．【解答過程】解：（1）∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∠A＝40°，∴∠ABC==70°，∵DE是邊AB的垂直平分線，∴DA＝DB，∴∠DBA＝∠A＝40°，∴∠DBC＝∠ABC﹣∠DBA＝70°﹣40°＝30°；（2）∵△BCD的周長為16cm，∴BC+CD+BD＝16，∴BC+CD+AD＝16，∴BC+CA＝16，∵△ABC的周長為26cm，∴AB＝26﹣BC﹣CA＝26﹣16＝10，∴AC＝AB＝10，∴BC＝26﹣AB﹣AC＝26﹣10﹣10＝6cm．【知識拓展2】等腰三角形的性質(zhì)（三線合一問題）例2.（2022?紅花崗區(qū)校級期中）如圖，在△ABC中，AB＝AC，D是BC邊上的中點，連結(jié)AD，BE平分∠ABC交AC于點E，過點E作EF∥BC交AB于點F．（1）若∠C＝40°，求∠BAD的度數(shù)；（2）求證：FB＝FE．【解題思路】（1）利用等腰三角形的三線合一的性質(zhì)證明∠ADB＝90°，再利用等腰三角形的性質(zhì)求出∠ABC即可解決問題．（2）只要證明∠FBE＝∠FEB即可解決問題．【解答過程】解：∵AB＝AC，∠C＝40°∴∠ABC＝∠C＝40°，∵BD＝CD，AB＝AC，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴∠BAD＝90°﹣∠ABC＝90°﹣40°＝50°．（2）證明：∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE=∠ABC，∵EF∥BC，∴∠FEB＝∠CBE，∴∠FBE＝∠FEB，∴FB＝FE．【即學(xué)即練】1.（2022.綿陽市八年級期中）如圖，在△ABC中，點D是AB的中點，點F是BC延長線上一點，連接DF，交AC于點E，連接BE，∠A＝∠ABE。（1）求證：ED平分∠AEB；（2）若AB＝AC，∠A＝38°，求∠F的度數(shù)．【解題思路】（1）利用等腰三角形的三線合一即可解決問題．（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出∠ABE，證明∠BDF＝90°．【解答過程】（1）證明：∵∠A＝∠ABE，∴EA＝EB，∵AD＝DB，∴DE是∠AEB的平分線．（2）解：∵∠A＝38°，∴∠ABE＝∠A＝38°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝71°，∵EA＝EB，AD＝DB，∴ED⊥AB，∠F＝90°﹣∠ABC＝19°．【知識拓展3】等腰三角形的性質(zhì)（多結(jié)論問題）例3．（2022?商河縣八年級期中）如圖，△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，D為線段BC上一動點（不與點B，C重合），連接AD，作∠ADE＝40°，DE交線段AC于E，以下四個結(jié)論：①∠CDE＝∠BAD；②當D為BC中點時，DE⊥AC；③當△ADE為等腰三角形時，∠BAD＝20°；④當∠BAD＝30°時，BD＝CE．其中正確的結(jié)論的個數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解題思路】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠B＝∠C＝40°，根據(jù)三角形的內(nèi)角和和平角的定義即可得到∠BAD＝∠CDE；根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到AD⊥BC，根據(jù)三角形的內(nèi)角和即可得到DE⊥AC；根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得到∠AED＞40°，求得∠ADE≠∠AED，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和得到∠BAD＝60°，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BD＝CE．【解答過程】解：①∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝40°，∴∠BAD＝180°﹣40°﹣∠ADB，∠CDE＝180°﹣40°﹣∠ADB，∴∠BAD＝∠CDE；故①正確；②∵D為BC中點，AB＝AC，∴AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴∠CDE＝50°，∵∠C＝40°，∴∠DEC＝90°，∴DE⊥AC，故②正確；③∵∠C＝40°，∴∠AED＞40°，∴∠ADE≠∠AED，∵△ADE為等腰三角形，∴AE＝DE，∴∠DAE＝∠ADE＝40°，∵∠BAC＝180°﹣40°﹣40°＝100°，∴∠BAD＝60°，或∵△ADE為等腰三角形，∴AD＝DE，∴∠DAE＝∠AED＝70°，∵∠BAC＝180°﹣40°﹣40°＝100°，∴∠BAD＝30°，故③錯誤，④∵∠BAD＝30°，∴∠CDE＝30°，∴∠ADC＝70°，∴∠CAD＝180°﹣70°﹣40°＝70°，∴∠DAC＝∠ADC，∴CD＝AC，∵AB＝AC，∴CD＝AB，∴△ABD≌△DCE（ASA），∴BD＝CE；故④正確；故選：C．【即學(xué)即練】1.（2022?宿州期中）如圖所示，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E、F，則下列四個結(jié)論中，①AB上一點與AC上一點到D的距離相等；②AD上任意一點到AB、AC的距離相等；③∠BDE＝∠CDF；④BD＝CD，AD⊥BC．其中正確的個數(shù)是（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【解題思路】根據(jù)等邊對等角的性質(zhì)可得∠B＝∠C，根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊的距離相等可得AD上的點到AB、AC兩邊的距離相等，再根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得BD＝CD，AD⊥BC，然后對各小題分析判斷解答即可．【解答過程】解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，∴AB上一點與AC上一點到D的距離相等錯誤；AD上任意一點到AB、AC的距離相等正確，故①錯誤，②正確；又∵∠BDE＝90°﹣∠B，∠CDF＝90°﹣∠C，∴BDE＝∠CDF，故③正確；根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)，BD＝CD，AD⊥BC，故④正確，綜上所述，正確的結(jié)論有②③④共3個．故選：C．知識點02等腰三角形的判定【知識點】等腰三角形的判定：如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（即“等角對等邊”）.注意：等腰三角形的判定是證明兩條線段相等的重要定理，是將三角形中的角的相等關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的相等關(guān)系的重要依據(jù).等腰三角形的性質(zhì)定理和判定定理是互逆定理.【知識拓展1】等腰三角形的判定（個數(shù)問題、操作問題）例1．（2022江蘇南京八年級月考）如圖，四邊形ABCD是正方形，M、N分別為邊AB、AD的中點，點P在正方形的邊上（包括頂點），且△MNP是等腰三角形，則符合條件的點P的個數(shù)有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】D【分析】根據(jù)等腰三角形的判定定理即可得到結(jié)論．【詳解】解：如圖，∵△MNP是等腰三角形，∴符合條件的點P的個數(shù)有4個，故選：D．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，等腰三角形的判定，找出符合條件的點P的個數(shù)是解題的關(guān)鍵．例2．（2022·上虞初二月考）在如圖所示的三角形中，∠A＝30°，點P和點Q分別是邊AC和BC上的兩個動點，分別連接BP和PQ，把△ABC分割成三個三角形△ABP，△BPQ，△PQC，若分割成的這三個三角形都是等腰三角形，則∠C有可能的值有________個．【答案】7【分析】①當AB=AP，BQ=PQ，CP=CQ時；②當AB=AP，BP=BQ，PQ=QC時；③當APB，PB=BQ，PQ=CQ時；④AP=PB，PB=PQ，PQ=QC時；根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和即可得到結(jié)論．【解析】解：如圖所示，共有9種情況，∠C的度數(shù)有7個，分別為80°，40°，35°，20°，25°，100°，50°．①當AB=AP，BQ=PQ，CP=CQ時；②當AB=AP，BP=BQ，PQ=QC時，③當AP=AB，PQ=CQ，PB=PQ時．④當AP=AB，PQ=PC，BQ=PQ時，⑤當AP=BP，CP=CQ，QB=PQ時，⑥當AP=PB，PB=BQ，PQ=CQ時；⑦AP=PB，PB=PQ，PQ=QC時．⑧AP=PB，QB=PQ，PQ=CC時．⑨BP=AB，PQ=BQ，PQ=PC時．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【即學(xué)即練1】1．（山東省菏澤市鄆城縣2021-2022學(xué)年八年級下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）在正方形網(wǎng)格中，網(wǎng)格線的交點稱為格點．如圖，已知，是兩格點，如果點也是格點，且使得是以為腰的等腰三角形，那么點的個數(shù)有（

）A．個 B．個 C．個 D．個【答案】B【分析】據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)，分別以A、B為圓心，AB為半徑作圓與網(wǎng)格線的交點即為點C，即得到點C的個數(shù)．【詳解】解：如圖，以為等腰其中的一條腰時，符合條件的點有個．故選：B．【點睛】本題考查了等腰三角形的判定；解答本題關(guān)鍵是根據(jù)題意，畫出符合實際條件的圖形，再利用數(shù)學(xué)知識來求解,數(shù)形結(jié)合的思想是數(shù)學(xué)解題中很重要的解題思想．【知識拓展2】等腰三角形的判定（證明問題）例2．（陜西咸陽2021-2022學(xué)年八年級下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）如圖，E為的外角平分線上的一點，AE//BC，．(1)求證：是等腰三角形；(2)若，求CE的長．【答案】(1)證明見解析(2)4【分析】（1）先根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，，再根據(jù)角平分線的定義可得，從而可得，然后根據(jù)等腰三角形的判定即可得證；（2）先根據(jù)三角形全等的判定證出，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得．（1）證明：∵AE//BC，，，為的外角平分線上的一點，，，，是等腰三角形．（2）解：由（1）已得：，，在和中，，，，，．【點睛】本題考查了等腰三角形的判定、三角形全等的判定與性質(zhì)等知識點，熟練掌握等腰三角形的判定是解題關(guān)鍵．【即學(xué)即練2】2．（2022?鼓樓區(qū)校級期中）如圖，在△ABC中，點E在AB上，點D在BC上，BD＝BE，∠BAD＝∠BCE，AD與CE相交于點F．（1）證明：BA＝BC；（2）求證：△AFC為等腰三角形．【解題思路】（1）利用AAS證明△ABD≌△CBE可證得答案；（2）由（1）易得∠BAC＝∠BCA，進而可求解∠FAC＝∠FCA，即可證明結(jié)論．【解答過程】證明：（1）在△ABD和△CBE中，，∴△ABD≌△CBE（AAS），∴BA＝BC；（2）∵BA＝BC，∴∠BAC＝∠BCA，∵∠BAD＝∠BCE，∴∠FAC＝∠FCA，∴FA＝FC，∴△AFC為等腰三角形．知識點03等邊三角形的性質(zhì)【知識點】等邊三角形定義：三邊都相等的三角形叫等邊三角形.注意：由定義可知，等邊三角形是一種特殊的等腰三角形．也就是說等腰三角形包括等邊三角形．等邊三角形的性質(zhì)：等邊三角形三個內(nèi)角都相等，并且每一個內(nèi)角都等于60°.【知識拓展1】等邊三角形的性質(zhì)（角度、長度問題）例1．（湖北省孝感市孝南區(qū)2021-2022學(xué)年八年級上學(xué)期作業(yè)檢測數(shù)學(xué)試題）如圖，已知等邊三角形ABC的邊長為4，過AB邊上一點P作PE⊥AC于點E，Q為BC延長線上一點，取PA=CQ，連接PQ，交AC于M，則EM的長為______．【答案】2【分析】過P作PF∥BC交AC于F，得出等邊三角形APF，推出AP=PF=QC，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)求出EF=AE，證△PFM≌△QCM，推出FM=CM，推出ME=AC即可．【詳解】解：過P作PF∥BC交AC于F，如圖所示：∵PF∥BC，△ABC是等邊三角形，∴∠PFM=∠QCM，∠APF=∠B=60°，∠AFP=∠ACB=60°，∠A=60°，∴△APF是等邊三角形，∴AP=PF=AF，∵PE⊥AC，∴AE=EF，∵AP=PF，AP=CQ，∴PF=CQ，在△PFM和△QCM中，，∴△PFM≌△QCM（AAS），∴FM=CM，∵AE=EF，∴EF+FM=AE+CM，∴AE+CM=ME=AC，∵AC=4，∴ME=2，故答案為：2．【點睛】本題綜合考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，等邊三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)等知識點的應(yīng)用；熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)與判定，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．【即學(xué)即練1】1.（福建省寧德市古田縣2021-2022學(xué)年八年級下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）如圖，等邊中，，垂足為，點在線段上，，則等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先判斷出AD是BC的垂直平分線，進而求出∠ECB=45°，即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵等邊三角形ABC中，AD⊥BC，∴BD=CD，即：AD是BC的垂直平分線，∵點E在AD上，∴BE=CE，∴∠EBC=∠ECB，∵∠EBC=45°，∴∠ECB=45°，∵△ABC是等邊三角形，∴∠ACB=60°，∴∠ACE=∠ACB-∠ECB=15°，故選：A．【點睛】此題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，垂直平分線的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，求出∠ECB是解本題的關(guān)鍵．2．（陜西省安康市紫陽縣2021-2022學(xué)年八年級上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題）如圖，在等邊△ABC中，AB＝4cm，BD平分∠ABC，點E在BC的延長線上，且，則CE的長是（

）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm【答案】B【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得AC=AB=4，由等邊三角形三線合一得到CD，由∠ACB=60°，∠E=30°，求出∠CDE，得出CD=CE，即可求解．【詳解】∵△ABC是等邊三角形，∴AC=AB=BC=4cm，∠ACB=60°，∵BD平分∠ABC，∴AD=CD(三線合一)∴DC=cm，∵∠E=30°∴∠CDE=∠ACB-∠E=60°-30°=30°∴∠CDE=∠E所以CD=CE=2cm故選：B．【點睛】本題考查的是等邊三角形的性質(zhì)、等腰三角形的判定，直角三角形的性質(zhì)，直角三角形中30°角所對的直角邊等于斜邊的一半．【知識拓展2】等邊三角形的性質(zhì)（動態(tài)問題）例2．（2022?渭濱區(qū)期末）如圖，在等邊△ABC中，AB＝12cm，現(xiàn)有M，N兩點分別從點A，B同時出發(fā)，沿△ABC的邊按順時針方向運動，已知點M的速度為1cm/s，點N的速度為2cm/s，當點N第一次到達B點時，M，N同時停止運動，設(shè)運動時間為t（s）．（1）當t為何值時，M，N兩點重合？兩點重合在什么位置？（2）當點M，N在BC邊上運動時，是否存在使AM＝AN的位置？若存在，請求出此時點M，N運動的時間；若不存在，請說明理由．【解題思路】（1）首先根據(jù)M、N兩點重合，表示出M，N的運動路程，N的運動路程比M的運動路程多12cm，列出方程求解即可；（2）首先假設(shè)△AMN是等腰三角形，可證出△ACM≌△ABN，可得CM＝BN，設(shè)出運動時間，表示出CM，NB，NM的長，列出方程，可解出未知數(shù)的值．【解答過程】解：（1）由題意，t×1+12＝2t，解得：t＝12，∴當t＝12時，M，N兩點重合，此時兩點在點C處重合；（2）結(jié)論：當點M、N在BC邊上運動時，可以得到以MN為底邊的等腰三角形．理由：由（1）知12秒時M、N兩點重合，恰好在C處，如圖，假設(shè)△AMN是等腰三角形，∴AN＝AM，∴∠AMN＝∠ANM，∴∠AMC＝∠ANB，∵△ACB是等邊三角形，∴∠C＝∠B，在△ACM和△ABN中，，∴△ACM≌△ABN（AAS），∴CM＝BN，設(shè)當點M、N在BC邊上運動時，M、N運動的時間y秒時，△AMN是等腰三角形，∴CM＝y(tǒng)﹣12，NB＝36﹣2y，∵CM＝NB，∴y﹣12＝36﹣2y，解得：y＝16．故假設(shè)成立．∴當點M、N在BC邊上運動時，當運動時間為12秒或16秒時，AM＝AN．【即學(xué)即練2】2．如圖，已知△ABC是邊長為6cm的等邊三角形，動點P、Q同時從A，B兩點出發(fā)，分別沿AB、BC勻速運動，其中點P運動的速度是1cm/s，點Q運動的速度是2cm/s，當點Q到達點C時，P、Q兩點都停止運動．設(shè)運動時間為：t（s），當t＝2時，判斷△BQP的形狀，并說明理由．【解題思路】當t＝2時，可分別計算出BP、BQ的長，再根據(jù)∠B＝60°對△BPQ的形狀進行判斷即可．【解答過程】解：△BPQ是等邊三角形，當t＝2時，AP＝2×1＝2，BQ＝2×2＝4，∴BP＝AB﹣AP＝6﹣2＝4，∴BQ＝BP，又∵∠B＝60°，∴△BPQ是等邊三角形．【知識拓展3】等邊三角形的性質(zhì)（規(guī)律問題）例3．（2022·四川）如圖，已知，點、、…在射線上，點、、…在射線上，、、…均為等邊三角形，若，則的邊長為__________．【答案】22019【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及含30度角的直角三角形得出，得出，，…進而得出答案．【詳解】解：∵是等邊三角形，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵、是等邊三角形，同理可得：∴，∴，，，…，則的邊長為．故答案為：22019．【點睛】本題主要考查了圖形類規(guī)律探究，等邊三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會探究規(guī)律的方法，屬于中考?？碱}型．【即學(xué)即練3】3．（2022.重慶八年級期中）如圖，等邊△A1C1C2的周長為1，作C1D1⊥A1C2于D1，在C1C2的延長線上取點C3，使D1C3＝D1C1，連接D1C3，以C2C3為邊作等邊△A2C2C3；作C2D2⊥A2C3于D2，在C2C3的延長線上取點C4，使D2C4＝D2C2，連接D2C4，以C3C4為邊作等邊△A3C3C4；…且點A1，A2，A3，…都在直線C1C2同側(cè)，如此下去，則△A1C1C2，△A2C2C3，△A3C3C4，…，△An?nCn+1的周長和為．（n≥2，且n為整數(shù)）【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)分別求出△A1C1C2，△A2C2C3，△A3C3C4，…，△An?nCn+1的周長即可解決問題．【解答】解：∵等邊△A1C1C2的周長為1，作C1D1⊥A1C2于D1，∴A1D1＝D1C2，∴△A2C2C3的周長△A1C1C2的周長，∴△A1C1C2，△A2C2C3，△A3C3C4，…，△An?nCn+1的周長分別為1，，，…，，∴△A1C1C2，△A2C2C3，△A3C3C4，…，△An?nCn+1的周長和為．故答案為．知識點04等邊三角形的判定【知識點】等邊三角形的判定：（1）三條邊都相等的三角形是等邊三角形；（2）三個角都相等的三角形是等邊三角形；（3）有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形．含30°的直角三角形的性質(zhì)定理：在直角三角形中，如果有一個銳角是30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半.注意：這個定理的前提條件是“在直角三角形中”，是證明直角三角形中一邊等于另一邊（斜邊）的一半的重要方法之一，通常用于證明邊的倍數(shù)關(guān)系.【知識拓展1】等邊三角形的判定（選填題）例1．（2022?澠池八年級期中）下列三角形：①有兩個角等于60°；②有一個角等于60°的等腰三角形；③三個外角（每個頂點處各取一個外角）都相等的三角形；④一腰上的中線也是這條腰上的高的等腰三角形．其中是等邊三角形的有（）A．①②③ B．①②④ C．①③ D．①②③④【解題思路】根據(jù)等邊三角形的判定判斷．【解答過程】解：①兩個角為60度，則第三個角也是60度，則其是等邊三角形，故正確；②這是等邊三角形的判定2，故正確；③三個外角相等則三個內(nèi)角相等，則其是等邊三角形，故正確；④根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)．可以證明三邊相等，故正確．所以都正確．故選：D．【即學(xué)即練1】1.（2022?福山區(qū)八年級期末）在下列結(jié)論中：（1）有一個外角是120°的等腰三角形是等邊三角形；（2）有兩個外角相等的等腰三角形是等邊三角形；（3）有一邊上的高也是這邊上的中線的等腰三角形是等邊三角形；（4）三個外角都相等的三角形是等邊三角形；其中正確的個數(shù)是（）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【解題思路】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和定義，可得：有一個角為60°的等腰三角形是等邊三角形；三個內(nèi)角都相等的三角形為等邊三角形；再由中線的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和的定義可解答本題．【解答過程】解：（1）：因為外角和與其對應(yīng)的內(nèi)角的和是180°，已知有一個外角是120°，即是有一個內(nèi)角是60°，有一個內(nèi)角為60°的等腰三角形是等邊三角形．該結(jié)論正確．（2）：兩個外角相等說明該三角形中兩個內(nèi)角相等，而等腰三角形的兩個底角是相等的，故不能確定該三角形是等邊三角形．該結(jié)論錯誤．（3）：等腰三角形的底邊上的高和中線本來就是重合的，“有一邊”可能是底邊，故不能保證該三角形是等邊三角形．該結(jié)論錯誤．（4）：三個外角都相等的三角形是等邊三角形．正確；故選：C．【知識拓展2】等邊三角形的判定（證明題）例2．（2022?松桃縣期末）如圖，點P，M，N分別在等邊△ABC的各邊上，且MP⊥AB于點P，MN⊥BC于點M，PN⊥AC于點N．（1）求證：△PMN是等邊三角形；（2）若AB＝12cm，求CM的長．【解題思路】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出∠A＝∠B＝∠C，進而得出∠MPB＝∠NMC＝∠PNA＝90°，再根據(jù)平角的意義即可得出∠NPM＝∠PMN＝∠MNP，即可證得△PMN是等邊三角形；（2）易證得△PBM≌△MCN≌△NAP，得出PA＝BM＝CN，PB＝MC＝AN，從而求得BM+PB＝AB＝12cm，根據(jù)直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半得出2PB＝BM，即可求得PB的長，進而得出MC的長．【解答過程】解：（1）∵△ABC是正三角形，∴∠A＝∠B＝∠C，∵MP⊥AB，MN⊥BC，PN⊥AC，∴∠MPB＝∠NMC＝∠PNA＝90°，∴∠PMB＝∠MNC＝∠APN，∴∠NPM＝∠PMN＝∠MNP，∴△PMN是等邊三角形；（2）根據(jù)題意△PBM≌△MCN≌△NAP，∴PA＝BM＝CN，PB＝MC＝AN，∴BM+PB＝AB＝12cm，∵△ABC是正三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，∴2PB＝BM，∴2PB+PB＝12cm∴PB＝4cm，∴MC＝4cm．【即學(xué)即練2】2．（2022?邵陽縣期末）如圖，在等邊△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線相交于點O，且OD∥AB，OE∥AC（1）試判定△ODE的形狀，并說明你的理由；（2）若BC＝10，求△ODE的周長．【解題思路】（1）證明∠ABC＝∠ACB＝60°；證明∠ODE＝∠ABC＝60°，∠OED＝∠ACB＝60°，即可解決問題．（2）證明BD＝OD；同理可證CE＝OE；即可解決問題．【解答過程】解：（1）△ODE是等邊三角形；理由如下：∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°；∵OD∥AB，OE∥AC，∴∠ODE＝∠ABC＝60°，∠OED＝∠ACB＝60°，∴△ODE為等邊三角形．（2）∵OB平分∠ABC，OD∥AB，∴∠ABO＝∠DOB，∠ABO＝∠DBO，∴∠DOB＝∠DBO，∴BD＝OD；同理可證CE＝OE；∴△ODE的周長＝BC＝10．能力拓展能力拓展考法01等腰（等邊）三角形的分類討論問題【典例1】（2022·江西宜春·八年級期末）規(guī)定：在直角三角形中，如果直角邊是斜邊的一半，那么它所對的銳角為30°．等腰三角形ABC中，于點D，若，則底角的度數(shù)為______．【答案】或或【分析】分兩種情況：①BC為腰，②BC為底，根據(jù)直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半判斷出∠ACD=30°，然后分AD在△ABC內(nèi)部和外部兩種情況求解即可．【詳解】①BC為腰，∵AD⊥BC于點D，，∴∠ACD=30°，如圖1，AD在△ABC內(nèi)部時，底角∠B=75°；如圖2，延長BC，過A作AD⊥BC于D，AD在△ABC外部時，底角∠B==15°；②BC為底，如圖3，∵AD⊥BC于點D，，∴AD=BD=CD，∴△ABC是等腰直角三角形，∴底角∠B=45°，綜上所述，等腰三角形ABC的頂角度數(shù)為或或．故答案為：或或．【點睛】本題考查了含30°角的直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，分類討論是解題的關(guān)鍵．變式1．（2022·江蘇興化·八年級期中）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，點D、E在邊BC所在的直線上，且AB=DB，AC=EC，則∠DAE的度數(shù)為________．【答案】45°或135°【分析】分四種情況：若點D、E在線段BC上時；若點D在線段BC上，點E在BC的延長線上時；若點D在CB的延長線上點E在BC的延長線上時；若點D在CB的延長線上，點E在線段BC上時討論，即可求解．【詳解】解：如圖，若點D、E在線段BC上時，∵AB=DB，AC=EC，∴∠BAD=∠ADB，∠CAE=∠AEC，∴∠BAE+∠DAE=∠CAD+∠C，∠CAD+∠DAE=∠BAE+∠B，∴∠BAE+∠CAD+2∠DAE=∠CAD+∠BAE+∠B+∠C，∴2∠DAE=∠B+∠C，∵∠BAC=90°，∴∠B+∠C=90°，∴∠DAE=45°；如圖，若點D在線段BC上，點E在BC的延長線上時，∵AC=EC，∴可設(shè)∠E=∠CAE=x，∴∠ACB=∠E+∠CAE=2x，∵∠BAC=90°，∴∠B=90°-∠ACB=90°-2x，∵AB=DB，∴，∵∠ADB=∠DAE+∠E，∴∠DAE=45°；如圖，若點D在CB的延長線上，點E在BC的延長線上時，∵AC=EC，∴∠E=∠CAE，∴∠ACB=∠E+∠CAE=2∠CAE，∵AB=DB，∴∠D=∠BAD，∴∠ABC=∠D+∠BAD=2∠BAD，∵∠BAC=90°，∴∠ABC+∠ACB=90°，∴2∠CAE+2∠BAD=90°，∴∠CAE+∠BAD=45°，∴∠DAE=∠CAE+∠BAD+∠BAC=135°；如圖，若點D在CB的延長線上，點E在線段BC上時，∵AB=DB，∴可設(shè)∠D=∠BAD=y，∴∠ABC=∠D+∠BAD=2y，∴∠ABC=2y，∵∠BAC=90°，∴∠C=90°-2y，∵AC=EC，∴∠AEC=∠CAE=，∵∠AEC=∠D+∠DAE，∴∠DAE=45°綜上所述，∠DAE的度數(shù)為45°或135°．故答案為：45°或135°【點睛】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形兩銳角互余，利用分類討論思想解答是解題的關(guān)鍵．考法02等腰（等邊）三角形的性質(zhì)與判定綜合問題【典例2】（廣東省深圳外國語學(xué)校2021-2022學(xué)年七年級下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）如圖，C為線段AE上一動點（不與點A，E重合），在AE同側(cè)分別作等邊△ABC和等邊△ECD，AD與BE交于點O，AD與BC交于點P，BE與CD交于點Q連接PQ．以下五個結(jié)論正確的是（

）①；②PQ∥AE；③；④；⑤A．①③⑤ B．①③④⑤ C．①②③⑤ D．①②③④⑤【答案】C【分析】①由于△ABC和△CDE是等邊三角形，可知AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，從而證出△ACD≌△BCE，可推知AD=BE；②由△ACD≌△BCE得∠CBE=∠DAC，加之∠ACB=∠DCE=60°，AC=BC，得到△CQB≌△CPA（ASA），再根據(jù)∠PCQ=60°推出△PCQ為等邊三角形，又由∠PQC=∠DCE，根據(jù)內(nèi)錯角相等，兩直線平行，可知②正確；③根據(jù)②△CQB≌△CPA（ASA），可知③正確；④根據(jù)∠DQE=∠ECQ+∠CEQ=60°+∠CEQ，∠CDE=60°，可知∠DQE≠∠CDE，可知④錯誤；⑤利用等邊三角形的性質(zhì)，BC∥DE，再根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠CBE=∠DEO，于是∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°，可知⑤正確．【詳解】解：∵等邊△ABC和等邊△CDE，∴，∴，即，∴，∴AD=BE，∴①正確，∵，∴，又∵，∴，即，又∵，∴，∴，又∵∠PCQ=60°可知△PCQ為等邊三角形，∴，∴PQ∥AE②正確，∵△CQB≌△CPA，∴AP=BQ，③正確，∵AD=BE，AP=BQ，∴，即DP=QE，∵，∴∠DQE≠∠CDE，∴DE≠DP，故④錯誤；∵∠ACB=∠DCE=60°，∴∠BCD=60°，∵等邊△DCE，∠EDC=60°=∠BCD，∴BC∥DE，∴∠CBE=∠DEO，∴∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°，∴⑤正確．故選：C．【點睛】本題綜合考查了等邊三角形判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)等知識點的運用．要求學(xué)生具備運用這些定理進行推理的能力，此題的難度較大．變式1．（2022·四川八年級期末）如圖1，在等邊三角形中，于于與相交于點．（1）求證：；（2）如圖2，若點是線段上一點，平分交所在直線于點．求證：．（3）如圖3，若點是線段上一點（不與點重合），連接，在下方作邊交所在直線于點．猜想：三條線段之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）OF=OG+OA，理由見解析【分析】（1）由等邊三角形的可求得∠OAC=∠OAB=∠OCA=∠OCB=30°，理由含30°角的直角三角形的性質(zhì)可得OC=2OD，進而可證明結(jié)論；（2）理由ASA證明△CGB≌△CGF即可證明結(jié)論；（3）連接OB，在OF上截取OM=OG，連接GM，可證得△OMG是等邊三角形，進而可利用ASA證明△GMF≌△GOB，得到MF=OB=OA，由OF=OM+MF可說明猜想的正確性．【詳解】解：（1）證明：∵△ABC為等邊三角形，∴AB=BC=AC，∠BAC=∠ACB=60°，∵AD⊥BC，CE⊥AB，∴AD平分∠BAC，CE平分∠ACB，∴∠OAC=∠OAB=∠OCA=∠OCB=30°，∴OA=OC，在Rt△OCD中，∠ODC=90°，∠OCD=30°，∴OC=2OD，∴OA=2OD；（2）證明：∵AB=AC=BC，AD⊥BC，∴BD=CD，∴BG=CG，∴∠GCB=∠GBC，∵CG平分∠BCE，∴∠FCG=∠BCG=∠BCF=15°，∴∠BGC=150°，∵∠BGF=60°，∴∠FGC=360°-∠BGC-∠BGF=150°，∴∠BGC=∠FGC，在△CGB和△CGF中，，∴△CGB≌△CGF（ASA），∴GB=GF；（3）解：OF=OG+OA．理由如下：連接OB，在OF上截取OM=OG，連接GM，∵CA=CB，CE⊥AB，∴AE=BE，∴OA=OB，∴∠OAB=∠OBA=30°，∴∠AOB=120°，∠AOM=∠BOM=60°，∵OM=OG，∴△OMG是等邊三角形，∴GM=GO=OM，∠MGO=∠OMG=60°，∵∠BGF=60°，∴∠BGF=∠MGO，∴∠MGF=∠OGB，∵∠GMF=120°，∴∠GMF=∠GOB，在△GMF和△GOB中，，∴△GMF≌△GOB（ASA），∴MF=OB，∴MF=OA，∵OF=OM+MF，∴OF=OG+OA．【點睛】本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定的與性質(zhì)，含30°角的直角三角形，角平分線的定義等知識的綜合運用，屬于三角形的綜合題，證明相關(guān)三角形全等是解題的關(guān)鍵．考法03最短路徑問題（將軍飲馬模型）【解題技巧】將軍飲馬模型圖形原理兩點之間線段最短兩點之間線段最短三角形三邊關(guān)系特征A，B為定點，l為定直線，P為直線l上的一個動點，求AP+BP的最小值A(chǔ)，B為定點，l為定直線，MN為直線l上的一條動線段，求AM+BN的最小值A(chǔ)，B為定點，l為定直線，P為直線l上的一個動點，求|AP-BP|的最大值轉(zhuǎn)化作其中一個定點關(guān)于定直線l的對稱點先平移AM或BN使M，N重合，然后作其中一個定點關(guān)于定直線l的對稱點作其中一個定點關(guān)于定直線l的對稱點【典例3】（2022·甘肅西峰·八年級期末）如圖，在等邊△ABC中，E為AC邊的中點，AD垂直平分BC，P是AD上的動點．若AD=6，則EP+CP的最小值為_______________．【答案】6【分析】要求EP+CP的最小值，需考慮通過作輔助線轉(zhuǎn)化EP，CP的值，從而找出其最小值求解．【詳解】解：作點E關(guān)于AD的對稱點F，連接CF，∵△ABC是等邊三角形，AD是BC邊上的中垂線，∴點E關(guān)于AD的對應(yīng)點為點F，∴CF就是EP+CP的最小值．∵△ABC是等邊三角形，E是AC邊的中點，∴F是AB的中點，∴CF=AD=6，即EP+CP的最小值為6，故答案為6．【點睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)和軸對稱等知識，熟練掌握等邊三角形和軸對稱的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．變式1．（2022·廣東新豐·八年級期末）如圖所示，在中，，直線EF是AB的垂直平分線，D是BC的中點，M是EF上一個動點，的面積為12，，則周長的最小值是______．【答案】8【分析】連接AD，AM，由EF是線段AB的垂直平分線，得到AM=BM，則△BDM的周長=BD+BM+DM=AM+DM+BD，要想△BDM的周長最小，即要使AM+DM的值最小，故當A、M、D三點共線時，AM+DM最小，即為AD，由此再根據(jù)三線合一定理求解即可．【詳解】解：如圖所示，連接AD，AM，∵EF是線段AB的垂直平分線，∴AM=BM，∴△BDM的周長=BD+BM+DM=AM+DM+BD，∴要想△BDM的周長最小，即要使AM+DM的值最小，∴當A、M、D三點共線時，AM+DM最小，即為AD，∵AB=AC，D為BC的中點，∴AD⊥BC，，∴，∴AD=6，∴△BDM的周長最小值=AD+BD=8，故答案為：8．【點睛】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，三線合一定理，解題的關(guān)鍵在于能夠根據(jù)題意得到當A、M、D三點共線時，AM+DM最小，即為AD．變式2．（2022·上虞市初二月考）如圖，點P是∠AOB內(nèi)任意一點，OP=6cm，點M和點N分別是射線OA和射線OB上的動點，若△PMN周長的最小值是6cm，則∠AOB的度數(shù)是（）A．15 B．30 C．45 D．60【答案】B【分析】分別作點P關(guān)于OA、OB的對稱點C、D，連接CD，分別交OA、OB于點M、N，連接OC、OD、PM、PN、MN，由對稱的性質(zhì)得出PM=DM，OP=OC，∠COA=∠POA；PN=DN，OP=OD，∠DOB=∠POB，得出∠AOB=∠COD，證出△OCD是等邊三角形，得出∠COD=60°，即可得出結(jié)果．【解析】分別作點P關(guān)于OA、OB的對稱點C、D，連接CD，分別交OA、OB于點M、N，連接OC、OD、PM、PN、MN，如圖所示：∵點P關(guān)于OA的對稱點為D，關(guān)于OB的對稱點為C，∴PM=DM，OP=OD，∠DOA=∠POA；∵點P關(guān)于OB的對稱點為C，∴PN=CN，OP=OC，∠COB=∠POB，∴OC=OP=OD，∠AOB=∠COD，∵△PMN周長的最小值是6cm，∴PM+PN+MN=6，∴DM+CN+MN=6，即CD=6=OP，∴OC=OD=CD，即△OCD是等邊三角形，∴∠COD=60°，∴∠AOB=30°，故選：B．【點睛】此題考查軸對稱的性質(zhì)，最短路線問題，等邊三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握軸對稱的性質(zhì)，證明三角形是等邊三角形是解題的關(guān)鍵．分層提分分層提分題組A基礎(chǔ)過關(guān)練1．（內(nèi)蒙古自治區(qū)赤峰市松山區(qū)2021-2022學(xué)年八年級上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）下列命題：①等腰三角形的角平分線、中線和高三線重合；②等腰三角形底邊的中點到兩腰的距離相等；③等腰三角形一定是銳角三角形；④等腰三角形兩個底角相等；⑤等腰三角形是軸對稱圖形．其中真命題的個數(shù)是（

）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【答案】B【分析】根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)，即可判斷①；根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)和角平分線上的點到角的兩邊的距離相等，即可判斷②；根據(jù)等腰三角形的分類，即可判斷③；根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，即可判斷④；根據(jù)軸對稱圖形的定義：如果一個圖形沿著一條直線對稱，兩邊的圖形能完全重合，這樣的圖形叫做軸對稱圖形，即可判斷⑤等腰三角形一定是軸對稱圖形．【詳解】解：①等腰三角形的頂角的角平分線、底邊上的中線和底邊上的高線三線重合，故該項錯誤；②等腰三角形底邊的中點到兩腰的距離相等，故該項正確；③等腰三角形不一定是銳角三角形，故該項錯誤；④等腰三角形兩個底角相等，故該項正確；⑤等腰三角形是軸對稱圖形，故該項正確．綜上可得：②、④、⑤正確故選：B【點睛】本題考查了真假命題的判斷、角平分線的性質(zhì)、軸對稱圖形的定義、等腰三角形的性質(zhì)與分類，熟練掌握相關(guān)定義與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．2．（2022年遼寧省營口市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，由圖中的尺規(guī)作圖得到的射線與AC交于點D，則以下推斷錯誤的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)作圖過程可得BD平分∠ABC，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可解決問題．【詳解】解：∵AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=∠ACB=（180°-36°）=72°，根據(jù)作圖過程可知：BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC=∠ABC=36°，∴∠BDC=180°-36°-72°=72°，∠ADB=∠DBC+∠ACB=36°+72°=108°，故選項C成立；∵∠BDC=∠ACB=72°，∴BD=BC，故選項A成立；∵∠ABD=∠A=36°，∴AD=BD，故選項B成立；沒有條件能證明CD=AD，故選項D不成立；故選：D．【點睛】本題考查了作圖-基本作圖，等腰三角形的判定和性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握基本作圖方法．3．（陜西省榆林市高新區(qū)2021-2022學(xué)年七年級下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）習(xí)題課上，張老師和同學(xué)們一起探究一個問題∶“如圖，在中，分別是上的點，與相交于點，添加下列哪個條件能判定是等腰三角形？"請你判斷正確的條件應(yīng)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)三角形全等的判定定理逐項分析判斷即可求解．【詳解】添加，，∠BEO=∠BOE，不能判斷三角形全等，故A，B，D選項不正確，若添加條件：∠BEO=∠CDO∵在△EBO和△DCO中，，∴△EBO≌△DCO（AAS），∴∠EBO=∠DCO，∵OB=OC∴∠OBC=∠OCB，∴∠EBO+∠OBC=∠DCO+∠OCB，即∠ABC=∠ACB，即AB=AC，∴△ABC是等腰三角形；故選C【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵，4．（山東省菏澤市牡丹區(qū)2021-2022學(xué)年八年級下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)試題）等腰三角形一邊上的高等于這條邊的一半，那么頂角是（

）A．45° B．30°或90°C．90°或150° D．30°或90°或150°【答案】D【分析】分三種情形①BD是腰上的高．②AD是底邊上的高，③△ABC是鈍角三角形．分別求解即可．【詳解】解：①如圖中，∵AB=AC，BD⊥AC，BD=AC=AB，∴∠A=30°；②如圖中，∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=CD，∵AD=BC，∴AD=DB=DC，∴∠DAB=∠DAC=45°，∴∠BAC=90°；③如圖，AB=AC，BD⊥AC，BD=AB，則∠BAD=30°，∠BAC=150°，∴等腰三角形的頂角為30°或90°或150°．故選：D．【點睛】本題考查了含30度的直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會用分類討論的思想思考問題．5．（2022·重慶南開中學(xué)八年級期末）如圖，是某生產(chǎn)線的橫截面示意圖，MN表示長度為20米的筆直傳送帶，在MN的中點正上方3米處，有一個專用消毒噴頭，（噴頭大小、長度均忽略不計），噴頭位置用點p表示，此時MN上有一個邊長為2米的正方形盒子ABCD，則在盒子隨傳送帶從點M移動到點N的過程中，以C、D、P三點為頂點的三角形是等腰三角形的時刻共有（）A．5個 B．4個 C．3個 D．2個【答案】A【分析】根據(jù)已知條件，利用等腰三角形的性質(zhì)分情況討論即可．【詳解】解：∵四邊形為正方形∴，∵，在中點，∴，∴①當正方形在上，時，為等腰三角形；②當正方形在上，時，為等腰三角形；③當過正方形邊中點上時，，為等腰三角形；④當正方形在上，時，為等腰三角形；⑤當正方形在上，時，為等腰三角形；綜上所述，以、、三點為頂點的三角形是等腰三角形的時刻共有5個．故選：．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，正確理解題意、熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．（河北省秦皇島市第七中學(xué)2021-2022學(xué)年八年級上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題）如圖，在中，點D為邊上一點，給出如下關(guān)系：①平分；②于D；③D為中點．甲說：如果①②同時成立，可證明；乙說：如果②③同時成立，可證明；丙說：如果①③同時成立，可證明．則正確的說法是（

）A．甲、乙正確，丙錯誤B．甲正確，乙、丙錯誤C．乙正確，甲、丙錯誤D．甲、乙、丙都正確【答案】D【分析】通過①②可證出，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，由此即可得判斷甲的說法；通過②③可得垂直平分，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得，由此即可得判斷乙的說法；延長至點，使，連接，先證出，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，從而可得，然后根據(jù)等腰三角形的判定可得，由此即可判斷丙的說法．【詳解】解：當①②同時成立時，平分，，，，在和中，，，，即甲的說法正確；當②③同時成立時，則垂直平分，，即乙的說法正確；當①③同時成立時，如圖，延長至點，使，連接，為中點，，在和中，，，，平分，，，，，即丙的說法正確；綜上，甲、乙、丙都正確，故選：D．【點睛】本題考查了等腰三角形的判定、線段垂直平分線的判定與性質(zhì)、三角形全等的判定與性質(zhì)等知識點，較難的是證明丙的說法，通過作輔助線，構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵．7．（2022年湖南省岳陽市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，在中，，于點，若，則______．【答案】3【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可知是的中點，即可求出的長．【詳解】解：∵，，∴，∵，∴，故答案為：3．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形三線合一是解題的關(guān)鍵．8．（2021·江蘇九年級二模）頂角是的等腰三角形叫做黃金三角形．如圖，是正五邊形的3條對角線，圖中黃金三角形的個數(shù)是_________．【答案】【分析】根據(jù)正五邊形的內(nèi)角和和黃金三角形的定義進行判斷即可．【詳解】解：設(shè)BE與AC、AD交于M、N，ABCDE是正五邊形，內(nèi)角和為，每一個內(nèi)角為，∴∠ABC＝∠BAE＝∠AED＝∠BCD＝∠CDE＝108°，∵AB＝BC＝AE＝ED，∴∠BAC＝∠BCA＝36°，∠EAD＝∠ADE＝36°，∴∠CAD＝36°，∠ACD＝∠ADC＝72°，∴AC＝AD，∴△ACD是黃金三角形，同理可求：∠BAN＝∠ANB＝∠AME＝∠EAM＝72°，∠CBM＝∠BMC＝∠DNE＝∠DEN＝72°，∴△AMN、△DEN、△EAM、△CMB，△ABN也是黃金三角形．則圖中黃金三角形的個數(shù)有6個．故答案為：6．【點睛】此題考查了正五邊形的性質(zhì)和黃金三角形的定義．注意：此圖中所有頂角是銳角的等腰三角形都是黃金三角形．9．（2022年江蘇省蘇州市中考數(shù)學(xué)真題）定義：一個三角形的一邊長是另一邊長的2倍，這樣的三角形叫做“倍長三角形”．若等腰△ABC是“倍長三角形”，底邊BC的長為3，則腰AB的長為______．【答案】6【分析】分類討論：AB=AC=2BC或BC=2AB=2AC，然后根據(jù)三角形三邊關(guān)系即可得出結(jié)果．【詳解】解：∵△ABC是等腰三角形，底邊BC=3∴AB=AC當AB=AC=2BC時，△ABC是“倍長三角形”；當BC=2AB=2AC時，AB+AC=BC，根據(jù)三角形三邊關(guān)系，此時A、B、C不構(gòu)成三角形，不符合題意；所以當?shù)妊鰽BC是“倍長三角形”，底邊BC的長為3，則腰AB的長為6．故答案為6．【點睛】本題考查等腰三角形，三角形的三邊關(guān)系，涉及分類討論思想，結(jié)合三角形三邊關(guān)系，靈活運用分類討論思想是解題的關(guān)鍵．10．（福建省三明市將樂縣2021-2022學(xué)年八年級下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）如圖，等邊中，為的中點，過點作于點，過點作于點，若，則線段的長為____．【答案】7.5【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出，由題意求出，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出，計算即可．【詳解】解：是等邊三角形，，，，，，，，，，在中，，，，故答案為：7.5．【點睛】本題考查的是直角三角形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握直角三角形中，角所對的直角邊等于斜邊的一半．11．（陜西省安康市紫陽縣2021-2022學(xué)年八年級上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題）如圖，在中，，D為BC邊上一點，，，求的度數(shù)．【答案】∠DAC＝74°【分析】根據(jù)等邊對等角可得∠C＝∠B＝32°，然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，即可求出∠BAC，從而求出∠DAC的度數(shù)．【詳解】解：∵AB＝AC，∠B＝32°，∴∠C＝∠B＝32°，∴∠BAC＝180°﹣32°﹣32°＝116°，∵∠DAB＝42°，∴∠DAC＝∠BAC﹣∠DAB＝116°﹣42°＝74°．【點睛】此題考查的是等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理，掌握等邊對等角和三角形的內(nèi)角和等于180°是解決此題的關(guān)鍵．12．（2022·云南昆明·初三學(xué)業(yè)考試）如圖，點D在BC上，AC、DE交于點F，AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE．（1）求證：∠C＝∠E；（2）若∠BAD＝20°，求∠CDF的度數(shù)．【答案】（1）見解析；（2）20°【分析】（1）由全等三角形的判定定理SAS證得△ABC≌△ADE，則∠C＝∠E，此題得證；（2）利用（1）中全等三角形的對應(yīng)角相等得到∠ADE＝∠B，由等腰△ABD的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理求得∠ADB＝80°；最后根據(jù)鄰補角的定義解答．【解析】（1）證明：∵∠BAD＝∠CAE，∴∠BAC＝∠DAE．在△ABC與△ADE中，,∴△ABC≌△ADE（SAS）．∴∠C＝∠E；（2）由（1）知，△ABC≌△ADE，則∠ADE＝∠B．∵∠BAD＝20°，AB＝AD，∴∠ADB＝∠B＝80°．∴∠ADE＝80°．∴∠CDF＝180°﹣∠ADB﹣∠ADE＝20°．【點睛】本題考查全等三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題目條件結(jié)合性質(zhì)定理進行證明求解．13．（江蘇省南京市建鄴區(qū)2021-2022學(xué)年八年級上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）如圖，在△ABC中，，，點D、E在BC上，AD⊥AC，AE⊥AB．求證：為等邊三角形．【答案】證明見解析．【分析】根據(jù)等腰三角形性質(zhì)求出，再根據(jù)，，和三角形的內(nèi)角和定理，證明，得到，即可證明為等邊三角形．【詳解】證明：∵，，∴，∵，，∴，即，∴，∴為等邊三角形．【點睛】本題考查等邊三角形的判定，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握知識點是解題的關(guān)鍵．題組B能力提升練1．（2022·河南澠池·初二期末）下列三角形中：①有兩個角等于60°的三角形；②有一個角等于60°的等腰三角形；③三個角都相等的三角形；④三邊都相等的三角形．其中是等邊三角形的有（）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④【答案】D【分析】根據(jù)等邊三角形的判定判斷．【解析】兩個角為60°，則第三個角也是60°，則其是等邊三角形，故正確；②這是等邊三角形的判定2，故正確；③三角形內(nèi)角和為180°，三個角都相等，即三個角的度數(shù)都為60°，則其是等邊三角形，故正確；④這是等邊三角形定義，故正確．【點睛】本題考查的知識點是等邊三角形的判定，解題關(guān)鍵是熟記等邊三角形性質(zhì)和定義進行解答.2．（2022·廣西八年級期末）如圖，過邊長為3的等邊的邊上一點，作于，為延長線上一點，當時，連接交邊于點，則的長為（）A． B． C． D．2【答案】C【分析】過作交于，得出等邊三角形，推出，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)求出，證，推出，推出即可．【詳解】解：過作交于，，是等邊三角形，，，，，是等邊三角形，，，，，，，在和中，，，，，，，，故選：C．【點睛】本題綜合考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，等邊三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)等知識點的應(yīng)用，能綜合運用性質(zhì)進行推理是解此題的關(guān)鍵，通過做此題培養(yǎng)了學(xué)生分析問題和解決問題的能力，題型較好，難度適中．3．（2022·四川汶川·初二期末）如圖，已知和都是等邊三角形，且、、三點共線．與交于點，與交于點，與交于點，連結(jié)．以下五個結(jié)論：①；②；③；④是等邊三角形；⑤．其中正確結(jié)論的有（）個A．5 B．4 C．3 D．2【答案】A【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)對各結(jié)論逐項分析即可判定．【解析】解：①∵△ABC和△CDE為等邊三角形?！郃C=BC，CD=CE，∠BCA=∠DCE=60°∴∠ACD=∠BCE在△ACD和△BCE中，AC=BC，∠ACD=∠BCE，CD=CE∴△ACD≌△BCE（SAS）∴AD=BE，∠ADC=∠BEC，則①正確；②∵∠ACB=∠DCE=60°∴∠BCD=60°∴△DCE是等邊三角形∴∠EDC=60°=∠BCD∴BC//DE∴∠CBE=∠DEO，∴∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°，②正確；③∵∠DCP=60°=∠ECQ在△CDP和△CEQ中，∠ADC=∠BEC，CD=CE，∠DCP=∠ECQ∴△CDP≌△CEQ（ASA）∴CР=CQ∴∠CPQ=∠CQP=60°，∴△PC2是等邊三角形，③正確；④∠CPQ=∠CQP=60°∴∠QPC=∠BCA∴PQ//AE，④正確；⑤同④得△ACP≌△BCQ（ASA）∴AP=BQ，⑤正確．故答案為A．【點睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識點，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．4．（河北省秦皇島市第七中學(xué)2021-2022學(xué)年八年級上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題）如圖，點A、B在直線l的同側(cè)，點C在直線l上，且是等腰三角形．符合條件的點C有（

）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】A【分析】以點為圓心、長為半徑畫圓，交直線于點；再以點為圓心、長為半徑畫圓，交直線于點，然后作的垂直平分線，交直線于點，由此即可得．【詳解】解：如圖，以點為圓心、長為半徑畫圓，交直線于點；再以點為圓心、長為半徑畫圓，交直線于點，然后作的垂直平分線，交直線于點．則符合條件的點共有5個，故選：A．【點睛】本題考查了等腰三角形的判定，熟練掌握等腰三角形的判定方法是解題關(guān)鍵．5．（陜西省西安市西安交通大學(xué)附屬中學(xué)2021-2022學(xué)年七年級下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題）已知中，，在AB邊上有一點D，若CD將分為兩個等腰三角形，則________．【答案】100°，70°，40°或者10°【分析】分BD=CD、BC=CD、BD=BC三種情況討論即可求解．【詳解】第一種請況：BD=CD時，如圖，∵BD=CD，∠B=20°，∴∠B=∠DCB=20°，∴∠ADC=∠B+∠DCB=40°，（1）當DA=DC時，∠A=∠ACD，∵∠A+∠ACD+∠ADC=180°，∠ADC=40°，∴∠A=∠ACD=70°；（2）當DA=AC時，即有∠ADC=∠ACD=40°，∴∠A=180°-∠ADC-∠ACD=100°；（3）當CD=CA時，∠A=∠ADC=40°；第二種請況：BC=CD時，如圖，∵∠B=20°，BC=CD，∴∠B=∠BDC=20°，∴∠ADC=180°-∠BDC=160°，∵△ADC是等腰三角形，∴有∠A=∠ACD，∵∠A+∠ACD+∠ADC=180°，∴∠A=10°；第三種情況：BC=BD時，如圖，∵BC=BD，∴∠BDC=∠BCD，∵∠B=20°，∠B+∠BCD+∠BDC=180°，∴∠BCD=∠BDC=80°，∴∠ADC=180°-∠BDC=100°，∵△ADC是等腰三角形，∴有∠A=∠ACD，∵∠A+∠ACD+∠ADC=180°，∴∠A=40°；綜上所述：∠A的度數(shù)為：70°，100°，40°，10°，故答案為：70°，100°，40°，10°．【點睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理等知識，掌握三角形的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．6．（2022·全國·八年級期中）如圖，在中，，，，，是的平分線，若點、分別是和上的動點，則的最小值是______．【答案】【分析】由題意可以把Q反射到AB的Q點，如此PC+PQ的最小值問題即變?yōu)镃與線段AB上某一點O的最短距離問題，最后根據(jù)“垂線段最短”的原理得解．【詳解】解：如圖，作Q關(guān)于AP的對稱點O，則PQ=PO，所以O(shè)、P、C三點共線時，CO=PC+PO=PC+PQ，此時PC+PQ有可能取得最小值，∵當CO垂直于AB即CO移到CM位置時，CO的長度最小，∴PC+PQ的最小值即為CM的長度，∵，∴CM=，即PC+PQ的最小值為，故答案為．【點睛】本題考查線段和最小的問題，通過軸反射把線段和最小的問題轉(zhuǎn)化為線段外一點到線段某點連線段最短問題是解題關(guān)鍵．7．（江西省景德鎮(zhèn)市樂平市2021-2022學(xué)年八年級下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）如圖，在中，，于點D，于點E．AD交B于點F，點G為BC邊的中點，作交直線FG于點H．(1)如圖1，當，時，______，______．(2)如圖2，當時，試探索AF與BH的數(shù)量關(guān)系，并證明．(3)如圖3，當時，（2）中AF與BH的數(shù)量關(guān)系______成立（填“仍然”或“不再”）．請說明理由．【答案】(1)3；3(2)BH＝CF，見解析(3)仍然，見解析【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得AF＝CF＝BF＝3，再說明BF＝BH，可得答案；（2）連接CF，首先利用ASA證明△ADC≌△BDF，得DF＝DC，則∠DCF＝45°，再證明△CGF≌△BGH，得BH＝CF，從而證明結(jié)論；（3）連接CF，先證明CFBH，得到∠H＝∠CFG，再證明△CGF≌△BGH（AAS），從而解決問題．（1）解：如圖1，∵AB＝AC，∠ABC＝60°，∴△ABC是等邊三角形，∵BE⊥AC，∴BE垂直平分AC，∠CBE＝30°，∴AF＝CF＝3，∵BH⊥AB，∴∠ABH＝90°，∴∠HBC＝∠ABH－∠ABC＝30°，∵AD⊥BC，∴∠BDH＝∠BDF＝90°，AD垂直平分BC，∴∠H＝90°－∠HBC＝60°，∠BFH＝90°－∠CBE＝60°，BF＝CF＝AF＝3，∴∠H＝∠BFH＝60°，∴BH＝BF，∴BF＝BH＝CF＝3，故答案為：3，3；（2）AF＝BH，理由如下：連接CF，如圖2，∵∠ABD＝45°，AD⊥BC，∴AD＝BD，∠ADC＝∠BDF＝90°，∵BE⊥AC，∴∠AEF＝∠BDF＝∠ADC＝90°，∵∠AFE＝∠BFD，∴∠EAF＝∠DBF，∴△ADC≌△BDF（ASA），∴DF＝DC，∴∠DCF＝45°，∵BH⊥AB，∴∠ABH＝90°，∴∠HBG＝∠ABH－∠ABD＝45°，∴∠HBG＝∠FCD，∵點G為BC邊的中點，∴CG＝BG，∵∠BGH＝∠CGF，∴△CGF≌△BGH（ASA），∴BH＝CF，∵BA＝BC，BE⊥AC，∴BE是AC的垂直平分線，∴AF＝CF，∴AF＝BH；（3）仍然，證明如下：連接CF，如圖3，∵AD⊥BC于點D，BE⊥AC于點E．由三角形三條高交于一點，得CF⊥AB．∵BH⊥AB，∴CFBH．∴∠H＝∠CFG，∵點G為BC邊的中點，∴CG＝BG，∵∠BGH＝∠CGF，∴△CGF≌△BGH（AAS），∴BH＝CF，∵BA＝BC，BE⊥AC，∴BE是AC的垂直平分線，∴AF＝CF，∴AF＝BH；故答案為：仍然．【點睛】本題是三角形綜合題，主要考查了等腰三角形的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、證明△CGF≌△BGH是解題的關(guān)鍵．8．（河南省鄭州市鄭東新區(qū)東區(qū)外國語學(xué)校2020-2021學(xué)年八年級下學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題）已知，如圖，△ABC為等邊三角形，AE＝CD，AD、BE相交于點P．(1)求證：△ABE≌△CAD；(2)求∠BPQ的度數(shù)；(3)若BQ⊥AD于Q，PQ＝6，PE＝2，求AD的長．【答案】(1)證明見詳解；(2)60°；(3)14．【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，通過全等三角形的判定定理SAS證得結(jié)論；（2）利用（1）中的全等三角形的對應(yīng)角相等和三角形外角的性質(zhì)，即可求得∠BPQ=60°；（3）利用（2）的結(jié)果求得∠PBQ=30°，所以由“30度角所對的直角邊是斜邊的一半”得到2PQ=BP=12，則易求BE=BP+PE=14，進而得出AD的長．（1）證明：∵△ABC是等邊三角形，∴∠BAC=∠C=60°，AB=CA，在△ABE和△CAD中，∴△ABE≌△CAD（SAS）；（2）∵△ABE≌△CAD，∴∠ABE=∠CAD，∴∠ABE+∠BAP=∠CAD+∠BAP，即∠BPQ=∠BAC=60°；（3）∵BQ⊥AD，∴∠BQP=90°，∴∠PBQ=30°，∴BP=2PQ=12，∴BE=BP+PE=12+2=14，∵△ABE≌△CAD，∴BE=AD=14．【點睛】本題考查了全等三角形的判定，全等三角形對應(yīng)邊、對應(yīng)角相等的性質(zhì)，等邊三角形各內(nèi)角為60°的性質(zhì)，本題中求證△ABE≌△CAD是解題的關(guān)鍵．9．（2022·四川成都市·八年級期末）如圖，已知△ABC是等邊三角形，AB＝8，M為AC中點，D為BC邊上一動點，將AD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到AE，連接CE、DE、ME．（1）求證：CD＋CE＝CA；（2）求出點M到CE所在直線的距離；（3）當ME＝時，求CE的值．【答案】（1）見解析；（2）；（3）或；【分析】（1）依據(jù)可證明，可得，即可；（2）過點作，由（1）知，利用直角三角形的性質(zhì)，即可求解；（3）過點作，討論點，在線段上還是的延長線上，通過直角三角形的性質(zhì)，即可求解；【詳解】（1）由題知，為等邊三角形，∴；又，逆時針旋轉(zhuǎn)；由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：；，∴；在和中，，∴，∴∴∴；（2）過點作，由（1）知，∴，又為的中點，∴；在中，，∴；∴；∴；∴到所在直線的距離為；（3）過點作，由（2）知，，；在中，，；∴；當點落在線段上時，；當點落在線段的延長線時，；∴的值為或；【點睛】本題主要考查全等三角形證明、等邊三角形和直角三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵在尋找相關(guān)條件作輔助線；10．（2022年青海省中考數(shù)學(xué)真題）兩個頂角相等的等腰三角形，如果具有公共的頂角的頂點，并把它們的底角頂點連接起來，則形成一組全等的三角形，把具有這個規(guī)律的圖形稱為“手拉手”圖形.(1)問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，若和是頂角相等的等腰三角形，BC，DE分別是底邊.求證：；(2)解決問題：如圖2，若和均為等腰直角三角形，，點A，D，E在同一條直線上，CM為中DE邊上的高，連接BE，請判斷∠AEB的度數(shù)及線段CM，AE，BE之間的數(shù)量關(guān)系并說明理由.

圖1圖2【答案】(1)見解析(2)；【分析】（1）先判斷出∠BAD=∠CAE，進而利用SAS判斷出△BAD≌△CAE，即可得出結(jié)論；（2）同（1）的方法判斷出△BAD≌△CAE，得出AD=BE，∠ADC=∠BEC，最后用角的差，即可得出結(jié)論．(1)證明：∵和是頂角相等的等腰三角形，∴，，，∴，∴．在和中，，∴，∴．(2)解：，，理由如下：由（1）的方法得，，∴，，∵是等腰直角三角形，∴，∴，∴，∴．∵，，∴．∵，∴，∴．∴．【點睛】此題是三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形，等邊三角形，等腰直角三角形的性質(zhì)，判斷出△ACD≌△BCE是解本題的關(guān)鍵．題組C培優(yōu)拔尖練1．（河北省廊坊市大城縣2021-2022學(xué)年八年級上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）如圖，已知△ABD是等邊三角形，，E是AD上的點，，與BD交于點F．則下列結(jié)論正確的有（

）①連接AC，則AC垂直平分線段BD；②△DEF是等邊三角形；③若，則；④若AB＝8，DE＝2，則CF＝4．A．①② B．①②④ C．②③④ D．①③④【答案】B【分析】如圖，連接AC，由△ABD是等邊三角形得AB=AD，從而得點A、CD都在線段BD的垂直平分線上，即可判斷①正確，由平行線的性質(zhì)可得∠ABD=∠EFD=60°，∠DEF=∠DAB=60°，即可判斷②正確，三角形的外角性質(zhì)得∠DCE=∠DFE-∠CDB=60°-40°=20°，從而判斷③錯誤，先找到CE=AE，又由△ABD和△DEF都是等邊三角形，AB＝8，DE＝2，得AD=AB=8，EF=DE=2，從而有CF=CE-EF=4，即可判斷④正確．【詳解】解：如圖，連接AC，∵△ABD是等邊三角形，∴AB=AD，∠ABD=∠DAB=∠EDF=60°，∵，∴點A、C都在線段BD的垂直平分線上，∴連接AC，則AC垂直平分線段BD，故①正確，∵，∴∠ABD=∠EFD=60°，∠DEF=∠DAB=60°，∴△DEF是等邊三角形，故②正確，∵BC=BD，，∴∠CDB=∠CBD=40°，∵∠DFE=60°，∴∠DCE=∠DFE-∠CDB=60°-40°=20°，故③錯誤，∵AC垂直平分BD，AB=AD，∠BAD=60°，∴∠CAB=∠CAD=30°，∵AB//CE，∴∠ACE=∠CAB=∠CAD，∴CE=AE，∵△