數(shù)學(xué)-專題26 相似三角形中由動點引起的分類討論問題（原版）

專題26相似三角形中由動點引起的分類討論問題【題型演練】一、單選題1．如圖，在中，，于點D，下列結(jié)論錯誤的有（

）個①圖中只有兩對相似三角形；②；③若，AD＝8，則CD＝4．A．1個 B．2個 C．3個 D．0個2．在中，，，點為線段上一點，以為一邊構(gòu)造，，，下列說法正確的個數(shù)是（

）①圖中和相等的角有2個（不含）；②若不添加線段，圖中共有5對相似三角形；③；④．A．1 B．2 C．3 D．43．如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝7，AD＝3，BC＝4．點P為AB邊上一動點，若△PAD與△PBC是相似三角形，則滿足條件的點P的個數(shù)是（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個4．如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=8，AD=3，BC=4，點P為AB邊上一動點，若△PAD與△PBC是相似三角形，則滿足條件的點P的個數(shù)是（

）

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個5．如圖，在矩形ABCD中，點E為AD上一點，且AB＝8，AE＝3，BC＝4，點P為AB邊上一動點，連接PC、PE，若PAE與PBC是相似三角形，則滿足條件的點P的數(shù)量為（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個6．如圖，在矩形中，點為上一點，且，點為上一動點，連接，若與是相似三角形，則滿足條件的點的個數(shù)有（）A．2 B．3 C．4 D．57．如圖，在矩形ABCD中，點E為AD上一點，且AB＝8，AE＝3，BC＝4，點P為AB邊上一動點，連接PC、PE，若△PAE與△PBC是相似三角形，則滿足條件的點P的個數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空題8．如圖，在矩形ABCD中，點E為AD上一點，且AB=8，AE=3，BC=4，點P為AB上一動點，連接

PC、PE，若△PAE與△PBC是相似三角形，則滿足條件的點P的個數(shù)有____個．9．如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝2，BC＝6，AB＝7，點P是線段BA上的一個動點，連接PC、PD．若△PAD與△PBC是相似三角形，則滿足條件的點P有______個．10．如圖，在矩形ABCD中，點E為AD上一點，且AB=8，AE=3，BC=4，點P為AB上一動點，連接PC、PE，若△PAE與△PBC是相似三角形，則滿足條件的點P的個數(shù)有________個．11．如圖，△ABC的兩條高AD、BE交于點H，則圖中的相似三角形共有___對．三、解答題12．如圖，正方形ABCD，點P為射線DC上的一個動點，點Q為AB的中點，連接PQ，DQ，過點P作PE⊥DQ于點E．（1）請找出圖中一對相似三角形，并證明；（2）若AB＝4，以點P，E，Q為頂點的三角形與△ADQ相似，試求出DP的長．

13．由教科書知道，相似三角形的定義：如果兩個三角形各角分別相等，且各邊對應(yīng)成比例，那么這兩個三角形相似；由教科書中實踐操作可得基本事實：兩條直線被一組平行線所截，所得的對應(yīng)線段成比例．(1)請依據(jù)上面定義和事實，完成下列問題：①已知，如圖甲，中，點、分別在、上，且．問：與相似嗎？試證明．②你得到的結(jié)論是：平行于三角形一邊的直線與其他兩邊相交，所截得的三角形與原三角形________．(2)依據(jù)（1）中②的結(jié)論完成下列問題：已知，如圖乙，在和中，，．①問：與相似嗎？試證明．②你得到的結(jié)論是：________________的兩個三角形相似．14．如圖，E是平行四邊形ABCD的邊DA延長線上一點，連結(jié)EC交AD于P．(1)寫出圖中的三對相似三角形（不添加輔助線）；(2)請在你所寫的相似三角形中選一對，說明相似的理由．15．某數(shù)學(xué)興趣小組在學(xué)習(xí)了尺規(guī)作圖、等腰三角形和相似三角形的有關(guān)知識后，在等腰△ABC中，其中AB=AC，如圖Ⅰ，進行了如下操作．

第一步，以點A為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交BA的延長線和AC于點E、F，如圖Ⅱ；第二步，分別以點E，F(xiàn)為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧相交于點D，作射線AD；第三步，以D為圓心，DA的長為半徑畫弧，交射線AE于點G；(1)填空：寫出∠CAD與∠GAD的大小關(guān)系為；AD與BC的位置關(guān)系為；(2)當(dāng)AB=AC=6，BC=2時，連接DG，求出的值；(3)如圖Ⅲ，根據(jù)以上條件，點P為AB的中點，點M為射線AD上的一個動點，連接PM，PC當(dāng)∠CPM=∠B時，求AM的長．16．如圖，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，點D是邊BC上（不與B，C重合）一動點，∠ADE＝∠B＝a，DE交AC于點E，（1）不添加其它字母，寫出圖中所有的相似三角形，并選擇一對進行證明；（2）設(shè)BD＝x，CE＝y(tǒng)，求出y與x的函數(shù)關(guān)系式，并利用關(guān)系式求出線段AE長度的取值范圍；（3）當(dāng)△DCE為直角三角形時，BD的長為．17．如圖，AB⊥BD，CD⊥BD，AB＝3，CD＝8，BD＝10，一動點P從點B向右D運動，問當(dāng)點P離點B多遠(yuǎn)時，△PAB與△PCD是相似三角形？

18．如圖①，在△ABC中，AC＝BC，點D是線段AB上一動點，∠EDF繞點D旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中始終保持∠A＝∠EDF，射線DE與邊AC交于點M，射線DE與邊BC交于點N，連接MN．（1）找出圖中的一對相似三角形，并證明你的結(jié)論；（2）如圖②，在上述條件下，當(dāng)點D運動到AB的中點時，求證：在∠EDF繞點D旋轉(zhuǎn)過程中，點D到線段MN的距離為定值．19．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4cm，點D為AC邊上一點，且AD=3cm，動點E從點A出發(fā)沿線段AB向終點B運動．作∠DEF=45°，與邊BC相交于點F．1）找出圖中的一對相似三角形，并說明理由；（2）當(dāng)△BEF為等腰三角形時，求AE的長；（3）求動點E從點A出發(fā)沿線段AB向終點B運動的過程中點F的運動路線長．20．問題背景：一次數(shù)學(xué)綜合實踐活動課上，小慧發(fā)現(xiàn)并證明了關(guān)于三角形角平分線的一個結(jié)論．如圖1，已知AD是△ABC的角平分線，可證＝．小慧的證明思路是：如圖2，過點C作CE∥AB，交AD

的延長線于點E，構(gòu)造相似三角形來證明＝．(1)嘗試證明：請參照小慧提供的思路，利用圖2證明＝；(2)應(yīng)用拓展：如圖3，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是邊BC上一點．連接AD，將△ACD沿AD所在直線折疊，點C恰好落在邊AB上的E點處．①若AC＝1，AB＝2，求DE的長；②若BC＝m，∠AED＝，求DE的長（用含m，的式子表示）．21．習(xí)過相似三角形后，劉老師布置了一道思考題．問題情境：如圖1，等腰三角形ABC中，，CD為AB邊上的中線，M為CD上一個動點，于點E，連接CE，若點N為AC上一個動點，連接EN，當(dāng)，時，求EN的最小值．小明在分析這道題時，發(fā)現(xiàn)思路不明顯，他采用從特殊到一般的方法進行探究，以下是他的探究過程，請仔細(xì)閱讀，并完成下列任務(wù)．原題中動點較多，小明準(zhǔn)備先從動點的條件入手分析：分析一：如圖2，等腰三角形ABC中，，CD為AB邊上的中線，若，點M為CD的中點，于點E，連接CE，

點N為AC上一個動點，連接EN，探究EN是否存在最小值；過程：連接AE，∵CD垂直平分AB，，M是CD的中點，∴，，∴是等腰直角三角形，∵，∴，∴，∵，∴≌，∴，∴，∴，∴，∴是等腰直角三角形，∴當(dāng)時有最小值；分析二：如圖3，等腰三角形ABC中，，CD為AB邊上的中線，若，且M，N分別為CD、CA的中點，于點E，連接CE，EN，求證：．任務(wù)：(1)小明在分析一中判斷EN的最小值時運用了______原理；（填序號）①兩點之間線段最短；②垂線段最短；③平行線間的距離；④點到圓的距離．(2)請完成分析二的證明；(3)請直接寫出問題情境中EN的最小值．22．如圖，在邊長為6的等邊中，D是邊上一點，，E是邊上一動點，交邊于F．（1）找出圖中一對相似三角形，并說明理由；（2）在點E從B點運動到C點的過程中：①求長的最小值；②線段的中點所經(jīng)過的路徑長為________；線段的中點到的最大距離為________．

23．定義：先將△ABC以點A為位似中心放大或縮小，接著將所得三角形以點A為旋轉(zhuǎn)中心，逆時針旋轉(zhuǎn)一個角度α后，得到△ADE，則我們稱△ABC與△ADE互為“旋轉(zhuǎn)相似三角形”．理解：（1）如圖1，△ABC與△ADE互為“旋轉(zhuǎn)相似三角形”．若α＝20°，∠D＝100°，∠C＝30°，則∠BAE的度數(shù)為；（2）如圖2，在等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC＝120°，AD是高，點E為DC上一動點，以線段AE為斜邊在右側(cè)作Rt△AEF，使∠AFE＝90°，∠AEF＝30°，連接DF，求證：△ABE與△ADF互為“旋轉(zhuǎn)相似三角形”；運用：（3）如圖3，△ABC與△ADE互為“旋轉(zhuǎn)相似三角形”，連接BD、CE，若∠ABC+∠ADC=90°，AB＝2AC，DE=3，CD=4，求BD的長24．“如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點D．”這里，根據(jù)已學(xué)的相似三角形的知識，易證：＝．在圖1這個基本圖形的基礎(chǔ)上，繼續(xù)添加條件“如圖2，點E是直線AC上一動點，連接DE，過點D作FD⊥ED，交直線BC于點F，設(shè)＝．”（1）探究發(fā)現(xiàn)：如圖②，若m＝n，點E在線段AC上，則＝；（2）數(shù)學(xué)思考：①如圖3，若點E在線段AC上，則＝（用含m，n的代數(shù)式表示）；②當(dāng)點E在直線AC上運動時，①中的結(jié)論是否仍然成立？請僅就圖4的情形給出證明；（3）拓展應(yīng)用：若AC＝，BC＝2，DF＝4，請直接寫出CE的長．

25．如圖，已知△ABC是邊長為12的正三角形，AD是邊BC上的高線，CF是外角ACE的平分線，點P是邊BC上的一個動點（與點B，C不重合），∠APQ＝60°，射線PQ分別與邊AC，射線CF交于點N，Q．（1）求證：△ABP∽△PCN；（2）不管點P運動到何處，在不添輔助線的情況下，除第（1）小題中的一對相似三角形外，請寫出圖中其它的所有相似三角形；（3）當(dāng)點P從BD的中點運動到DC的中點時，點N都隨著點P的運動而運動．在此過程中，試探究：能否求出點N運動的路徑長？若能，請求出這個長度；若不能，請說明理由．26．如圖，在中，，，．在