高等數(shù)學(xué)：函數(shù)、極限與連續(xù)

函數(shù)、極限與連續(xù)1.1

函數(shù)1.2極限的概念1.3無(wú)窮小與無(wú)窮大1.4極限的運(yùn)算法則和兩個(gè)重要極限1.5函數(shù)的連續(xù)性本章小結(jié)

1.1-函數(shù)

一、函數(shù)的概念

1.函數(shù)的定義

引例1-【圓的面積公式】已知圓的半徑為r,則其面積A為當(dāng)半徑r在[0,+∞)內(nèi)任取一個(gè)數(shù)值時(shí),面積A就有唯一確定的數(shù)值與之對(duì)應(yīng).

引例2【郵資收費(fèi)問題】設(shè)寄達(dá)某國(guó)的國(guó)際航空信件的郵資標(biāo)準(zhǔn)是20g及以內(nèi)郵資6元,超過20g時(shí)每續(xù)重10g加收1.8元,則郵資F與信件重量m的函數(shù)關(guān)系可表示為

定義1-1-設(shè)有兩個(gè)變量x和y,若變量x在非空實(shí)數(shù)集D內(nèi)任取定一個(gè)數(shù)值時(shí),變量y按照一定的法則f,總有確定的數(shù)值與之對(duì)應(yīng),則稱y是x的函數(shù),記作

其中x稱為自變量;y稱為函數(shù)或因變量;自變量的取值范圍D稱為函數(shù)y=f(x)的定義域;f稱為對(duì)應(yīng)法則.

由上述定義可知,引例1與引例2中變量間的對(duì)應(yīng)關(guān)系分別表示了兩個(gè)函數(shù).例如,在引例1中,r是自變量,A是因變量,按照其對(duì)應(yīng)法則,A=πr2確定了A是r的函數(shù).由該問題的實(shí)際意義可知,半徑r的取值為非負(fù)實(shí)數(shù),即[0,+∞)為該函數(shù)的定義域.

當(dāng)x在定義域D內(nèi)取定值x0時(shí),與x0對(duì)應(yīng)的y的數(shù)值稱為函數(shù)在x0處的函數(shù)值,記作y|x=x0、y0或f(x0).當(dāng)x取遍D中的各個(gè)數(shù)值時(shí),對(duì)應(yīng)的函數(shù)值的集合W稱為函數(shù)的值域,即W={

y|y=f(x),x∈D}.

注:關(guān)于函數(shù)概念的進(jìn)一步說(shuō)明如下所示:

(1)單值函數(shù)和多值函數(shù).如果自變量在定義域內(nèi)任取一個(gè)確定的值時(shí),函數(shù)只有一個(gè)確定的值和它對(duì)應(yīng),這種函數(shù)稱為單值函數(shù);否則稱為多值函數(shù).本書我們僅討論單值函數(shù).

(2)函數(shù)的對(duì)應(yīng)法則.在函數(shù)y=f(x)中,對(duì)應(yīng)法則f是自變量x與因變量y之間函數(shù)關(guān)系的具體體現(xiàn).例如y=f(x)=x2+1,其對(duì)應(yīng)法則就是f()=()2+1,對(duì)于取定的x值,平方后再加1就得到函數(shù)的值.對(duì)應(yīng)法則f也可改用其他字母,如φ、g等.但一個(gè)函數(shù)在同一個(gè)問題中只能用一種記法.如果同一問題中涉及多個(gè)函數(shù),則應(yīng)采用不同的字母來(lái)表示.

(3)函數(shù)的兩要素.由函數(shù)的定義可知,函數(shù)的定義域與對(duì)應(yīng)法則是確定函數(shù)的兩個(gè)基本要素.一個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)法則一旦確定,該函數(shù)也就確定了.換句話說(shuō),若兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)法則相同,則可將這兩個(gè)函數(shù)視為相同的函數(shù).

例1-1-試求函數(shù)的定義域.

解函數(shù)的定義域就是使其表達(dá)式有意義的自變量的取值范圍.題目函數(shù)的表達(dá)式中含有分式、偶次根式和對(duì)數(shù)式,因?yàn)榉质降姆帜覆荒転榱?偶次根式的被開方式不能小于零,對(duì)數(shù)的真數(shù)部分必須大于零,所以,要使此函數(shù)有意義,變量x必須滿足

即-3<x<3且x>1,故所求函數(shù)的定義域?yàn)?1,3).

2.函數(shù)的常用表示法

(1)表格法:將一系列自變量值與對(duì)應(yīng)的函數(shù)值列成表來(lái)表示函數(shù)關(guān)系的方法.例如,我們經(jīng)常會(huì)遇到的某商品的月銷售額,某開放式基金的每天凈值表等都是用表格法表示的函數(shù).

(2)圖示法:用坐標(biāo)平面上曲線來(lái)表示函數(shù)的方法.一般用橫坐標(biāo)表示自變量,縱坐標(biāo)表示因變量.例如,在直角坐標(biāo)系中,半徑為r、圓心在原點(diǎn)的圓的圖示法如圖1-1所示.

(3)解析法(公式法):用數(shù)學(xué)式子表示自變量和因變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系的方法.例如,在直角坐標(biāo)系中,半徑為r、圓心在原點(diǎn)的圓的方程是x2+y2=r2.

根據(jù)解析表達(dá)式的不同,函數(shù)也可以分為顯函數(shù)、隱函數(shù):

(1)顯函數(shù):函數(shù)y由x的解析表達(dá)式直接表示,例如y=x2+1、f(x)=2x3+cosx等.

(2)隱函數(shù):函數(shù)的自變量x與因變量y的對(duì)應(yīng)關(guān)系由方程F(x,y)=0來(lái)確定,例如lny=sin(x+y)、ey+xy-e=0等.

圖1-1

例1-4設(shè)求f(-1)、f(2)及函數(shù)的定義域.

解由函數(shù)的表達(dá)式可知

函數(shù)的定義域?yàn)?-2,1]∪(1,+∞)=(-2,+∞).

注:分段函數(shù)的定義域?yàn)楦鞫伪磉_(dá)式定義范圍的并集.

3.函數(shù)的特性

函數(shù)的特性指的是函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、有界性和周期性,可以參看緒論的預(yù)備知識(shí),這里不再重復(fù)介紹.

二、初等函數(shù)

1.基本初等函數(shù)

基本初等函數(shù)主要有如下六類:

(1)常數(shù)函數(shù)y=C;

(2)冪函數(shù)y=xa;

(3)指數(shù)函數(shù)y=ax

(a>0,a≠1);

(4)對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax(a>0,a≠1);

(5)三角函數(shù)y=sinx、y=cosx、y=tanx、y=cotx、y=secx、y=CSCx;

(6)反三角函數(shù)y=arcsinx、y=arccosx、y=arctanx、y=arccotx.這六類基本初等函數(shù)的圖形和主要性質(zhì)可以參見緒論的預(yù)備知識(shí).

2.復(fù)合函數(shù)

引例3【原油擴(kuò)散面積】油輪在海洋發(fā)生原油泄漏事故,假設(shè)原油污染海水的面積A是被污染圓形水面的半徑r的函數(shù)A=πr2.同時(shí)由于原油在海面上不斷擴(kuò)散,污染半徑r又是時(shí)間t的函數(shù)r=φ(t).因此,原油擴(kuò)散面積A與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系是

定義1-2若y是u的函數(shù)y=f(u),而u又是x的函數(shù)u=φ(x),函數(shù)u=φ(x)的值域與y=f(u)的定義域相交非空,我們稱函數(shù)y=f[φ(x)]是由函數(shù)y=f(u)及u=φ(x)復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù),其中u稱為中間變量,y=f(u)稱為外層函數(shù),它表示因變量y與中間變量u的函數(shù)關(guān)系;u=φ(x)稱為內(nèi)層函數(shù),它是中間變量u與自變量x的函數(shù)關(guān)系.

要認(rèn)識(shí)復(fù)合函數(shù)的結(jié)構(gòu),也就是要理解如何對(duì)復(fù)合函數(shù)進(jìn)行分解.通常采取由外層到內(nèi)層分解的辦法,將復(fù)合函數(shù)分解成若干基本初等函數(shù)或簡(jiǎn)單函數(shù)的復(fù)合.習(xí)慣上,我們將基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算所得到的函數(shù)稱為簡(jiǎn)單函數(shù).

1.2極限的概念

一、數(shù)列的極限引例【截棒問題】在我國(guó)春秋戰(zhàn)國(guó)時(shí)期的《莊子·天下篇》中有這樣一段話:“一尺之棰,日取其半,萬(wàn)世不竭.”即一尺長(zhǎng)的一根木棒,每天截下它的一半,可以一天天地截下去,永遠(yuǎn)都有剩余的量.每天剩余的長(zhǎng)度構(gòu)成一個(gè)數(shù)列

定義1-3如果當(dāng)項(xiàng)數(shù)n無(wú)限增大時(shí),無(wú)窮數(shù)列{xn}的通項(xiàng)xn

無(wú)限地趨近于某個(gè)確定的常數(shù)A,則稱A是數(shù)列{xn}的極限,記作

或者

若數(shù)列{xn}的極限存在,也稱數(shù)列{xn}收斂.若當(dāng)n無(wú)限增大時(shí),xn

不趨近于任何常數(shù),則稱數(shù)列{xn}極限不存在或發(fā)散.

二、函數(shù)的極限

數(shù)列可以看成定義在正整數(shù)集上的一類特殊函數(shù)xn=f(n)(n=1,2,3,…),n只有一種變化方式,即n→+∞(通常用n→∞表示).而一般函數(shù)y=f(x)的自變量x卻有多種變化方式.函數(shù)極限研究的是自變量x在各種變化過程中相應(yīng)函數(shù)值的變化趨勢(shì),下面分兩種情形來(lái)討論.

1.自變量趨于無(wú)窮的情形(x→∞)

x→∞包含以下三種情況:

(1)x→+∞表示x取正值且無(wú)限增大;

(2)x→-∞表示x取負(fù)值且絕對(duì)值無(wú)限增大(即x無(wú)限減小);

(3)x→∞表示x的絕對(duì)值x無(wú)限增大(包含x→+∞和x→-∞兩種情況)

定義1-6當(dāng)自變量x的絕對(duì)值無(wú)限增大時(shí),如果函數(shù)值f(x)無(wú)限趨近于某個(gè)確定的常數(shù)A,則稱A為函數(shù)f(x)當(dāng)x→∞時(shí)的極限,記作圖1-2

注:x→+∞(或x→-∞)時(shí)函數(shù)的極限,反映的是自變量單方向變化時(shí)函數(shù)的極限,稱為單向極限,它們與雙向極限(x→∞)之間存在如下關(guān)系,即

2.自變量趨于有限值x0的情形(x→x0)

定義1-7設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的某個(gè)去心鄰域內(nèi)有定義,如果當(dāng)x→x0時(shí),相應(yīng)的函數(shù)值f(x)無(wú)限趨近于某個(gè)確定的常數(shù)A,則稱A為函數(shù)f(x)在x→x0時(shí)的雙側(cè)極限(簡(jiǎn)稱極限),記作圖1-3

三、極限的性質(zhì)

利用函數(shù)極限的定義,可以得到函數(shù)極限的一些性質(zhì).下面僅以x→x0的極限形式為代表不加證明地給出這些性質(zhì);至于其他形式的極限的性質(zhì),只需做些修改即可得到.

1.3無(wú)窮小與無(wú)窮大

無(wú)窮小與無(wú)窮大反映了自變量在某一變化過程中,因變量的絕對(duì)值無(wú)限減小和無(wú)限增大這兩種特殊的變化趨勢(shì).

1.無(wú)窮小的概念

引例1-【電容器放電】電容器放電時(shí),其電壓隨時(shí)間的增加而逐漸減少并無(wú)限趨近于0.

引例2【洗滌效果】在用洗衣機(jī)清洗衣物時(shí),清洗次數(shù)越多,衣物上殘留的污漬就越少.當(dāng)清洗次數(shù)無(wú)限增大時(shí),衣物上的污漬量就會(huì)無(wú)限趨近于0.

正如上述的引例,在對(duì)事物進(jìn)行定量分析時(shí),經(jīng)常會(huì)遇到變量趨于0的情形.我們把趨向于0的變量稱為無(wú)窮小量,下面給出無(wú)窮小的定義.

定義1-9在自變量的某一變化過程中,極限為零的變量稱為無(wú)窮小量,簡(jiǎn)稱無(wú)窮小.

注:(1)無(wú)窮小是極限為0的變量(函數(shù)),而非一個(gè)很小的數(shù);

(2)常數(shù)中只有0是無(wú)窮小;

(3)無(wú)窮小是與自變量的變化過程緊密相關(guān)的,因此說(shuō)一個(gè)變量為無(wú)窮小時(shí)要指明自變量的變化過程.

2.無(wú)窮小的性質(zhì)

在自變量的同一變化過程中,無(wú)窮小滿足以下性質(zhì):

性質(zhì)1-4有限個(gè)無(wú)窮小的代數(shù)和仍是無(wú)窮小.

性質(zhì)1-5有限個(gè)無(wú)窮小的乘積仍是無(wú)窮小.

性質(zhì)1-6常數(shù)與無(wú)窮小之積仍是無(wú)窮小.

性質(zhì)1-7有界變量與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小.

例1-11-求下列極限:

二、無(wú)窮大

無(wú)窮小是絕對(duì)值無(wú)限減小的變量,它的對(duì)立面就是絕對(duì)值無(wú)限增大的變量,為此我們給出如下定義:

1.無(wú)窮大的概念

定義1-10如果在x的某個(gè)變化過程中|f(x)|無(wú)限增大,則稱f(x)是x在該變化過程中的無(wú)窮大量,簡(jiǎn)稱為無(wú)窮大,記作limf(x)=∞.

注:在上述定義中,如果f(x)是取正值無(wú)限增大,則稱f(x)為正無(wú)窮大,記作limf(x)=+∞;如果f(x)是取負(fù)值而絕對(duì)值無(wú)限增大,則稱f(x)為負(fù)無(wú)窮大,記作limf(x)=-∞.

2.無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系

由無(wú)窮小與無(wú)窮大的定義可知,它們之間有著密切的關(guān)系:在自變量的同一變化過程中,無(wú)窮大的倒數(shù)是無(wú)窮小,非零無(wú)窮小的倒數(shù)是無(wú)窮大.

三、無(wú)窮小的比較

我們已經(jīng)知道了有限個(gè)無(wú)窮小的和、差、積仍然是無(wú)窮小,但關(guān)于兩個(gè)無(wú)窮小商的極限卻會(huì)出現(xiàn)不同的情況,例如,當(dāng)x→0時(shí),x、x2、sinx都是無(wú)窮小,然而它們的商的極限會(huì)出現(xiàn)如下不同的情況:

1.無(wú)窮小比較的定義

定義1-11-設(shè)α與β是自變量在同一變化過程中的無(wú)窮小,且β≠0:

2.等價(jià)無(wú)窮小的應(yīng)用

等價(jià)無(wú)窮小在求兩個(gè)無(wú)窮小比值的極限時(shí)有重要作用.

1.4極限的運(yùn)算法則和兩個(gè)重要極限

一、極限的四則運(yùn)算法則

設(shè)函數(shù)f(x)與g(x)在自變量x的同一變化過程中極限均存在,其中l(wèi)imf(x)=A,limg(x)=B(此處省略了自變量x的變化過程),則有

特別地,有

注:上述法則(1)、(2)可以推廣到有限多個(gè)具有極限的函數(shù)相加、相減和乘積的情形.

二、兩個(gè)重要極限

1.第一個(gè)重要極限

我們通過表1-1來(lái)觀察x→0時(shí),函數(shù)的變化趨勢(shì).

例1-22已知半徑為R的圓內(nèi)接正n邊形的面積

求該圓的面積A.

2.第二個(gè)重要極限

我們通過表1-2來(lái)觀察當(dāng)x→∞時(shí),函數(shù)的變化趨勢(shì).

第二個(gè)重要極限的兩種表達(dá)式雖然不同,但其實(shí)質(zhì)是相同的,都具有如下特征:

(1)函數(shù)的極限形式為“1∞”型;

(2)函數(shù)式底數(shù)部分為“1+無(wú)窮小量”,且該無(wú)窮小量與函數(shù)式指數(shù)部分互為倒數(shù);

(3)兩種形式的推廣形式分別為

1.5函數(shù)的連續(xù)性一、函數(shù)連續(xù)性的定義1.函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處的連續(xù)性首先我們來(lái)介紹改變量的概念,在此基礎(chǔ)上給出函數(shù)連續(xù)的定義.設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0的某鄰域內(nèi)有定義,當(dāng)自變量x由x0變到x1(x1-也在該鄰域內(nèi))時(shí),把x1--x0叫做自變量x的改變量,記作Δx(可正可負(fù)),即Δx=x1--x0.這時(shí)x1-=x0+Δx,函數(shù)值相應(yīng)地由f(x0)變化到f(x0+Δx),稱

為函數(shù)值的改變量,如圖1-4所示.當(dāng)自變量的改變量Δx很小時(shí),函數(shù)值的改變量Δy也很小,且當(dāng)Δx→0時(shí),相應(yīng)地有Δy→0,這時(shí)函數(shù)的圖像在點(diǎn)x0處沒有斷開,此時(shí)我們有如下定義:

定義1-12設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0的某鄰域內(nèi)有定義,若自變量的改變量Δx趨于0時(shí),對(duì)應(yīng)的函數(shù)值的改變量Δy也趨于零,即

則稱函數(shù)y=f(x)在x0處是連續(xù)的;x0稱為函數(shù)y=f(x)的連續(xù)點(diǎn);否則稱y=f(x)在x0處不連續(xù)(間斷).

圖1-4

定義1-13設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0的某鄰域內(nèi)有定義,若

則稱函數(shù)y=f(x)在x0處連續(xù),x0稱為y=f(x)的連續(xù)點(diǎn).

根據(jù)定義1-13,函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)必須同時(shí)滿足如下條件:

(1)y=f(x)在點(diǎn)x0處要有定義;

(2)極限要存在;

(3)時(shí)的極限值等于x0處的函數(shù)值).

2.函數(shù)的間斷點(diǎn)

如果函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處不連續(xù)(間斷),則稱x0為函數(shù)f(x)的間斷點(diǎn).函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處間斷有以下三種可能:

(1)函數(shù)f(x)在x0處沒有定義;

(2)函數(shù)f(x)在x0處有定義,但極限

(3)函數(shù)f(x)在x0處有定義,且極限存在,但

例1-27試判斷下列函數(shù)在x=1處是否連續(xù).若不連續(xù),指明其間斷點(diǎn)類型.

3.左連續(xù)、右連續(xù)

鑒于函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)與極限的關(guān)系,考慮到函數(shù)左、右極限的概念,我們有如下定義:定義1-14設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0左側(cè)(右側(cè))附近有定義,若

則稱函數(shù)y=f(x)在x0處左連續(xù)(右連續(xù)).

顯然,例1-27中的函數(shù)處是左連續(xù),但不是右連續(xù)的.

定理1-2函數(shù)f(x)在x0處連續(xù)的充分必要條件是函數(shù)f(x)在x0處既左連續(xù)又右連續(xù).

4.函數(shù)y=f(x)在區(qū)間內(nèi)(上)的連續(xù)性

如果y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)每一點(diǎn)都連續(xù),我們稱函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)連續(xù).此時(shí),函數(shù)y=f(x)稱為區(qū)間(a,b)內(nèi)的連續(xù)函數(shù),區(qū)間(a,b)稱為函數(shù)y=f(x)的連續(xù)區(qū)間.

若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)連續(xù),且在a處右連續(xù),在b處左連續(xù),我們稱函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù).

二、初等函數(shù)的連續(xù)性

我們不加證明地給出如下重要結(jié)論:初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的.

由初等函數(shù)的連續(xù)性可知,初等函數(shù)的連續(xù)區(qū)間就是該函數(shù)的定義區(qū)間.對(duì)于分段函數(shù),除了按上述結(jié)論討論每一段函數(shù)的連續(xù)性外,還必須討論在分段點(diǎn)處的連續(xù)性.

一切初等函數(shù)在其定義域范圍內(nèi)都是連續(xù)的,而且若函數(shù)f(x)在x0處連續(xù),則有等成立.因此,我們?cè)谇蠛瘮?shù)極限時(shí),就可充分利用這兩點(diǎn),只要能確定x0是初等函數(shù)f(x)定義域內(nèi)的點(diǎn),就有

三、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

下面介紹閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的三個(gè)主要性質(zhì),我們不加證明直接給出如下定理:

定理1-4(最值定理)閉區(qū)間[a,b]上的連續(xù)函數(shù)f(x)一定存在最大值和最小值.

定理1-5(介值定理)設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),且f(a)≠f(b),則對(duì)介于f(a)和f(b)之間的任一數(shù)μ,至少存在一個(gè)ξ∈(a,b),使得f(ξ)=μ(見圖1-5).

定理1-6(零點(diǎn)定理)設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),且f(a)f(b)<0,則至少存在一個(gè)ξ∈(a,b),使得f(ξ)=0(見圖1-6)圖1-5圖1-6

例1-30證明方程x3-4x2+1=0在區(qū)間(0,1)內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根.

證明令f(x)=x3-4x2+1,顯然初等函數(shù)f(x)=x3-4x2+1在閉區(qū)間[0,1]上連續(xù),并且f(0)=1>0,f(1)=-2<0.所以由零點(diǎn)定理可知,在區(qū)間(0,1)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ,使得f(ξ)=0,即方程x3-4x2+1=0在區(qū)間(0,1)內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根.

本章小結(jié)

一、函數(shù)的概念1)函數(shù)的定義設(shè)有兩個(gè)變量x和y,若變量x在非空實(shí)數(shù)集D內(nèi)任取定一個(gè)數(shù)值時(shí),變量y按照一定的法則f,總有確定的數(shù)值與之對(duì)應(yīng),我們則稱y是x的函數(shù),記作其中x稱為自變量;y稱為函數(shù)或因變量;自變量的取值范圍D稱為函數(shù)y=f(x)的定義域;f稱為對(duì)應(yīng)法則.

2)函數(shù)的兩個(gè)要素

函數(shù)的定義域是使函數(shù)表達(dá)式有意義的自變量的取值范圍,函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)法則稱為函數(shù)的兩個(gè)要素.若兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)法則都相同,則這兩個(gè)函數(shù)相同.

3)分段函數(shù)

在定義域的不同范圍內(nèi)具有不同的解析表達(dá)式的函數(shù)稱為分段函數(shù).

4)函數(shù)的特性

函數(shù)的特性指的是函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、有界性和周期性(參見緒論預(yù)備知識(shí)).

二、初等函數(shù)

1)基本初等函數(shù)

我們把常數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)稱為六類基本初等函數(shù),這六類基本初等函數(shù)的圖形和性質(zhì)參見緒論預(yù)備知識(shí).

2)復(fù)合函數(shù)

若y是u的函數(shù)y=f(u),而u又是x的函數(shù)u=φ(x),且φ(x)函數(shù)值的全部或部分在y=f(u)的定義域內(nèi),則稱函數(shù)y=f[φ(x)]是由函數(shù)y=f(u)及u=φ(x)復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù),其中u稱為中間變量.

復(fù)合函數(shù)通常采取由外層到內(nèi)層分解的辦法,將其分解成若干基本初等函數(shù)或簡(jiǎn)單函數(shù)的復(fù)合.

3)初等函數(shù)

由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算和復(fù)合運(yùn)算構(gòu)成,并能用一個(gè)解析式來(lái)表示的函數(shù)稱為初等函數(shù).

三、極限的概念

1)數(shù)列的極限如果當(dāng)項(xiàng)數(shù)n無(wú)限增大時(shí),無(wú)窮數(shù)列{xn}的通項(xiàng)xn無(wú)限地趨近于某個(gè)確定的常數(shù)A,則稱A是數(shù)列{xn}的極限,記作

若數(shù)列{xn}的極限存在,則稱數(shù)列{

xn}收斂.若當(dāng)n無(wú)限增大時(shí),xn不趨近于任何常數(shù),那么就說(shuō)數(shù)列{xn}極限不存在或數(shù)列發(fā)散.

2)函數(shù)的極限

當(dāng)自變量x取正值且無(wú)限增大時(shí)(x→+∞),如果函數(shù)值f(x)無(wú)限趨近于某個(gè)確定的常數(shù)A,則稱A為函數(shù)f(x)當(dāng)x→+∞時(shí)的極限,記作

3)單側(cè)極限與雙側(cè)極限的關(guān)系

3)無(wú)窮小的性質(zhì)

在自變量的同一變化過程中,無(wú)窮小滿足以下性質(zhì):

性質(zhì)1-有限個(gè)無(wú)窮小的代數(shù)和仍是無(wú)窮小.

性質(zhì)2有限個(gè)無(wú)窮小的乘積仍是無(wú)窮小.

性質(zhì)3