備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)新模式新題型《數(shù)學(xué)與閱讀理解》共22道含解析word版

最新的一輪資料，最新的二輪資料，最新的專題培優(yōu)，最新的熱點(diǎn)研究盡在備戰(zhàn)高考qq千人群722859698，持續(xù)更新！第1頁(yè)/共1頁(yè)（2023上·北京朝陽(yáng)·高三統(tǒng)考期中/24南通）已知是個(gè)正整數(shù)組成的行列的數(shù)表，當(dāng)時(shí)，記．設(shè)，若滿足如下兩個(gè)性質(zhì)：①；②對(duì)任意，存在，使得，則稱為數(shù)表．(1)判斷是否為數(shù)表，并求的值；(2)若數(shù)表滿足，求中各數(shù)之和的最小值；(3)證明：對(duì)任意數(shù)表，存在，使得．【答案】(1)是；(2)(3)證明見(jiàn)詳解【分析】（1）根據(jù)題中條件可判斷結(jié)果，根據(jù)題中公式進(jìn)行計(jì)算即可；（2）根據(jù)條件討論的值，根據(jù)，得到相關(guān)的值，進(jìn)行最小值求和即可；（3）當(dāng)時(shí)，將橫向相鄰兩個(gè)用從左向右的有向線段連接，則該行有條有向線段，得到橫向有向線段的起點(diǎn)總數(shù)，同樣的方法得到縱向有向線段的起點(diǎn)總數(shù)，根據(jù)條件建立不等關(guān)系，即可證明.【詳解】（1）是數(shù)表，（2）由題可知.當(dāng)時(shí)，有，所以.當(dāng)時(shí)，有，所以.所以所以或者，或者，或，或，故各數(shù)之和，當(dāng)時(shí)，各數(shù)之和取得最小值.（3）由于數(shù)表中共個(gè)數(shù)字，必然存在，使得數(shù)表中的個(gè)數(shù)滿足設(shè)第行中的個(gè)數(shù)為當(dāng)時(shí)，將橫向相鄰兩個(gè)用從左向右的有向線段連接，則該行有條有向線段，所以橫向有向線段的起點(diǎn)總數(shù)設(shè)第列中的個(gè)數(shù)為.當(dāng)時(shí)，將縱向相鄰兩個(gè)用從上到下的有向線段連接，則該列有條有向線段，所以縱向有向線段的起點(diǎn)總數(shù)所以,因?yàn)?所以.所以必存在某個(gè)既是橫向有向線段的起點(diǎn)，又是縱向有向線段的終點(diǎn)，即存在使得，所以，則命題得證.(鎮(zhèn)海高三期末)19.在幾何學(xué)常常需要考慮曲線的彎曲程度，為此我們需要刻畫(huà)曲線的彎曲程度．考察如圖所示的光滑曲線C：上的曲線段，其弧長(zhǎng)為，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)從A沿曲線段運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)，A點(diǎn)的切線也隨著轉(zhuǎn)動(dòng)到B點(diǎn)的切線，記這兩條切線之間的夾角為（它等于的傾斜角與的傾斜角之差）．顯然，當(dāng)弧長(zhǎng)固定時(shí)，夾角越大，曲線的彎曲程度就越大；當(dāng)夾角固定時(shí)，弧長(zhǎng)越小則彎曲程度越大，因此可以定義為曲線段的平均曲率；顯然當(dāng)B越接近A，即越小，K就越能精確刻畫(huà)曲線C在點(diǎn)A處的彎曲程度，因此定義（若極限存在）為曲線C在點(diǎn)A處的曲率．（其中y＇，y＇＇分別表示在點(diǎn)A處的一階、二階導(dǎo)數(shù)）（1）求單位圓上圓心角為60°的圓弧的平均曲率；（2）求橢圓在處的曲率；（3）定義為曲線的“柯西曲率”．已知在曲線上存在兩點(diǎn)和，且P，Q處的“柯西曲率”相同，求的取值范圍．【答案】（1）1（2）（3）【解析】【分析】（1）依據(jù)所給定義求解即可.（2）直接利用定義求解即可.（3）合理構(gòu)造給定式子，轉(zhuǎn)化一元函數(shù)，結(jié)合高觀點(diǎn)極限方法求解即可.【小問(wèn)1詳解】．【小問(wèn)2詳解】，，，故，，故．【小問(wèn)3詳解】，，故，其中，令，，則，則，其中（不妨）令，在遞減，在遞增，故；令，，令，則，當(dāng)時(shí)，恒成立，故在上單調(diào)遞增，可得，即，故有，則在遞增，又，，故，故．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查求導(dǎo)數(shù)新定義，解題關(guān)鍵是將給定式子合理轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)，然后利用極限方法求得關(guān)鍵函數(shù)值域，最終即可求解．（合肥一中期末）19．同余定理是數(shù)論中的重要內(nèi)容．同余的定義為：設(shè)a，，且．若則稱a與b關(guān)于模m同余，記作（modm）（“|”為整除符號(hào)）．（1）解同余方程（mod3）；（2）設(shè)（1）中方程的所有正根構(gòu)成數(shù)列，其中．①若（），數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求；②若（），求數(shù)列的前n項(xiàng)和．解：（1）由題意（mod3），所以或（），即或（）．（2）由（1）可得為，所以．①因?yàn)椋ǎ裕冢ǎ驗(yàn)椋裕ū本┪鞒牵?1.給定正整數(shù)，已知項(xiàng)數(shù)為且無(wú)重復(fù)項(xiàng)的數(shù)對(duì)序列：滿足如下三個(gè)性質(zhì)：①，且；②；③與不同時(shí)在數(shù)對(duì)序列中.（1）當(dāng)，時(shí)，寫(xiě)出所有滿足的數(shù)對(duì)序列；（2）當(dāng)時(shí)，證明：；（3）當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，記的最大值為，求.【答案】（1）或（2）證明詳見(jiàn)解析（3）【解析】【分析】（1）利用列舉法求得正確答案.（2）利用組合數(shù)公式求得的一個(gè)大致范圍，然后根據(jù)序列滿足的性質(zhì)證得.（3）先證明，然后利用累加法求得.【小問(wèn)1詳解】依題意，當(dāng)，時(shí)有：或.【小問(wèn)2詳解】當(dāng)時(shí)，因?yàn)榕c不同時(shí)在數(shù)對(duì)序列中，所以，所以每個(gè)數(shù)至多出現(xiàn)次，又因?yàn)?，所以只有?duì)應(yīng)的數(shù)可以出現(xiàn)次，所以.【小問(wèn)3詳解】當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，先證明.因?yàn)榕c不同時(shí)在數(shù)對(duì)序列中，所以，當(dāng)時(shí)，構(gòu)造恰有項(xiàng)，且首項(xiàng)的第個(gè)分量與末項(xiàng)的第個(gè)分量都為.對(duì)奇數(shù)，如果和可以構(gòu)造一個(gè)恰有項(xiàng)的序列，且首項(xiàng)的第個(gè)分量與末項(xiàng)的第個(gè)分量都為，那么多奇數(shù)而言，可按如下方式構(gòu)造滿足條件的序列：首先，對(duì)于如下個(gè)數(shù)對(duì)集合：，，……，，每個(gè)集合中都至多有一個(gè)數(shù)對(duì)出現(xiàn)在序列中，所以，其次，對(duì)每個(gè)不大于的偶數(shù)，將如下個(gè)數(shù)對(duì)并為一組：，共得到組，將這組對(duì)數(shù)以及，按如下方式補(bǔ)充到的后面，即.此時(shí)恰有項(xiàng)，所以.綜上，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解新定義題型的步驟：(1)理解“新定義”——明確“新定義”的條件、原理、方法、步驟和結(jié)論.(2)重視“舉例”,利用“舉例”檢驗(yàn)是否理解和正確運(yùn)用“新定義”;歸納“舉例”提供的解題方法.歸納“舉例”提供的分類情況.(3)類比新定義中的概念、原理、方法，解決題中需要解決的問(wèn)題.（如皋市）19.對(duì)于給定的正整數(shù)n，記集合，其中元素稱為一個(gè)n維向量.特別地，稱為零向量.

設(shè)，，，定義加法和數(shù)乘：，.

對(duì)一組向量，，…，，若存在一組不全為零的實(shí)數(shù)，，…，，使得，則稱這組向量線性相關(guān)．否則，稱為線性無(wú)關(guān)．

（1）對(duì)，判斷下列各組向量是線性相關(guān)還是線性無(wú)關(guān)，并說(shuō)明理由．

①，；

②，，；

③，，，

（2）已知，，線性無(wú)關(guān)，判斷，，是線性相關(guān)還是線性無(wú)關(guān)，并說(shuō)明理由．

（3）已知個(gè)向量，，…，線性相關(guān)，但其中任意個(gè)都線性無(wú)關(guān)，證明：

①如果存在等式，則這些系數(shù)，，…，或者全為零，或者全不為零；

②如果兩個(gè)等式，同時(shí)成立，其中，則

（1）解：對(duì)于①，設(shè)，則可得，所以線性相關(guān)；

對(duì)于②，設(shè)，則可得，所以，，所以線性相關(guān)；

對(duì)于③，設(shè)，則可得，解得，所以線性相關(guān)；

（2）解：設(shè)，

則，

因?yàn)橄蛄?，，線性無(wú)關(guān)，所以，解得，

所以向量，，線性無(wú)關(guān)，

（3）①，如果某個(gè)，，2，?，m，

則，

因?yàn)槿我鈧€(gè)都線性無(wú)關(guān)，所以，，?，，???，都等于0，

所以這些系數(shù)，，???，或者全為零，或者全不為零，

②因?yàn)?，所以，???，全不為零，

所以由可得，

代入可得，

所以，

所以，?，，

所以（江蘇四校）19.交比是射影幾何中最基本的不變量，在歐氏幾何中亦有應(yīng)用．設(shè)，，，是直線上互異且非無(wú)窮遠(yuǎn)的四點(diǎn)，則稱（分式中各項(xiàng)均為有向線段長(zhǎng)度，例如）為，，，四點(diǎn)的交比，記為．（1）證明：；（2）若，，，為平面上過(guò)定點(diǎn)且互異的四條直線，，為不過(guò)點(diǎn)且互異的兩條直線，與，，，的交點(diǎn)分別為，，，，與，，，的交點(diǎn)分別為，，，，證明：；（3）已知第（2）問(wèn)的逆命題成立，證明：若與的對(duì)應(yīng)邊不平行，對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線交于同一點(diǎn)，則與對(duì)應(yīng)邊的交點(diǎn)在一條直線上．解：（1）；（2）； 第（2）問(wèn)圖 第（3）問(wèn)圖設(shè)與交于，與交于，與交于，連接，與交于，與交于，與交于，欲證，，三點(diǎn)共線，只需證在直線上．考慮線束，，，，由第（2）問(wèn)知，再考慮線束，，，，由第（2）問(wèn)知，從而得到，于是由第（2）問(wèn)的逆命題知，，，交于一點(diǎn)，即為點(diǎn)，從而過(guò)點(diǎn)，故在直線上，，，三點(diǎn)共線．（高考仿真）19.已知無(wú)窮數(shù)列滿足，其中表示x，y中最大的數(shù)，表示x，y中最小的數(shù).（1）當(dāng)，時(shí)，寫(xiě)出的所有可能值；（2）若數(shù)列中的項(xiàng)存在最大值，證明：0為數(shù)列中的項(xiàng)；（3）若，是否存在正實(shí)數(shù)M，使得對(duì)任意的正整數(shù)n，都有？如果存在，寫(xiě)出一個(gè)滿足條件的M；如果不存在，說(shuō)明理由.【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析（3）不存在，理由見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）根據(jù)定義知，討論、及大小求所有可能值；（2）由，假設(shè)存在使，進(jìn)而有，可得，即可證結(jié)論；（3）由題設(shè)，令，討論、求證即可判斷存在性.【小問(wèn)1詳解】由，，若，則，即，此時(shí)，當(dāng)，則，即；當(dāng)，則，即；若，則，即，此時(shí)，當(dāng)，則，即；當(dāng)，則，即（舍）；綜上，的所有可能值為.【小問(wèn)2詳解】由（1）知：，則，數(shù)列中的項(xiàng)存在最大值，故存在使，，由，所以，故存在使，所以0為數(shù)列中的項(xiàng)；【小問(wèn)3詳解】不存在，理由如下：由，則，設(shè)，若，則，，對(duì)任意，?。ū硎静怀^(guò)的最大整數(shù)），當(dāng)時(shí)，；若，則為有限集，設(shè)，，對(duì)任意，取（表示不超過(guò)的最大整數(shù)），當(dāng)時(shí)，；綜上，不存在正實(shí)數(shù)M，使得對(duì)任意的正整數(shù)n，都有.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第三問(wèn)，首選確定，并構(gòu)造集合，討論、研究存在性.（高考仿真）19.若項(xiàng)數(shù)為的有窮數(shù)列滿足：，且對(duì)任意的，或是數(shù)列中的項(xiàng)，則稱數(shù)列具有性質(zhì)．(1)判斷數(shù)列是否具有性質(zhì)，并說(shuō)明理由；(2)設(shè)數(shù)列具有性質(zhì)，是中的任意一項(xiàng)，證明：一定是中的項(xiàng)；(3)若數(shù)列具有性質(zhì)，證明：當(dāng)時(shí)，數(shù)列是等差數(shù)列．解析（1）數(shù)列具有性質(zhì).理由：根據(jù)有窮數(shù)列滿足：，且對(duì)任意的，或是數(shù)列中的項(xiàng)，則稱數(shù)列具有性質(zhì)，對(duì)于數(shù)列中，若對(duì)任意的，可得或或，可得一定是數(shù)列中的項(xiàng)，所以數(shù)列具有性質(zhì).……………4分（2）證明：由是數(shù)列中的任意一項(xiàng)，因?yàn)閿?shù)列具有性質(zhì)，即或是數(shù)列中的項(xiàng)，令，可得或是數(shù)列中的項(xiàng)，又因?yàn)?，可得一定不是?shù)列中的項(xiàng)，所以一定是數(shù)列中的項(xiàng).……………8分（3）由數(shù)列具有性質(zhì)，可得，所以，則，且，又由，所以，又由，①設(shè)，因?yàn)榭傻?，?dāng)時(shí)，可得，

（）②設(shè)，則，所以，由，又由，可得，所以，因?yàn)?，由以上可知：且，所以且，所以，（）由（）知，兩式相減，可得，所以當(dāng)時(shí)，數(shù)列為等差數(shù)列.……………17分.（安徽）19.（17分）阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，他的主要研究成果集中在他的代表作《圓錐曲線》一書(shū)中.阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一，指的是已知?jiǎng)狱c(diǎn)與兩定點(diǎn)的距離之比是一個(gè)常數(shù)，那么動(dòng)點(diǎn)的軌跡就是阿波羅尼斯圓，圓心在直線上.已知?jiǎng)狱c(diǎn)的軌跡是阿波羅尼斯圓，其方程為，定點(diǎn)分別為橢圓的右焦點(diǎn)與右頂點(diǎn)，且橢圓的離心率為.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）如圖，過(guò)右焦點(diǎn)斜率為的直線與橢圓相交于（點(diǎn)在軸上方），點(diǎn)是橢圓上異于的兩點(diǎn)，平分平分.①求的取值范圍；②將點(diǎn)看作一個(gè)阿波羅尼斯圓上的三點(diǎn)，若外接圓的面積為，求直線的方程.【答案】（1）（2）①②【解析】（1）方法①特殊值法，令，且，解得.，橢圓的方程為，方法②設(shè)，由題意（常數(shù)），整理得：，故，又，解得：.，橢圓的方程為.（2）①由，又，（或由角平分線定理得），令，則，設(shè)，則有，又直線的斜率，則代入得：，即，.②由（1）知，，由阿波羅尼斯圓定義知，在以為定點(diǎn)的阿波羅尼斯圓上，設(shè)該圓圓心為，半徑為，與直線的另一個(gè)交點(diǎn)為，則有，即，解得：.又，故又，.解得：直線的方程為.（鄭州外國(guó)語(yǔ)）19．記．對(duì)數(shù)列和的子集，若，定義；若，定義．例如：時(shí)，．現(xiàn)設(shè)是公比為3的等比數(shù)列，且當(dāng)時(shí)，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）對(duì)任意正整數(shù)，若，求證：；（3）設(shè)，求證：．解（1）當(dāng)時(shí)，，因此，從而；（2）；（3）設(shè)，則,，，，因此原題就等價(jià)于證明．由條件可知．①若，則，所以．②若，由可知，設(shè)中最大元素為中最大元素為，若，則由第（2）小題，，矛盾．因?yàn)?，所以，所以，，即．綜上所述，，因此．（福建模擬）2022年北京冬奧會(huì)標(biāo)志性場(chǎng)館——國(guó)家速滑館的設(shè)計(jì)理念來(lái)源于一個(gè)冰和速度結(jié)合的創(chuàng)意，沿著外墻面由低到高盤(pán)旋而成的“冰絲帶”，就像速度滑冰運(yùn)動(dòng)員高速滑動(dòng)時(shí)留下的一圈圈風(fēng)馳電掣的軌跡，冰上劃痕成絲帶，22條“冰絲帶”又象征北京2022年冬奧會(huì).其中“冰絲帶”呈現(xiàn)出圓形平面、橢圓形平面、馬鞍形雙曲面三種造型，這種造型富有動(dòng)感，體現(xiàn)了冰上運(yùn)動(dòng)的速度和激情這三種造型取自于球、橢球、橢圓柱等空間幾何體，其設(shè)計(jì)參數(shù)包括曲率、撓率、面積體積等對(duì)幾何圖形的面積、體積計(jì)算方法的研究在中國(guó)數(shù)學(xué)史上有過(guò)輝煌的成就，如《九章算術(shù)》中記錄了數(shù)學(xué)家劉徽提出利用牟合方蓋的體積來(lái)推導(dǎo)球的體積公式，但由于不能計(jì)算牟合方蓋的體積并沒(méi)有得出球的體積計(jì)算公式直到200年以后數(shù)學(xué)家祖沖之、祖眶父子在《綴術(shù)》提出祖暅原理：“冪勢(shì)既同，則積不容異”，才利用牟合方蓋的體積推導(dǎo)出球的體積公式原理的意思是：兩個(gè)等高的幾何體若在所有等高處的水平截面的面積相等，則這兩個(gè)幾何體的體積相等．(Ⅰ)利用祖暅原理推導(dǎo)半徑為R的球的體積公式時(shí)，可以構(gòu)造如圖所示的幾何體M，幾何體M的底面半徑和高都為R，其底面和半球體的底面同在平面α內(nèi).設(shè)與平面α平行且距離為d的平面β截兩個(gè)幾何體得到兩個(gè)截面，請(qǐng)?jiān)趫D中用陰影畫(huà)出與圖中陰影截面面積相等的圖形并給出證明；(Ⅱ)現(xiàn)將橢圓x2a2+y2b2=1a>b>0所圍成的橢圓面分別繞其長(zhǎng)軸、短軸旋轉(zhuǎn)一周后得兩個(gè)不同的橢球A，B(如圖)，類比

【答案】解：

(Ⅰ)由圖可知，圖①幾何體的為半徑為R的半球，

圖②幾何體為底面半徑和高都為R的圓柱中挖掉了一個(gè)圓錐，與圖①截面面積相等的圖形是圓環(huán)(如陰影部分)

證明如下：

在圖①中，設(shè)截面圓的圓心為O1，易得截面圓O1的面積為πR2?d2，

在圖②中，截面截圓錐得到的小圓的半徑為d，所以，圓環(huán)的面積為πR2?d2，

所以，截得的截面的面積相等

(Ⅱ)類比(Ⅰ)可知，橢圓的長(zhǎng)半軸為a，短半軸為b，

構(gòu)造一個(gè)底面半徑為b，高為a的圓柱，把半橢球與圓柱放在同一個(gè)平面上(如圖)，

在圓柱內(nèi)挖去一個(gè)以圓柱下底面圓心為頂點(diǎn)，圓柱上底面為底面的圓錐，即挖去的圓錐底面半徑為b，高為a；

在半橢球截面圓的面積πb2a2a2?d2，

在圓柱內(nèi)圓環(huán)的面積為πb2?πb2a2d2【解析】本題考查新定義問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，構(gòu)建圓柱，通過(guò)計(jì)算得到高相等時(shí)截面面積相等，考查學(xué)生的空間想象能力與運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．

(Ⅰ)由題意，直接畫(huà)出陰影即可，然后分別求出圖①中圓的面積及圖②中圓環(huán)的面積即可證明；

(Ⅱ)類比(Ⅰ)可知，橢圓的長(zhǎng)半軸為a，短半軸為b，構(gòu)造一個(gè)底面半徑為b，高為a的圓柱，把半橢球與圓柱放在同一個(gè)平面上，在圓柱內(nèi)挖去一個(gè)以圓柱下底面圓心為頂點(diǎn)，圓柱上底面為底面的圓錐，即挖去的圓錐底面半徑為b，高為a，證明截面面積相等，由祖暅原理求出出橢球A的體積，同理求出橢球B的體積，作比得出答案．用數(shù)學(xué)的眼光看世界就能發(fā)現(xiàn)很多數(shù)學(xué)之“美”.現(xiàn)代建筑講究線條感，曲線之美讓人稱奇.衡量曲線彎曲程度的重要指標(biāo)是曲率，曲線的曲率定義如下：若f′x是fx的導(dǎo)函數(shù)，f′′x是f′x的導(dǎo)函數(shù)，則曲線y=fx在點(diǎn)x,f(1)若曲線fx=lnx+x與gx=x在1,1處的曲率分別為(2)求正弦曲線?x=sinx(x∈【答案】解：(1)由題意，得f′(x)=1x+1,f′′(x)=?1x2,g′(x)=12x?12,g′′(x)=?14x?32，

∴K1=f′′(1)1+f′(1)232=?11+2232=1125,

K2=g′′(1)1+g′(1)232=?1【解析】本題考查了導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、指數(shù)冪運(yùn)算、三角函數(shù)的性質(zhì)、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，屬于中檔題．

(1)利用曲率的定義分別求出K1，K2，然后比較即可；

(2)利用曲率的定義求出K，再求出設(shè)P為多面體M的一個(gè)頂點(diǎn)，定義多面體M在點(diǎn)P處的離散曲率為1?12π(∠Q1PQ2+∠Q2PQ3+?+∠Qk?1PQk+∠QkPQ1)，其中Q(1)任取正四面體的一個(gè)頂點(diǎn)，求該點(diǎn)處的離散曲率；(2)如圖1，已知長(zhǎng)方體A??1B??1C??1D??1?ABCD，(3)圖2為對(duì)某個(gè)女孩面部識(shí)別過(guò)程中的三角剖分結(jié)果，所謂三角剖分，就是先在面部取若干采樣點(diǎn)，然后用短小的直線段連接相鄰三個(gè)采樣點(diǎn)形成三角形網(wǎng)格．區(qū)域α和區(qū)域β中點(diǎn)的離散曲率的平均值更大的是哪個(gè)區(qū)域?(只需確定“區(qū)域α”還是“區(qū)域β”)【答案】解：記∠Q1PQ2+∠Q2PQ3+…+∠QnPQ1=θ，則離散曲率為1?θ2π，θ越大離散曲率越?。?/p>

(1)對(duì)于正四面體而言，每個(gè)面都是正三角形，所以∠Q1PQ2=∠Q2PQ3=∠Q3PQ(3)區(qū)域β比區(qū)域α更加平坦，所以θ更大，離散曲率更小，故區(qū)域α和區(qū)域β中點(diǎn)的離散曲率的平均值更大的是區(qū)域α．

【解析】本題考查空間幾何體的性質(zhì)以及新定義，正四面體的幾何特征和曲率的計(jì)算公式，考查分析問(wèn)題的能力以及空間想象能力，綜合性較強(qiáng)，屬于較難題．

(1)利用離散曲率為1?θ2π，以及三角形的內(nèi)角和公式求解；(2)記∠Q1PQ2+∠Q2P近些年來(lái)，三維掃描技術(shù)得到空前