【數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)論文：微分中值定理及其應(yīng)用（論文）】

數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)論文:微分中值定理及其應(yīng)用目錄TOC\o"1-2"\h\u17555第一章羅爾（Rolle）定理的證明及推廣 摘要在數(shù)學(xué)分析中,微分學(xué)具有獨特的地位，而微分學(xué)核心則是微分中值定理。微分中值定理包括羅爾中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理以及泰勒定理。微分中值定理是研究函數(shù)特性的一個有力工具，它是微分學(xué)中最重要的結(jié)論之一，同時，在研究問題時，是重要輔助手段，同時也能起到事半功倍的作用。本文的主要內(nèi)容是微分中值定理及應(yīng)用。文章分成兩大方面，一方面是微分中值定理的證明及推廣；另一方面是微分中值定理的應(yīng)用。本文首先闡述了羅爾中值定理、拉格朗日中值定理以及柯西中值定理定義和證明，然后給出例子加以說明，使得微分中值定理理解更加簡便，最后總結(jié)一些應(yīng)用。關(guān)鍵詞：微分中值定理；證明；應(yīng)用微分中值定理及其應(yīng)用2017級數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院（1）班 涂玉瑞 指導(dǎo)老師：祝浩杰緒論：微分中值定理是微積分的基本定理，許多題目中都能見到它，并且在微積分中起著重要的作用。本文首會先介紹四個微分中值定理的定義，也會利用不同的方法來證明它門的合理性。由于幾個中值定理之間的聯(lián)系十分緊密，微分中值定理在解題中的應(yīng)用也會更加有挑戰(zhàn)性，尤其是構(gòu)造函數(shù)來解決問題，這點比較難，但也十分受用。第一章羅爾（Rolle）定理的證明及推廣fermat引理定義1.1[3]設(shè)是的一個極值點，且在處導(dǎo)數(shù)存在，則證：不妨設(shè)是的極大值點。由極大值的定義，在的某個鄰域O（x0,）上有定義，且滿足Rolle定理[1,2,3,4]1.3Rolle定理的應(yīng)用題型1：驗證定理的正確性。定理結(jié)論中的客觀存在，且可能不唯一，但未給出具體位置。令導(dǎo)數(shù)為零，求解方程的根，可確定其具體位置。題型2：找區(qū)間，相對復(fù)雜。題型3：找函數(shù)，由結(jié)論入手，了解微分方程。例1例2例3例4例5例6例7例8存在性由零點定理即為方程的正實根.唯一性注意：在后面，本題還將用其他方法加以證明。例9第二章拉格朗日中值定理2.1拉格朗日中值定理的定義及其證明[1,2,3,4]推論1[1]如果求分段函數(shù)中的導(dǎo)數(shù)問題，推論1有比較大的作用。該定理的條件為充分條件，需要注意。（2）定理結(jié)論肯定中間值的客觀存在,但未指明確切位置,可通過求解導(dǎo)數(shù)方程確定。(題型1：驗證定理的正確性)（3)題型2：找區(qū)間；（4)題型3：找函數(shù)；（5)題型4：證明等式；（6)題型5：證明不等式。2.2拉格朗日中值定理的應(yīng)用例2例3例4例5例6例7例8第三章柯西中值定理3.1柯西中值定理的定義及其證明[1,3]3.2柯西中值定理的應(yīng)用左邊分母有理化第四章泰勒中值定理定義[1]：階的導(dǎo)數(shù)，則當時有①公式①稱為的n+1階泰勒公式.公式②稱為n+1階泰勒公式的拉格朗日余項.注意到公式①稱為的n+1階泰勒公式.公式②稱為n+1階泰勒公式的拉格朗日余項.注意到③在不需要余項的精確表達式時,泰勒公式可寫為④公式③稱為n+1階泰勒公式的佩亞諾(Peano)余項4.1在近似計算中的應(yīng)用4.2泰勒公式與極限問題的結(jié)合例2例34.3泰勒公式與證明不等式的妙用例54.4多階泰勒公式的算法例6經(jīng)過上述討論我們發(fā)現(xiàn)微分中值定理可用于函數(shù)，極限，近似值等各種類型題目里面。并且在解答不同類型的題目時，如果能對比幾個微分中值定理的條件和結(jié)論，找到相似的地方，同一個題目便可用多個中值定理解答，也就是一題多解。當然也可通過對比解題過程找到最方便的解法，達到真正的靈活應(yīng)用。結(jié)束語本文在此處已經(jīng)結(jié)束，但微分中值定理的討論不會結(jié)束，更多優(yōu)秀的數(shù)學(xué)人才將會投入時間與精力去深入研究它的奧秘。在此文章中，探究討論了各個微分中值定理的證明，與此同時總結(jié)了微分中值定理的一些常見應(yīng)用，通過給出詳細的例子來說明，讀起來相對于理論型文章可讀性更強，知識在于應(yīng)用，我們希望通過進一步的學(xué)習(xí)，能將微分中值定理及其推論與實際生活例子相結(jié)合，加強其在實際生活的應(yīng)用。參考文獻華東師范大學(xué).數(shù)學(xué)分析.4版.北京:高等教育出版社，2010李傅