高數(shù)期末考試卷

it和侄間解析幾何與魚駕

髓豳蟻向量及其線性運(yùn)算

1.設(shè)?=a—h+2c,v=—a+3fc—c.試用a、b、c表示2?-3v.

解2u—3v=2(a—d+2c)—3(~a+36—c)

=5a-llb+7c.

2.如果平面上一個(gè)四邊形的對(duì)角線互相平分，試用向證證明它是平行四邊形.

證如圖8-1,設(shè)四邊形ABCD中AC與BD交

于點(diǎn)M,已知旗=就，而=砒.故

劉=就+砒=優(yōu)+麗=拓.

即箭〃比且|油|=|反因此四邊形ABCD是

平行四邊形.

3.把ZUBC的BC邊五等分,設(shè)分點(diǎn)依次為D,、圖8-1

小、2、。，再把各分點(diǎn)與點(diǎn)A連接.試以油=c、比=。表示向母無5、瓦X、

證如圖8-2,根據(jù)題意知

前^=.卷。,5式=1a，nd=Ha,nH='a,

故3

D|A=—(AB+BDh)=—"ra—c.

u

A-n—(XS+B瑤)=-c.

D3A—(AB+BD3)=--1-o—c.

￡>/=一(葡+3戊)=一卷0—c.

o

4.￡^兩點(diǎn)和.試用坐標(biāo)表示式表示向量RM

及-2Mi攻.

解0,—1—1,0—2,-2).

-2M財(cái)0—2(1,—2,-2)=(-2,4,4).

5.求平行于向量a=(6,7,—6)的單位向量.

解向fita的單位向量為貴,故平行于向量a的單位向量為

土色=士4(67-6)=士舟吉,書)，

其中|al=V6z+72+(-6)2=n..

6.在空間直角坐標(biāo)系中，指出下列各點(diǎn)在哪個(gè)卦限？

A(l,-2,3)tB<2,3,-4)?C(2,-3,-4)iD(-2,-3,D.

解A點(diǎn)在第四卦限,B點(diǎn)在第五卦限,C點(diǎn)在第八卦限,D點(diǎn)在第三卦限.

7.在坐標(biāo)面上和在坐標(biāo)軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)各有什么特征？指出下列各點(diǎn)的位置?

A(3,4,0)IB(0,4,3)IC(3,0,0)JD(0,-1,0).

解在坐標(biāo)面上的點(diǎn)的坐標(biāo),其特征是表示坐標(biāo)的三個(gè)有序數(shù)中至少有

一個(gè)為零.比如立制面上的點(diǎn)的坐標(biāo)為(工。，岫，0),4面上的點(diǎn)的坐標(biāo)為

(410,Zo)(yOz面上的點(diǎn)的坐標(biāo)為(O，M，ZO).

在坐標(biāo)軸上的點(diǎn)的坐標(biāo),其特征是表示坐標(biāo)的三個(gè)有序數(shù)中至少有兩個(gè)為

零，比如Qx軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)為(xo,0,0),(方軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,g，0),6

軸上點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,0,玄).

A點(diǎn)在x(方面上,B點(diǎn)在Q面上,C點(diǎn)在工軸上,D點(diǎn)在y軸上.

8.求點(diǎn)(a,6,c)關(guān)于⑴各坐標(biāo)面;⑵各坐標(biāo)軸;(3)坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)

解(D點(diǎn)(a,6,c)關(guān)于xOy面的對(duì)稱點(diǎn)為(a,6,一。),關(guān)于yOz面的時(shí)稱

點(diǎn)是(一a，瓦c);關(guān)于zOx面的對(duì)稱點(diǎn)為(a,-6,c).

(2)點(diǎn)(a,6,c)關(guān)于工軸的對(duì)稱點(diǎn)是(a,關(guān)于〉軸的對(duì)稱點(diǎn)是

(―a,6,—*c)；關(guān)于z軸的對(duì)稱點(diǎn)是(一a,-6.c).

.(3)點(diǎn)Q,b,c)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)是(一。,一6,一c)..

9.自點(diǎn)P°(4,?,2b)分別作各坐標(biāo)面和各坐標(biāo)軸的垂線，寫出各垂足的坐標(biāo)

解設(shè)空間直角坐標(biāo)系如圖8-3,根據(jù)題意，

PoF為點(diǎn)P。關(guān)于xOz面的垂線,垂足點(diǎn)F坐標(biāo)為/K/

CiZ---------

(H0,O,XO),P°D為點(diǎn)P。關(guān)于xQy面的垂線，垂足

點(diǎn)D坐標(biāo)為(工。,>,0)；PoE為點(diǎn)Po關(guān)于yOz面的

0rA-|---------("㈤

垂線,垂足點(diǎn)E坐標(biāo)為(0,“,zo).

PoA為點(diǎn)P。關(guān)于h軸的垂線,垂足點(diǎn)A的坐

標(biāo)為(4,0,0);2再為點(diǎn)「。關(guān)于》軸的垂線，垂足

點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0,山,0).P°C為點(diǎn)Po關(guān)于z軸的垂

LD

線,垂足點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,0,z°).

10.過點(diǎn)Po(xo,n)分別作平行于z軸的直圖8-3

.數(shù)學(xué)（下）期中孝.

試題

一、填空、選擇題

1.如果函數(shù)/（工~）滿足如下條件中的，則該函數(shù)在點(diǎn)（4,W）處

連續(xù).

（A）lim/Cx.>o）■/（工o，s）且lim/（工o.y）■/（々，“）?

a。LX）

（B）/Cra）在（工。,山）處沿/方向有學(xué).

<74

（C）/（工,3）有偏導(dǎo)數(shù)人Go,”）,/,Go,及）.

（D）/（工,山在（工。.”）處可微分.

2.設(shè)函數(shù)/Gr,y,z）可微分且6（0,0,0）=1,人（0,0,0）=2,/；（0,0,0）=3.

如果u=/（H,sinH,tan工）,則學(xué)=.

azr-0

3.如果函數(shù)/（x,y）=x*在點(diǎn)（1,1）處沿某方向I取得最大增長率.

則/=.

4,設(shè)曲面2由曲線二，=1'繞工軸旋轉(zhuǎn)而成，則W在點(diǎn)（1,1,1）處

lz=0

的單位法向量為.

（x1+d+z2=3,

5.曲線，一，在點(diǎn)（1.1,一1）處的切線的對(duì)稱式方程是

1x4-y+z=1

6.設(shè)/Gr,y）為連續(xù)函數(shù)，若交換積分次序，則「時(shí)工/（3）力=

二、設(shè)/（工一小卜工）=（1一步）器，寫出/（工~）的表達(dá)式并求ff與

U

三、設(shè)二元函數(shù)/有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù),又函數(shù)Z=z（x,>）由方程"+必+

/=/（N”Z）確定，求全微分dz.

.四、設(shè)廠+、="+"求北與3I

（xsinv=ysin”,d工d工

五、在八分之一球面"+y+公=5/（工20,丁20田20）上求一點(diǎn),使得函

數(shù)f（H,y,z）=Hyz3達(dá)到最大，并寫出該最大值.

六、設(shè)/（=~）=『'+"'"或」"'計(jì)算二重積分[=]]'f（.x,y）da,

I其他，山。

其中D,x*+y<1.

七、設(shè)。是球體工2+?+/&。2與球體&2az的交集，它的

密度為“Cr,y,z）=z（單位省略）.求。的質(zhì)量M.

八、設(shè)曲線r的方程為工=l,y=—tl,z=t3.

（1）寫出r的所有與平面3y+2z=6平行的切線方程；

（2）這些切線之間的距離是多少？

參考答案

一、1.由于可微必連續(xù).故選（D）.

2.五=C/,（x.sinx?tanx）+cosx/,（x.sinx.tanx）+sec2^

/,（x.sinx.tanx）=6.

.3.I-grad/（1,1）=-（1,0）.

4.曲面W的方程為3X2-y-z*=1,因此所求法向母為士（6工，一2y,

=±（6,-2,-2）,其單位法向也為士（7存，一一%■）.

5.對(duì)廣：+1+/13,兩端求微分，并代入點(diǎn)的坐標(biāo)，得

lx+y+z=1

/dr+dy-dz=0,

1dr4-d>+dz=0?

故-1：0,因此切線的方向向城為（1,一1,0）,所求切線的對(duì)稱式

方程為

一一1=――1=z+1

1T-0,

&Jr?戶Lr7，2_7J（a）dy=ro人ri+內(nèi)y^FT八川出+小ri山rz八川也

二、記z一，二"」!!”33!/,則x=e”,y=ev—u，代入右端，得

/(u.v)=

即

=三L,

y

”-1+工廠,.3￡=一工(】+2y)「2v.

dxyy1

三、對(duì)/+/+/=/(個(gè),外兩端求微分，得

2xdr+2ydy+2zdz=f\(>dLr+xd>)+￡dz,

即得

dz=("；—2工)欺十*二力必(2z-K#0).

〃一

四、方程兩端對(duì)H求偏導(dǎo)，得

j1H%+%,

Isinv+x(cosv)v,=y(cosu'iu,*

解得

du=NCOS，+sinpdv=jycos〃一sinp

a工jrcosv+jcosu*5xxcosv+ycosu

五、設(shè)FG,y,z)=個(gè)/+人(^+；/+/—5/),令

B=yzy+2Ar=0,

Fy=3+為=(),

2

Ft=3xyz+2Az=0.

x2+y+zz

解得工=y=r,z=￡r.即在(r,r,&r)點(diǎn)處，函數(shù)達(dá)到最大，其最大值為

maxf—/(r?r?/3r)=3久1.

六、兩直線1田=1lI將D劃分為有y軸穿過的上下四分之一圓盤記為D1

與A,有工軸穿過的左右四分之一圓盤記為Di與D「則

I=jj(x:+y2)cb+j|xydtj.

由對(duì)稱性，jj歹匕=0,故

1=0叱+/)上=2。(/+?)電=可：3clp=￡.

瑞0其才0

七、。在xOy面上的投影區(qū)域?yàn)椤＃?十y&今。2.因此

M=[zdV

"'2'jJ'C2a-/a1—x*—y2-a*Jdxd>

=城才「

八、(l)r=(l,-2z,3f),n=(0,3,2).

令T?”=0,得A=0,"=1,即

tl=(1,0,0),n—(1,—2,3).

所求切線方程為

f==i與十=中=三.

(2)取M(0,0,0),“==(1,-1,1).所求距離為

,I("Xn)?MMI1

InXr21713

試題

一、填空、選擇題

1.函數(shù)z=ln(l+￡+y)在點(diǎn)(L2)處的全微分是.

2.曲面斗乂一，=】在點(diǎn)M(l,1,0)處的切平面方程是______

4

3.設(shè)=戶+H出了，則grad.

4.設(shè)義工,“在有界閉區(qū)域D上連續(xù)，則由積分中值定理，在D上至少存

在一點(diǎn)(&")?使?

5.將二次積分/=[(^]二牙人孫力業(yè)交換積分次序，得1=.

6.設(shè)D={<x?y)I+y&R2),則(傳+學(xué))dxdy

7.二元函數(shù)/(x,y)=卜)尸(7)半(0,0)，在點(diǎn)(0,0)處().

(A)連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)存在.(B)連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)不存在.

(C)不連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)存在.(D)不連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)不存在.

8.根據(jù)判定極值的充分條件，函數(shù)/(x,>)=2^~xy+3,+5在點(diǎn)(0,0)

處().

(A)取得極大值.(B)取得極小值.

(C)不取得極值.(D)不能判定是否取得極值.

9.設(shè)義工)為連續(xù)函數(shù)，F(xiàn)(t)=j^dyj7(x)dx，則F(2)=.

(A)/(2).(B)2/(2).(C)~/(2).(D)0.

二、設(shè)z=￡/6d)J具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求,和彥.

三、設(shè)有螺旋線X=2cost^y=2sint.z="r.

(1)求出螺旋線上點(diǎn)處的指向朝下的單位切向量e“

(2)求出螺旋線上點(diǎn)M處的切線方程；

(3)求函數(shù)u=H+2y+3z在點(diǎn)M處沿方向%的方向?qū)е?

四、設(shè)閉曲面W的方程為FCr，wz)=0,其中F(H,Y,Z)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)且

三個(gè)偏導(dǎo)數(shù)不同時(shí)為零?點(diǎn)PCr),y1兩)為E外一點(diǎn).若點(diǎn)Q(x：，辨,&)為Z上離開

點(diǎn)P最近的一點(diǎn)，試用拉格朗日乘子法證明:直線PQ為曲面W在點(diǎn)Q處的法線.

五、計(jì)算二重積分5(工?^+/)"力，其中D為由直線、=工3=一］和

工=1所圍成的閉區(qū)域.

六、計(jì)算三重積分jjG'+yDdu,其中。為由錐面z=/?書。z=

a

和平面Z=1所圍成的閉區(qū)域.

七、求過點(diǎn)M(-l,0,4)且平行于平面3x-4y+x-10=0,又與直線

甲=中=仔相交的直線的方程.

11U

參考答案

一、】?dz/=[i+*j改+1+3行甸仁=§dx+]dy.

2.法向量為(x,y,-2z)|(,,,,,>=(】，1,0),因此所求切平面方程為

x+y-2=0.

3.gradf(l,2)=(/x(l,2),/,(l,2))=(2e?+ln2,e?+.

4.[[/(工,1y)匕=/(&V)。，其中°為區(qū)域D的面積?

D

fo「小rir41J

5.Z=Jdzj/(N.y)dy+'甸。/(N,y)dy.

6.因?yàn)?，r?dxdy，所以

J傳+號(hào))業(yè)dy=裁3+')drd?=品司)*=攝制.

7-因?yàn)?,媽◎曲=母屈以瓢J7)不存在?又

人(0,0)=limf(V—=0.

Az

人(0,0)=lim他嗎-1A9M=0,

Ar*oAy

故選(C).

8.因?yàn)?/p>

/.(O.O)=/,(0,0)=0,/x,(0,0)=4,71y(0,0)=-l,f*(0,0)=6,

/?(0,0)/w(0,0)-A<°-°)=25>O,

故選(B).

9.當(dāng)C>1時(shí),

F(t)=j]dyj/(x)dx=[dijJ(N)dy=l)/(j)dr,

因此F72)=(x-l)/(t)|.=l=f(2).故選(A).

二、會(huì)=13卬；+5/力.

需=d(H/TI+5小)+爐(工/+5片)=Vi+2X3/7J+X/II.

三、(1)曲線在其上任意點(diǎn)處的切向量為傍，*,$)=(-2sin2,2cose,

A),因此曲線在M點(diǎn)指向朝下的切向量為

r=—(-2sinl.2cos八!)|彳=(女，—笈，—,

其單位向量為卻=—/:,—々，一冬),

277+4工

(2)摞旋線上點(diǎn)M處的切線方程為

工一耳一歲一R—-1

J2-72-A'

K

(3)VU|M=(1.2,3),

部一夕指處+爭.

四、任意一點(diǎn)(工，山之)到P的距離平方為Ge-?)?++

(Z-。)?，因此幺上離開點(diǎn)P最近的一點(diǎn)，相當(dāng)于(工一?)2+(y-v>+

(Z-ZI)*在條件F(x,y,?)=0下的條件極小值,為此令

—2

L=(x—X\):+(>-1y|)’+(x2i)+AF(x?y?x)?

該函數(shù)的駐點(diǎn)滿足

2g―可)+次=o,

2(y—yi)+AF\=0，

2(z—ZJ)+AF?=0,

=0.

由條件知QGC2?J2，&)必是該方程組的解，代人工=4,y=x,%=及后消去心得

工2-工|=-2-M=七-N]

(工

Fj(x：?j29z2)F,(x：fyttzz)Ft2，％)'

即

芭//0=(E，F(xiàn),,F.)|Q

因此，直線PQ是曲面的法線.

五、由于函數(shù)/V是y的奇函數(shù)，積分區(qū)域關(guān)于工軸對(duì)稱，因此

卜少山=0,

故

jj(x2>3+』)dzdj=Jdzj/dy=dr=e—1.

Dr

六、/==J°dNjj(x2+y2)dzdy

==竽心4dz-1?.

七、解法一過點(diǎn)M且平行已知平面的平面方程為

3(x+l)-4y+z-4=0,

取巳知直線上一點(diǎn)N(—1,3,0),則_

A4r?=(0,3,-4).“2=Xs=(10?—4?—3)>

因此，過M與已知直線的平面方程為

10(j+1)—4j—3(z—4)=0.

故，所求直線的方程為

J3x—4y+z-1=0,

\10x—4y—3z+22=0.

解法二取已知直線上一點(diǎn)Na-l4+3,2/),則

麗=(Gt+3,2r-4),

令而？=(3,—4,1),得/=16,故

s=淑=(16,19,28),'

所求直線為

工+】=JL=￡ZZJ

161928,

遢:高等數(shù)學(xué)(下)期末考試速頤

試題

一、填空、選擇題

(工,1>)#(0,0),

1.函數(shù)/(工,仞在點(diǎn)(0,0)處.

(x?y)=(0,0)

(A)有二重極限但不連續(xù).(B)不連續(xù)但可偏導(dǎo).

(C)連續(xù)但不可偏導(dǎo).(D)連續(xù)且可偏導(dǎo).

2.三元函數(shù)u=sin(xy)+cos(>z)在點(diǎn)(1,彳，】)處的全微分du

3.曲線2,二在點(diǎn)(1,1,3)處的一個(gè)單位切向垃為.

lx+2>+z=6--------

4.設(shè)平面區(qū)域D，§41(。>0,6>0),典『Cr+yAdtr=.

0

5.設(shè)曲線L是三角形ABC區(qū)域的正向邊界，其中A、B、C的坐標(biāo)分別為

(―l,O)、(leO)、(O,D.JBiJ的ycos2xdx+(sin工cosx-x)d>=.

(一1廣

6.設(shè)a.(n=1,2,…)，則以下級(jí)數(shù)中收斂的懸

QO

(A)2(—1尸斯?(B)英.

”1m-I

(D)玄—a.).

(C)1rM.

■-1I

二、1.設(shè)函數(shù)z=zCr,y)由方程/(工+),封)=0確定，且H=l,y=0對(duì)應(yīng)于

之=1，其中〃“，切具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且人(LD=人(LDK0,求gra&(l,0).

2.設(shè)一個(gè)直橢圓錐體的錐面方程為(zTV=1+￡(0?l,a>0,

6X?，若將該直橢圓錐體切削成長方體(長方體的長、寬、高平行于坐標(biāo)軸，如圖

1所示)，試用拉格朗日乘數(shù)法求所能獲得的長方體的最大體積.

三'1.圖2所示的是某一建筑物的屋頂，它由曲面￡與￡拼接而成.各

是半徑為1的半球面,￡是半徑為2的半球面的一部分,試問該屋頂?shù)拿娣e是

多少？

2.設(shè)立體C由旋轉(zhuǎn)拋物面=/+y與W在點(diǎn)(。,兒<?+從)(°>0,

b>0)處的切平面以及闞柱面(x-a)t4-(jr-6)I=rI(r>0)所圍成，證明。的

體積V僅與圓柱面的半徑r相關(guān),而與點(diǎn)(a,6)的位置無關(guān).

四、1.求線密度為常數(shù)〃的擺線二：'a￡[0,2<l，a>0)關(guān)

于x軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量(單位從略).

2.設(shè)定向曲面W為錐面z="+3(0&z&2)的下側(cè)，求積分

I='(1—y)dydz+(y-z)dzdz+(之一z)dxd?

五、1.判別以下命題的真假M(fèi)在真命題后的括瓠內(nèi)饃入否則填入

“X”)

(1)如果Wd收斂，那么部分和S.有界.[]

■-1

⑵如果lima.=0,則收斂.C]

⑶設(shè)〃H)=1-COSH,那么￡(一1尸/(5)絕對(duì)收斂.[]

(4)設(shè)4>0,如果￡>“收斂，那么[]

仁一a.，

(5)如果的收斂區(qū)間是(一R,R),那么是某自然數(shù))的

?三。??0

收斂區(qū)間是(一派，派).[1

(6)如果￡>口”的收斂半徑是R,那么的收斂半徑也

N*>022

是R?EJ

A1,0V名

2.把[0,4上的函數(shù)/(x)=<(常數(shù)鬲，扁非零且鬲#&)

*廄得《工&靠

展開成余弦級(jí)數(shù),并指出展開式成立的范圍.

六、在平面z+y+z=l上求一直線，使它與直線氏j=：=守垂

直相交.

參考答案

一、1.因?yàn)閘im人工,y)=即lim人工,山不存在，人(0,0)=

G.y)-*(O.O)1+￥《”?山70??！?/p>

人(0,0)=0,故選(B).

2.du=cosCxy)(xd>+jrdr)-sin(<yc)(tydz+?d>)|(14.1)

=喑dx—挈dz.

3.對(duì)+2寸,點(diǎn)的坐標(biāo)得

lz+2y+z=6

idz=2dz+4d>?

fdr+2dy+dz=0,

解得dz=0,dz=-2dy,由此得到一個(gè)切向量為

(-2,1,0),

因此所求單位切向量為土2,1,0).

v5

4.由于被積函數(shù)展開后的每一項(xiàng)或者是N的奇函數(shù)或者是y的奇函數(shù)，而

積分區(qū)域關(guān)于工軸和y軸都對(duì)稱，因叫a+=0.

5.由格林公式，得，23cos21dr+(sinzcosz—z)dy=。-2d(y=-2.

Lo

6.因?yàn)榻诲e(cuò)級(jí)數(shù)用均收斂，而兩個(gè)收斂級(jí)數(shù)的和仍收斂，因此

2(。川+外)收斂，故選(口).

R=1

二、1.d/(x+y,xt)|(1.0,?=A(l.l)(dx+d>)+A(l,l)(dz+dz),

方程/(工+“a)=0兩端微分，并把點(diǎn)的坐標(biāo)代入，得

dx=-2dx-dy,

即z/1,0)=-2,馬(1,0)=-1,因此gradz(l,0)=(-2,-1).

2.設(shè)長方體在第1卦限內(nèi)的頂點(diǎn)為G,?z),則體積為

V=4J>.

令

L=ayx4-A[<?-D1一營-1]'

求偏導(dǎo)，得

Lt=xy+24(z—1)=0,

由此得到W=方=-Z(N—D,結(jié)合條件(N—1產(chǎn)一三一舌.。解得駐點(diǎn)go,

abarb3

爭擊.所能獲得的長方體的最大體積為4.冬.爭?/=若必

三、1.2所在半球面含在名所在球面中部分面積為

+z：+Idrdy=r-=====.dxdy

乩HU4T-y

=〕同：言電=4*2-歙

因此，屋頂?shù)拿娣e=1(4丁2?)-4n(2—6')+}?8=21r(1+2&

2.工在點(diǎn)(。力,/+〃)(t1：>0,6>0)處的法向量為。=(勿,26,-1),故切

平面方程為

2ax+2by—z一精一y=0,即之=2az+2hy—a2一凡

。的體積

V=jj(x2+式-2ar-2力r+儲(chǔ)+〃)dzdy

=J*[(工-a)"+(y—6)2]dxdy

=JM",曲

一sd

一2'

可見V與，有關(guān),而與點(diǎn)Q,6)的位置無關(guān).

四、1.I*=Jjr2ds=L02(1+8SX)2/a:(l+cosO2+a2sin2tdt

=J8a3cos4-1-1cos|dtZJ16a3cos4u|cosu|du

=32a3cos5udu=.

2I=『[-z]Cr-y)-z)+(N-z)]dzdy

y)<y-y？1V)

=’卜--^T7+

(，?+——工)]drdy

=/卜^?一^4?+5/?^]業(yè)力=°-

%

五、1.(1)因?yàn)閭€(gè)a.收斂,即數(shù)列s.收斂，由此S.有界，故選J.

■,】

(2)lima.=0是級(jí)數(shù)收斂的必要條件而非充分條件,例如發(fā)散級(jí)數(shù)￡;-

ir-aoIn

有l(wèi)im%=0,故選X.

⑶因?yàn)?一】)"/(,)=1-8S}?金補(bǔ)〃—*8),故選，

(4)Um==pVl是正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的充分條件而非必要條件.例如

"■*°041??1

收斂級(jí)數(shù)*4滿足lim3=l,故選X.

仁〃一4

(5)令y=x3,則Wajf=對(duì)于級(jí)數(shù)由條件得，

??o??。??。

|y|VR時(shí)絕對(duì)收斂，I『|>R時(shí)發(fā)敢，即得級(jí)數(shù)于在I3V源時(shí)絕對(duì)

收斂，1工|〉源時(shí)發(fā)散，故選J.

(6)￡>5-Dyi=(￡>/?)"，由扉級(jí)數(shù)逐項(xiàng)求導(dǎo)后收斂半徑不變,

w-211-2

故選，

2./G)偶延拓和周期延拓后，只在工="料"(*=0,±1,±2,±3,-)

處間斷，而4=qJo/Gr)dz=《J1瓦山J2dx=卜1+k2,

aw=-|/(x)cosnrdx=-|k\cosnrdz+~|Wcosnrdz

nJoTTJ07TJf

2al—k).n

=------------2--sin

nn2

因此

八工)=里+￡”卷圣井3(2n—1)工(工6[o.f)U(f.n]).

六、已知直線的參數(shù)方程為

J=14-Gy=tfZ2—1?

代人平面求得r=2,已知直線與平面的交點(diǎn)為(3,2,-4).所求直線的方向向

量為

(1,1,1)X(1,1,-1)=-2(1,-1,0),

因此所求直線為

工-3=y一2_z+4

1-10,

等數(shù)學(xué)(下)期末考

瞟1曲電］.T穹

試題

一、簡答題(要求:簡潔、明確)

1.寫出耳工,W二,卬—的定義域，并求lim/(x,>).

^xy+1-1-s

2.設(shè)z=z(.x,y)由方程工+y—n=e*所確定，求島去.

3.函數(shù)z=/+;/—Q在點(diǎn)(一1,1)處沿什么方向的方向?qū)?shù)最大?最大

方向?qū)?shù)的值為多少？

4?求￡域”^

5,求］［c^+V+x^dS,其中W為10柱面/+，=2被平面2=0和N=

4所割下的嬴分.

二、記曲面z="+式在點(diǎn)(-1,0,1)處的切平面為〃，立體A由曲面

z=-(1+/+/)及平面〃所圍成，求Q的體積.

三、計(jì)算曲面積分U(x34-y?)dydzH-(y34-z2)dedx+(a?+x2)dxdy,其中

X

￡為上半球面z=/1一爐一3?的上側(cè).

四、設(shè)質(zhì)點(diǎn)在平面力場尸==)/+/田的作用下從原點(diǎn)O沿光滑曲線L移

動(dòng)到橢圓《+/=1上位于第一象限內(nèi)的點(diǎn)MGr。,％)處.

(1)試將F所作的功W表達(dá)為曲線積分,并證明W與路徑無關(guān)I

(2)當(dāng)人,”分別取何值時(shí),F所作的功最大？求出此最大值(單位從略).

五、把函數(shù)/(x)=巧士(04工43展開成余弦級(jí)數(shù).

六'設(shè)a。==J屋詈荒三，力(n=1,2,3,-),

..............................................................

其中D=（（z,y）|041y工工,0工工41）.

（1）求出

（2）求出裔級(jí)數(shù)?的收斂域及和函數(shù).

10

七、1.求橢球面7+2：/+3/=21上的點(diǎn)M,使該點(diǎn)處的切平面〃過已

知直線上寧=中二弓.

41-L

2.設(shè)數(shù)列Un滿足limnu.=1.

H*00

（1）證明：級(jí)數(shù)?（一1尸”“.+%。收斂并求出其和.

（2）判定級(jí)數(shù)S（-1）5a+~i）是條件收斂還是絕對(duì)收斂（須說明理由）.

參考答案

一、1.f(x9y)的定義域?yàn)椋?x?>)|jcy，一l9jcy工0),

limy(xf>)=lim"+/=2.

Cr?y)-*(0?0)G?y)T。.。)1

2,方程兩端分別對(duì)H,y求偏導(dǎo)，得

l

1-=eZx?l—xy=e,z,,

即

O=z>=*'

因此

表3a(11=1.；e?

一石11+e，尸一(l+e*)2.eZ,一-(1+e91-

3.gradz|(_i,D=(2x—y,2y—x)|(_i,n=(—3,3).因此,函數(shù)沿(一1,1)

方向的方向?qū)?shù)最大，最大方向?qū)?shù)等于3々.

4?CM：蟹曲=「回：雪曲=fcosxdx=1.

5.由于工關(guān)于平面H=0對(duì)稱，有4zdS=0,故

Jd+y+x?)dS=U(/+y)dS=『2ds=2S

XZ1

=2?4?2i/2n=16V2x.

二、法向量

<|pb......................................................................

n=(u—1)I(-1,0)=(2工,2力—1)|(_IM=(-2,0.—1)?

切平面JI的方程為

2x+z+1=0.

0的體積

V=JJC-(l+x2+>2)+2x+l］dzd>

=21此j(2/ocos8—ff)pdp

-|J*cosW=f.

2=0(^+^<1)下側(cè)，則

Jcr3+y)dydz+(爐+/)ckdjr+(zJ4-x2)drd>

i

=0(x3+y)(1?€1之+(/+z2)clxdr+(d+z*)dzdy

g

+y)dydz+(y+z2)dxdr+(z34-x2)drdjr

=JKOx2+3y+Sz2)dV-jy^clrd^

=J由13'?/sinRr+Jcwj/cos汨?pAp

=65+A=??

5420nm

四、卬二,2乙+^^“由于0=3=「,,因此卬與路徑無關(guān).

,W=］：:才"+T"&，］：：>=