葉輪應(yīng)力狀態(tài)公式推導(dǎo)詳解

葉輪應(yīng)力狀態(tài)公式推導(dǎo)詳解I.截取微元體葉輪的應(yīng)力狀態(tài)是軸對稱平面應(yīng)力狀態(tài)。葉輪主平面內(nèi)只有徑向應(yīng)力和切向應(yīng)力，且同一半徑上各點的徑向應(yīng)力、切向應(yīng)力各自相等，即葉輪任一過軸線的徑向截面上的應(yīng)力可以代表其他徑向截面上的應(yīng)力狀態(tài)。從葉輪中切出一塊微元體，分析微元體的受力平衡。為了表示葉輪各點的應(yīng)力狀態(tài)，在葉輪任意部位上，取半徑相距的兩個圓弧面和夾角為的兩個徑向截面所切出的無窮小微元體。在微元體的四個截面上只有兩個方向的主應(yīng)力：徑向方向的徑向應(yīng)力，用表示；圓周方向的切向應(yīng)力，用表示，如圖1。由于葉輪應(yīng)力隨半徑而變化，在微元體AB截面上的徑向應(yīng)力比CD截面上的徑向應(yīng)力大，為徑向應(yīng)力增量。在不同徑向截面AD和BC上的切向應(yīng)力是相等的。圖1微元體參數(shù)及其應(yīng)力分布圖示II.受力分析作用在微元體上的力有五個，如圖2所示：=1\*GB3①.微元體的離心力dC；=2\*GB3②.作用在AB截面上的徑向力dP′；=3\*GB3③.作用在CD截面上的徑向力dP；=4\*GB3④.兩個作用在徑向截面上的切向力dT。圖2微元體受力分析離心力dC：其中，略去三階及以上高階無窮小，得：，即：（1）式中：—葉輪材料密度；R—葉輪某截面的半徑；—葉輪旋轉(zhuǎn)角速度；y—半徑R處葉輪厚度。2.徑向力dP、dP’是徑向應(yīng)力和面積的乘積CD截面：（2）AB截面：，將上式展開，并略去三階及以上高階無窮小項即得：（3）切向力dT（4）受力平衡葉輪穩(wěn)定旋轉(zhuǎn)時，微元體處于相對平衡狀態(tài)，因此作用在微元休上諸力在任意方向的分力之和等于零，如圖2。其徑向方向力的平衡條件為：。因為非常小，有，化簡上式得：。將式（1）~（4）代入上式，略去三階及以上高階無窮小，并消去，可得：（5）上式是葉輪受力平衡方程式，它表示葉輪應(yīng)力（、）和葉輪尺寸（R、y）及葉輪旋轉(zhuǎn)角速度之間的關(guān)系。III.平面狀態(tài)下胡克定律、，聯(lián)立兩式可得：其中：-徑向應(yīng)變；-切向應(yīng)變；-泊松系數(shù)。由于微元體是處于葉輪之中，微元體的徑向應(yīng)變和切向應(yīng)變是相互聯(lián)系的，它們之間的關(guān)系可以用載荷作用下葉輪的位移（變形量）聯(lián)系起來。分析微元體的變形，微元體的半徑R處的徑向位移為v(不考慮溫差引起的位移)，此時半徑變?yōu)镽+v；在半徑R+dR處的徑向位移為v+dv。這樣，微元體在載荷作用下厚度變?yōu)閐R+dv。根據(jù)相對變形的定義可以求得和。、；代入（、）中可得：（6）（7）將式（6）、（7）代入式（5）中，并略去三階及以上高階無窮小，可化簡式（5）為：（8）IV.等厚葉輪應(yīng)力分析對于等厚葉輪，厚度不隨半徑變化，即；代入（8）式得：（9）其中。求解該微分方程方程（9）可簡化為：；積分一次可得：；再積分一次得：；可寫成：；則：。經(jīng)過整理后將代入式（6）、（7），等厚度葉輪徑向應(yīng)力和切向應(yīng)力的公式為：(10)(11)積分常數(shù)由邊界條件確定。V.空心等厚葉輪應(yīng)力葉輪以角速度旋轉(zhuǎn)時，葉輪除承受自身質(zhì)量的離心力外，在葉輪外表面上承受葉片和部分輪緣的離心力，該離心力在葉輪外表面上產(chǎn)生的徑向應(yīng)力用表示，對套裝葉輪，葉輪內(nèi)孔受到軸的壓力，它在葉輪內(nèi)表面上產(chǎn)生的徑向應(yīng)力用表示，如圖3。在這些載荷作用下，葉輪的邊界條件為：當時，；當時，;圖3空心等厚葉輪應(yīng)力示意圖將邊界條件代入式（11）中可得：聯(lián)立上