高等數(shù)學(xué)：不定積分

不定積分4.1不定積分的概念4.2基本積分公式和運(yùn)算法則4.3換元積分法4.4-分部積分法本章小結(jié)

4.1不定積分的概念

一、原函數(shù)

引例【汽車行駛的路程】一輛汽車沿直線行駛,其速度為v(t)=3t2(t≥0).假設(shè)汽車位置由起點(diǎn)開始計(jì)算,求汽車運(yùn)動(dòng)的位置函數(shù)s(t).

解由題意可知s'(t)=v(t)=3t2,因?yàn)?t3+C)'=3t2,所以s(t)=t3+C又因?yàn)閟(0)=0,代入得C=0,所以汽車運(yùn)動(dòng)的位置函數(shù)為s(t)=t3.

在微分學(xué)中,我們討論了已知物體的位置函數(shù)s(t)求物體速度v(t)的問(wèn)題,即v(t)=s'(t).而該引例是已知物體的速度v(t),求物體運(yùn)動(dòng)的位置函數(shù)s(t),與微分學(xué)中的求導(dǎo)運(yùn)算相反,也就是已知一個(gè)可導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(或微分),求該函數(shù)的問(wèn)題.為求解該類問(wèn)題,我們首先給出下面的定義:

定義4-1如果在區(qū)間I上,可導(dǎo)函數(shù)F(x)的導(dǎo)數(shù)為f(x),即對(duì)任意的x∈I,都有

則稱函數(shù)F(x)是f(x)在區(qū)間I上的一個(gè)原函數(shù).

原函數(shù)存在定理:連續(xù)函數(shù)一定存在原函數(shù).

由于初等函數(shù)在其定義區(qū)間上都連續(xù),所以初等函數(shù)在其定義區(qū)間上都存在原函數(shù).

一般地,若函數(shù)F(x)是函數(shù)f(x)的一個(gè)原函數(shù),則函數(shù)族F(x)+C是f(x)的全體原函數(shù),其中C為任意常數(shù).

二、不定積分的概念

定義4-2如果函數(shù)F(x)是f(x)的一個(gè)原函數(shù),那么f(x)的全體原函數(shù)F(x)+C(C為任意常數(shù))稱為f(x)的不定積分,記作∫f(x)dx,即

其中“∫”稱為積分號(hào);x稱為積分變量;f(x)稱為被積函數(shù);f(x)dx稱為被積表達(dá)式;C稱為積分常數(shù).

由定義4-2可知:

(1)求函數(shù)f(x)的不定積分實(shí)際上只需求出它的一個(gè)原函數(shù),再加上任意常數(shù)C即可;

(2)求不定積分與求導(dǎo)數(shù)(或微分)互為逆運(yùn)算,即

三、不定積分的幾何意義

如果函數(shù)F(x)是f(x)的一個(gè)原函數(shù),則稱y=F(x)的圖形為f(x)的一條積分曲線.因此,f(x)的不定積分在幾何上表示f(x)的某一積分曲線沿縱軸方向上下平移所得的積分曲線族.顯然,若在每一條積分曲線上橫坐標(biāo)相同的點(diǎn)處作切線,則這些切線互相平行,如圖4-1所示.圖4-1

例4-3設(shè)曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,3),且其上任一點(diǎn)處的切線斜率等于該點(diǎn)橫坐標(biāo)的兩倍,求此曲線方程.

解設(shè)所求曲線方程為y=f(x),由題意可知曲線上任一點(diǎn)(x,y)處的切線斜率為

即f(x)是2x的原函數(shù).

4.2基本積分公式和運(yùn)算法則

一、基本積分公式由4.1節(jié)內(nèi)容可知,求不定積分與求導(dǎo)(或微分)運(yùn)算是互逆的,因此由求導(dǎo)(或微分)的基本公式可以得到不定積分的基本公式.

例如,根據(jù)導(dǎo)數(shù)公式

可得到xα

的不定積分的公式為

類似地也可得到其他不定積分的公式.我們把下面的公式稱為基本積分公式,這些公式是求不定積分的基礎(chǔ),務(wù)必熟記:

二、不定積分的運(yùn)算法則

性質(zhì)4-1設(shè)函數(shù)f(x)的原函數(shù)存在,k為非零常數(shù),則有

即被積函數(shù)中的非零常數(shù)因子可提到積分號(hào)前面.

性質(zhì)4-2設(shè)函數(shù)f(x)和g(x)的原函數(shù)存在,則

即兩個(gè)函數(shù)代數(shù)和的積分等于它們積分的代數(shù)和.

性質(zhì)4-1和性質(zhì)4-2等價(jià)于

例4-5求∫(4x+ex)dx.

解

注:逐項(xiàng)求積分后,每個(gè)不定積分都含有任意常數(shù).由于任意常數(shù)之和仍為任意常數(shù),因而為方便起見,只需寫出最后一個(gè)任意常數(shù)C即可.

在求積分問(wèn)題中,有一類積分是通過(guò)將被積函數(shù)按照運(yùn)算法則進(jìn)行恒等變形,再利用基本積分公式求得積分結(jié)果的,這種計(jì)算不定積分的方法稱為直接積分法,常用的恒等變形有以下幾種:

1)代數(shù)化簡(jiǎn)法

2)分子構(gòu)造法

3)通分還原法

通分還原法是指利用公式

將一個(gè)表達(dá)式拆為兩部分,其關(guān)鍵是尋找分子g(x)±f(x).

4)三角恒等式變形法

在不定積分運(yùn)算中,常用的三角恒等式主要有以下七個(gè):

4.3換元積分法

一、第一類換元積分法(湊微分法)對(duì)于積分∫e2xdx,在基本積分公式中有∫exdx=ex

+C.值得注意的是,基本積分表中的變量x替換為其他變量或表達(dá)式(視為一個(gè)變量)時(shí),公式仍然成立.例如,∫costdt=sint+C,∫cos(2x)d(2x)=sin(2x)+C,∫cos(ex

-3)d(ex-3)=sin(ex-3)+C,∫eudu=eu+C,∫e2xd(2x)=e2x+C等.

因此,可將積分∫e2xdx與積分∫e2xd(2x)=e2x+C結(jié)合起來(lái),并將dx變?yōu)閐(2x),由于d(2x)=(2x)'dx=2dx,故有

我們可以得到如下結(jié)論:

這種先“湊”微分再作變量代換的方法,稱為第一類換元積分法,也稱為湊微分法.

第一類換元積分法的特點(diǎn)是被積函數(shù)f[φ(x)]φ'(x)由兩部分組成,即復(fù)合函數(shù)f[φ(x)]和φ'(x)(復(fù)合函數(shù)內(nèi)層函數(shù)φ(x)的導(dǎo)數(shù)),換元(湊微分)是將內(nèi)層函數(shù)φ(x)進(jìn)行換元(湊微分).第一換元積分是復(fù)合函數(shù)微分的逆運(yùn)算.

3.sinxdx=-d(cosx)、cosxdx=d(sinx)型

在sinxdx=-d(cosx)和cosxdx=d(sinx)型函數(shù)中,最常見的是形如∫sinmxcosnxdx(m,n∈N)的不定積分.計(jì)算這種積分時(shí),當(dāng)m、n中至少有一個(gè)為正奇數(shù)時(shí),從正奇次冪中拆出一次冪來(lái)湊微分,再用正余弦平方和公式進(jìn)行變換,然后用冪函數(shù)積分公式進(jìn)行積分;當(dāng)m、n均為正偶數(shù)時(shí),可使用半角公式降冪,然后再進(jìn)行積分.

4.以基本積分表為基礎(chǔ)的其他湊微分型

以基本積分表為基礎(chǔ)的函數(shù)還有以下幾種:

變量替換的目的是為了便于使用不定積分的基本積分公式.當(dāng)運(yùn)算比較熟練時(shí),就可以略去變量代換的步驟.

一般地,我們可以得到如下結(jié)論:

定理4-2若f(x)是連續(xù)函數(shù),x=φ(t)有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)φ'(t)≠0,其反函數(shù)t=φ-1(x)存在且可導(dǎo),又設(shè)

則有換元公式

這種換元方法稱為第二類換元積分法.

常見的第二類換元積分有:

1.簡(jiǎn)單根式代換法

例4-19求下列不定積分:

2.三角代換法圖4-2圖4-3圖4-4

4.4-分部積分法

當(dāng)被積函數(shù)是兩種不同類型函數(shù)的乘積時(shí),如等,往往需要用函數(shù)乘積微分的逆運(yùn)算進(jìn)行計(jì)算.這就是本節(jié)要介紹的分部積分法.

定理4-3設(shè)函數(shù)u=u(x)、v=v(x)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù),則由函數(shù)乘積的微分法可得

移項(xiàng)整理,再兩邊積分,得

即

式(4-7)稱為分部積分公式,用此公式求積分的方法稱為分部積分法.

分部積分法是將一個(gè)不易求的積分∫udv轉(zhuǎn)化為另一個(gè)易求的積分∫vdu.用分部積分法求積分時(shí),正確選擇u和dv是解題的關(guān)鍵,一般要考慮以下兩點(diǎn):

(1)轉(zhuǎn)換后的積分要比轉(zhuǎn)換前的積分容易積出;

(2)轉(zhuǎn)化為積分∫vdu時(shí),一定要算出微分du,即∫vdu=∫vu'dx.

一般地,當(dāng)被積函數(shù)為對(duì)數(shù)函數(shù)、反三角函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)這五類函數(shù)的其中兩類相乘時(shí),可考慮利用分部積分法,并且按照對(duì)、反、冪、三、指(或?qū)Α⒎?、冪、指、?的順序,將排在前面的視為u,排在后面的和dx一起湊為dv再利用式(4-7)進(jìn)行計(jì)算.

1.被積函數(shù)為冪函數(shù)與正(余)弦函數(shù)或指數(shù)函數(shù)的乘積

在對(duì)形如∫xmsinaxdx、∫xmcosaxdx、∫xmeaxdx(m∈N,a為常數(shù))的函數(shù)進(jìn)行積分時(shí),選冪函數(shù)作為u,然后用m次分部積分法進(jìn)行求解.

2.被積函數(shù)為冪函數(shù)與反三角函數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)的乘積

在對(duì)形如∫xmarcsinxdx、∫xmlnnxdx(m、n∈N)的函數(shù)進(jìn)行積分時(shí),要選反三角函數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)為u.

3.被積函數(shù)為指數(shù)函數(shù)與正(余)弦函數(shù)的乘積

在對(duì)形如∫eaxsinbxdx、∫eaxcosbxdx(a、b為非零常數(shù))的函數(shù)進(jìn)行積分時(shí),選指數(shù)函數(shù)或正(余)弦函數(shù)為u都行,但需要用兩次分部積分,且這兩次分部積分過(guò)程中所選擇的作為u的函數(shù)類型不能變.

本章小結(jié)

一、原函數(shù)

原函數(shù)存在定理:連續(xù)函數(shù)一定存在原函數(shù).一個(gè)連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)有無(wú)窮多個(gè),這些原函數(shù)之間最多相差一個(gè)常數(shù)

二、不定積分的概念

1.定義

其中F'(x)=f(x).

2.幾何意義

f(x)的不定積分在幾何上表示f(x)的某一積分曲線沿縱軸方向上下平移所得的積分曲線族.

三、不定積分的性質(zhì)

(1)求不定積分與求導(dǎo)數(shù)(或微分)互為逆運(yùn)算,即

四、基本積分公式

五、直接積分法

直接積分法主要有代數(shù)化簡(jiǎn)法、分子構(gòu)造法、通分還原法、三角恒等式變形法四種.

六、換元積分法

1.第一類換元積分法(湊微分法)

湊微分法的常見函數(shù)類型有:

2.第二類換元積分法

第二類換元法主要有簡(jiǎn)單根式代換法、三角代換法兩種.

七、分部積分法

分部積分公式為∫udv=uv-∫vdu,主要用于以下三種類型的被積函數(shù):

(1)被積函數(shù)為冪函數(shù)與正(余)弦函數(shù)或指數(shù)函數(shù)的乘積,即形如∫xmsinaxdx、∫xmcosaxdx、∫xmeaxdx(m∈N,a為常數(shù))的積分,可選冪函數(shù)作為u,然后用m次分部積分法進(jìn)行求解.

(2)被積函數(shù)為冪函數(shù)與