新教材新高考2024年高考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)精講精練 第04講 利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問(wèn)題 高頻精講（解析版）

第04講利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問(wèn)題(精講）目錄TOC\o"1-2"\h\u第一部分：知識(shí)點(diǎn)必背 2第二部分：高頻考點(diǎn)一遍過(guò) 2高頻考點(diǎn)一：分離變量法 2高頻考點(diǎn)二：分類討論法 7高頻考點(diǎn)三：等價(jià)轉(zhuǎn)化法 11高頻考點(diǎn)四：雙元最值法 18高頻考點(diǎn)五：構(gòu)造法和同構(gòu)法 20溫馨提醒：瀏覽過(guò)程中按ctrl+Home可回到開(kāi)頭第一部分：知識(shí)點(diǎn)必背1、分離參數(shù)法用分離參數(shù)法解含參不等式恒成立問(wèn)題，可以根據(jù)不等式的性質(zhì)將參數(shù)分離出來(lái)，得到一個(gè)一端是參數(shù)，另一端是變量表達(dá)式的不等式；步驟：①分類參數(shù)（注意分類參數(shù)時(shí)自變量的取值范圍是否影響不等式的方向）②轉(zhuǎn)化：若)對(duì)恒成立，則只需；若對(duì)恒成立，則只需．③求最值.2、分類討論法如果無(wú)法分離參數(shù)，可以考慮對(duì)參數(shù)或自變量進(jìn)行分類討論求解，如果是二次不等式恒成立的問(wèn)題，可以考慮二次項(xiàng)系數(shù)與判別式的方法(，或，)求解．3、等價(jià)轉(zhuǎn)化法當(dāng)遇到型的不等式恒成立問(wèn)題時(shí)，一般采用作差法，構(gòu)造“左減右”的函數(shù)或者“右減左”的函數(shù)，進(jìn)而只需滿足，或者，將比較法的思想融入函數(shù)中，轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)的最值的問(wèn)題.4、雙元最值法形如：，不等式或者的模型（或者）第二部分：高頻考點(diǎn)一遍過(guò)高頻考點(diǎn)一：分離變量法典型例題例題1．（2023春·重慶北碚·高二西南大學(xué)附中?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，對(duì)，當(dāng)時(shí)，恒有，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】令，由題意，在上單調(diào)遞減，在恒成立，即在時(shí)恒成立，設(shè)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，而，，即，經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意，即a的取值范圍為，故選：D.例題2．（2023春·天津西青·高二天津市西青區(qū)楊柳青第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)對(duì)一切，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.【答案】【詳解】∵，即，注意到，整理得，故原題意等價(jià)于對(duì)一切，恒成立.設(shè)，則，令，則；令，則；則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在上的最小值為，故，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.例題3．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知函數(shù)．(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程．(2)若不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)【詳解】（1）依題意，，，，曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即.（2）若不等式恒成立，則在上恒成立，因?yàn)椋院愠闪?，令，，令，恒成立，所以在上單調(diào)遞增，當(dāng)趨近于，趨近于負(fù)無(wú)窮，當(dāng)趨近于正無(wú)窮，趨近于正無(wú)窮，所以存在使得，所以當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，又因?yàn)?，解得：，即，則，所以，所以.實(shí)數(shù)a的取值范圍為.例題4．（2023·內(nèi)蒙古·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；(2)若對(duì)任意的，恒成立，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，所以，所以，，所以所求切線方程為，即.（2）對(duì)任意的，恒成立，等價(jià)于對(duì)任意的，恒成立.①當(dāng)時(shí)，顯然成立.②當(dāng)時(shí)，不等式等價(jià)于.設(shè)，所以.設(shè)，則.當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.因?yàn)?，所以，又因?yàn)樵谥?，，所以?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，即的取值范圍為.練透核心考點(diǎn)1．（2023春·重慶渝中·高二重慶巴蜀中學(xué)?？茧A段練習(xí)）不等式對(duì)任意都成立，則實(shí)數(shù)的最大值為（

）A． B． C． D．-1【答案】A【詳解】由不等式，可得，設(shè)，即使得的最小值滿足條件即可，又，令，則，當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，即恒成立.因此當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，即實(shí)數(shù)的最大值為.故選：.2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)f（x）＝xlnx，若對(duì)于所有都有f（x）≥ax－1，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】【詳解】依題意，得在上恒成立，即不等式在上恒成立，亦即，．設(shè)，則.令，得，當(dāng)時(shí)，，在上是增函數(shù)．所以在上的最小值是.故a的取值范圍是．3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，.當(dāng)時(shí)，求使不等式恒成立的最大整數(shù)的值.【答案】3【詳解】由恒成立，得，∴.∵，∴恒成立，設(shè)，則，令，則，∵，∴，在上單調(diào)遞增，而，∴存在，使，即，∴當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，∴在處有極小值（也是最小值），∴，又由恒成立，即，∴k的最大整數(shù)值為3.故答案為：3高頻考點(diǎn)二：分類討論法典型例題例題1．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，若，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】函數(shù)，①當(dāng)，即時(shí)，滿足；②當(dāng)，即時(shí)，若，則有，令，則有，若，易知在上單調(diào)遞增，不一定都滿足，∴，即，，由，解得，由，解得，所以，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，由，則有，解得，所以時(shí)，滿足；③當(dāng)，即時(shí)，若，則有，即，易知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，當(dāng)時(shí)，所以，即，所以不滿足恒成立；綜上，若，的取值范圍是.故選：A例題2．（2023·寧夏銀川·銀川一中?？家荒＃┮阎瘮?shù)的圖像與直線相切于點(diǎn)．(1)求函數(shù)的圖像在點(diǎn)處的切線在x軸上的截距；(2)求與的函數(shù)關(guān)系；(3)當(dāng)為函數(shù)的零點(diǎn)時(shí)，若對(duì)任意，不等式恒成立．求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)(3)【詳解】（1），，所以，函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程是：，令得，所以該切線在x軸上的截距等于．（2）因?yàn)?，，函?shù)的圖像在處的切線方程是：，即，兩端乘以b變作：①又已知函數(shù)的圖像在點(diǎn)處的切線方程是：②．直線①與直線②重合，則③，④，聯(lián)立③④消去b得，所以c與a的函數(shù)關(guān)系為：．（3）函數(shù)的零點(diǎn)為，時(shí)．對(duì)，恒成立，轉(zhuǎn)化為對(duì)，不等式恒成立．①當(dāng)時(shí)，對(duì)恒成立，此時(shí)．②當(dāng)時(shí)，恒成立．設(shè)，求得．時(shí)，由得，由得，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增．所以當(dāng)時(shí)，取得極小值，，此時(shí)．③當(dāng)時(shí)，恒成立，與②同，設(shè)，．令，則，在上單調(diào)遞增．所以，時(shí)，得，在上單調(diào)遞減．所以，時(shí)，取得最大值，此時(shí)．整合①②③三種情形，得，且等號(hào)都取得到．所以實(shí)數(shù)的取值范圍為．練透核心考點(diǎn)1．（2023春·上海楊浦·高二復(fù)旦附中校考階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)設(shè)、是函數(shù)的圖像上相異的兩點(diǎn)，證明：直線的斜率大于0；(2)求實(shí)數(shù)的取值范圍，使不等式在上恒成立．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【詳解】（1）由可得，故函數(shù)在是嚴(yán)格增函數(shù)，設(shè)，，，則，即，即直線的斜率大于0．（2）由題意得，設(shè)，，①當(dāng)時(shí)，恒成立，符合題意；②當(dāng)時(shí)，，（?。┤簦?，所以在上是嚴(yán)格減函數(shù)，，滿足題意；（ⅱ）若，注意到在時(shí)，，于是，故，不滿足題意舍去；綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是．2．（2023·四川廣安·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)．(1)若是的極小值點(diǎn)，求a的取值范圍；(2)若，，求a的取值范圍．【答案】(1)；(2).【詳解】（1）由已知可得，定義域?yàn)镽..①當(dāng)，則恒成立，解可得，解，可得；解，可得.顯然是的極小值點(diǎn)，滿足條件.②當(dāng)時(shí)，解可得，.（ⅰ）當(dāng)，即時(shí)，解，可得或；解，可得.此時(shí)是的極小值點(diǎn)，滿足條件；（ⅱ）當(dāng)，即時(shí)，恒成立，無(wú)極值點(diǎn)；（ⅲ）當(dāng)，即時(shí)，解，可得或；解，可得.此時(shí)是的極大值點(diǎn)，與已知不符.綜上所述，a的取值范圍為.（2）由（1）知，，因?yàn)椋?，①?dāng)時(shí)，可知恒成立，則單調(diào)遞增.故時(shí)，，所以，滿足條件.②當(dāng)時(shí)，可知時(shí)，，單調(diào)遞減；時(shí)，，單調(diào)遞增.所以，在區(qū)間上，當(dāng)時(shí)，取得極小值，也即為最小值.由于，恒成立，則，即有，整理可得，因?yàn)椋?，所以有，解?綜上所述，a的取值范圍為.高頻考點(diǎn)三：等價(jià)轉(zhuǎn)化法典型例題例題1．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，.(1)若，求的極值；(2)證明：當(dāng)時(shí)，.【答案】(1)極大值為，極小值為(2)證明見(jiàn)解析【詳解】（1）由題知，定義域?yàn)?所以.令，得或，當(dāng)變化時(shí)，，的變化情況如表所示，x―1+0―0+增極大值減極小值增由表可知當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值，且極大值為，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值，且極小值為.（2）問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為證要證，即證，，即證，.，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求,設(shè)，則，故在上單調(diào)遞增，所以.又因?yàn)?，所以，所?①當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋?，所?②當(dāng)時(shí)，令，則.設(shè)，則，則.設(shè)，則.因?yàn)?，所以，所以在上單調(diào)遞增，即在上單調(diào)遞增，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，所以在上單調(diào)遞增，所以，即.綜上可知，當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)時(shí)，.例題2．（2023秋·河北保定·高三校考期末）已知函數(shù)在處取極大值，．(1)求的值；(2)求證：．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【詳解】（1）因?yàn)?，，又函?shù)在處取極大值，所以，所以．經(jīng)檢驗(yàn)時(shí)，,函數(shù)在上是單調(diào)遞增的,,函數(shù)在上是單調(diào)遞減的,故函數(shù)在處取極大值，所以．（2）由（1）知，，故要證，即證．令，則，．令，,得到在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以，使得，即所以?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，又因?yàn)?，即，所以，所以，即，即得證．例題3．（2023秋·天津河西·高三天津市第四十二中學(xué)校考期末）已知函數(shù)，（1）若，求函數(shù)的極值；（2）設(shè)函數(shù)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）若對(duì)內(nèi)任意一個(gè)，都有成立，求的取值范圍.【答案】(1)的極小值是，沒(méi)有極大值；(2)答案見(jiàn)解析；(3).【詳解】試題分析：（1）的定義域?yàn)?，且，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的解析式研究函數(shù)的極值可得的極小值是，沒(méi)有極大值；（2），則，分類討論可得：①當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；②當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增；（3）原問(wèn)題等價(jià)于“函數(shù)在上的最小值大于零”結(jié)合（2）的結(jié)論分類討論：①；②；③；④四種情況可得的范圍是：.試題解析：（1）的定義域?yàn)椋?dāng)時(shí)，，，3—0+極小所以的極小值是，沒(méi)有極大值；（2），，①當(dāng)時(shí)，即時(shí)，在上，在上，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；②當(dāng)，即時(shí)，在上，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增；（3）“對(duì)內(nèi)任意一個(gè)，都有成立”等價(jià)于“函數(shù)在上的最小值大于零”由（2）可知①當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，所以，解得；②當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，所以的最小值為可得，因?yàn)?，所以；③?dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，所以最小值為，由可得，所以；④當(dāng)，即時(shí)，可得最小值為，因?yàn)?，，所以，故，恒成?綜上討論可得所求的范圍是：.練透核心考點(diǎn)1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，，．(1)若曲線在點(diǎn)處的切線與曲線相切，求實(shí)數(shù)a的值；(2)若關(guān)于x的不等式恒成立，求實(shí)數(shù)a的最小整數(shù)值．【答案】(1)或(2)1【詳解】（1），則，又，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即.令，，則，則，解得或；（2）不等式恒成立，即恒成立，由于，則．設(shè)，則，，即．設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞減，又，，所以存在，使，即．當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以．又，則，由于恒成立，，所以實(shí)數(shù)a的最小整數(shù)值為1．2．（2023秋·河南·高三安陽(yáng)一中校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)，.(1)求的極值；(2)若在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)的極小值為，無(wú)極大值(2)【詳解】（1）的定義域?yàn)椋?，由解得，所以在區(qū)間遞減；在區(qū)間遞增.所以在時(shí)取得極小值，無(wú)極大值.（2）依題意在上恒成立，即在上恒成立，即在上恒成立，令，，令，，所以在上遞增，，故，所以，所以在上遞增，當(dāng)時(shí)，取得最小值為，所以，即的取值范圍是.3．（2023秋·浙江杭州·高二杭州市長(zhǎng)河高級(jí)中學(xué)?？计谀┰O(shè)，，已知和在處有相同的切線.（1）求，的解析式；（2）求在上的最小值；（3）若對(duì)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；.（2）．（3）.【詳解】：解：（1）依題意，即，（2）在上遞減，在遞增①當(dāng)時(shí)在遞減，在遞增②當(dāng)時(shí)在遞增（3）令由題意時(shí)恒成立在上只可能有一個(gè)極值點(diǎn)①當(dāng)即時(shí)，在遞增不合題意②當(dāng)，即時(shí)符合題意③當(dāng)，即時(shí)在上遞減，在上遞增；符合題意綜上所述實(shí)數(shù)的取值范圍是：高頻考點(diǎn)四：雙元最值法典型例題例題1．（2023春·天津和平·高二天津二十中校考階段練習(xí)）已知函數(shù)對(duì)區(qū)間上任意的都有，則實(shí)數(shù)的最小值是________.【答案】20【詳解】，則＝0，，當(dāng)或時(shí)，，遞增，當(dāng)時(shí)，，遞減．所以，，又，，所以在上，，所以的最大值為，即，所以的最小值為20．故答案為：20．例題2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若對(duì)、，使恒成立，求的取值范圍.【答案】(1)的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是.(2)【詳解】（1）的定義域?yàn)椋?，設(shè)，則，，所以在上為增函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，，即，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，即，所以在上為減函數(shù).綜上可得，的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是.（2）對(duì)，使恒成立，即對(duì)，成立.由（1）知在[0，1]上單調(diào)遞減，在[1，2]上單調(diào)遞增，所以，為和中的較大者，∵，，，又∵，得.∴，即.∴在[0，2]上∴，即，解之，得或，∴對(duì)，使恒成立時(shí)，a的取值范圍為.練透核心考點(diǎn)1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)在處取得極大值為2．(1)求函數(shù)的解析式；(2)若對(duì)于區(qū)間上任意兩個(gè)自變量的值都有，求實(shí)數(shù)的最小值．【答案】(1)(2)4（1）解：，因?yàn)楹瘮?shù)在處取得極大值為2，所以，解得，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意，所以；（2）解：，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在和上遞增，在上遞減，又，所以當(dāng)時(shí)，，對(duì)于區(qū)間上任意兩個(gè)自變量的值都有，則，所以，所以實(shí)數(shù)的最小值為4．高頻考點(diǎn)五：構(gòu)造法和同構(gòu)法典型例題例題1．（2023·四川綿陽(yáng)·鹽亭中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知，若不等式在上恒成立，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】由題意知，，不等式恒成立，即成立.設(shè)，則.因?yàn)?，所以在上單調(diào)遞增，于是對(duì)任意的恒成立，即對(duì)任意的恒成立.令，即.因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，;當(dāng)時(shí)，0，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以.故選：.例題2．（2023春·河南安陽(yáng)·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）若對(duì)任意的恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值為（

）A． B．1 C．e D．【答案】C【詳解】因?yàn)榈葍r(jià)于，即，即．設(shè)，所以，即在上單調(diào)遞減，因?yàn)椋栽谏虾愠闪?，即，即，故a的最大值為e．故選：C．例題3．（2023春·安徽·高二安徽師范大學(xué)附屬中學(xué)校考階段練習(xí)）已知，若對(duì)于任意的，不等式恒成立，則的最小值為_(kāi)_________．【答案】【詳解】由，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，，所以，?gòu)造新函數(shù)，，因?yàn)椋院瘮?shù)單調(diào)遞增，所以由，即，設(shè)當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以，因此有，故答案為：例題4．（2023秋·山西太原·高二山西大附中?？计谀┮阎魧?duì)于任意的，不等式恒成立，則的最小值為_(kāi)_______.【答案】【詳解】.令，，則，∴在上單調(diào)遞增.∵，，∴，∴恒成立，令，則，∴單調(diào)遞增；單調(diào)遞減，時(shí)，的最大值為，∴，∴的最小值