四川省雅安市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．4．本試卷主要考試內(nèi)容：人教A版選擇性必修第一冊．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)到平面的距離為（）A.1 B.3 C.7 D.【答案】B【解析】【分析】點(diǎn)到平面的距離即為y軸坐標(biāo)的絕對值.【詳解】在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)到平面的距離.故選：B2.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)斜率的定義結(jié)合誘導(dǎo)公式即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以直線的傾斜角為146°.故選：D3.已知為圓上的一動點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的最大值為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】D【解析】【分析】根據(jù)點(diǎn)到點(diǎn)的距離公式，結(jié)合圓的性質(zhì)即可求解.【詳解】圓心為，半徑為，由題意得，故在圓外，所以的最大值為．故選：D4.已知橢圓的右頂點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，為直線與軸的交點(diǎn)，若為等腰三角形，則（）A. B. C. D.2【答案】A【解析】【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)列式求解即可.【詳解】由題意得，，因?yàn)闉榈妊切?，則，所以，解得.故選：A5.若點(diǎn)，到直線的距離相等，則（）A.1 B. C.1或 D.或2【答案】C【解析】【分析】根據(jù)斜率公式以及中點(diǎn)坐標(biāo)即可求解.【詳解】若，在直線的同側(cè)，則，解得．若，分別在直線的兩側(cè)，則直線經(jīng)過的中點(diǎn)，則，解得．故選：C6.如圖，在四面體中，分別為的中點(diǎn)，為的重心，則（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算，將用表示即可.【詳解】因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以.因?yàn)闉榈闹匦模?，所?故選：B.7.已知是雙曲線的左焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)且斜率為的直線與的右支交于點(diǎn)，，，則的離心率為（）A.3 B.2 C. D.【答案】B【解析】【分析】取的中點(diǎn)為，連接，,根據(jù)題意得到，求得，結(jié)合，得到，結(jié)合雙曲線的定義，得到，即可求解.【詳解】如圖所示，雙曲線的右焦點(diǎn)為，的中點(diǎn)為，連接，,因?yàn)椋瑸榈闹悬c(diǎn)，所以，則，可得，又因?yàn)?，所以，則，，可得，所以的離心率為．故選：B.8.已知是拋物線的焦點(diǎn)，過的直線與交于兩點(diǎn)，則的最小值為（）A.36 B.24 C.18 D.9【答案】A【解析】【分析】由題意可設(shè)直線的方程為，，聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理求出，再根據(jù)拋物線得焦半徑公式結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可得解.【詳解】由題意，由題意可設(shè)直線的方程為，，聯(lián)立，消得，恒成立，則，，當(dāng)時，取得最小值.故選：A.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.已知，分別是橢圓的上、下焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，則（）A.的長軸長為 B.的短軸長為C.的坐標(biāo)為 D.的最小值為【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合橢圓的幾何性質(zhì)，即可求解.【詳解】由橢圓，可得，，則，所以，橢圓的長軸長為，的短軸長為，上焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)，得到的最小值為．故選：ABD.10.圓與圓的公切線的方程可能為（）A. B.C. D.【答案】CD【解析】【分析】根據(jù)圓心距和半徑的關(guān)系可判斷兩圓相交，結(jié)合圓的半徑相等，可得切線斜率，即可由點(diǎn)到直線的距離公式求解.【詳解】圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑，由題意得，圓與圓的半徑之和為，半徑之差為0，因?yàn)椋詧A與圓的位置關(guān)系為相交．由題意得，因?yàn)閳A與圓的半徑相等，所以公切線的斜率為2．設(shè)公切線的方程為，即，由，得，所以公切線的方程為或．故選：CD11.已知左、右焦點(diǎn)分別是，的雙曲線上有一點(diǎn)（，），且，則（）A. B.C.的面積為31 D.的周長為【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)同角正弦函數(shù)與余弦函數(shù)關(guān)系即可判斷出A答案；根據(jù)題意可知a、b、c值，再根據(jù)雙曲線定義即可判斷出B答案；將A、B中的信息帶入三角形的面積公式即可判斷C答案，根據(jù)定義計算出的取值即可得出D答案.【詳解】由題知，，則．因?yàn)樵诘谝幌笙?，所以．在中，因?yàn)椋?，A正確；且，可得，B錯誤；所以，C錯誤；因?yàn)?，所以，故的周長為，D正確．故選：AD.12.數(shù)學(xué)探究課上，小王從世界名畫《記憶的永恒》中獲得靈感，創(chuàng)作出了如圖1所示的《垂直時光》.已知《垂直時光》是由兩塊半圓形鐘組件和三根指針組成的，它如同一個標(biāo)準(zhǔn)的圓形鐘沿著直徑折成了直二面角（其中對應(yīng)鐘上數(shù)字對應(yīng)鐘上數(shù)字9）.設(shè)的中點(diǎn)為，若長度為2的時針指向了鐘上數(shù)字8，長度為3的分針指向了鐘上數(shù)字12.現(xiàn)在小王準(zhǔn)備安裝長度為3的秒針（安裝完秒針后，不考慮時針與分針可能產(chǎn)生的偏移，不考慮三根指針的粗細(xì)），則下列說法正確的是（）A.若秒針指向了鐘上數(shù)字5，如圖2，則B.若秒針指向了鐘上數(shù)字5，如圖2，則平面C.若秒針指向了鐘上數(shù)字4，如圖3，則與所成角的余弦值為D.若秒針指向了鐘上數(shù)字4，如圖3，則四面體的外接球的表面積為【答案】ACD【解析】【分析】分別用立體幾何中空間向量法判斷A，B，C，求出四面體的外接球的表面積，判斷D.【詳解】如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸?軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則若秒針指向了鐘上數(shù)字5，則，則，，所以，A正確.，故是平面的一個法向量.因?yàn)椋?，所以與不垂直，從而與平面不平行，B不正確.若秒針指向了鐘上數(shù)字4，則，，，C正確.由，得.因?yàn)?，所以外接圓的半徑，則四面體的外接球的半徑，則，故四面體的外接球的表面積為，D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知向量，，則在方向上的投影向量的坐標(biāo)為__________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，結(jié)合投影向量的定義即可求解.【詳解】由，得，在方向上的投影向量為．故答案為：14.已知為拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)到的焦點(diǎn)的距離為9，到軸的距離為6，則__________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合拋物線的定義，列出方程，即可求解.【詳解】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，其中，由點(diǎn)到的焦點(diǎn)的距離為，根據(jù)拋物線的定義，可得，又由到軸的距離為，可得，所以，解得．故答案為：.15.已知橢圓，過點(diǎn)，斜率為的直線與交于，兩點(diǎn)，且為的中點(diǎn)，則__________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用點(diǎn)差法求解即得.【詳解】設(shè)橢圓上的點(diǎn)，則，兩式相減得，而，即，整理得，又，于是，顯然點(diǎn)在橢圓內(nèi)，符合題意，所以.故答案為：16.若A，B是平面內(nèi)不同的兩定點(diǎn)，動點(diǎn)滿足（且），則點(diǎn)的軌跡是一個圓，這個軌跡最先由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，故被稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓．已知是圓上的動點(diǎn)，點(diǎn)，，則的最大值為_______．【答案】【解析】【分析】設(shè)，求出，然后將求的最大值問題轉(zhuǎn)化為求的最大值問題，數(shù)形結(jié)合即可得答案.【詳解】由題意得設(shè)，，所以，則，由于是圓上的點(diǎn)，所以，所以，解得，即，所以，如圖，所以的最大值為，故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知直線經(jīng)過點(diǎn)．（1）若經(jīng)過點(diǎn)，求的斜截式方程；（2）若在軸上的截距為，求在軸上的截距．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)斜率公式求解斜率，即可由點(diǎn)斜式求解；（2）根據(jù)截距式代入即可求解.【小問1詳解】由題意得，則方程為，其斜截式方程為．【小問2詳解】設(shè)的截距式方程為，由題意得得，所以在軸上的截距為．18.已知圓與圓關(guān)于直線對稱．（1）求的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）記與的公共點(diǎn)為，求四邊形的面積．【答案】（1）（2）9【解析】【分析】（1）找到圓的圓心，半徑，利用圓與圓關(guān)于對稱，求出圓心和半徑即可;（2）求出圓心距與到直線的距離，結(jié)合對稱性即可求解.【小問1詳解】將的方程轉(zhuǎn)化為，可得的圓心為，半徑為3．設(shè)的圓心為，半徑為，因?yàn)榕c關(guān)于直線：對稱，所以解得故的標(biāo)準(zhǔn)方程為．【小問2詳解】，根據(jù)對稱性可知到直線的距離，則，則四邊形的面積．19.如圖，在長方體中，點(diǎn)，分別在棱，上，，，，.（1）證明：.（2）求平面與平面的夾角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）.【解析】【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用數(shù)量積證明垂直即可；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，以向量法去求平面與平面的夾角的余弦值即可解決.【小問1詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為，，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，所以，，因?yàn)?，所?【小問2詳解】由（1），，設(shè)平面的法向量為，則，即，不妨取，則.易得平面，所以是平面的一個法向量，且.設(shè)平面設(shè)與平面的夾角為，所以.故平面與平面的夾角的余弦值為.20.已知曲線的方程為．（1）說明為何種圓雉曲線，并求的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知直線與交于，兩點(diǎn)，與的一條漸近線交于點(diǎn)，且在第四象限，為坐標(biāo)原點(diǎn)，求．【答案】（1）是以，為焦點(diǎn)，實(shí)軸長為2的雙曲線，（2）26【解析】【分析】（1）結(jié)合雙曲線的定義即可求解；（2）應(yīng)用韋達(dá)定理結(jié)合數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算即可求解.【小問1詳解】因?yàn)?，所以是以，為焦點(diǎn)，實(shí)軸長為2的雙曲線．設(shè)：（，），則，，，所以的方程為．【小問2詳解】由（1）可得的漸近線方程為，由得即．設(shè)，，由得，由韋達(dá)定理得則21.如圖，在五面體中，四邊形為矩形，平面平面，且，正三角形的邊長為2.（1）證明：平面.（2）若，且直線與平面所成角的正弦值為，求的值.【答案】（1）證明見解析（2）.【解析】【分析】（1）先通過線面平行的判定定理證明平面，然后根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理證明，再結(jié)合線面平行的判定定理完成證明；（2）建立合適空間直角坐標(biāo)系，然后根據(jù)直線的方向向量與平面的法向量夾角的余弦值求解出的值.【小問1詳解】因?yàn)樗倪呅螢榫匦?，所以，又平面平面，所以平面，因?yàn)槠矫嫫矫嫫矫?，所以，又平面平面，所以平?【小問2詳解】分別取中點(diǎn)，連接，因?yàn)槠矫嫫矫鏋檎切?，以為坐?biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸?軸?軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，則，設(shè)平面的法向量為，則由得，令，得，因?yàn)橹本€與平面所成角的正弦值為，所以，解得或（舍去），故.22.圓稱為橢圓的蒙日圓.已知橢圓：的離心率為，的蒙日圓方程為.（1）求的方程；（2）若為的左焦點(diǎn)，過上的一點(diǎn)作的切線，與的蒙日圓交于，兩點(diǎn)，過作直線與交于，兩點(diǎn)，且，證明：是定值.【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）依題意，利用待定系數(shù)法即可得解；（2）分類討論，的斜率取值情況，聯(lián)立直線與橢圓方程，利用弦長公式求得，從而得證.【小問