3.2.2雙曲線的簡單幾何性質(zhì)2課件-高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版選擇性

第三章圓錐曲線的方程3.2.2雙曲線的簡單幾何性質(zhì)圖形方程范圍對(duì)稱性頂點(diǎn)離心率漸近線關(guān)于x軸，y軸，原點(diǎn)對(duì)稱關(guān)于x軸，y軸，原點(diǎn)對(duì)稱(±a，0)，(0，±b)長軸：2a，短軸：2b(±a，0)實(shí)軸：2a，虛軸：2b無|x|≤a，|y|≤b|x|≥a，y∈RyxOA2B2A1B1..F1(-c，0)F2(c，0)yB2A1A2B1

xO..F1(-c，0)F2(c，0)圖形方程范圍對(duì)稱性頂點(diǎn)離心率漸近線關(guān)于x軸，y軸，原點(diǎn)對(duì)稱關(guān)于x軸，y軸，原點(diǎn)對(duì)稱(±a，0)實(shí)軸：2a，虛軸：2b|x|≥a，y∈RyB2A1A2B1

xO..F1(-c，0)F2(c，0)F2(0，c)F1(0，-c)xB1yO.B2A1A2.|y|≥a，x∈R(0，±a)實(shí)軸：2a，虛軸：2b1、“共漸近線”的雙曲線系方程λ>0表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線；λ<0表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線。2、“共焦點(diǎn)”的曲線系方程例題解析1、雙曲線型冷卻塔的外形，是雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉(zhuǎn)所成的曲面，如圖，它的最小半徑為12m，上口半徑為13m，下口半徑為25m，高55m.

選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求出此雙曲線的方程(精確到1m).解：根據(jù)雙曲線的對(duì)稱性，在冷卻塔的軸截面所在的平面建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，使小圓的直徑AA′在x軸上，圓心與原點(diǎn)重合.這時(shí)上下口的直徑CC′，BB′都平行于x軸，且|CC′|=13×2，|BB′|=25×2點(diǎn)C的坐標(biāo)為(13，y)，A′AOxyC′CB′B131225則點(diǎn)B的坐標(biāo)為(25，y-55).因?yàn)橹睆紸A′是實(shí)軸，∴a=12.又B，C兩點(diǎn)都在雙曲線上，所以解方程，得b≈25(負(fù)值舍去)例題解析2、點(diǎn)M(x，y)與定點(diǎn)F(5，0)的距離和它到定直線l：的距離的比是常數(shù)，求點(diǎn)M的軌跡.∴點(diǎn)M的軌跡是雙曲線.解：設(shè)d是點(diǎn)M到直線l的距離.根據(jù)題意，所求軌跡是集合

將上式兩邊平方，并化簡，得：9x2-16y2=144隨堂練習(xí)1、動(dòng)點(diǎn)M(x，y)與定點(diǎn)F(c，0)(c>0)的距離和它到定直線l：的距離的比是常數(shù)

，求點(diǎn)M的軌跡方程.這就是點(diǎn)M的軌跡方程，點(diǎn)M的軌跡是實(shí)軸長為2a，虛軸長為2b的雙曲線令c2-a2=b21、雙曲線的第二定義

動(dòng)點(diǎn)M與一個(gè)定點(diǎn)F的距離和它到一條定直線的距離的比是常數(shù)

，則這個(gè)點(diǎn)的軌跡是雙曲線.y..FF’OM.x“三定”：定點(diǎn)是焦點(diǎn)；定直線是準(zhǔn)線；定值是離心率.1、雙曲線的第二定義

思考：中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線的準(zhǔn)線方程是怎樣的？xyoF1F2判斷方法：??<0??=0??>0(1)聯(lián)立方程組(2)消去一個(gè)未知數(shù)1、復(fù)習(xí)：橢圓與直線的位置關(guān)系及判斷方法相離相切相交2、直線與雙曲線的位置關(guān)系xyOxyO相離：0個(gè)交點(diǎn)相交：一個(gè)交點(diǎn)相交：兩個(gè)交點(diǎn)相切：一個(gè)交點(diǎn)2、直線與雙曲線位置關(guān)系與交點(diǎn)個(gè)數(shù)2、直線與雙曲線的位置關(guān)系3、代數(shù)法判斷直線與雙曲線的位置關(guān)系2、直線與雙曲線的位置關(guān)系直線方程：y=kx+m聯(lián)立方程組，消去y，得：(b2-a2k2)x2-2ma2kx-a2m2-a2b2=0(1)若b2-a2k2=0，上式為一元一次方程，方程一個(gè)解或無解，此時(shí)直線與漸近線平行或重合重合：無交點(diǎn)；平行：有一個(gè)交點(diǎn)。(2)若b2-a2k2≠0，上式為一元二次方程，計(jì)算△①△<0，直線與雙曲線相離，沒有交點(diǎn)．②△=0，直線與雙曲線相切，有一個(gè)交點(diǎn)．③△>0，直線與雙曲線相交，有兩個(gè)交點(diǎn)．判斷直線與雙曲線位置關(guān)系的操作程序把直線方程代入雙曲線方程得到一元一次方程得到一元二次方程直線與雙曲線的漸進(jìn)線平行或重合相交(一個(gè)交點(diǎn))計(jì)算判別式△>0△=0△<0相交相切相離相離特別注意：直線與雙曲線的位置關(guān)系中：一解不一定相切，相交不一定兩解，兩解不一定同支例題解析3、已知直線y=kx-1與雙曲線x2-y2=4，試討論實(shí)數(shù)k的取值范圍，使直線與雙曲線：(1)沒有公共點(diǎn);(2)有兩個(gè)公共點(diǎn);(3)只有一個(gè)公共點(diǎn);(4)交于異支兩點(diǎn)；(5)與左支交于兩點(diǎn).△<0且1-k2≠0△>0且x1x2<0△>0且x1+x2<0，x1x2>0隨堂練習(xí)2、過點(diǎn)P(1，1)與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)的直線共有_______條.xyO(1，1)。4變題：將點(diǎn)P(1，1)改為1、A(3，4)2、B(3，0)3、C(4，0)4、D(0，0).答案又是怎樣的1、兩條；2、三條；3、兩條；4、零條.例題解析3、過雙曲線的右焦點(diǎn)F2傾斜角為30°的直線交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，求|AB|。分析：求弦長問題有兩種方法：法一：如果交點(diǎn)坐標(biāo)易求，可直接用兩點(diǎn)間距離公式代入求弦長；法二：但有時(shí)為了簡化計(jì)算，常設(shè)而不求，運(yùn)用韋達(dá)定理來處理.直線與雙曲線問題：弦長公式：設(shè)直線l與雙曲線C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，則隨堂練習(xí)3、過雙曲線

的左焦點(diǎn)F1作傾斜角為

的直線與雙曲線交于A、B兩點(diǎn)，則|AB|=________3隨堂練習(xí)4、雙曲線的兩條漸近線方程為x±2y=0，且截直線x-y-3=0所得弦長為

，則該雙曲線的方程為()D解：設(shè)所求雙曲線x2-4y2=λ(λ≠0)，消去y得，3x2-24x+36+λ=0，隨堂練習(xí)5、雙曲線x2-y2=1的左焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P為左支下半支上任意一點(diǎn)(異于頂點(diǎn))，則直線PF的斜率的變化范圍是________________(-∞，0)∪(1，＋∞)隨堂練習(xí)6、過原點(diǎn)與雙曲線交于兩點(diǎn)的直線斜率的取值范圍是_________例題解析4、已知雙曲線方程為3x2-y2=3，求：(1)以2為斜率的弦的中點(diǎn)軌跡；(2)過定點(diǎn)B(2，1)的弦的中點(diǎn)軌跡；(3)以定點(diǎn)B(2，1)為中點(diǎn)的弦所在的直線方程.(4)以定點(diǎn)(1，1)為中點(diǎn)的弦存在嗎？說明理由.弦的中點(diǎn)問題(韋達(dá)定理與點(diǎn)差法)隨堂練習(xí)7、給定雙曲線

，過點(diǎn)A(1，1)能否作直線l使l與所給雙曲線交于兩點(diǎn)P，Q.且A是線段PQ的中點(diǎn)？說明理由.解：假設(shè)存在P(x1，y1)，Q(x2，y2)為直線l上的兩點(diǎn)，且PQ的中點(diǎn)為A，則有兩式相減，并整理得2(x1+x2)(x1-x2)=(y1+y2)(y1-y2)即k=2所以直線l：y-1=2(x-1)消去y得，2x2-4x+3=0，△<0所以方程無解，故滿足條件的l不存在分析：只需證明線段AB、CD的中點(diǎn)重合即可。證明:(1)若L有斜率，設(shè)L的方程為:y=kx+b問題三：直線與雙曲線相交中的垂直與對(duì)稱問題1.已知直線y=ax+1與雙曲線3x2-y2=1相交于A、B兩點(diǎn).(1)當(dāng)a為何值時(shí)，以AB為直徑的圓過坐標(biāo)原點(diǎn)；

(2)是否存在這樣的實(shí)數(shù)a,使A、B關(guān)于y=2x對(duì)稱，若存在，求a;若不存在，說明理由.解：將y=ax+1代入3x2-y2=1又設(shè)方程的兩根為x1,x2，A(x1,y1),B(x2,y2),得(3-a2)x2-2ax-2=0,它有兩個(gè)實(shí)根，必須△>0,∵原點(diǎn)O（0，0）在以AB為直徑的圓上，∴OA⊥OB，即x1x2+y1y2=0,即x1x2+(ax1+1)(ax2+1)=0,∴(a2+1)x1x2+a(x1+x2)+1=0,解得a=±1.例3、直線y-ax-1=0和曲線3x2-y2=1相交，交點(diǎn)為A、B，當(dāng)a為何值時(shí)，以AB為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)。例題解析5、由雙曲線上的一點(diǎn)P與左、右兩焦點(diǎn)F1、F2構(gòu)成△PF1F2，求△PF1F2的內(nèi)切圓與邊F1F2的切點(diǎn)坐標(biāo)。切點(diǎn)三角形

說明：雙曲線上一點(diǎn)P與雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)F1、F2構(gòu)成的三角形稱之為焦點(diǎn)三角形，其中|PF1|、|PF2|和|F1F2|為三角形的三邊。解決與這個(gè)三角形有關(guān)的問題，要充分利用雙曲線的定義和三角形的邊角關(guān)系、正弦定理、余弦