人教版九年級數(shù)學上第24章圓24.1圓的有關性質(zhì)弧、弦、圓心角講義

/合作探究探究點1圓的定義情景激疑在準備好的一張紙上以點〇為圓心、3cm為半徑畫一個圓,觀察畫圖過程.由此你會得出什么結論？知識講解定義1:在一個平面內(nèi),線段OA繞它固定的一個端點O旋轉(zhuǎn)一周,另一個端點A所形成的圓形叫做圓.其固定的端點O叫做圓心,線段OA叫倣半徑.以O點為圓心的圓,記作,讀作“圓O〞.定義2：圓心為O、半徑為r的圓可以看成是所有到定點O的距離等于定長r的點的集合.注意〔1)圓心確定圓的位置,半徑確定圓的大小.(2)確定一個圓首先確定圓心,再確定半徑,二者缺一不可.(3)定點是圓心,定長是半徑.(4)“圓〞指的是“圓周〞,而不是“圓平面〞.典例剖析例1以下說法錯誤的有()(1)經(jīng)過P點的圓有無數(shù)個；(2)以P點為圓心的圓有無數(shù)個；(3)半徑為3cm且經(jīng)過P點的圓有無數(shù)個。(4)以P點為圓心、3cm為半徑的圓有無數(shù)個.A.1個B.2個C.3個D.4個解析確定一個圓必須滿足兩個條件,即圓心和半徑,只滿足一個條件或不滿足任何一個條件的圓都有無數(shù)個,故(1)(2)正確,(3)雖然半徑,但P點不是圓心,實際上也只是一個條件,能作無數(shù)個圓,故(3)正確;(4)滿足兩個條件,只能作一個圓,所以(4)錯誤.綜上所述,錯誤的說法有1個,應選A答案A錯因分析導致此題錯誤的主要原因是對于確定一個圓的兩個要素(圓心和半徑)理解不夠準確。類題突破1以O點為圓心畫圓,可以畫______個圓;以4cm為半徑畫圓.可以面_____個圓.答案無數(shù)無數(shù)點撥確定圓的條件:一是圓心,二是半徑.探究點2與圓有關的概念知識講解連接圓上任意兩點的線段叫做弦,經(jīng)過圓心的弦叫做直徑。圓上任意兩點間的局部叫做圓弧,簡稱弧:以A.B為端點的弧記作.讀作“圓弧AB〞或“弧AB〞,圓的任意一條直徑的兩個端點把圖分成兩條弧,每一條弧都叫做半圓。注意(1)弦和弧是有區(qū)別的,弦是線段,而弧是曲線。(2)直徑是圓中最長的弦,而弦不都是直徑。(3)大于半圓的弧叫做優(yōu)弧(用弧上的三個點表示),小于半圓的孤叫做劣弧(用弧上的兩個點表示).典例剖析例2判斷:(正確的在括號內(nèi)畫“√〞.錯誤的畫“×")直徑不是弦,弦不是直徑 ()解析只有準確理解直徑的定義:直徑是經(jīng)過圓心的弦,才能順利地做對此題。答案×。方法指導認真分清直徑和弦的區(qū)別和聯(lián)系.類題突破2以下命題是假命題的是 ()A半徑不是弦B.等弧所在的圓為同圓或等圓C.圓心相同的圓是同心圓D.圓上任意兩點間的局部叫做弧答案C點撥圓心相同、半徑不相等的圓,才是同心圓.C項忽略了“半徑不相等〞的條件,其余各選項都正確,因而選C.例3小麗和小強為了探究中有沒有最長的弦,經(jīng)過大量的測量.通過比照數(shù)據(jù),最后得出結論,直徑是圓中最長的弦,你認為他們的結論正確嗎?說說你的理由。解析在中先畫一條直徑,再任畫一條弦(不過圓心),連接OC,OD,利用三角形兩邊之和大于第三邊即可得他們的結論正確.答案他們的結論正確.理由是:如以下圖,連接OC,OD,在△0CD中,由三角形任意兩邊之和大于第三邊可得.又因為,所以.因為CD是任意一條非直徑的弦,所以直徑是圓中最長的弦.方法指導作半徑構造三角形,把圓中的問題轉(zhuǎn)化為三角形的三邊關系問題.類題突破3如下圖,在上一點C,在直徑AB上一個動點P(P不與A、B重合),判斷線段PA、PC、PB的大小關系并說明理由.答案(1)如圖(1),當P點與O點重合時,.(2)如圖(2),當P點在OA上時,.理由;連接0C,在△POC中,有(三角形任意兩邊之和大于第三邊,任意兩邊之差小于第三邊).又,(3)如圖(3),當P點在OB上時,.理由同上.點撥分類討論思想是本學段重要的數(shù)學思想,易忽略其中的情況,答案不全面,判斷時可先量一下三條線段的大小,做到心中有數(shù),再進行說明.探究點3圓的對稱性情景激疑將準備好的一張圓形紙片沿任一直徑對折,觀察兩局部是否重合,由此你會得出什么結論?知識講解圓是軸對稱圖形,其對稱軸是任意一條過圓心的直線。注意(1)圓有無數(shù)條對稱軸,直徑所在的直線是它的對稱軸.因為對稱軸是直線,而直徑是線段,所以不能說“直徑是圓的對稱軸〞.(2)圓不僅是軸對稱圖形,還是中心對稱圖形,并且圓還具有旋轉(zhuǎn)不變性。典例剖析例4以下說法中,不正確的選項是()A.圓是軸對稱圖形B.圓的任意一條直徑所在直線都是圓的對稱軸C.圓的任一直徑都是圓的對稱軸D.經(jīng)過圓心的任意直線都是圓的對稱軸解析因為對稱軸是直線,而直徑是線段,所以不能說“直徑是圓的對稱軸〞,所以選項C錯誤,應選C.答案C類題突破4兩個同心圓的對稱軸()A.僅有1條B.僅有2條C.有無數(shù)條D.僅有有限條答案C點撥圓的對稱軸是經(jīng)過圓心的直線。探究點4〔高頻考點〕垂徑定理及其推論情景激疑如圖,AB是的一條弦作直徑CD,使,垂足為E.(1)右圖是軸對稱圖形嗎？如果是,其對稱軸是什么？(2)圖中有哪些等量關系？說一說你的理由,由此,你能得出什么結論？知識講解垂直于弦的直徑平分弦,并且平分弦所對的兩條弧.這就是利用圓的軸對稱性得到的與圓相關的一個重要性質(zhì)——垂經(jīng)定理.在這里注意:①條件中的“弦〞可以是直徑。②結論中的“平分弧〞指平分弦所對的劣弧、優(yōu)弧.為了運用方便,不易出現(xiàn)錯誤,易于記憶,可將原定理表達為：一條直線假設滿足:①過圓心;②垂直于弦,那么可推出:①平分弦,②平分弦所對的優(yōu),.③平分弦所對的劣弧.進一步,我們還可以得到結論:平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦,并且平分弦所對的兩條弧.注意這里一定要注意:“弦不是直徑〞這一條件,因為圓的任意兩條直徑互相平分,但是它們不一定是互相垂直的。典例剖析例5如以下圖,P是內(nèi)一點,且OP=3,假設的半徑為5,試求過點P的最短的弦長。解析利用垂直于弦的直徑構造直角三角形,應用勾股定理來解決.答案如圖,過點P最短的弦是過點P且垂直于OP的弦AB.連接OA.在Rt△APO中,因為OP=3,0A=5,所以.又因為OP⊥AB,所以.類題突破5如圖,一條公路的轉(zhuǎn)彎處是段圓弧(),點0是所在圓的圓心,其中CD=600m,E為CD上一點,且OE⊥CD,垂足為F,EF=90m,求這段彎路的半徑.答案設彎路的半徑為Rm,那么OF=(R-90)m.,,根據(jù)勾股定理,得,即,解得R=545.∴這段彎路的半徑為545m.點撥要求彎路的半徑,只要求出OC的長便可以了,因為OE⊥CD,所以,OF=OE-EF,此時就得到了一個Rt△CFO.方法提示(1)垂徑定理和勾股定理相結合,構造直角三角形,可解決計算弦長、半徑、弦心距等問題。(2)此題是垂徑定理的應用,解題過程中使用了列方程的方法。這種用代教方法解決幾何問題的數(shù)學思想方法一定要掌握.探究點5因心角、弦弧之間的關系知識講解1.頂點在圓心的角叫做圓心角。注意:(1)圓心角的頂點必須在圓心.(2)角的兩邊是兩條半徑所在的直線。2.定理。在同圓或等圓中,相等的圓心角所對的弧相等,所對的弦也相等.推論:在同圓或等圓中,如果兩條弧相等,那么它們所對的圓心角相等,所對的弦也相等.在同圓或等圓中如果兩條弦相等,那么它們所對的圓心角相等.所對的優(yōu)弧和劣弧分別相等.注意(1)定理和推論都是以“在同圓或等圓中〞為前提的,否那么都不成立。(2)定理和推論可總結概括為:在同圓或等圓中,如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等,那么它們所對應的其余各組量也都分別相等,為了運用方便,不易出現(xiàn)錯誤,易于記憶,可將原定理表達為:在同圓或等圓中:(1)兩個圓心角;(2)兩條弧;(3)兩條弦;“知一推二〞:即(1)(2)(3)其中一個條件,就可以推出其余的兩個條件.典例剖析例6如圖,MN是的直徑,弦AB、CD相交于MN上的一點P,∠APM=∠CPM.由以上條件,你認為AB和CD大小關系是什么,請說明理由.解析要說明AB=CD,只要說明它們的一半相等即可,答案AB=CD.理由:如圖,過點O作OE、OF分別垂直于AB.CD,垂足分別為點E、F.∵∠APM=∠CPM,∴∠DPO=∠BPO.∴OE=OF.連接OD、OB,那么OB一OD.∴Rt△OFD≌Rt△OEB.∴DF=BE.根據(jù)垂徑定理可得AB=CD.方法提示運用垂徑定理、勾股定理和角平分線定理相結合,構造直角三角形,可解決計算弦長、半徑、弦心距等問題.類題突破6如以下圖,例6中的交點P在的外部,上述結論是否成立?假設成立,加以證明;假設不成立,請說明理由.答案如圖,過點O作OE⊥AB,OF⊥CD,垂足分別為點E、F.∵∠APM=∠CPM且OP=OP,∠PEO=∠PFO=90°.∴Rt△OPE≌Rt△OPF.∴OE=OF.連接OA、OB、OC、OD.易證,.∴,即.點撥在圓中最常用的輔助線有：①連接半徑；②作弦的垂線段.重點難點重難點1垂徑定理的應用(1)在記憶垂徑定理及其推論時,只要記住:對于一個圓和一條直線來說,如果具備以下五個條件中的任何兩個,那么其他三個也成立:①垂直于弦;②過圓心;③平分弦:④平分弦所對的優(yōu)??；⑤平分弦所對的劣弧,也可以理解為①②③④⑤“知二推三〞。(2)垂徑定理及其推論反映了圓的重要性質(zhì),是證明線段相等,角相等、垂直關系等的重要依據(jù),應結合圖形深刻理解、熟練掌握并靈活運用.(3)應用時,要注意以下三點,一是對于重徑定理的推論“平分弦的直徑垂直于弦,并且平分弦所對的兩條弧〞,一定要強調(diào)“弦不是直徑〞這個條件(因為一個圓的任意兩條直徑總是互相平分的)；二是定理中的“直徑〞是指經(jīng)過圓心的弦,但在實際應用時可以不是直徑,如半徑,弦心距、過圓心的直線；三是在利用垂徑定理思考問題時,常常把問題轉(zhuǎn)化為半徑、弦長的一半、弦心距三者組成的直角三角形。例1如圖(1)所示,AB是的一條弦(不是直徑),點C、D是直線AB上的兩點,且AC=BD.(1)判斷△0CD的形狀,說明理由；(2)當圖(2)中的點C與點D在線段AB上時(即C、D在A、B兩點之間).(1)題的結論還存在嗎?解析由圖及條件AC=BD,我們很容易猜測出△OCD是等腰三角形,說明△OCD是等腰三角形的方法有兩種,一種是連接OA、OB構造三角形全等;另一種方法可以通過作OM⊥AB,根據(jù)垂徑定理可推知OM所在的直線為CD的垂直平分線.答案(1)△OCD是等腰三角形.如圖(1)所示,過點O作OM⊥AB,垂足為M,那么有MA=MB.又AC=BD,∴AC+MA=BD+MB,即CM=DM.又OM⊥CD,即OM是CD的垂直平分線,∴0C=OD.∴△OCD為等腰三角形.(2)當點C、D在線段AB上時,如圖(2)所示,同(1)題作OM⊥AB,垂足為M,由垂徑定理,得AM-BM,又∵AC=BD,∴CM=AM-AC=BM-BD-=MD.∴OC=OD,∴△OCD為等腰三角形.點撥此題為結論探究題,在條件不變的情況下,雖然圓形發(fā)生了改變,多數(shù)情況下結論仍然成立,其證明方法也根本與原來相似.類題突破1某居民區(qū)一處圓形下水管道破裂,修理人員準備更換-段新管道。如下圖,污水水面寬度為60cm,水面至管道頂部距離為10cm,問修理人員應準備內(nèi)徑多大的管道?解析此題相當于知道了弦長是60cm.拱形高為10cm,求該圓的半徑,可通過作垂直于弦的半徑將和未知轉(zhuǎn)化到一個直角三角形中就容易解決了。答案如上圖所示,連接OA,過O作OE⊥AB.垂足為E.交圓于F,那么AE=AB-=30cm.EF=10cm.設的半徑為Rcm,那么OA=Rcm.OE=OF-EF=(R-10)cm.在Rt△AEO中,,即.解得R=50.因此,修理人員應準備內(nèi)徑為100cm的管道.方法指導(1)垂徑定理和勾股定理相結合,構造直角三角形,可解決計算弦長、半徑、弦心距等問題。(2)此題是垂徑定理的應用,解題過程中使用了列方程的方法,這種用代數(shù)方法解決幾何問題的數(shù)學思想方法一定要掌握。重難點2弧、弦、圓心角關系的應用(1)同一-條弦對應兩條弧.其中一條是優(yōu)弧,一條是劣弧.而在本定理和推論中的“弧〞是指同為優(yōu)強或劣弧.(2)正確理解和使用圈心角、弧、弦三者關系三者關系可理解為:在同圓或等圓中,①圓心角相等,②所對的弧相等③所對的弦相等,三項“知一推二〞,一項相等,其余二項皆相等.這源于圓的旋轉(zhuǎn)不變性,即:圍繞其圓心旋轉(zhuǎn)任意角度,所得圖形與原圖形完全重合.(3)在具體應用上述定理解決問題時,可根據(jù)需要,選擇其有關局部。如“在同圓中,等弧所對的圓心角相等“在等圓中,相等的弧所對的弦相等〞等.例2如圖,∠A0B-90°,D.C將三等分、弦AB與半徑OD、0C交于點F、E,求證:AE=DC=BF.解析AE=DC=BF中的DC是圓心角∠COD所對的弦,而D、C是的三等分點,所以由弧、弦、圓心角之間的關系可知AC=DC=DB,由此知需證AC=AE,BD=BF,而證明等腰三角形,首先考慮“等角對等邊〞,所以證明∠ACO=∠AEC,∠BDF=∠BFD即可.答案如圖、連接AC、BD.∵OA=OB.∠A0B-90°,∴∠2=∠3-=45°.又∵C、D是的三等分點,∴∠AOC=∠COD=∠DOB=30°.∴AC=CD=DB,.∵OA=OC,又∵,∴.∴AE=AC,同理可證:BDBF.∴AE=DC=BF.類題突破2如圖,在中,,,求證：CD=CE.答案,在△COD與△COE中,∴CD=CE.點撥根據(jù),得出∠AOC=∠BOC,再由可得OD=OE,根據(jù)SAS定理得出,由此可得出結論.易錯指導易錯點1不能正確理解弦、弧、圓心角之間的關系例1如下圖,在中,弦AB>CD,OM⊥AB,ON⊥CD,垂足分別為M.N,那么OM與ON的大小關系為 ()A.OM>ONB.OM=ONC.OM<OND.無法確定錯解A錯因分析產(chǎn)生錯誤的原因是沒有正確理解弦心距與弦之間的關系,