高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 好題匯總測(cè)試4 三角、向量、數(shù)列、不等式

考查范圍：集合、邏輯、函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、三角、向量、數(shù)列、不等式第Ⅰ卷一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，滿分60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．【2013高考真題遼寧】已知集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|0<log4x<1))，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x≤2))，則A∩B＝()A．(0，1)B．(0，2]C．(1，2)D．(1，2]【答案】D【解析】∵A＝{x|1<x<4}，B＝{x|x≤2}，∴A∩B＝{x|1<x≤2}，故選D.2．【2012高考真題遼寧理4】已知命題p：x1，x2R，(f(x2)f(x1))(x2x1)≥0，則p是（）A.x1，x2R，(f(x2)f(x1))(x2x1)≤0B.x1，x2R，(f(x2)f(x1))(x2x1)≤0C.x1，x2R，(f(x2)f(x1))(x2x1)<0D.x1，x2R，(f(x2)f(x1))(x2x1)<0【答案】C【解析】命題p為全稱命題，所以其否定p應(yīng)是特稱命題，又“(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≥0”的否定為“(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0”，故“?x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≥0”的否定是“?x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0”.故而答案選C.3.(寧夏銀川一中2012屆高三年級(jí)第三次月考數(shù)學(xué)理)各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，且，則等于（）A.16B.27C.36D.－27【答案】B【解析】由,得，由等比數(shù)列的性質(zhì)可得，依次構(gòu)成等比數(shù)列，又等比數(shù)列中各項(xiàng)均為正數(shù)，所以可得.4.(寧夏銀川一中2012屆高三年級(jí)第三次月考數(shù)學(xué)理)已知的三邊長(zhǎng)成公差為的等差數(shù)列，且最大角的正弦值為，則這個(gè)三角形的周長(zhǎng)是（）A.B.C.D.【答案】D 【解析】不妨設(shè)三邊長(zhǎng)依次構(gòu)成公差為的等差數(shù)列，則角為最大角.所以由已知得.所以（為最大角，不可能，否則，不符合題意）.由，及，解得.所以周長(zhǎng)為.5.【2012高考新課標(biāo)文5】已知正三角形ABC的頂點(diǎn)A(1,1)，B(1,3)，頂點(diǎn)C在第一象限，若點(diǎn)（x，y）在△ABC內(nèi)部，則z=－x+y的取值范圍是（）A.(1－eq\r(3)，2)B.(0，2)C.(eq\r(3)－1，2)D.(0，1+eq\r(3))【答案】A【解析】作出三角形的區(qū)域如圖，由圖象可知當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，截距最大，此時(shí)，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)C時(shí)，截距最小.因?yàn)檩S，所以.又的邊長(zhǎng)為2，設(shè)點(diǎn)，則，解得.因?yàn)轫旤c(diǎn)C在第一象限，所以.即點(diǎn).將點(diǎn)代入直線，得，所以的取值范圍是.選A.6.（理）【湖北省黃岡市2013屆高三年級(jí)3月份質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)理】已知A，B，C，D是函數(shù)一個(gè)周期內(nèi)的圖象上的四個(gè)點(diǎn)，如圖所示，B為軸上的點(diǎn)，C為圖象上的最低點(diǎn)，E為該函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，B與D關(guān)于點(diǎn)E對(duì)稱，在軸上的投影為，則的值為A.B.C.D.【答案】A【解析】因?yàn)樵谳S上的投影為，又點(diǎn)，所以函數(shù)的四分之一個(gè)最小正周期為，即函數(shù)的最小正周期為.故.又點(diǎn)是處于遞增區(qū)間上的零點(diǎn)，所以，則.又因?yàn)?，所?故選A.（文）【2012高考新課標(biāo)文9】已知ω>0，，直線和是函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)圖象的兩條相鄰的對(duì)稱軸，則φ=（）A.eq\f(π,4)B.eq\f(π,3)C.eq\f(π,2)D.eq\f(3π,4)【答案】A【解析】因?yàn)楹褪呛瘮?shù)圖象中相鄰的對(duì)稱軸，所以，解得.又，所以.所以.因?yàn)槭呛瘮?shù)的對(duì)稱軸，所以，所以.因?yàn)?，所?檢驗(yàn)知此時(shí)也為對(duì)稱軸，所以選A.7.（河南省鄭州市2012屆高三第一次質(zhì)量預(yù)測(cè)數(shù)學(xué)理）已知曲線與直線相交，若在軸右側(cè)的交點(diǎn)自左向右依次記為P1,P2,P3…，則||等于（）A.B.2C.3D.4【答案】B【解析】因?yàn)?，令，得，所以或、，則或.故點(diǎn),所以.8.[2013·湖南卷]函數(shù)f(x)＝2lnx的圖像與函數(shù)g(x)＝x2－4x＋5的圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為()A．3B．2C．1D．0【答案】B【解析】法一：作出函數(shù)f(x)＝2lnx，g(x)＝x2－4x＋5的圖像如圖：可知，其交點(diǎn)個(gè)數(shù)為2，選B.法二：也可以采用數(shù)值法：x124f(x)＝2lnx02ln2＝ln4>1ln42<5g(x)＝x2－4x＋5215可知它們有2個(gè)交點(diǎn)，選B.9.（河南省鄭州市2012屆高三第一次質(zhì)量預(yù)測(cè)數(shù)學(xué)理）若,則代數(shù)式的最小值為（）A.2B.3C.4D.5【答案】C【解析】因?yàn)?，所?所以，當(dāng)且僅當(dāng)且，即時(shí)等號(hào)同時(shí)成立.故代數(shù)式的最小值為4.10.（理）（山西省太原市2012屆高三模擬試題（二）數(shù)學(xué)文）已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則（）A.B.C.D.【答案】D【解析】，在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)與的圖象，不妨設(shè)，則由函數(shù)對(duì)稱性可知，得，即.所以.（文）(寧夏銀川一中2012屆高三年級(jí)第三次月考數(shù)學(xué)理)已知函數(shù),若有,則的取值范圍為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】,若有,則，解得.11.(寧夏銀川一中2012屆高三年級(jí)第三次月考數(shù)學(xué)文)對(duì)于非零向量，定義運(yùn)算“”：，其中為的夾角，有兩兩不共線的三個(gè)向量，下列結(jié)論正確的是()A.若，則B.C.D.【答案】D【解析】對(duì)于A項(xiàng)，由，得，得，不能得到，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；B項(xiàng)只有在夾角為0時(shí)才成立，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C項(xiàng)，是一個(gè)與共線的向量，是一個(gè)與共線的向量，又它們兩兩不共線，顯然不可能相等；故C項(xiàng)錯(cuò)誤；故選D項(xiàng).12.【2012高考新課標(biāo)文12，理16】數(shù)列{an}滿足an+1＋(－1)nan＝2n－1，則{an}的前60項(xiàng)和為（）A.3690B.3660C.1845D.1830【答案】D【解析】由,得，即，也有，兩式相加得.設(shè)為整數(shù)，則.于是.第II卷二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分。將答案填在答題卷相應(yīng)位置上.13．[2013·江蘇卷]已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)．當(dāng)x>0時(shí)，f(x)＝x2－4x，則不等式f(x)>x的解集用區(qū)間表示為_(kāi)_______．【答案】(－5，0)∪(5，＋∞)[解析]設(shè)x<0，則－x>0.因?yàn)閒(x)是奇函數(shù)，所以f(x)＝－f(－x)＝－(x2＋4x)．又f(0)＝0，于是不等式f(x)>x等價(jià)于eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≥0，,x2－4x>x))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x<0，,－（x2＋4x）>x.))解得x>5或－5<x<0，故不等式的解集為(－5，0)∪(5，＋∞)．14.[2013·廣東卷]給定區(qū)域D：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋4y≥4，,x＋y≤4，,x≥0，))令點(diǎn)集T＝{(x0，y0)∈D|x0，y0∈Z，(x0，y0)是z＝x＋y在D上取值最大值或最小值的點(diǎn)}．則T中的點(diǎn)共確定________條不同的直線．【答案】6【解析】由題畫出不等式組表示的區(qū)域如圖陰影部分，易知線性目標(biāo)函數(shù)z＝x＋y在點(diǎn)(0，1)處取得最小值，在(0，4)或(1，3)或(2，2)或(3，1)或(4，0)處取得最大值，這些點(diǎn)一共可以確定6條直線．15．[2013·北京卷]向量a，b，c在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，則eq\f(λ,μ)＝________．【答案】4【解析】以向量a和b的交點(diǎn)為原點(diǎn)，水平方向和豎直方向分別為x軸和y軸建立直角坐標(biāo)系，則a＝(－1，1)，b＝(6，2)，c＝(－1，－3)，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－1＝－λ＋6μ，,－3＝λ＋2μ，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝－2，,μ＝－\f(1,2)，))所以eq\f(λ,μ)＝4.16．（昆明第一中學(xué)2012屆高三第一次摸底測(cè)試數(shù)學(xué)文理）在中,角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c,且滿足,則的最大值是.【答案】1【解析】由，得，又由正弦定理，得，所以.又，所以.又，所以.故.則.所以.故當(dāng)時(shí)，取得最大值1.三、解答題：本大題共6小題，滿分70分．解答須寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程和演算步驟17．（本小題滿分10分）[2013·新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅱ]△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知a＝bcosC＋csinB.(1)求B；(2)若b＝2，求△ABC面積的最大值．【解】(1)由已知及正弦定理得sinA＝sinBcosC＋sinCsinB．①又A＝π－(B＋C)，故sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC．②由①②和C∈(0，π)得sinB＝cosB.又B∈(0，π)，所以B＝eq\f(π,4).(2)△ABC的面積S＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(\r(2),4)ac.由已知及余弦定理得4＝a2＋c2－2accoseq\f(π,4).又a2＋c2≥2ac，故ac≤eq\f(4,2－\r(2))，當(dāng)且僅當(dāng)a＝c時(shí)，等號(hào)成立．因此△ABC面積的最大值為eq\r(2)＋1.18.（本小題滿分12分）[2013·陜西卷]設(shè){an}是公比為q的等比數(shù)列．(1)推導(dǎo){an}的前n項(xiàng)和公式；(2)設(shè)q≠1，證明數(shù)列{an＋1}不是等比數(shù)列．【解】(1)設(shè){an}的前n項(xiàng)和為Sn，當(dāng)q＝1時(shí)，Sn＝a1＋a2＋…＋an＝na1；當(dāng)q≠1時(shí)，Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1，①qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn，②①－②得，(1－q)Sn＝a1－a1qn，∴Sn＝eq\f(a1（1－qn）,1－q)，∴Sn＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(na1，q＝1，,\f(a1（1－qn）,1－q)，q≠1.))(2)假設(shè){an＋1}是等比數(shù)列，則對(duì)任意的k∈N＋，(ak＋1＋1)2＝(ak＋1)(ak＋2＋1)，即aeq\o\al(2,k＋1)＋2ak＋1＋1＝akak＋2＋ak＋ak＋2＋1，即aeq\o\al(2,1)q2k＋2a1qk＝a1qk－1·a1qk＋1＋a1qk－1＋a1qk＋1，∵a1≠0，∴2qk＝qk－1＋qk＋1.∵q≠0，∴q2－2q＋1＝0，∴q＝1，這與已知矛盾．∴假設(shè)不成立，故{an＋1}不是等比數(shù)列．19.（本小題滿分12分）【2012高考真題山東理17】已知向量，函數(shù)的最大值為6.（Ⅰ）求；（Ⅱ）將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位，再將所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象.求在上的值域.【解】（Ⅰ）f(x)＝m·n＝eq\r(3)Asinxcosx＋eq\f(A,2)cos2x＝Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)sin2x＋\f(1,2)cos2x))＝Asineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6))).因?yàn)锳>0，由題意知，A＝6.(2)由(1)f(x)＝6sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6))).將函數(shù)y＝f(x)的圖象向左平移eq\f(π,12)個(gè)單位后得到y(tǒng)＝6sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,12)))＋\f(π,6)))＝6sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))的圖象；再將得到圖象上各點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的eq\f(1,2)倍，縱坐標(biāo)不變，得到y(tǒng)＝6sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x＋\f(π,3)))的圖象．因此，g(x)＝6sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x＋\f(π,3))).因?yàn)閤∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(5π,24)))，所以4x＋eq\f(π,3)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(7π,6))).故g(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(5π,24)))上的值域?yàn)閇－3,6]．20.（本小題滿分12分）(河北省石家莊市2012屆高中畢業(yè)班第二次模擬考試數(shù)學(xué)文)已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，成等差數(shù)列.（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式;（Ⅱ）數(shù)列是首項(xiàng)為-6，公差為2的等差數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【解】（Ⅰ）由已知得,則.代入，得，解得（舍去）或.所以.（Ⅱ）由題意得，所以.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，則.21．（本小題滿分12分）【2012高考真題湖南理20】某企業(yè)接到生產(chǎn)3000臺(tái)某產(chǎn)品的A，B，C三種部件的訂單，每臺(tái)產(chǎn)品需要這三種部件的數(shù)量分別為2,2,1(單位：件)．已知每個(gè)工人每天可生產(chǎn)A部件6件，或B部件3件，或C部件2件．該企業(yè)計(jì)劃安排200名工人分成三組分別生產(chǎn)這三種部件，生產(chǎn)B部件的人數(shù)與生產(chǎn)A部件的人數(shù)成正比，比例系數(shù)為k(k為正整數(shù))．(1)設(shè)生產(chǎn)A部件的人數(shù)為x，分別寫出完成A，B，C三種部件生產(chǎn)需要的時(shí)間；(2)假設(shè)這三種部件的生產(chǎn)同時(shí)開(kāi)工，試確定正整數(shù)k的值，使完成訂單任務(wù)的時(shí)間最短，并給出時(shí)間最短時(shí)具體的人數(shù)分組方案．【解】(1)設(shè)完成A，B，C三種部件的生產(chǎn)任務(wù)需要的時(shí)間(單位：天)分別為T1(x)，T2(x)，T3(x)，由題設(shè)有T1(x)＝eq\f(2×3000,6x)＝eq\f(1000,x)，T2(x)＝eq\f(2000,kx)，T3(x)＝eq\f(1500,200－1＋kx)，其中x，kx,200－(1＋k)x均為1到200之間的正整數(shù)．(2)完成訂單任務(wù)的時(shí)間為f(x)＝max{T1(x)，T2(x)，T3(x)}，其定義域?yàn)閑q\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(0＜x＜\f(200,1＋k)，))x∈N*)).易知，T1(x)，T2(x)為減函數(shù)，T3(x)為增函數(shù)．注意到T2(x)＝eq\f(2,k)T1(x)，于是①當(dāng)k＝2時(shí)，T1(x)＝T2(x)，此時(shí)f(x)＝max{T1(x)，T3(x)}＝maxeq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1000,x)，\f(1500,200－3x))).由函數(shù)T1(x)，T3(x)的單調(diào)性知，當(dāng)eq\f(1000,x)＝eq\f(1500,200－3x)時(shí)f(x)取得最小值，解得x＝eq\f(400,9).由于44＜eq\f(400,9)＜45，而f(44)＝T1(44)＝eq\f(250,11)，f(45)＝T3(45)＝eq\f(300,13)，f(44)＜f(45)．故當(dāng)x＝44時(shí)完成訂單任務(wù)的時(shí)間最短，且最短時(shí)間為f(44)＝eq\f(250,11).②當(dāng)k＞2時(shí)，T1(x)＞T2(x)，由于k為正整數(shù)，故k≥3，此時(shí)eq\f(1500,200－1＋kx)≥eq\f(1500,200－1＋3x)＝eq\f(375,50－x).記T(x)＝eq\f(375,50－x)，φ(x)＝max{T1(x)，T(x)}，易知T(x)是增函數(shù)，則f(x)＝max{T1(x)，T3(x)}≥max{T1(x)，T(x)}＝φ(x)＝maxeq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1000,x)，\f(375,50－x))).由函數(shù)T1(x)，T(x)的單調(diào)性知，當(dāng)eq\f(1000,x)＝eq\f(375,50－x)時(shí)φ(x)取最小值，解得x＝eq\f(400,11).由于36＜eq\f(400,11)＜37，而φ(36)＝T1(36)＝eq\f(250,9)＞eq\f(250,11)，φ(37)＝T(37)＝eq\f(375,13)＞eq\f(250,11).此時(shí)完成訂單任務(wù)的最短時(shí)間大于eq\f(250,11).③當(dāng)k＜2時(shí)，T1(x)＜T2(x)，由于k為正整數(shù)，故k＝1，此時(shí)f(x)＝max{T2(x)，T3(x)}＝maxeq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(2000,x)，\f(750,100－x))).由函數(shù)T2(x)，T3(x)的單調(diào)性知，當(dāng)eq\f(2000,x)＝eq\f(750,100－x)時(shí)f(x)取最小值，解得x＝eq\f(800,11)，類似(1)的討論，此時(shí)完成訂單任務(wù)的最短時(shí)間為eq\f(250,9)，大于eq\f(250,11).綜上所述，當(dāng)k＝2時(shí)，完成訂單任務(wù)的時(shí)間最短，此時(shí)，生產(chǎn)A，B，C三種部件的人數(shù)分別為44,88,68.22.（本小題滿分12分）（理）[2013高考真題山東卷]設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\f(x,e2x)＋c(e＝2.71828…是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，c∈R)．(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間、最大值；(2)討論關(guān)于x的方程|lnx|＝f(x)根的個(gè)數(shù)．21．解：(1)f′(x)＝(1－2x)e－2x.由f′(x)＝0，解得x＝eq\f(1,2)，當(dāng)x<eq\f(1,2)時(shí)，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x>eq\f(1,2)時(shí)，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減．所以，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是－∞，eq\f(1,2)，單調(diào)遞減區(qū)間是eq\f(1,2)，＋∞，最大值為feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\f(1,2)e－1＋c.(2)令g(x)＝|lnx|－f(x)＝|lnx|－xe－2x－c，x∈(0，＋∞)．①當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，lnx>0，則g(x)＝lnx－xe－2x－c，所以g′(x)＝e－2xeq\f(e2x,x)＋2x－1.因?yàn)?x－1>0，eq\f(e2x,x)>0，所以g′(x)>0.因此g(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞增．②當(dāng)x∈(0，1)時(shí)，lnx<0，則g(x)＝－lnx－xe－2x－c，所以g′(x)＝e－2x－eq\f(e2x,x)＋2x－1.因?yàn)閑2x∈(1，e2)，e2x>1>x>0，所以－eq\f(e2x,x)<－1.又2x－1<1，所以－eq\f(e2x,x)＋2x－1<0，即g′(x)<0.因此g(x)在(0，1)上單調(diào)遞減．綜合①②可知，當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)，g(x)≥g(1)＝－e－2－c.當(dāng)g(1)＝－e－2－c>0，即c<－e－2時(shí)，g(x)沒(méi)有零點(diǎn)，故關(guān)于x的方程|lnx|＝f(x)根的個(gè)數(shù)為0；當(dāng)g(1)＝－e－2－c＝0，即c＝－e－2時(shí)，g(x)只有一個(gè)零點(diǎn)，故關(guān)于x的