2016年浙江省高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題及答案

2016年浙江省高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題及答案

一、選擇題(本大題共8小題，每小題6分，滿分48分)

1.曲線(x+2y+a乂/一丁)=0為平面上交于一點(diǎn)的三條直線的充要條件是().

(A)a=0(B)a=l(C)a=-\(D)awR

答案：(A)

解若a=0,則曲線(x+2y+a乂_/一力=0表示曲線是三條交于原點(diǎn)的直線.

反之，由于直線y=x和直線y=-x交于原點(diǎn)，所以曲線要為平面上交于一點(diǎn)的直線，則

直線x+2y+a=0過(guò)原點(diǎn)，即Q=0.

2.函數(shù)/(x)=4sin3x-sinx+21sin5-cos5)的最小正周期為(

TC24

(A)27r(B)—(C)—(D)71

23

答案：(C)

27r

解化簡(jiǎn)得，〃x)=—sin3x+2,則函數(shù)/(x)的最小正周期為

22

3.設(shè)雙曲線;?一方=1(a>0/>0)的左右焦點(diǎn)分別為耳，工，點(diǎn)A是過(guò)鳥(niǎo)且傾斜角為:

的直線與雙曲線的一個(gè)交點(diǎn).若△F,F2A為等腰直角三角形,則雙曲線的離心率為().

(A)(B)V3+1(C)(D)夜+1

22

答案；(D)

解因?yàn)閨|A司AE||=2a,要使△耳鳥(niǎo)A為等腰直角三角形，則A必在雙曲線的左支上,

且|伍|=|耳用=2c,從而|M|=2a+2c,由勾股定理得(2(a+c)y=2(2c)2.解得

￡=6+1.

a

4.已知正三棱錐S-ABC,底面邊長(zhǎng)為1,側(cè)棱為2.若過(guò)直線AB的截面，將正三棱錐

的體積分成兩個(gè)相等的部分，則截面與底面所成二面角的平面角的余弦值為()

q4厲2厲

(A)叵(D)

101515

答案：（D）

解：設(shè)截面與棱SC交于。點(diǎn)，由已知條件可知，點(diǎn)。為棱SC的中點(diǎn).取A3的中點(diǎn)

E,連接EC,￡>E,SE,則NOE1。為截面與底面所成二面角的平面角，設(shè)為6.在aSEC

中，SE=叵,EC=B,SC=2,所以中線。E=@.在△OEC應(yīng)用余弦定理得

222

W巫

15

3d+。+1

5.已知a,bwR,函數(shù)f(x)=ox-b.若對(duì)任意xe[-1,1],有0W/(x)<l,則

a+2b—2

的取值范圍為（）

1242

(A)--,0(B)(C)(D)

L2」■?°2’75’7

答案：(D)

解：由題設(shè)，04/(1)W1,047(—1)W1,即0<。一/?<1,一l<a+Z?<0.令〃=Q+Z?,

c=a-b,則

3a+/?+c4M+2V+2_10

-------=---------=-2H---------.

a+2b—23w-v-45v-l1

Q3-5^3

...,43。+/?+12

由此n即n知—?---------6—.

5。+2〃-27

6.已知向量弧礪垂直，且畫(huà)=畫(huà)=24.若問(wèn)0,1],則

|/AB-AO|+、麗—(一)麗

的最小值為()

(A)2VI93(B)26(C)2472(D)24

答案：(B)

解：用數(shù)形結(jié)合方法求解，作正方形。4cB，連對(duì)角線43,則向量/A月-A。等于向量。方

（。為對(duì)角線AB上一點(diǎn)）.向量《由一（1一。麗等于向量瓦（E為08上一點(diǎn),

EB=10）.因?yàn)镺D=DC,所以

\tAB-AO\+^BO-（1-t）BA=|DE|+|DC|.

由幾何意義可知|詼|+1方4的最小值為EC的值，即等于26.

7.設(shè)集合M=，(x,y)|3-一，=J,x,ywN"1,則集合M的元素個(gè)數(shù)為()

yjy<45

(A)0(B)1(C)2(D)3

答案：(B)

,111111從而,=112

解：，這樣

TTTT#"后:行+行'5x2255y15757

國(guó)eQ.同理，JGe。.所以可設(shè)x=5a2,y=5〃,a/GN*.因此，原式等價(jià)于

J?一L=L解得(],。)=(2,6).又(。,。)與(蒼丁)一一對(duì)應(yīng)，則集合M中元素的個(gè)數(shù)為1.

ab3

8.記[x]為不超過(guò)X的最大整數(shù).若集合S={(x,y)||[x+y]|+|[x-y]|<l},則集合S

所表示的平面區(qū)域的面積為().

59

(A)-(B)3(C)-(D)4

22

答案：(A)

解：當(dāng)04x+y<l時(shí)，[x+y]=O,所以Jx-yjwi,即-l〈x-y<2；

當(dāng)14x+y<2時(shí)，[x+y]=l,所以Jx—y]|=0,即O4x-y<l；

當(dāng)一l<x+y<0時(shí)，[x+y]=-l,所以Jx-yj=O,即O<x-y<l.

畫(huà)出滿足上述條件的區(qū)域，可知集合S所表示的平面區(qū)域的面積為3

2

二、填空題(本大題共7小題，12題9分，其余各題7分，滿分51分)

9.設(shè)“X)是定義在火上的奇函數(shù).若對(duì)任意實(shí)數(shù)無(wú)，有/(x+2)=-/(x),且當(dāng)xe[O,l]時(shí),

f(x)=2x,則/(10百)=.

答案：36-206.

解：由f(x+2)=—/(x)得〃x+4)=-/(x+2)=/(x),所以/(x)周期為4,因此

/(10V3)=/(105/3-16)=-/(16-10^)=/(18-10A^)=36-20A^.

10.己知數(shù)列{%},{"}滿足：4=7力=2,??+1=-bll,bn+}=2an-3bn(neN*),

貝”“2015+%16=---------------------'

答案：-3x22015.

解：由題設(shè)遞推關(guān)系，我們有

。+2+%=2，一3%+%=-2hn-2hn+i=-2(/??+|+bn),

從而，D+2+2+I=(一2)”92+4)，注意到4=26—34=—8.我們有

“2015+人2016=一3X22°15.

11.設(shè)aeR.方程卜一《-"=2恰有三個(gè)不同的根，則。=.

答案：2.

解：原方程可變形為|x-a|=a±2,要使方程恰好有三個(gè)不同的根，則a=2,此時(shí)方程恰

好有三個(gè)不同的根玉=2,々=6,七=一2,所以a=2.

12.已知兩個(gè)底面重合的正四面體A-OBC和。-OBC,加,77分別為44)。與43。。的

重心.記麗=￡,礪=￡玄=".若點(diǎn)p滿足而=XQ+yb+zc,MP=2PN.

則實(shí)數(shù)x=>y-，z-.

…245

答案：x=—,y=—,z=—.

999

解設(shè)點(diǎn)A在面O8C上的投影為“，則麗=gx；(赤+詼)=*+0,所以

1r\

AH=OH-OA=-^b+c-3ayAD^2AH=-(b+c-3a).

又府=gx；(而+/)=*(—9￡+2B+53),所以麗=方+前=*(2石+5工).

同理，

BN=^(^BC+Bb)=^(0C-0B+AD-AB)=^-3a+4b+5c),0N=0B+BN

=：(―3c；+5B+5c).由A/戶=2所得，O戶=；(0必+2麗).所以

45

z=

xa+yb+zc=-^-2a+4b+5c^=>x=--,y=9-9-

13.在△ABC中，B=-,C=—,AC=2jd,AC的中點(diǎn)為。.若長(zhǎng)度為3的線段尸。（P

412

在。的左側(cè)）在直線8c上滑動(dòng)，則AP+OQ的最小值為

…A/30+3V10

合耒：--------------

2

TT

解：由已知得4=一,由正弦定理，得BC=6.過(guò)。作直線￡>E平行BC,交A3于E點(diǎn),

3

則OE〃BC,注意到OE為△ABC的中位線，則DE=3=PQ,所以PQOE為平行四邊

形，即有DQ=EP.這樣問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為在直線3C上找一點(diǎn)，使AP+EP最小.作A關(guān)于

8c的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A,則（AP+EP）.=4七.注意到48=生*吆=6+3及,則

'/mnsinB

AE3=畫(huà)+3呵

22

14.若關(guān)于x,y的方程組

(s-inx=msin3y,

cosx=mcos3y

有實(shí)數(shù)解，則正實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為.

答案：[1,2].

解：兩式平分后相加，消去x,得

1=m2(sin6y+cos6y)=m2(l-3sin2ycos2y)

=sin22y=—{1——?G[0,1]=^>1<m<2,

反之，當(dāng)時(shí)，也存在(事,滿足此方程.因此，正實(shí)數(shù)〃，的取值范圍為[1,2].

15.已知a,仇c為互不相等的整數(shù)，則4(a2+02+c2)—(a+b+cf的最小值為.

答案：8.

解：4(a2+Z>2+c2)-(tz+/?+c)2=(a-b)2+(Z>-c)2+(c-?)2+a2+b2+c2,其最小值

為8.

三、解答題(本大題共3小題，16題15分，17,18題每題18分，滿分51分)

16.設(shè)函數(shù)/(x)=d_,2_5以+3)x+7(a,&e/?).已知對(duì)于任意的正[0,2],若王，

々滿足玉w[%,Z+a]，e[k+2a,k+4a\,則/(不)之/(赴),求正實(shí)數(shù)a的最大值.

解由于二次函數(shù)/(x)=x2—(左2一5或+3b+7的對(duì)稱(chēng)軸為x=(_二誓土2,故題設(shè)條

件等價(jià)于對(duì)任意的ke[0,2],均有

k~—Suk+35

----------->k+—a.

22

即對(duì)任意的Ae[0,2],均有

5aJ」?八3?女2—2左+3、

k+\k+\

/min

注意到

k~-2,k+37.6._

-------------=(Z+1)+--------4>2—4—2\/6—4,

k+\'7k+1

當(dāng)且僅當(dāng)％=逐-1時(shí)取等號(hào)，故-~=276-4.

(k+l

min

后一

所以，正實(shí)數(shù)a的最大值為2“4

5

17.已知橢圓C：5+%=l(a〉b>0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)離心率為|.過(guò)橢圓C的右焦點(diǎn)

作斜率為左的直線/,交橢圓于A,B兩點(diǎn)，記PAP8的斜率為人,右.

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若匕+%2=0，求實(shí)數(shù)女.

解（1）由題設(shè)條件，得

9256,cr-b292c-2

-rH-------——1,-------=—=>a—25,b~=16.

a29b2a225

所以橢圓方程為三+二=1.

2516

（2）橢圓的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為（3,0）.

2Q

若％=0時(shí)，4（—5,0）,3（5,0）,則4=《&=—1此時(shí)勺+網(wǎng)/0.故左/0?

直線/的方程為y=Z（x-3）.和橢圓方程聯(lián)立，并消去y,得

（16+25女2）f_150%2*+225^2_400=0.

設(shè)4（%/）,3（j見(jiàn)），則由韋達(dá)定理，得

150公225公400

1■16+25氏21-16+2542

注意到%=%（%-3）,y2=4（%2-3）,可得

1616

k&」一行產(chǎn)一（5乂-16）3-3）+（5%-16）。-3）

~%1_3X?_35（玉一3）（工2—3）

15女（再—3）—16］（冗2-3）+［5&（4-3）—16］（斗—3）

5（2—3）（x）-3）

10女（％一3）（乙一3）—16（%1+%2—6）

5（再—3）（工2—3）

1536-2560^八，3

2

-5（16+25*）（%1-3）（X2-3）--5,

18.給定數(shù)列｛七｝,證明：存在唯一分解七=y?-z?,其中數(shù)列｛%｝非負(fù)，｛zH｝單調(diào)不減,

并且y"（z,_z,i）=O,Zo=O.

證我們只需證明對(duì)任意的正整數(shù)〃，滿足

七="一z“，

<>"（Z“-Z“T）=0,①

'"0，

.z,-z,iNO,Zo=O

的（耳，z,）存在且唯一?下面用數(shù)學(xué)歸納法證明之.

（1）當(dāng)”=1時(shí)，X（Z]-2o）=y]Z]=0，這樣有y=0,4=-X]或者％=X[,Z]=0.

若玉NO,則X=M，Z[=0.若占<0,則弘=0,4=-玉.此時(shí)命題成立.

⑵假設(shè)當(dāng)n=攵（攵21）時(shí)，命題成立，則當(dāng)〃=左+1時(shí)，①等價(jià)于

%+|-（ZR|-ZJ=%+Z&,

<%+i（Z-「z*）=O,

力+i之。，

**+1_z?NO,Zo=O

這樣有yk+i=0,-Zk=-（xk+l+zj或yk+}=xk+l+zk,zk+l-zk=0.進(jìn)一步

若4+1+z*N°，則以+i=xk+l+zk,zM-zk=0,即=4+1+Z〃,Z&+I=zk.

若/+i+z%<0，則％+i=0,z*+1—z1t=—（/+]+zj,即%+|=0,z*z=-xk+v

故當(dāng)〃=Z+1時(shí)，命題成立.

（3）由數(shù)學(xué)歸納法可知，對(duì)任意的正整數(shù)〃，命題均成立.從而原命題得證.

四、附加題（本大題共2小題，每題25分，滿分50分）

19.設(shè)集合4=卜6""|珊十進(jìn)制表示中數(shù)碼不含2,0,1,6}.證明：￡-<3.

XGAX

（注：表示集合A中的所有元素的倒數(shù)之和）

,X

證在左位正整數(shù)中，各位上的數(shù)碼不含數(shù)字2,0,1,6的共有6?個(gè)，其中首位數(shù)字為3,4,

5,7,8,9的各有61個(gè)，所以，所有不含數(shù)字2,0,1,6的左位數(shù)的倒數(shù)和小于

64-'6X-'6*T6*T6A-16&T

+A-1A-1A_1