河南省許平洛濟四市2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期第二次質(zhì)量檢測試題數(shù)學(xué)

許濟洛平2023—2024學(xué)年高三第二次質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)注意事項：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號等填寫在答題卡和試卷指定位置上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的.1.若復(fù)數(shù)z滿足，則z的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.已知集合則=（）A B. C. D.3.為更好地滿足民眾個性化、多元化、便利化的消費需求，豐富購物體驗和休閑業(yè)態(tài)，某市積極打造夜間經(jīng)濟.為不斷創(chuàng)優(yōu)夜間經(jīng)濟發(fā)展環(huán)境、推動消費升級，有關(guān)部門對某熱門夜市開展“服務(wù)滿意度調(diào)查”，隨機選取了100名顧客進行問卷調(diào)查，對夜市服務(wù)進行評分(滿分100分)，根據(jù)評分情況繪制了如圖所示的頻率分布直方圖，估計這組數(shù)據(jù)的第55百分位數(shù)為（）A.65 B.72 C.72.5 D.754.已知圓O:與x軸交于A，B兩點，點M是直線上任意一點.設(shè)，則p是q的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件5.已知則（）A. B. C. D.6.斜率為1的直線l過拋物線的焦點F，且與C相交于A，B兩點，O為坐標原點，若的面積是，則（）A.4 B.8 C.12 D.167.設(shè)，，其中e為自然對數(shù)的底數(shù)，則（）A. B. C. D.8.小明參加答題闖關(guān)游戲，答題時小明可以從A，B，C三塊題板中任選一個進行答題，答對則闖關(guān)成功.已知他選中A，B，C三塊題板的概率分別為0.2，0.3，0.5，且他答對A，B，C三塊題板中題目的概率依次為0.91，0.92，0.93.則小明闖關(guān)失敗的概率是（）A.0.24 B.0.14 C.0.077 D.0.067二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.已知函數(shù)的圖象的一個對稱中心為，其中，則（）A.直線為函數(shù)的圖象的一條對稱軸B.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，C.當(dāng)時，函數(shù)的值域為D.將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象10.大衍數(shù)列，來源于《乾坤譜》中對《易傳》“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論，主要用于解釋中國傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理，大衍數(shù)列中的每一項都代表太極衍生過程中，曾經(jīng)經(jīng)歷過的兩儀數(shù)量的總和.大衍數(shù)列從第一項起依次為0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，….記大衍數(shù)列的前項和為，其通項公式.則（）參考公式：A.是數(shù)列中的項 B.C. D.11.在的展開式中，若第項與第項的二項式系數(shù)相等，則（）A.展開式中的系數(shù)為B.展開式中所有項的系數(shù)的和為C.展開式中系數(shù)的絕對值最大的項是第項D.從展開式中任取2項，取到項都是的整數(shù)次冪的概率為12.已知則（）A當(dāng)時，無最大值B.當(dāng)時，無最小值C.當(dāng)時，值域是(∞，2]D.當(dāng)時，的值域是[2，+∞)三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知雙曲線的離心率為則_____.14.在平行四邊形中，，，點為線段的中點，則______________.15.如圖，在棱長為1的正方體中，是棱(不包含端點)上一動點，則三棱錐的體積的取值范圍為__________.16.已知定義在上的函數(shù)滿足為的導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)時，，則不等式的解集為_______________.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知的三個角的對邊分別為，且（1）求B；（2）若，求的面積.18.已知正項數(shù)列的前n項和為，且滿足.（1）求通項公式；（2）已知設(shè)數(shù)列的前n項和為當(dāng)n∈時，，求實數(shù)λ的范圍.條件:①，且等差數(shù)列；②；③請從這三個條件中任選一個，并將其序號填寫在答題卡對應(yīng)位置，并完成解答.19.黨的二十大以來，國家不斷加大對科技創(chuàng)新的支持力度，極大鼓舞了企業(yè)持續(xù)投入研發(fā)的信心.某科技企業(yè)在國家一系列優(yōu)惠政策的大力扶持下，通過不斷的研發(fā)和技術(shù)革新，提升了企業(yè)收益水平.下表是對2023年1~5月份該企業(yè)的利潤y(單位：百萬)的統(tǒng)計.月份1月2月3月4月5月月份編號x12345利潤y(百萬)712131924（1）根據(jù)統(tǒng)計表，求該企業(yè)的利潤y與月份編號x的樣本相關(guān)系數(shù)(精確到0.01)，并判斷它們是否具有線性相關(guān)關(guān)系（，則認為y與x的線性相關(guān)性較強，，則認為y與x的線性相關(guān)性較弱.）；（2）該企業(yè)現(xiàn)有甲、乙兩條流水線生產(chǎn)同一種產(chǎn)品.為對產(chǎn)品質(zhì)量進行監(jiān)控，質(zhì)檢人員先用簡單隨機抽樣的方法從甲、乙兩條流水線上分別抽取了5件、3件產(chǎn)品進行初檢，再從中隨機選取3件做進一步的質(zhì)檢，記抽到“甲流水線產(chǎn)品”的件數(shù)為，試求的分布列與期望.附：相關(guān)系數(shù)20.如圖，在多面體中，四邊形為菱形，且∠ABC=60°，AE⊥平面ABCD，AB=AE=2DF，AEDF.（1）證明：平面AEC⊥平面CEF；（2）求平面ABE與平面CEF夾角的余弦值.21.已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求的圖象在點處的切線方程;（2）當(dāng)時，證明：.22.已知橢圓E的左、右焦點為，過的直線交橢圓于，兩點，的周長為.（1）求橢圓的方程;（2）點，分別為橢圓的上、下頂點，過直線上任意一點作直線和，分別交橢圓于，兩點.證明：直線過定點.許濟洛平2023—2024學(xué)年高三第二次質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)注意事項：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號等填寫在答題卡和試卷指定位置上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的.1.若復(fù)數(shù)z滿足，則z的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】【分析】結(jié)合復(fù)數(shù)的模的計算，求出復(fù)數(shù)z，即可得，根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，即可得答案.【詳解】由得，故，其實部為，虛部為，故在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，位于第一象限，故選：A2.已知集合則=（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】解兩個集合中的不等式，得到這兩個集合，再求交集.【詳解】不等式，等價于，解得，即，不等式，等價于，解得，即，所以故選：B3.為更好地滿足民眾個性化、多元化、便利化的消費需求，豐富購物體驗和休閑業(yè)態(tài)，某市積極打造夜間經(jīng)濟.為不斷創(chuàng)優(yōu)夜間經(jīng)濟發(fā)展環(huán)境、推動消費升級，有關(guān)部門對某熱門夜市開展“服務(wù)滿意度調(diào)查”，隨機選取了100名顧客進行問卷調(diào)查，對夜市服務(wù)進行評分(滿分100分)，根據(jù)評分情況繪制了如圖所示的頻率分布直方圖，估計這組數(shù)據(jù)的第55百分位數(shù)為（）A.65 B.72 C.72.5 D.75【答案】D【解析】【分析】根據(jù)頻率分布直方圖先估算出第數(shù)所在區(qū)間為，然后即可求出.【詳解】由題中頻率分布直方圖知區(qū)間，，三個區(qū)間頻率為，所以第數(shù)所在區(qū)間為，且設(shè)為，則，解得，故D正確.故選：D.4.已知圓O:與x軸交于A，B兩點，點M是直線上任意一點.設(shè)，則p是q的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】由圖結(jié)合幾何知識可知等價于過定點直線與圓O:相離，即可得答案.【詳解】如圖，由題可知直線過定點，設(shè)為點N.當(dāng)直線與圓相離時，設(shè)M為直線上任意點，連接MA，MB，設(shè)MA（或MB）與圓O交于C點，連接CB（CA），則，由外角性質(zhì)，總有；如圖，當(dāng)直線與圓相切或相交時，在直線上均存在點M，使.綜上，等價于直線與圓O:相離，則.注意到是的真子集，則p是q的充分不必要條件.故選：A5.已知則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定的條件，利用輔助角公式求出，再利用二倍角的余弦公式計算即得.【詳解】由，得，所以.故選：C6.斜率為1的直線l過拋物線的焦點F，且與C相交于A，B兩點，O為坐標原點，若的面積是，則（）A.4 B.8 C.12 D.16【答案】B【解析】【分析】設(shè)直線l的方程，聯(lián)立拋物線方程，可得根與系數(shù)的關(guān)系，即可求出弦長的表達式，結(jié)合的面積求得參數(shù)p，即可求得答案.【詳解】由題意知拋物線的焦點F坐標為，設(shè)直線l的方程為，聯(lián)立，得，，設(shè)，則，故，又點O到直線的距離為，則，即，故，故選：B7.設(shè)，，其中e為自然對數(shù)的底數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)討論其單調(diào)性比較b，c；構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)討論其單調(diào)性比較a，b即得.【詳解】令，則，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，因此，即，令，則，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，因此，即所以.故選：D8.小明參加答題闖關(guān)游戲，答題時小明可以從A，B，C三塊題板中任選一個進行答題，答對則闖關(guān)成功.已知他選中A，B，C三塊題板的概率分別為0.2，0.3，0.5，且他答對A，B，C三塊題板中題目的概率依次為0.91，0.92，0.93.則小明闖關(guān)失敗的概率是（）A.0.24 B.0.14 C.0.077 D.0.067【答案】C【解析】【分析】利用全概率公式計算即可.【詳解】由題意，小明闖關(guān)失敗的概率.故選：C.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.已知函數(shù)的圖象的一個對稱中心為，其中，則（）A.直線為函數(shù)的圖象的一條對稱軸B.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，C.當(dāng)時，函數(shù)的值域為D.將函數(shù)圖象向左平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象【答案】ACD【解析】【分析】先根據(jù)題意求出函數(shù)的解析式，利用整體代入的方法判斷函數(shù)的對稱軸即可判斷A；利用整體代入的方法求解函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間即可判斷B；利用整體思想換元，結(jié)合一次函數(shù)以及正弦函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的值域即可判斷C；根據(jù)三角函數(shù)的平移伸縮變換求出平移后的解析式即可判斷D．【詳解】由函數(shù)的圖象的一個對稱中心為，則，得，即，，又，得，所以．對于A，當(dāng)時，，所以直線為函數(shù)的圖象的一條對稱軸，故A正確；對于B，令，，解得，，故B錯誤；對于C，由，則，所以，故C正確；對于D，將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后得到，故D正確．故選：ACD．10.大衍數(shù)列，來源于《乾坤譜》中對《易傳》“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論，主要用于解釋中國傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理，大衍數(shù)列中的每一項都代表太極衍生過程中，曾經(jīng)經(jīng)歷過的兩儀數(shù)量的總和.大衍數(shù)列從第一項起依次為0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，….記大衍數(shù)列的前項和為，其通項公式.則（）參考公式：A.是數(shù)列中的項 B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)的通項公式，分類討論為奇偶情況，即可逐項求解判斷.【詳解】對A：當(dāng)為偶數(shù)時，，解得，不符題意；當(dāng)為奇數(shù)時，，解得，符合題意，故A正確；對B：，故B正確；對C：由題意知，所以，故C錯誤；對D：故D正確；故選：ABD.11.在的展開式中，若第項與第項的二項式系數(shù)相等，則（）A.展開式中的系數(shù)為B.展開式中所有項的系數(shù)的和為C.展開式中系數(shù)的絕對值最大的項是第項D.從展開式中任取2項，取到的項都是的整數(shù)次冪的概率為【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)題意得到展開式的總項數(shù)為11項，，然后利用展開式的通項公式即可對各項判斷求解.【詳解】由題知展開式，其中第項與第項二項式系數(shù)相等，所以，得，得對A：由展開式，得，所以得的系數(shù)，故A錯誤；對B：由的展開式中，令，得展開式中所有項的系數(shù)的和為，故B正確；對C：展開式中的系數(shù)加絕對值后為，第項系數(shù)為，第項系數(shù)為，故C錯誤；對D：由，共有項，其中當(dāng)時，為整數(shù)，所以在展開式中任取項，取到的項都是的整數(shù)次冪的概率為，故D正確.故選：BD.12.已知則（）A.當(dāng)時，無最大值B.當(dāng)時，無最小值C.當(dāng)時，的值域是(∞，2]D.當(dāng)時，的值域是[2，+∞)【答案】AD【解析】【分析】對于AB選項，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性即可得答案；對于CD選項，分，兩種情況討論單調(diào)性即可得答案【詳解】對于AB選項，，.，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故無最大值，則A正確，B錯誤；對于CD選項，.當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增，則此時；當(dāng)時，注意到，則.令.注意到，均在上單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞增.因，，則，使.則.即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.注意到，則，則，又，則，即在上單調(diào)遞減，則，綜上，當(dāng)時，的值域是[2，+∞).故C錯誤，D正確.故選：AD【點睛】關(guān)鍵點睛：對于帶有三角函數(shù)的復(fù)雜函數(shù)，常利用分區(qū)間段討論，放縮，估值等手段，消除三角函數(shù)對于問題的影響.本題所涉函數(shù)較為復(fù)雜，為研究其單調(diào)性，將所涉區(qū)間分段，并引入新函數(shù)加以研究.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知雙曲線的離心率為則_____.【答案】1【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用雙曲線離心率計算公式列式計算即得.【詳解】依題意，雙曲線的離心率，所以.故答案為：114.在平行四邊形中，，，點為線段的中點，則______________.【答案】【解析】【分析】建立平面直角坐標系，利用坐標運算求向量數(shù)量積.【詳解】，以為原點，為軸，為軸，建立如圖所示的平面直角坐標系，，則，有，，，，，.故答案為：15.如圖，在棱長為1的正方體中，是棱(不包含端點)上一動點，則三棱錐的體積的取值范圍為__________.【答案】【解析】【分析】利用空間向量求出點到平面的距離，從而求解.【詳解】由題知以點為原點，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標系，如圖，則，，，，，，，，，設(shè)，，得，則，設(shè)平面的一個法向量為，則，令，得，所以點到平面的距離，又因為，所以，由題知，所以為等邊三角形，其面積，所以三棱錐的體積，故答案為：.16.已知定義在上的函數(shù)滿足為的導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)時，，則不等式的解集為_______________.【答案】【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，由已知條件得在上是偶函數(shù)，然后根據(jù)其單調(diào)性從而可求解.【詳解】令，所以，因為，所以，化簡得，所以在上是偶函數(shù)，因為，因為當(dāng)，，所以，在區(qū)間上單調(diào)遞增，又因為為偶函數(shù)，所有在上單調(diào)遞減，由，得，又因為，所以，所以，解得或，所以不等式的解集為.故答案為：.【點睛】通過構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合已知函數(shù)求出函數(shù)為偶函數(shù)和其單調(diào)性，從而求解.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知的三個角的對邊分別為，且（1）求B；（2）若，求的面積.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先利用正弦定理化邊為角，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理結(jié)合兩角和的正弦公式化簡即可得解；（2）先利用余弦定理求出，再根據(jù)三角形的面積公式求解即可.【小問1詳解】在中，因由正弦定理可得：所以所以整理得又，所以，所以得因為，所以；【小問2詳解】由（1）知，，又，在中，由余弦定理，得，所以，解得或（舍去），所以的面積.18.已知正項數(shù)列的前n項和為，且滿足.（1）求的通項公式；（2）已知設(shè)數(shù)列的前n項和為當(dāng)n∈時，，求實數(shù)λ的范圍.條件:①，且等差數(shù)列；②；③請從這三個條件中任選一個，并將其序號填寫在答題卡對應(yīng)位置，并完成解答.【答案】（1）選項見解析，（2）【解析】【分析】（1）選①可得為等比數(shù)列，后由題意可得首項，公比，即可得答案；選②，由可得，即，后可得答案；選③可得，進而可得，后可得，即可得答案;（2）由（1）結(jié)合錯位相減法可得，后分n為偶數(shù)，奇數(shù)兩種情況可λ的范圍.【小問1詳解】若選①，因為數(shù)列中，，所以數(shù)列{}為等比數(shù)列.設(shè){}的公比為q，則，由題意得，又，可得，即，則有，因為，解得，故；若選②，因為，所以.所以.當(dāng)時，有，且，.所以數(shù)列{}是首項,公比的等比數(shù)列，所以；若選③，由，所以，所以.當(dāng)時，，所以所以，數(shù)列{}為以首項，公比的等比數(shù)列，所以；【小問2詳解】由（1）可知:數(shù)列滿足，數(shù)列的前n項和，則，兩式相減可得:，所以.不等式,注意到數(shù)列為遞增數(shù)列，當(dāng)n為偶數(shù)時，，取，可得；當(dāng)n為奇數(shù)時，，取，可得.綜上，實數(shù)λ的取值范圍是.19.黨的二十大以來，國家不斷加大對科技創(chuàng)新的支持力度，極大鼓舞了企業(yè)持續(xù)投入研發(fā)的信心.某科技企業(yè)在國家一系列優(yōu)惠政策的大力扶持下，通過不斷的研發(fā)和技術(shù)革新，提升了企業(yè)收益水平.下表是對2023年1~5月份該企業(yè)的利潤y(單位：百萬)的統(tǒng)計.月份1月2月3月4月5月月份編號x12345利潤y(百萬)712131924（1）根據(jù)統(tǒng)計表，求該企業(yè)的利潤y與月份編號x的樣本相關(guān)系數(shù)(精確到0.01)，并判斷它們是否具有線性相關(guān)關(guān)系（，則認為y與x的線性相關(guān)性較強，，則認為y與x的線性相關(guān)性較弱.）；（2）該企業(yè)現(xiàn)有甲、乙兩條流水線生產(chǎn)同一種產(chǎn)品.為對產(chǎn)品質(zhì)量進行監(jiān)控，質(zhì)檢人員先用簡單隨機抽樣的方法從甲、乙兩條流水線上分別抽取了5件、3件產(chǎn)品進行初檢，再從中隨機選取3件做進一步的質(zhì)檢，記抽到“甲流水線產(chǎn)品”的件數(shù)為，試求的分布列與期望.附：相關(guān)系數(shù)【答案】（1）；具有很強的線性相關(guān)性（2）分布列見解析；【解析】【分析】（1）根據(jù)公式求出相關(guān)系數(shù)的值，即可判斷；（2）根據(jù)題意可知可取的為，然后計算列出分布列，求出期望即可求解.【小問1詳解】由統(tǒng)計表數(shù)據(jù)可得:所以所以相關(guān)系數(shù)，因此，兩個變量具有很強的線性相關(guān)性.【小問2詳解】由題意知，的可能取值為因為，，所以的分布列為：所以20.如圖，在多面體中，四邊形為菱形，且∠ABC=60°，AE⊥平面ABCD，AB=AE=2DF，AEDF.（1）證明：平面AEC⊥平面CEF；（2）求平面ABE與平面CEF夾角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）通過證明BD⊥平面AEC，HF∥BD，可證明結(jié)論；如圖建立空間直角坐標系，算出平面CEF的一個法向量，利用向量方法可得答案.【小問1詳解】如圖，取EC的中點H，連結(jié)BD交AC于點O，連結(jié)HO、HF.因為四邊形ABCD為菱形，則AC⊥BD.又AE⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，所以AE⊥BD.因為AE?平面AEC，AC?平面AEC，且AE∩AC=A，所以BD⊥平面AEC.因為H、O分別為EC、AC的中點，所以HO∥EA，且又AE∥DF，且.所以HO∥DF，且HO=DF，所以四邊形HODF為平行四邊形，所以HF∥OD，即HF∥BD，所以HF⊥平面AEC.因為HF?平面CEF，所以平面AEC⊥平面CEF.【小問2詳解】取CD中點M，連接AM.因為菱形ABCD中，∠ABC=60°，所以ACD為正三角形，又M為CD中點，所以AM⊥CD，因為AB∥CD，所以AM⊥AB.因為AE⊥平面ABCD，AB，AM?平面ABCD，所以AE⊥AB，AE⊥AM.如圖，以A為原點，AB，AM，AE所在直線分別為軸，建立空間直角坐標系.不妨設(shè)AB=AD=AE=2DF=2，則A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(1，0)，，E(0，0，2)，因為AM⊥平面ABE，所以為平面ABE的一個法向量，設(shè)平面CEF的法向量為，因為，所以，不妨令，得.