2024年北京市中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)與檢測(cè)試卷（含解析）

年北京市中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)與檢測(cè)一．選擇題（共8小題，滿分16分，每小題2分）1．隨著2024年2月第十四屆全國(guó)冬季運(yùn)動(dòng)會(huì)臨近，吉祥物成為焦點(diǎn)，某日通過(guò)搜索得出相關(guān)結(jié)果約為16000000個(gè)．將“16000000”用科學(xué)記數(shù)法表示為（

）A． B． C． D．2．下圖是由一個(gè)長(zhǎng)方體和一個(gè)圓柱組成的幾何體，它的俯視圖是（

）A.B.C.D.3．如圖，直線，的直角頂點(diǎn)A落在直線上，點(diǎn)B落在直線上，若，，則的大小為（

）

A． B． C． D．4．不等式組的解集在數(shù)軸上表示，正確的是（

）A.B.C. D.5.下列為某班級(jí)研究性學(xué)習(xí)小組學(xué)員出勤次數(shù)如表所示：出勤次數(shù)45678學(xué)員人數(shù)26543研究性學(xué)習(xí)小組學(xué)員出勤次數(shù)的眾數(shù)、中位數(shù)分別是（

）A．5，6 B．5，5 C．6，5 D．8，66．趙州橋是當(dāng)今世界上建造最早，保存最完整的中國(guó)古代單孔敞肩石拱橋.如圖，主橋拱呈圓弧形，跨度約為，拱高約為，則趙州橋主橋拱半徑R約為（

）A. B. C. D.7.已知：中，是中線，點(diǎn)在上，且，．則=（

）A． B． C． D．對(duì)于一個(gè)函數(shù)：當(dāng)自變量x取a時(shí)，其函數(shù)值y也等于a，我們稱a為這個(gè)函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)．若二次函數(shù)y＝x2+2x+c（c為常數(shù)）有兩個(gè)不相等且都小于1的不動(dòng)點(diǎn)，則c的取值范圍是（）A． B． C． D．二、填空題（共16分，每小題2分）9．一個(gè)袋子中裝有4個(gè)黑球和個(gè)白球，這些球除顏色外其余完全相同，搖勻后隨機(jī)摸出一個(gè)，摸到白球的概率為，則白球的個(gè)數(shù)為_(kāi)__________10.如圖，菱形的對(duì)角線，相交于點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，若，則菱形的邊長(zhǎng)是_______11．已知一元二次方程的兩根為與，則的值為．12．如圖，在網(wǎng)格正方形中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，頂點(diǎn)為格點(diǎn)，若的頂點(diǎn)均是格點(diǎn)，則的值是__________13.如圖，正六邊形ABCDEF的邊長(zhǎng)為2，以頂點(diǎn)A為圓心，AB的長(zhǎng)為半徑畫圓，則圖中陰影部分的面積為．14.如圖，已知雙曲線經(jīng)過(guò)直角三角形斜邊的中點(diǎn)，與直角邊相交于點(diǎn)，若的面積為6，則.15．某快遞公司每天上午為集中攬件和派件時(shí)段，甲倉(cāng)庫(kù)用來(lái)攬收快件，乙倉(cāng)庫(kù)用來(lái)派發(fā)快件，該時(shí)段內(nèi)甲、乙兩倉(cāng)庫(kù)的快件數(shù)量（件）與時(shí)間（分）之間的函數(shù)圖象如圖所示，那么從開(kāi)始，經(jīng)過(guò)___________分鐘時(shí)，當(dāng)兩倉(cāng)庫(kù)快遞件數(shù)相同．16.如圖，正方形的邊長(zhǎng)是，、分別在、的延長(zhǎng)線上，且，連接、交于點(diǎn)，分別與邊，交于點(diǎn)，，連接．現(xiàn)給出以下結(jié)論：；四邊形；；當(dāng)時(shí)，；其中正確的是（寫出所有正確結(jié)論的序號(hào)）解答題（共68分，17~20題，每題5分，21題6分，22~23題，每題5分，24~26題，每題6分，27~28題，每題7分）解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、演算步驟或證明過(guò)程．17．（5分）計(jì)算：．18．（5分）解不等式組，并將解集在數(shù)軸上表示出來(lái)．19．（5分）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．20．（5分）已知關(guān)于x的一元二次方程．(1)當(dāng)該方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根時(shí)，求的取值范圍；(2)當(dāng)該方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根互為相反數(shù)時(shí)，求的值．21．（6分）如圖，已知：點(diǎn)在同一條直線上，．(1)求證：；(2)求證：．（5分）某學(xué)校在推進(jìn)新課改的過(guò)程中，開(kāi)設(shè)的體育社團(tuán)活動(dòng)課有：A：籃球，B：足球，C：排球，D：羽毛球，E：乒乓球，學(xué)生可根據(jù)自己的愛(ài)好選修一門，學(xué)校李老師對(duì)某班全班同學(xué)的選課情況進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計(jì)，制成了如圖所示的兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖．(1)則該班的總?cè)藬?shù)為_(kāi)_____人，其中學(xué)生選D“羽毛球”所在扇形的圓心角的度數(shù)是______度；(2)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；(3)該班班委4人中，2人選修籃球，1人選修足球，1人選修排球，李老師要從這4人中選2人了解他們對(duì)體育社團(tuán)活動(dòng)課的看法，請(qǐng)你用列表或畫樹(shù)狀圖的方法，求選出的2人恰好1人選修籃球，1人選修足球的概率．23.（5分）如圖，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象交于A（1，4），B（4，n）兩點(diǎn)．（1）求反比例函數(shù)的解析式；（2）求一次函數(shù)的解析式；（3）點(diǎn)P是x軸上的一動(dòng)點(diǎn)，試確定點(diǎn)P并求出它的坐標(biāo)，使PA+PB最?。?4.（6分）如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)C的切線交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,交EC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，連接AC.(1)求證:AC平分∠DAE;(2)若，求⊙O的半徑.

25．（6分）學(xué)校組織九年級(jí)學(xué)生進(jìn)行跨學(xué)科主題學(xué)習(xí)活動(dòng)，利用函數(shù)的相關(guān)知識(shí)研究某種化學(xué)試劑的揮發(fā)情況．在兩種不同的場(chǎng)景A和場(chǎng)景B下做對(duì)比實(shí)驗(yàn)，設(shè)實(shí)驗(yàn)過(guò)程中，該試劑揮發(fā)時(shí)間為x分鐘時(shí)，在場(chǎng)景A，B中的剩余質(zhì)量分別為，(單位：克)．下面是某研究小組的探究過(guò)程，請(qǐng)補(bǔ)充完整：記錄，與x的幾組對(duì)應(yīng)值如下：x(分鐘)05101520…(克)2523.52014.57…(克)252015105…在同一平面直角坐標(biāo)系中，描出上表中各組數(shù)值所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，并畫出函數(shù)的圖象；進(jìn)一步探究發(fā)現(xiàn)，場(chǎng)景A的圖象是拋物線的一部分，與x之間近似滿足函數(shù)關(guān)系．場(chǎng)景B的圖象是直線的一部分，與x之間近似滿足函數(shù)關(guān)系．請(qǐng)分別求出場(chǎng)景A，B滿足的函數(shù)關(guān)系式；查閱文獻(xiàn)可知，該化學(xué)試劑的質(zhì)量不低于4克時(shí)，才能發(fā)揮作用．在上述實(shí)驗(yàn)中，記該化學(xué)試劑在場(chǎng)景A，B中發(fā)揮作用的時(shí)間分別為，則(填“＞”，“=”或“＜”)．26．（6分）．如圖1，拋物線y=ax2+bx+3過(guò)A（1，0）、B（3，0）兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C．(1)求拋物線的函數(shù)解析式；(2)在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)M，使△ACM的周長(zhǎng)最小？若存在，求出△ACM周長(zhǎng)的最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．(3)如圖2，連接BC，拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使得∠BCP=∠ACB？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．27．（7分）在△ABC和△ADE中，BA＝BC，DA＝DE，且∠ABC＝∠ADE，點(diǎn)E在△ABC的內(nèi)部，連接EC，EB和ED，設(shè)EC＝k?BD（k≠0）．（1）當(dāng)∠ABC＝∠ADE＝60°時(shí)，如圖1，請(qǐng)求出k值，并給予證明；（2）當(dāng)∠ABC＝∠ADE＝90°時(shí)：①如圖2，（1）中的k值是否發(fā)生變化，如無(wú)變化，請(qǐng)給予證明；如有變化，請(qǐng)求出k值并說(shuō)明理由；②如圖3，當(dāng)D，E，C三點(diǎn)共線，且E為DC中點(diǎn)時(shí)，請(qǐng)求出tan∠EAC的值．（7分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，．對(duì)于一個(gè)角（），將一個(gè)圖形先繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，再繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，稱為一次“對(duì)稱旋轉(zhuǎn)”．(1)點(diǎn)在線段上，則在點(diǎn)，，，中，有可能是由點(diǎn)經(jīng)過(guò)一次“對(duì)稱旋轉(zhuǎn)”后得到的點(diǎn)是________；(2)軸上的一點(diǎn)經(jīng)過(guò)一次“對(duì)稱旋轉(zhuǎn)”得到點(diǎn)．①當(dāng)時(shí)，________；②當(dāng)時(shí)，若軸，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)以點(diǎn)為圓心作半徑為1的圓．若在上存在點(diǎn)，使得點(diǎn)經(jīng)過(guò)一次“對(duì)稱旋轉(zhuǎn)”后得到的點(diǎn)在軸上，直接寫出的取值范圍．2024年北京市中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)與檢測(cè)（解析版）一．選擇題（共8小題，滿分16分，每小題2分）1．隨著2024年2月第十四屆全國(guó)冬季運(yùn)動(dòng)會(huì)臨近，吉祥物成為焦點(diǎn)，某日通過(guò)搜索得出相關(guān)結(jié)果約為16000000個(gè)．將“16000000”用科學(xué)記數(shù)法表示為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了科學(xué)記數(shù)法；根據(jù)科學(xué)記數(shù)法計(jì)算方法計(jì)算即可；解題的關(guān)鍵是掌握科學(xué)記數(shù)法的計(jì)算方法．【詳解】解：故選：B．2．下圖是由一個(gè)長(zhǎng)方體和一個(gè)圓柱組成的幾何體，它的俯視圖是（

）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)從上面看得到的圖形是俯視圖即可解答．【詳解】解：從上面看下邊是一個(gè)矩形，矩形的上邊是一個(gè)圓，故選：D．3．如圖，直線，的直角頂點(diǎn)A落在直線上，點(diǎn)B落在直線上，若，，則的大小為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，進(jìn)行求解即可.【詳解】解：∵，∴，∵，，，∴.故選：C4．不等式組的解集在數(shù)軸上表示，正確的是（

）A.B.C. D.【答案】B【分析】先分別求出各不等式的解集，再求其公共解集即可．【詳解】解：，解得：，∴不等式組的解集為：；故選：B5.下列為某班級(jí)研究性學(xué)習(xí)小組學(xué)員出勤次數(shù)如表所示：出勤次數(shù)45678學(xué)員人數(shù)26543研究性學(xué)習(xí)小組學(xué)員出勤次數(shù)的眾數(shù)、中位數(shù)分別是（

）A．5，6 B．5，5 C．6，5 D．8，6【答案】A【分析】根據(jù)眾數(shù)的定義和中位數(shù)的定義，對(duì)表格進(jìn)行分析，即可得出答案．【詳解】解：∵根據(jù)表格可得：5出現(xiàn)的次數(shù)最多，∴研究性學(xué)習(xí)小組學(xué)員出勤次數(shù)的眾數(shù)是5，∵研究性學(xué)習(xí)小組共有學(xué)員為：（人），∴將出勤次數(shù)按從小到大進(jìn)行排列后，第10個(gè)數(shù)和第11個(gè)數(shù)的平均數(shù)即為中位數(shù)，∴中位數(shù)為：，綜合可得：研究性學(xué)習(xí)小組學(xué)員出勤次數(shù)的眾數(shù)、中位數(shù)分別是5，6．故選：A．6．趙州橋是當(dāng)今世界上建造最早，保存最完整的中國(guó)古代單孔敞肩石拱橋.如圖，主橋拱呈圓弧形，跨度約為，拱高約為，則趙州橋主橋拱半徑R約為（

）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由題意可知，，，主橋拱半徑R，根據(jù)垂徑定理，得到，再利用勾股定理列方程求解，即可得到答案．【詳解】解：如圖，由題意可知，，，主橋拱半徑R，，是半徑，且，，在中，，，解得：，故選B已知：中，是中線，點(diǎn)在上，且，．則=（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)已知得出，則，進(jìn)而證明，得出，即可求解．【詳解】解：∵中，是中線，∴，∵，∴，，∴，又∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，即，，故選：B．對(duì)于一個(gè)函數(shù)：當(dāng)自變量x取a時(shí)，其函數(shù)值y也等于a，我們稱a為這個(gè)函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)．若二次函數(shù)y＝x2+2x+c（c為常數(shù)）有兩個(gè)不相等且都小于1的不動(dòng)點(diǎn)，則c的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)a是二次函數(shù)y=x2+2x+c的不動(dòng)點(diǎn)，則a2+a+c=0，根據(jù)二次函數(shù)y=x2+2x+c（c為常數(shù)）有兩個(gè)不相等且都小于1的不動(dòng)點(diǎn)，可知關(guān)于a的方程a2+a+c=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，且兩個(gè)實(shí)數(shù)根都小于1，設(shè)這兩個(gè)實(shí)數(shù)根為a1、a2，則Δ＞0，a1＜1，a2＜1，即有1-4c＞0，且（a1-1）+（a2-1）＜0，（a1-1）（a2-1）＞0，即可解得-2＜c＜．【詳解】設(shè)a是二次函數(shù)y=x2+2x+c的不動(dòng)點(diǎn)，則a=a2+2a+c，即a2+a+c=0，∵二次函數(shù)y=x2+2x+c（c為常數(shù)）有兩個(gè)不相等且都小于1的不動(dòng)點(diǎn)，∴關(guān)于a的方程a2+a+c=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，且兩個(gè)實(shí)數(shù)根都小于1，設(shè)這兩個(gè)實(shí)數(shù)根為a1、a2，則a1+a2=-1，a1?a2=c，∴Δ＞0，a1＜1，a2＜1，∴Δ=1-4c＞0①，且（a1-1）+（a2-1）＜0②，（a1-1）（a2-1）＞0③，由①得c＜，∵a1+a2=-1，∴②總成立，由③得：a1?a2-（a1+a2）+1＞0，即c-（-1）+1＞0，∴c＞-2，綜上所述，c的范圍是-2＜c＜，故選：C．二、填空題（共16分，每小題2分）9．一個(gè)袋子中裝有4個(gè)黑球和個(gè)白球，這些球除顏色外其余完全相同，搖勻后隨機(jī)摸出一個(gè)，摸到白球的概率為，則白球的個(gè)數(shù)為_(kāi)__________【答案】6【分析】根據(jù)白球概率求出黑球概率，黑球共有4個(gè)，就可以求出球的總數(shù)，再減去黑球個(gè)數(shù)即可解答．【詳解】解：∵搖勻后隨機(jī)摸出一個(gè)，摸到白球的概率為，∴摸到黑球的概率為．∵袋子中有4個(gè)黑球，∴袋子中共有10個(gè)球，∴白球有6個(gè)．故答案為：6．10.如圖，菱形的對(duì)角線，相交于點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，若，則菱形的邊長(zhǎng)是_______【答案】6【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)得出對(duì)角線互相垂直，再利用直角三角形斜邊中線等于斜邊一半求出菱形邊長(zhǎng)．【詳解】解：∵四邊形是菱形，∴，∵點(diǎn)E為的中點(diǎn)，，∴AD=2OE=6，故答案為：611．已知一元二次方程的兩根為與，則的值為．【答案】【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得出，將分式通分，代入即可求解．【詳解】解：∵一元二次方程，即，的兩根為與，∴，∴，故答案為：．12．如圖，在網(wǎng)格正方形中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，頂點(diǎn)為格點(diǎn)，若的頂點(diǎn)均是格點(diǎn)，則的值是__________【答案】【分析】利用格點(diǎn)構(gòu)造，根據(jù)勾股定理求出，再根據(jù)三角函數(shù)的定義即可求解．【詳解】解：如圖，利用格點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，則，，因此，故答案為13.如圖，正六邊形ABCDEF的邊長(zhǎng)為2，以頂點(diǎn)A為圓心，AB的長(zhǎng)為半徑畫圓，則圖中陰影部分的面積為．【答案】【分析】延長(zhǎng)FA交⊙A于G，如圖所示：根據(jù)六邊形ABCDEF是正六邊形，AB=2，利用外角和求得∠GAB=，再求出正六邊形內(nèi)角∠FAB=180°-∠GAB=180°-60°=120°，利用扇形面積公式代入數(shù)值計(jì)算即可．【詳解】解：延長(zhǎng)FA交⊙A于G，如圖所示：∵六邊形ABCDEF是正六邊形，AB=2，∴∠GAB=，∠FAB=180°-∠GAB=180°-60°=120°，∴，故答案為．14.如圖，已知雙曲線經(jīng)過(guò)直角三角形斜邊的中點(diǎn)，與直角邊相交于點(diǎn)，若的面積為6，則.【答案】4【分析】過(guò)點(diǎn)作軸的垂線交軸于點(diǎn)，可得到四邊形，和三角形的面積相等，通過(guò)面積轉(zhuǎn)化，可求出的值．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)作軸的垂線交軸于點(diǎn)，的面積和的面積相等．的面積和四邊形的面積相等且為6．設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)就為，為的中點(diǎn)．，，四邊形的面積可表示為：．故答案為：4．15．某快遞公司每天上午為集中攬件和派件時(shí)段，甲倉(cāng)庫(kù)用來(lái)攬收快件，乙倉(cāng)庫(kù)用來(lái)派發(fā)快件，該時(shí)段內(nèi)甲、乙兩倉(cāng)庫(kù)的快件數(shù)量（件）與時(shí)間（分）之間的函數(shù)圖象如圖所示，那么從開(kāi)始，經(jīng)過(guò)___________分鐘時(shí)，當(dāng)兩倉(cāng)庫(kù)快遞件數(shù)相同．【答案】20【分析】利用待定系數(shù)法分別求出甲、乙兩倉(cāng)庫(kù)的快件數(shù)量（件）與時(shí)間（分）之間的函數(shù)關(guān)系式，在求出兩直線的交點(diǎn)即可得到答案．【詳解】解：設(shè)甲倉(cāng)庫(kù)的快件數(shù)量（件）與時(shí)間（分）之間的函數(shù)關(guān)系式為，根據(jù)圖象得，，解得：，，設(shè)乙倉(cāng)庫(kù)的快件數(shù)量（件）與時(shí)間（分）之間的函數(shù)關(guān)系式為，根據(jù)圖象得，，解得：，，聯(lián)立，解得：，經(jīng)過(guò)20分鐘時(shí)，當(dāng)兩倉(cāng)庫(kù)快遞件數(shù)相同，故答案為：20．16.如圖，正方形的邊長(zhǎng)是，、分別在、的延長(zhǎng)線上，且，連接、交于點(diǎn)，分別與邊，交于點(diǎn)，，連接．現(xiàn)給出以下結(jié)論：；四邊形；；當(dāng)時(shí)，；其中正確的是（寫出所有正確結(jié)論的序號(hào)）【答案】①③④【分析】由四邊形是正方形，得到，，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)余角的性質(zhì)得到；故正確；根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到，由，得到；故錯(cuò)誤；根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，，于是得到，即；故正確；根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到，求得，，，由三角函數(shù)的定義即可得到結(jié)論．【詳解】四邊形是正方形，，，，，在與中，，∴（SAS），，，，，；故正確；，，，，，，，，，；故錯(cuò)誤；在與中，（AAS），，，在與中，，（SAS），，即；故正確；，，，，，，，，，，，，，故正確，故答案為．解答題（共68分，17~20題，每題5分，21題6分，22~23題，每題5分，24~26題，每題6分，27~28題，每題7分）解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、演算步驟或證明過(guò)程．17．（5分）計(jì)算：．【答案】．【分析】分別計(jì)算零次冪，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，絕對(duì)值，特殊角的三角函數(shù)值，再合并即可.【詳解】解：原式．18．（5分）解不等式組，并將解集在數(shù)軸上表示出來(lái)．【答案】，見(jiàn)解析【分析】分別求出每個(gè)不等式的解集，并將其解集表示在數(shù)軸上即可．【詳解】解：解不等式①，得，解不等式②，得x＜3，∴原不等式組的解集為，∴將不等式組的解集在數(shù)軸上表示為：19．（5分）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．【答案】，【分析】先對(duì)分式進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后再代入求解即可．【詳解】解：原式====，把代入得：原式=．20．（5分）已知關(guān)于x的一元二次方程．(1)當(dāng)該方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根時(shí)，求的取值范圍；(2)當(dāng)該方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根互為相反數(shù)時(shí)，求的值．【答案】(1)；(2)【分析】（）根據(jù)根的情況確定參數(shù)的范圍，由即可求解；（）利用根與系數(shù)的關(guān)系得出，解方程即可；此題考查了根的判別式和一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握一元二次方程根的判別式，當(dāng)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根時(shí)，；當(dāng)方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根時(shí)，；當(dāng)方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根是解題的關(guān)鍵時(shí)，，熟記：一元二次方程的兩個(gè)根為，，則，．【詳解】（1）∵關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴，解得：，∴的取值范圍是；（2）設(shè)，是關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則，解得：．21．（6分）如圖，已知：點(diǎn)在同一條直線上，．(1)求證：；(2)求證：．【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)見(jiàn)解析．【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，再利用線段的數(shù)量關(guān)系線段相等，進(jìn)而得到，最后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可解答；（2）利用全等三角形的性質(zhì)得到，再利用平行線的判定即可解答．【詳解】（1）解：∵，∴，∵，∴，∴，∴在和中，，∴，∴；（2）解：∵，∴，∴（5分）某學(xué)校在推進(jìn)新課改的過(guò)程中，開(kāi)設(shè)的體育社團(tuán)活動(dòng)課有：A：籃球，B：足球，C：排球，D：羽毛球，E：乒乓球，學(xué)生可根據(jù)自己的愛(ài)好選修一門，學(xué)校李老師對(duì)某班全班同學(xué)的選課情況進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計(jì)，制成了如圖所示的兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖．(1)則該班的總?cè)藬?shù)為_(kāi)_____人，其中學(xué)生選D“羽毛球”所在扇形的圓心角的度數(shù)是______度；(2)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；(3)該班班委4人中，2人選修籃球，1人選修足球，1人選修排球，李老師要從這4人中選2人了解他們對(duì)體育社團(tuán)活動(dòng)課的看法，請(qǐng)你用列表或畫樹(shù)狀圖的方法，求選出的2人恰好1人選修籃球，1人選修足球的概率．【答案】(1)50，72(2)見(jiàn)解析(3)【分析】（1）利用“選A：籃球”的學(xué)生人數(shù)除以其所占的百分比即可求得該班學(xué)生的總?cè)藬?shù)，再利用學(xué)生選D“羽毛球”的人數(shù)除以總?cè)藬?shù)，再乘以，即可求得結(jié)果；（2）利用選足球的學(xué)生的百分比乘以總?cè)藬?shù)求得選足球的人數(shù)，再利用總?cè)藬?shù)減去其他課程的人數(shù)求得選兵乓球的學(xué)生人數(shù)，即可補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；（3）畫出樹(shù)狀圖可得共有12種等可能的情況，其中選出的2人恰好1人選修籃球，1人選修足球的情況有4種，再利用概率公式進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】（1）解：由題意可得：該班的總?cè)藬?shù)為：（人），學(xué)生選D“羽毛球”所在扇形的圓心角的度數(shù)為：，故答案為：50；72；（2）解：由題意可得：選“B：足球”的學(xué)生人數(shù)為：（人），選“E：兵乓球”的學(xué)生人數(shù)為：（人）補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖如下；（3）解：畫樹(shù)狀圖如下：共有12種等可能的情況，其中選出的2人恰好1人選修籃球，1人選修足球的情況有4種；∴選出的2人恰好1人選修籃球，1人選修足球的概率為．（5分）如圖，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象交于A（1，4），B（4，n）兩點(diǎn)．（1）求反比例函數(shù)的解析式；（2）求一次函數(shù)的解析式；（3）點(diǎn)P是x軸上的一動(dòng)點(diǎn)，試確定點(diǎn)P并求出它的坐標(biāo)，使PA+PB最小．【答案】（1）；（2）；（3）P（，0）．【分析】（1）把A的坐標(biāo)代入即可求出結(jié)果；（2）先把B的坐標(biāo)代入得到B（4，1），把A和B的坐標(biāo)，代入即可求得一次函數(shù)的解析式；（3）作點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)B′，連接AB′交x軸于P，則AB′的長(zhǎng)度就是PA+PB的最小值，求出直線AB′與x軸的交點(diǎn)即為P點(diǎn)的坐標(biāo)．【詳解】（1）把A（1，4）代入得：m=4，∴反比例函數(shù)的解析式為：；（2）把B（4，n）代入得：n=1，∴B（4，1），把A（1，4），B（4，1）代入，得：，∴，∴一次函數(shù)的解析式為：；（3）作點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)B′，連接AB′交x軸于P，則AB′的長(zhǎng)度就是PA+PB的最小值，由作圖知，B′（4，﹣1），∴直線AB′的解析式為：，當(dāng)y=0時(shí)，x=，∴P（，0）．24.（6分）如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)C的切線交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,交EC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，連接AC.(1)求證:AC平分∠DAE;(2)若，求⊙O的半徑.

【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）4.【分析】(1)連接OC，由DE與⊙O相切與點(diǎn)C，得OC⊥EC，從而得OC∥AD，即∠DAC=∠OCA，結(jié)合∠OAC=∠OCA，即可得到結(jié)論；(2)由∠DAE=∠COE，，設(shè)OC=2x，則OC=3x，列出方程，即可求解.【詳解】（1）連接OC，∵DE與⊙O相切與點(diǎn)C，∴OC⊥EC，∵，∴OC∥AD，∴∠DAC=∠OCA，∵OC=OA，∴∠OAC=∠OCA，∴∠DAC=∠OAC，∴AC平分∠DAE；（2）∵OC∥AD，∴∠DAE=∠COE，∴，設(shè)OC=2x，則OC=3x，∵OB=OC=2x，BE=2，∴2x+2=3x，解得：x=2，∴OC=2x=2×2=4，∴⊙O的半徑是4.

25．（6分）學(xué)校組織九年級(jí)學(xué)生進(jìn)行跨學(xué)科主題學(xué)習(xí)活動(dòng)，利用函數(shù)的相關(guān)知識(shí)研究某種化學(xué)試劑的揮發(fā)情況．在兩種不同的場(chǎng)景A和場(chǎng)景B下做對(duì)比實(shí)驗(yàn)，設(shè)實(shí)驗(yàn)過(guò)程中，該試劑揮發(fā)時(shí)間為x分鐘時(shí)，在場(chǎng)景A，B中的剩余質(zhì)量分別為，(單位：克)．下面是某研究小組的探究過(guò)程，請(qǐng)補(bǔ)充完整：記錄，與x的幾組對(duì)應(yīng)值如下：x(分鐘)05101520…(克)2523.52014.57…(克)252015105…在同一平面直角坐標(biāo)系中，描出上表中各組數(shù)值所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，并畫出函數(shù)的圖象；(2)進(jìn)一步探究發(fā)現(xiàn)，場(chǎng)景A的圖象是拋物線的一部分，與x之間近似滿足函數(shù)關(guān)系．場(chǎng)景B的圖象是直線的一部分，與x之間近似滿足函數(shù)關(guān)系．請(qǐng)分別求出場(chǎng)景A，B滿足的函數(shù)關(guān)系式；(3)查閱文獻(xiàn)可知，該化學(xué)試劑的質(zhì)量不低于4克時(shí)，才能發(fā)揮作用．在上述實(shí)驗(yàn)中，記該化學(xué)試劑在場(chǎng)景A，B中發(fā)揮作用的時(shí)間分別為，則(填“＞”，“=”或“＜”)．【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)，；(3)＞【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，讀懂題意是解答本題的關(guān)鍵．（1）依據(jù)題意，根據(jù)表格數(shù)據(jù)描點(diǎn)，連線即可作圖得解；（2）根據(jù)函數(shù)圖象確定點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法解答即可；（3）依據(jù)題意，分別求出當(dāng)時(shí)x的值，即可得出答案．【詳解】（1）解：由題意，作圖如下．；（2）解：由題意，場(chǎng)景A的圖象是拋物線的一部分，與x之間近似滿足函數(shù)關(guān)系.又點(diǎn)在函數(shù)圖象上，∴．解得：．∴場(chǎng)景A函數(shù)關(guān)系式為．對(duì)于場(chǎng)景B的圖象是直線的一部分，與x之間近似滿足函數(shù)關(guān)系又在函數(shù)圖象上，∴．解得：．∴場(chǎng)景B函數(shù)關(guān)系式為．（3）解：由題意，當(dāng)時(shí)，場(chǎng)景A中，場(chǎng)景B中，，解得：，∴．26．（6分）．如圖1，拋物線y=ax2+bx+3過(guò)A（1，0）、B（3，0）兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C．(1)求拋物線的函數(shù)解析式；(2)在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)M，使△ACM的周長(zhǎng)最??？若存在，求出△ACM周長(zhǎng)的最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．(3)如圖2，連接BC，拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使得∠BCP=∠ACB？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)；(2)存在，周長(zhǎng)的最小值為；(3)存在，．【分析】（1）運(yùn)用待定系數(shù)法即可確定a、b的值．（2）根據(jù)△ACM的周長(zhǎng)最小值為，分別求出AC，BC的長(zhǎng)即可；（3）過(guò)點(diǎn)作直線l∥x軸，過(guò)點(diǎn)作EF⊥直線l于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)．證明?BDF∽?DCE，得出，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，運(yùn)用待定系數(shù)法求出直線CP的解析式，最后聯(lián)立方程組，求出方程組的解即可得出結(jié)論．【詳解】（1）將點(diǎn)，代入中，得：，解得，∴，（2）存在，拋物線對(duì)稱軸：直線，將代入中，得，連接BC，交拋物線對(duì)稱軸于點(diǎn)M，當(dāng)C，M，B三點(diǎn)共線時(shí)，周長(zhǎng)最小，∴AM+CM=BM+CM=BC，∵，∴，∴的最小值為.（3）存在,∵，∴，∵，∴，如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線軸，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)．∵∴，∵，∴，∴=，又∵∴∴，設(shè)，則，∴，∵，∴，解得，∴，設(shè)直線CP的解析式為，把（0，3），（）代入得，解得，，∴直線：，聯(lián)立，解得，，，∴.27．（7分）在△ABC和△ADE中，BA＝BC，DA＝DE，且∠ABC＝∠ADE，點(diǎn)E在△ABC的內(nèi)部，連接EC，EB和ED，設(shè)EC＝k?BD（k≠0）．（1）當(dāng)∠ABC＝∠ADE＝60°時(shí)，如圖1，請(qǐng)求出k值，并給予證明；（2）當(dāng)∠ABC＝∠ADE＝90°時(shí)：①如圖2，（1）中的k值是否發(fā)生變化，如無(wú)變化，請(qǐng)給予證明；如有變化，請(qǐng)求出k值并說(shuō)明理由；②如圖3，當(dāng)D，E，C三點(diǎn)共線，且E為DC中點(diǎn)時(shí)，請(qǐng)求出tan∠EAC的值．【答案】（1）k＝1，理由見(jiàn)解析；（2）①k值發(fā)生變化，k＝，理由見(jiàn)解析；②tan∠EAC＝．【分析】（1）根據(jù)題意得到△ABC和△ADE都是等邊三角形，證明△DAB≌△EAC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)解答；（2）①根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)計(jì)算；②作EF⊥AC于F，設(shè)AD＝DE＝a，證明△CFE∽△CAD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出EF，根據(jù)勾股定理求出AF，根據(jù)正切的定義計(jì)算即可．【詳解】（1）k＝1，理由如下：如圖1，∵∠ABC＝∠ADE＝60°，BA＝BC，DA＝DE，∴△ABC和△ADE都是等邊三角形，∴AD＝AE，AB＝AC，∠DAE＝∠BAC＝60°，∴∠DAB＝∠EAC，在△DAB和△EAC中，，∴△DAB≌△EAC（SAS）∴EC＝DB，即k＝1；（2）①k值發(fā)生變化，k＝，∵∠ABC＝∠ADE＝90°，BA＝BC，DA＝DE，∴△ABC和