湖南高考數(shù)學(xué) 大綱 公式 答題技巧 易錯題匯復(fù)習(xí)

高考數(shù)學(xué)典型易錯題會診

2013年湖南高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)

目錄

考點1集合與簡易邏輯

典型易錯題會診

命題角度1集合的概念與性質(zhì)

命題角度2集合與不等式

命題角度3集合的應(yīng)用

命題角度4簡易邏輯

命題角度5充要條件

探究開放題預(yù)測

預(yù)測角度1集合的運算

預(yù)測角度2邏輯在集合中的運用

預(yù)測角度3集合的工具性

預(yù)測角度4真假命題的判斷

預(yù)測角度5充要條件的應(yīng)用

考點2函數(shù)(一)典型易錯題會診

命題角度1函數(shù)的定義域和值域

命題角度2函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用

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高考數(shù)學(xué)典型易錯題會診

命題角度3函數(shù)的奇偶性和周期性的應(yīng)用

命題角度4反函數(shù)的概念和性質(zhì)的應(yīng)用

探究開放題預(yù)測

預(yù)測角度1借助函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)最值或證明不等式

預(yù)測角度2綜合運用函數(shù)奇偶性、周期性、單調(diào)進行命題預(yù)測角度3反函數(shù)與函數(shù)性質(zhì)的綜合

考點3函數(shù)(二)

典型易錯題會診

命題角度1二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)的應(yīng)用

命題角度2指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)的應(yīng)用命題角度3函數(shù)的應(yīng)用

探究開放題預(yù)測

預(yù)測角度1二次函數(shù)閉區(qū)間上的最值的問題

預(yù)測角度2三個“二次”的綜合問題

預(yù)測角度3含參數(shù)的對數(shù)函數(shù)與不等式的綜合問題考點4數(shù)列

典型易錯題會診

命題角度1數(shù)列的概念

命題角度2等差數(shù)列

命題角度3等比數(shù)列

命題角度4等差與等比數(shù)列的綜合

命題角度5數(shù)列與解析幾何、函數(shù)、不等式的綜合

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高考數(shù)學(xué)典型易錯題會診

命題角度6數(shù)列的應(yīng)用

探究開放題預(yù)測

預(yù)測角度1數(shù)列的概念

預(yù)測角度2等差數(shù)列與等比數(shù)列

預(yù)測角度3數(shù)列的通項與前n項和

預(yù)測角度4遞推數(shù)列與不等式的證明

預(yù)測角度5有關(guān)數(shù)列的綜合性問題

預(yù)測角度6數(shù)列的實際應(yīng)用

預(yù)測角度7數(shù)列與圖形

考點5三角函數(shù)

典型易錯題會診

命題角度1三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)

命題角度2三角函數(shù)的恒等變形

命題角度3三角函數(shù)的綜合應(yīng)用探究開放題預(yù)測預(yù)測角度1三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)

預(yù)測角度2運用三角恒等變形求值

預(yù)測角度3向量與三角函數(shù)的綜合

考點6平面向量

典型易錯題會診

命題角度1向量及其運算

命題角度2平面向量與三角、數(shù)列

命題角度3平面向量與平面解析幾何

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高考數(shù)學(xué)典型易錯題會診

命題角度4解斜三角形

探究開放題預(yù)測

預(yù)測角度1向量與軌跡、直線、圓錐曲線等知識點結(jié)合預(yù)測角度2平面向量為背景的綜合題

考點7不等式

典型易錯題會診

命題角度1不等式的概念與性質(zhì)

命題角度2均值不等式的應(yīng)用

命題角度3不等式的證明

命題角度4不等式的解法

命題角度5不等式的綜合應(yīng)用

探究開放題預(yù)測

預(yù)測角度1不等式的概念與性質(zhì)

預(yù)測角度2不等式的解法

預(yù)測角度3不等式的證明

預(yù)測角度4不等式的工具性

預(yù)測角度5不等式的實際應(yīng)用

考點8直線和圓

典型易錯題會診

命題角度1直線的方程

命題角度2兩直線的位置關(guān)系

命題角度3簡單線性規(guī)劃

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高考數(shù)學(xué)典型易錯題會診

命題角度4圓的方程

命題角度5直線與圓

探究開放題預(yù)測

預(yù)測角度1直線的方程

預(yù)測角度2兩直線的位置關(guān)系

預(yù)測角度3線性規(guī)劃

預(yù)測角度4直線與圓

預(yù)測角度5有關(guān)圓的綜合問題

考點9圓錐曲線

典型易錯題會診

命題角度1對橢圓相關(guān)知識的考查

命題角度2對雙曲線相關(guān)知識的考查

命題角度3對拋物線相關(guān)知識的考查

命題角度4對直線與圓錐曲線相關(guān)知識的考查命題角度5對軌跡問題的考查

命題角度6考察圓錐曲線中的定值與最值問題探究開放題預(yù)測

預(yù)測角度1橢圓

預(yù)測角度2雙曲線

預(yù)測角度3拋物線

預(yù)測角度4直線與圓錐曲線

預(yù)測角度5軌跡問題

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高考數(shù)學(xué)典型易錯題會診

預(yù)測角度6圓錐曲線中的定值與最值問題

考點10空間直線與平面

典型易錯題會診

命題角度1空間直線與平面的位置關(guān)系

命題角度2空間角

命題角度3空間距離

命題角度4簡單幾何體

探究開放題預(yù)測

預(yù)測角度1利用三垂線定理作二面角的平面角預(yù)測角度2求點到面的距離

預(yù)測角度3折疊問題

考點11空間向量

典型易錯題會診

命題角度1求異面直線所成的角

命題角度2求直線與平面所成的角

命題角度3求二面角的大小

命題角度4求距離

探究開放題預(yù)測

預(yù)測角度1利用空間向量解立體幾何中的探索問題預(yù)測角度2利用空間向量求角和距離

考點12排列、組合、二項式定理典型易錯題會診命題角度1正確運用兩個基本原理

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高考數(shù)學(xué)典型易錯題會診

命題角度2排列組合

命題角度3二項式定理

探究開放題預(yù)測

預(yù)測角度1在等可能性事件的概率中考查排列、組合預(yù)測角度2利用二項式定理解決三項以上的展開式問題預(yù)測角度3利用二項式定理證明不等式

考點13概率與統(tǒng)計

典型易錯題會診

命題角度1求某事件的概率

命題角度2離散型隨機變量的分布列、期望與方差命題角度3統(tǒng)計探究開放題預(yù)測

預(yù)測角度1與比賽有關(guān)的概率問題

預(yù)測角度2以概率與統(tǒng)計為背景的數(shù)列題

預(yù)測角度3利用期望與方差解決實際問題

考點14極限

典型易錯題會診

命題角度1數(shù)學(xué)歸納法

命題角度2數(shù)列的極限

命題角度3函數(shù)的極限

命題角度4函數(shù)的連續(xù)性

探究開放題預(yù)測

預(yù)測角度1數(shù)學(xué)歸納法在數(shù)列中的應(yīng)用

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高考數(shù)學(xué)典型易錯題會診

預(yù)測角度2數(shù)列的極限

預(yù)測角度3函數(shù)的極限

預(yù)測角度4函數(shù)的連續(xù)性

考點15導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

典型易錯題會診

命題角度1導(dǎo)數(shù)的概念與運算

命題角度2導(dǎo)數(shù)幾何意義的運用命題角度3導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

探究開放題預(yù)測

預(yù)測角度1利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義

預(yù)測角度2利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性預(yù)測角度3利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值和最考點16復(fù)數(shù)

典型易錯題會診

命題角度1復(fù)數(shù)的概念

命題角度2復(fù)數(shù)的代數(shù)形式及運算探究開放題預(yù)測

預(yù)測角度1復(fù)數(shù)概念的應(yīng)用

預(yù)測角度2復(fù)數(shù)的代數(shù)形式及運算

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高考數(shù)學(xué)典型易錯題會診

考點7

不等式不等式的概念與性質(zhì)均值

不等式的應(yīng)用不等式的證明

不等式的解法不等式的綜合應(yīng)用

不等式的概念與性質(zhì)

不等式的解法

不等式的證明

不等式的工具性

不等式的實際應(yīng)用

典型易錯題會診

命題角度1

不等式的概念與性質(zhì)

1．(典型例題)如果a、b、c滿足c<b<a，且ac<0，那么下列選項中不一定成立的是()

A．a(chǎn)b>acB．c(b-a)>0

22C．cb<abD．dc(a-c)<0

[考場錯解]A∵b>c，而ab，ao不一定成立，原因是不知a的符號．

[專家把脈]由d>b>c，且ac<0．則。與c必異號，又由a>c，故a>0，c<0，條件分析不透．

[對癥下藥]C．由a>b>c且ac>0，故a>0且c<0．

(1)由b>c，又∵a>0，∴ab>ac．(2)∵b-a<0，c<0(b-a)2c>0，D．a(chǎn)-c>0，ac<Oac(a-c)<0，而C中當(dāng)b=0時顯然不成立，故選D

2．(典型例題)若11ba0，則下列不等式①a+b>ab;②|a|>|b|；③a<b④2中，正確的不等abab

式有()

A．1個B．2個

C．3個D．4個

[考場錯解]A只有①正確，②、③顯然不正確，④中應(yīng)是

[專家把脈]∵④中忽視與不可能相等，∵a≠b，故

[對癥下藥]B方法1：運用特值法，如a=-，b=-3．ba≥2，故④也錯．a(chǎn)bba≠．a(chǎn)b

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高考數(shù)學(xué)典型易錯題會診

方法2：運用性質(zhì)由110，則b<a<0，故而判斷．a(chǎn)b

1)a

1)a3．(典型例題)對于0<a<1，給出下列四個不等式①loga(1+o)<loga(1+②1oga(1+o)>loga(1+

11

1+a③a<aa

111+a④a>aa

其中成立的是()

A.①與③B．①與④

C.②與③D．②與④

[考場錯解]B∵1+a<1+11，故1oga(1+a)<loga(1+)．a(chǎn)a

11x∴1+a<1+而y=1ogax與y=a均為減函數(shù)．∴1oga(1+a)>aa[專家把脈]對數(shù)函數(shù)比較大小要考慮底數(shù)a的范圍，它與指數(shù)函數(shù)一樣．[對癥下藥]D∵0<a<1．∴a<1<

11

a．1oga(1+11+a)，a>aa

114．(典型例題)已知實數(shù)a、b滿足等式()a()b,，下列五個關(guān)系式①0<b<a②a<b<023

③0<a<b④b<a<0⑤a=b

其中不可能成立的關(guān)系式有()

A．1個B．2個

C．3個D．4個

[考場錯解]C∵a=b顯然不成立，而a與b的大小不定，故①②③④只有可能兩個成立，故有3個不可能成立，即alg11=big，-a1g2=-blg3．23

又∵1g2<1g3，∴-a>-b，∴a<b，故②③正確．

11[專家把脈]題目中不可能成立，⑤中當(dāng)a=b=0時，()a()b，所以有可能成立．23

[對癥下藥]B由錯解中可知a《b，故②③正確．而a=b=0時也可能成立，故不可能成立的只有①④．

專家會診

(1)比較兩個實數(shù)的大小，可采用作差和作商法，然后適當(dāng)變形(如配方、因式分解等)后才能判斷其符號．

(2)不等式性質(zhì)的適用時要注意它的條件，如“ab>0時，a>b

“ab1111”也不能強化條件變?yōu)椤癮>b>0”abab11”．不能弱化條件變成ab

考場思維訓(xùn)練

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高考數(shù)學(xué)典型易錯題會診

1若，|a|>，|b|>0，且ab>0，則下列不等式中能成立的是()

A．1111B．a(chǎn)baba

11C．log1|a|log1|b|D．()n()b2222

答案：C解析：利用特值法可看出某些選擇不能成立，而事實上，∵|a|，|b|>0，又0<<1，∴10g|a|<log1|b|，由此也可直接得結(jié)論，應(yīng)選C

212

2已知a、b為不等正數(shù)，s<t<0，M=s(ab)2t，N=，則M、N的大小關(guān)系是_________.ab2ab

ab2(ab)2

0>0，答案：M>N解析：由2abab2ab(ab)

得ab2(ab)(s)2t2t(ab)s，由s<t<00<-t<-s，故2abab2ababab2ab

命題角度2

均值不等式的應(yīng)用

1．(典型例題)設(shè)a>，0，b>0，則以下不等式中不恒成立的是()

A．(ab)4B．a(chǎn)3b32ab2

C．a(chǎn)2b222a2bD．a(chǎn)b|a

[考場錯解]Diab|a||b|不一定大于或等于

[專家把脈]D中直接放縮顯然不易比較．

[對癥下藥]BA：a+b≥2ab,111112(ab)4(ab時取)ababab1a1b

∴成立

2222C：a+b+2=a+1+b+1≥2a+2b(當(dāng)且僅當(dāng)a=b=1時取“=”)

∴成立

D：兩邊平方|a-b|≥a+b-2ab(ab)

∴a-b≥a+b-2ab或a-b≤-a-b+2ab當(dāng)a時顯然成立．

解得a≥b或a≤b∴成立．

2．(典型例題)設(shè)x∈(0，π)，則函數(shù)f(x)=sinx+

A．4B．5

C．3D．6

[考場錯解]因為x∈(0，π)，所以sinx>0，

此f(x)的最小值是

4．故選A

[專家把脈]忽略了均值不等式a+b≥2ab(a.0，b>0)中等號成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)a=b時等號

湖南高考數(shù)學(xué)大綱公式答題技巧復(fù)習(xí)第11頁4的最小值是()sinx4442sinx>0，f(x)=sinx+=4，因sinxsinxsinx

高考數(shù)學(xué)典型易錯題會診

成立．事實上，sinx=4不可能成立，因為它成立的條件是sinx=±2，這不可能．sinx

4133=sinx++，因為sinx+≥2，當(dāng)且僅當(dāng)sinx=1即sinxsinxsinxsinx[對癥下藥](1)f(x)=sinx+

x=34時等號成立．又≥3，當(dāng)且僅當(dāng)sinx=1即x=時等號成立．所以f(x)=sinx+≥2+3=5，22sinxsinx

4．易知此函數(shù)在區(qū)間(0，1)tf(x)的最小值是5．故應(yīng)選B．(2)令sinx=t，因為x∈(0，π)，所以0<t≤1，所給函數(shù)變?yōu)閥=t+

上是減函數(shù)，所以，當(dāng)t=1時，y取最小值5．故應(yīng)選B．

b23．(典型例題)設(shè)a≥0，b≥0，a+=1，求a1b2的最大值．2

114a2(1b2)22[考場錯解]0ia1b(2a)b222

121b21132][(a2)1](a=0時取等號)[專家把脈]并非定值．i[aa2222242[對癥下藥]為利用均值不等式時出現(xiàn)定值，先進行適當(dāng)?shù)摹皽?、配”?/p>

b2b2322aa,222

1b22a1b22a1b2a222

3

2b2時取“=”.2,當(dāng)且僅當(dāng)af242

專家會診

(1)利用均值不等式求最值時必須滿足“一正”、二定、三等”.尤其是等號成立的條件,必須驗證

確定,而要獲得定值條件有時要配湊.要有一定的靈活性和變形技巧.

(2)利用均值不等式解決實際問題、證明不等式時,要會利用函數(shù)的思想和放縮法.

考場思維訓(xùn)練

1已知a2b21,b2c22,c2a22,則abbcca的最小值為

A.3

C.121B.21D.32()12

a2b2122答案：B解析：聯(lián)立bc2

2ca22

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高考數(shù)學(xué)典型易錯題會診

2a

2解得：b

2c1a21b23c222222

若

ab+c+ca=ab+bc+ca取最小值，可令b=22,a,c222則2226261()()2222222

xy11,b.(logmxlogmy),clogm(xy),則abc的大小關(guān)系是__________2222.若x2,y2,0m1,且alogm

_.

答案：解析：a≤b<c∵

∴10gmxy≥xy，0<m<12xy1≤logmx+logmy，,∴a≤b，22

xy

xy11xy又∵

11xy∴11=1．又∵0<m<1，∴b<c.故a≤b<c.22

3.若0x,則x2(13x)的最大值是_______.此時x________.答案：

大值44232222,解析：∵x(1-3x)=x2x2(-2x)≤，當(dāng)且僅當(dāng)x=-2x，即x=時，取得最24324392339134243

命題角度3不等式的證明

1.(典型例題)設(shè)函數(shù)f(x),x0.

(Ⅰ)證明:當(dāng)0<a<b,且f(a)=f(b)時,ab>1;

(Ⅱ)點P(xo,yo)(0<xo<1)在曲線y=f(x)上,求曲線在點P處的切線與x軸和y軸的正向所圍成的三角形面積表達式(用xo表示).

考場錯解(1)f(a)f(b),

11ab221212ba2(ab)(ab)(2abab)12122200,2abab2abab122ababababab11(2)0x1,yf(x)11ax1x

∴f′(x0)1

x0(0x01),

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高考數(shù)學(xué)典型易錯題會診

曲線y=f(x)在點(x0,y0)處的切線方程為:yy0

yx

x012x0(xx0),即2x01,切線與x軸y軸正向的交點為(x0(2x0),0)和(0,(2x0)).x0x0

1故所求面積表達式為A(x0)(2x0)2.2

[專家把脈]在運用不等式時應(yīng)考慮等號成立時是否符合條件.

[對癥下藥](Ⅰ)

11,x(0,1],1xf(x)=x11,x(1,).x證法一:因故f(x)在(0,1]上是減函數(shù),而在(1,)上是增函數(shù).

由0ab且f(a)f(b)得0a1b和

11即22abab2ab.ab

故ab1,即ab11111.ab

證法二:由f(a)f(b)得

故1

1

a

1即a即111111.若1與1同號,可得11ab.與0ab矛盾.abqbab11與1必異號.ab111112.bab122abab2ab.b

故ab1,即ab1.

(Ⅱ)解法一:0<x<1時,yf(x)

∴f′(x0)

即yx

2x0111.xx1x0,0x01曲線yf(x)在點P(x0,y0)處的切線方程為:yy01x0(xx0),2x0x0

1切線與x軸y軸正向的交點為(x0(2x0),0)和0,2(2x0).x0

故所求三角形面積表達式為:A(x0)111x0(2x0).(2x0)(2x0)2.2x02

解法二:設(shè)過點P(xo,yo)處的切線方和為:y-yo=k(x-xo),k為待定系數(shù).代入yf(x)

211x(0x1)并整理得kx+(yo+1-kxo)x-1=0.

因為P是切點，所以方程有重根，故判別式

14k0.(y01kx0)4kkx0x022

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高考數(shù)學(xué)典型易錯題會診

2110k即kx0xx00(0x01).

曲線yf(x)在點P(x0,y0)處的切線方程為:yy0

即yx

2x012x0(xx0),2x0.x0

1.切線與x軸y軸正向的交點為(x0(2x0),0)和0,(2x)0x0

故所求三角形面積表達式為:

111A(x0)x0(2x0).(2x0)(2x0)2.2x02

2．(典型例題)已知an223n(n1)

求證：n(n1)n(n2)an22(n),[考場錯解]當(dāng)n時,n(n1)n.

an2334n(n1)123n

又n(n1)n1,

an23n(n1)23n(n1)

綜上所述,有n(n1)n(n2)an成立.22n(n1)2n(n1),2

[專家把脈]在證ann(n2)n(n3)n(n2)時,n(n1)n1放縮時得過大,23(n1).222

[對癥下藥](1)同上.

n(n2).2

nn1n(n1)2

1223nn11n1n(n2)an(23n)222222(2)下證:an

綜上(1),(2)得：n(n1)n(n2)an.22

23．(典型例題)設(shè)二次函數(shù)f(x)=ax+bx+c(a,b,c∈R且a≠0),若函數(shù)y=f(x)的圖象與直線y=x和y=-x

均無公共點。

(1)求證:4acb21;

(2)求證:對一切實數(shù)x,恒有|ax2bxc|1

4|a|

[考場錯解](1)∵f(x)的圖象與y=x,y=-x均無公共點，

湖南高考數(shù)學(xué)大綱公式答題技巧復(fù)習(xí)第15頁

高考數(shù)學(xué)典型易錯題會診

yx,yx,與均無解.22yaxbxc,yaxbxc.

10,也就是:ax2(b1)xc0,ax2(b1)xc0均無解相加得b214ac04ac21.20.

1b1b1要證|ax2bxc|.即f(x)在對稱軸x處的最小值大于.故證:f()4|a|2a4|a|2a4|a|

b24acb21bb|axbxc|ac.bc4a4a4|a|2a2a22(2)

[專家把脈]在運用二次函數(shù)的性質(zhì)證明不等式時，忽視了a>0與a<0兩種情況的討論。

[對癥下藥](1)同錯解(1)

4acb21b24ac10,

f(x)ax2bxc

(2)由若a0,f(x)0

若a0,f(x)0

當(dāng)a0時,(xR)恒成立.(xR)恒成立.

4acb21bb|axbxc|a;bc4a4|a|2a2a22

b2b22當(dāng)a0時,|axbxc|(axbxc)abc2a2a=b24ac4acb21.4a4(a)4|a|

綜上所述不等式成立

專家會診

(1)證明不等式，要掌握不等式的證明基本方法，如分析法、綜合法、放縮法、函數(shù)法、反證法、

換元法等.

(2)對不等式與數(shù)列、函數(shù)方和程、導(dǎo)數(shù)等∴x1，x2是方程f′，(x)=x2+(b-1)x+c的兩根，

則x1+x2=1-b，x1x2=c，

222∴b-2(b+2c)=b-2b-4c=(b-1)-4c-1

22=(x1+x2)-4x1x2-1=(x2-x1)-1．

∵x2-x1>1，∴(x2-x1)2-1>0，

湖南高考數(shù)學(xué)大綱公式答題技巧復(fù)習(xí)第16頁

高考數(shù)學(xué)典型易錯題會診

∴b2>2(b+2c)．

2(3)在(2)的條件下，若t<x1,試比較t+bt+c與x1的大小，并加以證明。

2答案：在(2)的條件下，x+(b-1)x+c=(x-x1)(x-x2)，

即x2+bx+c=(x-x1)(x-x2)+x，

2所以t+bt+c-x1=(t-x1)(t-x2)+t-x1

=(t-x1)(t+1-x2)，

∵x2>1+x1>1+t，∴t+1-x2<0，又t<x1，

∴t-x1<0，

∴(t-x1)(t+1-x2)>0，即t2+bt+c>x1.

2．已知數(shù)列xn滿足:xn1xnx,x11xn1

xm14xm-1=2，xm11(1)問是否存在m∈N,使xm=2,并證明你的結(jié)論；答案：假設(shè)存在m∈N，使xm=2，則2=*

同理可得xm-2=2，

以此類推有x1=2，這與x1=1矛盾，故不存在m∈N*，使xm=2．

(2)試比較xn與2的大小關(guān)系；

(3)設(shè)an|xn2|,求證當(dāng)n2時,

答案：當(dāng)n≥2時，xn+1，-2=a22ii1n1n.xn4x2x2x43-2=n=-n,又xn1n1,x11，則xn>0，∴xn+1-2xn1xn1xn1xn1xn1

與xn-2符號相反，而x1=1<2，則x2>2，以此類推有：x2n-1<2，x2n>2；xn1x431,x11,則xn1,xn1xn1

xn4|x2|12n|xn2|,xn1xn12|xn12|

(3)111an1()n1a1()n1,(n2)222

1n1()n111221n.ai1()2()n12221i12an

命題角度4不等式的解法

1．(典型例題)在R上定義運算?:x?y=x(1-y),若不等式(x-a)?(x+a)<1對任意實數(shù)x成立，則a的范圍是()

A1a1

13Ca22B0a231Da22

[考場錯解]A(xa)(xa)(xa)(ax)a2x21

a2x21,即a21,故1a1

湖南高考數(shù)學(xué)大綱公式答題技巧復(fù)習(xí)第17頁

高考數(shù)學(xué)典型易錯題會診

[專家把脈]對x?y=x(1-y)的運算關(guān)系式理解不清。

[對癥下藥](xa)(xa)(xa).(1xa)(xa)(1a)x(xa)1,即a2a(x2x1)即a2a(x13

2)24.

a2a3

4

即或1

2a3

2

DearDiana,

Thankyouforthelovelydaywehadof

friend.Gina.Unfortunately

accidentonthehighwayand,.In

asmiles

theend,wedrovetoaservicestationandwaitedtherecarparkuntil,Ginanearlygotknockedoveras∧cardroveoutfartooquicklyfrombehindalorry.thereaWe

2．(典型例題)已知函數(shù)f(x)x2

axb(a,b為常數(shù))且方程f(x)x120有兩個實根為x13,x24.

(1)求函數(shù)f(x)的解析式；

(2)設(shè)k>1,解關(guān)于x的不等式：f(x)(k1)xk

2x

[考場錯解]2

(1)將xx9

13,x24分別代入方程3ab9a1x2

axbx120得16解得b2,所以f(x)

4ab82x

湖南高考數(shù)學(xué)大綱公式答題技巧復(fù)習(xí)第18頁(x2).

高考數(shù)學(xué)典型易錯題會診

x2(k1)xk,即x2(k1)xk2x2x(2)

x2(k1)xk0,(xk)(x1)0

又k1,故1xk.

[專家把脈](2)問中兩邊約去(2-x),并不知2-x的符號.

[對癥下藥](1)同錯解中(1)

x2(k1)xkx2(k1)xk(2)不等式即為,可化為0即(x2)(x1)(xk)0.2x2x2x

①當(dāng)1<k<2,解集為x∈(1,k)∪(2,+∞);

2②當(dāng)k=2時，不等式為(x-2)(x-1)>0解集為x∈(1,2)∪(2,+∞);

③當(dāng)k>2時，解集為x∈(1,2)∪(k,+∞).

3.(典型例題)設(shè)函數(shù)f(x)=kx+2,不等式|f(x)|<6的解集為(-1,2)試求不等式的loga6loga(1x)(0a1)的解集。f(x)

[考場錯解]|kx2|6,6kx26,則對于x(1,2)時不等式組kx4,恒成立.kx8.

當(dāng)k>0時，k≤2,當(dāng)k<0,k≥-4.

∴k=2或-4.

當(dāng)k=2時f(x)=2x+2,當(dāng)k=-4時f(x)=-4x+2再由解對數(shù)不等式。

6loga(1x)或2x26logaloga(1x)4x2loga

[專家把脈]在求k的值時分析討論不嚴(yán)密，上式中是在x∈(-1,2)時恒成立，而k的值并不能使之成立.

2[對癥下藥]∵|kx+2|<6,∴(kx+2)<36,

22即kx+4kx-32<0.4k(1)2,k由題設(shè)可得32(1)2,k2

解得k=-4,∴f(x)=-4x+2.

由loga6loga(1x)(0a1)得f(x)6logaloga(1x),4x2

4x20則1x0①

61x4x2

②

③

湖南高考數(shù)學(xué)大綱公式答題技巧復(fù)習(xí)第19頁

高考數(shù)學(xué)典型易錯題會診

由①解得x1(2x1)(x2)11,由②解得x<1,由③得0x或x2,22x122

11原不等式的解集為x|x22

4．(典型例題)設(shè)對于不大于51的所有正實數(shù)a,如果滿足不等式|xa|b的一切實數(shù)x,亦滿足不等式|xa2|,求實數(shù)b的取值范圍.42

[考場錯解]A={x|a-b<x<a+b},

11Bx|a2xa2,由題設(shè)知,AB,22

1aba2,2故必成立.

aba21,2

1ba2a或2

15ba2a(0a)24

316b34,a2a111(a)2224113b416

13b.44故

[專家把脈]在求b的范圍時，應(yīng)考慮必成立的條件，如ba2a,a2a,22164

b13才能上式恒成立.1611133

[對癥下藥]∵A={x|a-b<x<a+b},

1Bx|a2xa22

由題設(shè)知,AB.

1aba2,2故必成立.1aba2,212

115和ba2a(0a)必成立.224

11333a2a,,從而b216416即ba2a

a2a

b13

16

3.1611131,,從而b24164又b0,故0b

專家會診

湖南高考數(shù)學(xué)大綱公式答題技巧復(fù)習(xí)第20頁

高考數(shù)學(xué)典型易錯題會診

1．解分式不等式時，應(yīng)將化為等價的整式不等式，避免分類討論。

2．含絕對值的不等式應(yīng)運用平方法，零點分段法、分類討論及絕對值不等式的性質(zhì)求解。考場思維訓(xùn)練

1關(guān)于x的不等式ax-b>0的解集是(1,+∞),則關(guān)于x的不等式

A.(-∞,-1)∪(2,+∞)

B.(-1,2)

C.(1,2)

D(-∞,1)∪(2,+∞)

答案：A解析：a>0-且

2.若

2aaxbx10(x+1)(x-2)>0x<-1或x>2．=1，>0bx2x2axb0的解集是()x2,則不等式logsina(1x2)2的解集是_______.

答案：(-1，cosα)∪(-cosα，1)解析：∵

2<a<π，22222∴0<sinα<1，logsinα(1-α)>20<1-x<sinαcosα<x<1，又cosα<0．

∴-1<x<cosα或-cosα<x<1．

3．解不等式2x1.x1|x|

12x>x>1,∴x>1②當(dāng)x<0時，原不等式為x1x答案：解析：①當(dāng)x>0時，原不等式為

2x1(x+1)2(2x-1)>0且x<0，∴x<-1．x1x

綜上①，②可得{x|x<-1或x>1}．

命題角度5不等式的綜合應(yīng)用

1．(典型例題)已知函數(shù)f(x)=ax-x2的最大值不小于,又當(dāng)x[,]時f(x).

(Ⅰ)求a的值；

(Ⅱ)設(shè)0<a1,an1f(an),n,證明an1

21./p>

[考場錯解](1)由于f(x)的最大值不大于,所以f()

111x,時f(x),842

11f()又48,a1

f(1)1

8216a3a21,即a2166

由①，②可得a=1.

an1aan

即an132an,232anan2(Ⅱ)

湖南高考數(shù)學(xué)大綱公式答題技巧復(fù)習(xí)第21頁

高考數(shù)學(xué)典型易錯題會診

i,當(dāng)n=1時，0<a1<,結(jié)論成立。

1,則k1

212ii,假設(shè)nk(k1)時,不等式成立,即a

nk1時,ak1

故nk1時命題成立.

由k321312k12kk11akak..2k12k12(k1)2(k1)(k2)k2i,ii可知,不等式成立.

3

216［專家把脈］在證明不等式時，運用放縮法應(yīng)有理論依據(jù)，不能套結(jié)論，而且放縮不能過大或過小.［對癥下藥］(Ⅰ)解法：由于f(x)axx2的最大值不大于,

aa21所以f(),即a21.366

111又x,時f(x),842

1f()2所以f(1)41a31,,2888即解得a1.1a31,.84328

由①②得a=1.

(Ⅱ)證法一：()當(dāng)n1時,0a1,不等式0ani1

21成立;n1

211因f(x)0,x(0,),所以0a2f(a1),故n2時不等式也成立.363

(ii)假設(shè)nk(k2)時,不等式0ak1311成立,因為f(x)xx2的對稱軸x,知f(x)在0,為增函數(shù),k1233所以由0ak11得k13

10f(ak)f()于是有k1

131111k410ak1.k12(k1)2k2k2k22(k1)2(k2)k2所以當(dāng)nk1時,不等式也成立.

湖南高考數(shù)學(xué)大綱公式答題技巧復(fù)習(xí)第22頁

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根據(jù)()(iii

i)可知,對任何n,不等式an1成立.n1

證法二:()當(dāng)n1時,0a1

(11,不等式0an成立;2n1kii)假設(shè)nk(k1)時不等式成立,即0a

2ak11,則當(dāng)nk1時,k13133ak(1ak).(k2)ak.(1ak)因(k2)ak0,1ak0,所以2k2222311(k2)a1(k)akk3(k2)ak.(1ak)1.222

1于是0ak1.k2

因此當(dāng)nk1時,不等式也成立.

根據(jù)()(iii)可知，對任何n∈N,不等式an1成立。n1

證法三：()當(dāng)n1時,0a1,不等式0an

(i121成立;n111,則當(dāng)nk1時,若0ak,則k1k2

310ak1ak(1ak)ak.2k211若ak,則k2k1

31312k1110ak1ak(1ak)(1).2k12k22k2k2k2ii)假設(shè)nk(k1)時,0ak

由①②知當(dāng)n=k+1時，不等式0an

根據(jù)()(1也成立.n1iii)可知,對任何n,不等式an1成立.n1

2.(典型例題)六·一節(jié)日期間，某商場兒童柜臺打出廣告：兒童商品按標(biāo)價的80%出售；同時，當(dāng)顧客在該商場第23頁

高考數(shù)學(xué)典型易錯題會診

0.2x10010.2x1301,,x3或x3500x800,500x800.

解得500x800.

[專家把脈]商品的標(biāo)價為x元，而消費額在[50030.8,80030.8]之間，而不是500~800之間.

[對癥下藥](1)同上

(3)設(shè)商品的標(biāo)價為x元，則500≤x≤800,消費額：400≤0.8x≤640.

由已知得：0.2x601,①x34000.8x500.

0.2x1001,②x3

5000.8x640.或解不等式①無解，②得：625≤x≤750.

專家會診

1．應(yīng)用不等式的性質(zhì)與幾個重要不等式求出數(shù)的最值，比較大小，討論參數(shù)的范圍等，一定要注意成立的條件，易忽視“一正、二定、三等。”

2．運用不等式解決實際問題時，首先將實際問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，從而運用不等式求最值，注意成立時的實際條件與不等式成立條件應(yīng)同時考慮。

考場思維訓(xùn)練

1若111,則下列結(jié)論中不正確的是(ab

A..logablogba)

B.|logablogba|2

C.(logba)21

D|logab||logba||logablogba|

答案：D解析：∵1<11<，由倒數(shù)法則0<b<a<1．a(chǎn)b

∵logab>logtba=1，∴0<logba<1，∴A、B、C都不正確、而|logab|+|logba|>|logab+logba|．故選D．

22x+12+2x-32已知不等式x-2x+a>0時，任意實數(shù)x恒成立，則不等式a<ax<1的解集是()A.(1,2)B.,2

C.(-2,2)D.(-3,-2)

2答案：D解析：∵x-2x+a>0對x∈R恒成立．△<0，即a>1．

∴不等式(a2x+112<ax2+2x-32x2或x22x2x2x3<1∴x∈(-3，-2)．故選D．23x1.x2x30

3.某企業(yè)開發(fā)一種新產(chǎn)品，現(xiàn)準(zhǔn)備投入適當(dāng)?shù)膹V告費，對產(chǎn)品進行促銷，在一年第24頁

高考數(shù)學(xué)典型易錯題會診

年產(chǎn)1萬件此產(chǎn)品仍需再投入32萬元，若銷售額為“年生產(chǎn)成本的150%”與“年廣告費的50%”之和，而當(dāng)年產(chǎn)銷量相等。

(1)試將年利潤P萬元表示為年廣告費x萬元的函數(shù)；

答案：(1)P=(32Q+3)2150％+x250％-(32Q+3)-x=-

(2)當(dāng)年廣告費投入多少萬元時，企業(yè)年利潤最大？

答案：P=-(x

232321)+49．5≤-234+49．5=41．5，當(dāng)且僅當(dāng)x=時，即x=8時，P有最大值41．5xx2x232+49．5(x>0)x

萬元．

探究開放題預(yù)測

預(yù)測角度1不等式的概念與性質(zhì)

1．下列命題正確的是()

baA.2,當(dāng)且僅當(dāng)ab均為正數(shù)ab

B.abc3abc當(dāng)且僅當(dāng)abc均為正數(shù)

C.logablogbclogca3,當(dāng)且僅當(dāng)abc(1,)

D.|a1|2當(dāng)且僅當(dāng)a0時成立a

[解題思路]利用均值不等式成立的條件判斷。

[解答]D對于A，當(dāng)a、b同為負數(shù)時也成立；對于B，當(dāng)a、b、c中有一個為0，其余為正數(shù)時也成立；對于C，當(dāng)a、b、c∈(0，1)時也成立；D正確。

...2．已知a=sin15+cos15,b=sin16,則下列各式中正確的是()

A.aa2b2

b2

a2b2

2a2b22a2b2D.ba2B.abC.ba

a2b2[解題思路]利用兩角和與差的公式化簡b、a、.然后再比較大小.2

a2b2[解答]Ba2sin(1545)sin60,b2sin(1546)2sin61,1ab.又abb,故選B.2......

預(yù)測角度2不等式的解法

21．關(guān)于x的不等式x|x-a|≥2a(a∈(-∞,0)的解集為()

A.[-a,+∞]B.[a,+∞]

C.[2a,a]∪[-a+∞]D.(-∞,a)

[解題思路]討論a、x的大小，去絕對值符號.

22[解答]A當(dāng)x>a,x-ax-2a≥0,∴x≥-a.當(dāng)x<a,不等式顯然無解.

2.函數(shù)y=f(x)是圓心在原點的單位圓的兩段圓弧(如圖，與y軸無交點)，則不等式

f(x)<f(-x)+x的解集為

()

湖南高考數(shù)學(xué)大綱公式答題技巧復(fù)習(xí)第25頁

高考數(shù)學(xué)典型易錯題會診

225A.x|x0,或x155

2323B.x|1,或x1335252C.x|1x,或x122

5252D.x|x,且x022

[解題思路]由f(x)為奇函數(shù)，原不等式變形為f(x)>x.即可求解。2

x

2[解答]A由已知有f(x)為奇函數(shù)，則原不等式變形為f(x)<,畫圖可知A正確，所以選A

3．函數(shù)f(x)sinx,g(x)9()29(),則使g(x)≥f(x)的x的取值范圍是

A.0,

4C.,333B.,225D.,66xx34

[解題思路]利用數(shù)形結(jié)合法.

[解答]D用數(shù)

x形結(jié)

6合56法，分別作出f(x)=sinx和g(x)=-9()2的圖象,從圖像中觀察,當(dāng)x時,g(x)的圖象在f(x)的上方,當(dāng)x5,時,g(x)f(x),所以選D.66

2a24.解關(guān)于x的不等式x|xa|9(a0)1232

[解題思路]本題的關(guān)鍵不是對參數(shù)a進行討論，而是取絕對值時必須對未知數(shù)進行討論，得到兩個不等式組，最后對兩個不等式組的解集求并集，得出原不等式的解集。

[解答]當(dāng)x≥a時，不等式可轉(zhuǎn)化為

xa即29x(xa)2a

xa229x9ax2a0當(dāng)xa時不等式可化為

xaxa即22ax(ax)2a29x9ax2a0

a2ax或xa33

故不等式的解集為

2a3a(,],363a.

預(yù)測角度3不等式的證明

1．已知定義域為[0，1]的函數(shù)f(x)同時滿足：(1)對于任意x∈[0,1]總有f(x)≥0;

湖南高考數(shù)學(xué)大綱公式答題技巧復(fù)習(xí)第26頁

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(2)f(1)=1;(3)若x1≥0,x2≥0,x1+xz≤1,則有f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2).

(Ⅰ)試求f(0)的值；(Ⅱ)試求函數(shù)f(x)的最大值；(Ⅲ)試證明：當(dāng)x∈

(111],1]時,f(x)2x;當(dāng)x[0,]時,f(x)f(2x).2x22

[解題思路](1)賦值法；(2)變形f(x2)=f[(x2-x1)+x1],即可求函數(shù)f(x)的最大值；

[解答](Ⅰ)令x1x20,依條件(3)可得f(00)f(0)f(0),即f(0)0,又條件(1)

得f(0)≥0,∴f(0)=0.

(Ⅱ)任取0x1x21,可知x2x1(0,1],則f(x2)f[(x2x1)x1]f(x2x1)f(x1)

即f(x2)f(x1)f(x2x1)0.故f(x2)f(x1)于是當(dāng)0x1時,有

f(x)f(1)1.因此,當(dāng)x1時,f(x)有最大值1.

11當(dāng)x(,1]時,f(x)12x,當(dāng)x[0,]時,f(2x)f(x)f(x)2f(cx).(Ⅲ)22

f(x)1f(2x).2

3．設(shè)y=f(x)的定義域為R，當(dāng)x<0時，f(x)>1且對任意的實數(shù)x,y∈R,有f(x+y)=f(x)·f(y)成立，

數(shù)列{an}滿足a1=f(0),且f(an+1)=

4．1(n)f(2an)

(1)判斷y=f(x)是否為單調(diào)函數(shù)，并說明理由；(2)

設(shè)bn1

an1an,記Tnb1b2...bn,問是否存在無限集M,當(dāng)nM時都有|Tn11|成立?如存在請找出這樣的集合M;如不存在,請說21000

(3)若不等式(1111)(1)...(1)k2n1,對一切n均成立,求k的最大值.a1a2an

[解題思路](1)利用函數(shù)的單調(diào)性證明;(2)裂項法求出Tn再解不等式；(3)利用函數(shù)的單調(diào)性求k的最大值.

[解答](1)設(shè)x2x1,則f(x2)f(x1)f(x2x1),f(x2)f(x1)[f(x2x1)1]f(x1)(1)

0時,f(x)1,所以0f(x)1,所以在R上f(x1)0,且f(x2x1)1(2),由(1)(2)可知,f(x2)f(x1)0,所以f(x)在R上為單調(diào)減函數(shù).對f(xy)f(x)f(y),令x1,y0,得f(1)f(0)f(1),又由已知f(1)1,所以f(0)1,又f(0)f(x)f(x),所以f(x)f(x)1,又

(2)由f(an1)1(n)得f(an1)f(2an)1,由已知有f(an1an2)f(0),由(1)知f(x)在R上為單調(diào)減函數(shù),f(2an)

an1an2,a1f(0)1,an2n1

bn111111(),Tn(1),(2n1)(2n1)22n12n122n1

11111|,則||,n250,存在這樣無限集M,取Mn|n,n250即可.2100022n11000若|Tn

湖南高考數(shù)學(xué)大綱公式答題技巧復(fù)習(xí)第27頁

高考數(shù)學(xué)典型易錯題會診

(1111)(1)...(1)a1a2an

2n1(3)由(1111)(1)...(1)k2n1恒成立,知ka1a2an恒成立.設(shè)F(n)

(1

111)(1)...(1)a1a2an

2n1111(1)(1)...(1)aaan3

f(n1)f(n)2(n1)4(n1)12,則F(n1)又1,即F(n1)F(n).

222F(n)F(1)3,k,即k的最大值為3.333

預(yù)測角度4不等式的工具性

1．若直線2ax-by+2=0(a、b>0)始終平分圓x+y+2x-4y+1=0的周長，則

A.4B.2C.D.

[解題思路]利用重要不等式求最小值。

[解答]A直線2ax-by+2=0過圓心(-1,2),∴a+b=1,()(ab)4

2.已知函數(shù)f(x)=ax+8x+3(a<0),對于給定的負數(shù)a有一個最大的正數(shù)l(a),使得在整個區(qū)間

[0,l(a)]上，不等式|f(x)|≤5恒成立，則l(a)的最大值是()

1

2

1C.4A.B.122221a1的最小值是()b14121a1bD.2

[解題思路]考慮區(qū)間[0，l(a)]的端點處不等式|f(x)|≤5恒成立.

12a64161682a1642a16[解答]Bf(x)的最大值為3當(dāng)35時,即8a0時,l(a)為f(x)5的較小根,幫l(a)4aaa2aa

11242a,l(a)(,);當(dāng)a8時,l(a)為f(x)5的較大根,故l(a)242a42a16

1,所以選B22442a24416251,故l(a)2的最大值為

23.設(shè)二次函數(shù)f(x)=ax+bx+c(a>b>c),已知f(1)=0,且存實數(shù)m,使f(m)=-a.

(1)試推斷f(x)在區(qū)間[0，+∞]上是否為單調(diào)函數(shù)，并說明你的理由；

(2)設(shè)g(x)=f(x)+bx,對于x1，x2∈R,且x1≠x2,若g(x1)=g(x2)=0,求|x1-x2|的取值范圍；

(3)求證：f(m+3)>0.

[解題思路]由二次函數(shù)的對稱軸兩邊為單調(diào)的性質(zhì)判斷；(2)由根與系數(shù)的關(guān)系求出a、b、c的關(guān)系，從而轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值；

[解答](1)∵f(m)=-a,m∈R.∴方程ax+bx+c+a=0有實根??=b2-4a(a+c)≥02

湖南高考數(shù)學(xué)大綱公式答題技巧復(fù)習(xí)第28頁

高考數(shù)學(xué)典型易錯題會診

∵f(1)=0,∴a+b+c=0,即a+c=-b.

∴b-4a·(-b)=b(b+4a)≥0.

∵a>b>c,∴a>0,c<0.從而b+4a=-(a+c)+4a=3a-c>0.∴b≥0.?x=b0.2a2

∴f(x)在[0，+∞]上是增函數(shù).

2(2)據(jù)題意x1,x2是方程g(x)=0即ax+2bx+c=0的兩實根.

|x1x2|(x1x2)4x1x2224b2

4c44(b2ac)[(ac)2ac]aaaa

=4[(c)2c1]4(c1

aaa2)23

ab(ac).2ac0c

a2,

又acb0,c

a1.

(c

a1

2)2[1

4,9

4].

|x1x2|[2,2]

湖南高考數(shù)學(xué)大綱公式答題技巧復(fù)習(xí)第29頁

高考數(shù)學(xué)典型易錯題會診

參考答案

考點1集合與簡易邏輯考場思維訓(xùn)練

命題角度1：集合的概念與性質(zhì)

1．B解析：由N=x|x

,得Nx|x211

21,CUN=x|x

21,M(CUN)3,4

2．C解析：∵xoMxo3m1,yoN,yo3n2,x0yo(3m1)(3n2)9mn6m3n23(3mn2mn)2N.故選

a

3.B解析：M=x|x4,aRMx|x0y|y0N.

選B

4．解析：B0,6,它的子集的個數(shù)為22=4。

5．解析：依題可知，本題等價于求函數(shù)不勝數(shù)x=f(y)=(y+3).|y-1|+(y+3)在（1）（2）

當(dāng)1

5

y3時的最小值.

2

512559

y1時,x(y3)(1y)(y3)y2y6(y)2,所以y時,xmin.22424

3

2x=(y+3)(y-1)+(y+3)=y2+3y=(y+

≤

y≤3時

99599,所以當(dāng)y1時,xmin4.而4,因此當(dāng)y時,x有最小值,即a.

4244)2-4

命題角度2；集合與不等式

1．C解析：由[x]2-5[x]+6≤0,解得2≤[x]≤3,由[x]的定義知2≤x<4所選C.

m1

2.B解析：因不等式|x-m|<1等價于m-1<x<m+1,依題意有

m1

1

3,12

14

m,所以選B.23

3．B

4．解析：（1）當(dāng)a=2時，A=（2，7），B=（4，5）∴（2）∵B=（2a,a2+1）,當(dāng)

BA的a不存在;當(dāng)a

1

時,A(2,3a1)3

AB(4,5).

?，

a<

112a3a1

時A(3a1,2)要使BA,必須2,此時a1;當(dāng)a時,A33a12

2a2BA,必須2,此時1要使≤a≤3.a13a1

BA

綜上可知，使

|1|

的實數(shù)a的取值范圍為[1，3]

1

,a1.4

命題角度3：集合的應(yīng)用

1．B解析：AUB=?￡??àA=??Bò=?￡?óéA=?μa?=0?1ò￡?óéB=?μa?>0??ò÷<0,?aμ?a>2.D

4(x

4x5

0￡?3.?a??￡o(1)μa±=4ê±￡??-2?μèê??é?ˉ??′x43a55

M得0,a9或a,￡¨2￡ó?é3ù3￠3a

555

)(x2)0,x(,2)(,2),故M為(,2)(,2).444

5a5

5M得0,1a25,óéú5￠51aa5,或9a25.因此a的取值范圍是[1,)(9,25).

33óé￠ù?￠úμ?

?üìa???è￡′￡??òò×???-

１．Ｂ解析：p:x<-3或x>1,q:2<x<3,則q是p的充分但不必要條件，故┒p是┒q的充分但不必要條件。

湖南高考數(shù)學(xué)大綱公式答題技巧復(fù)習(xí)第30頁2

２．解析：命題p為真時，即真數(shù)部分能夠取到大于零的所有實數(shù)，故二次函數(shù)x+2x+a的判別式△＝４－４a≥0,從而a≤1

題q為真時，5-2a>1?a<2.

若p為真，q為假時，無解；若p為假，q為真時，結(jié)果為1<a<2,故選Ｃ.3.B

高考數(shù)學(xué)典型易錯題會診

(3)∵f(1)=0.設(shè)f(x)=a(x-1)(x-c)a

cf(m)a,a(m1)(m)a.a

ccc(m1)(m)10,0m1m2.aaa

m31.f(m3)f(1)0.

4.在xOy平面上有一系列點P1(x1,y1),P2(x2,y2),?,Pn(xn,yn),?,對每個正整數(shù)n,點PN位于函數(shù)

2y=x(x≥0)的圖像上,以點Pn為圓心的圓Pn與x軸都相切,且圓Pn與圓PN+1又彼此相外切.若x1=1,且

xn+1<xn(n=1,2,3,?).

(1)求證：數(shù)列{1}是等差數(shù)列；xn

(2)設(shè)圓Pn的面積為SN,TnS1S2S3...Sn,求證:Tn3.2

[解題思路](1)利用定義判斷；(2)裂項相消法求TN.

[解答](1)記圓Pn的半徑為rn,由條件知，yn-x2n,yn=rn,|PnPn+1|=rn+rn+1.所以

22(xnxn1)2(ynyn1)2rnrn1ynyn1,(xnxn1)24ynyn14xnxn1,因為xn1xn,所以xnxn12xnxn1,1

xn11xn

所以數(shù)列1是等差數(shù)列,公差為2.xn

(2)由(1)知,2221111124212(n1)2n1,xn,Snnrnxn.所以Tnx1x2x3...xn[1],因xn2n135(2n1)11111111111111111(),所以1...1(1)()...()1(12323522n32n12(2n1)(2n3)(2n1)22n32n135(2n1)3所以Tn.2

預(yù)測角度5不等式的實際應(yīng)用

1．某機關(guān)在“精簡人員”中，對部分人員實行分流，規(guī)定分流人員在第一年可到原單位領(lǐng)取工資

的100%，從第二年起，以后每年只能在原單位按上一年的領(lǐng)取工資，該機關(guān)根據(jù)分流人員的

特長計劃創(chuàng)辦新的經(jīng)濟實體，該機關(guān)根據(jù)分流人員的特長計劃創(chuàng)辦新的經(jīng)濟實體，該經(jīng)濟實體

預(yù)計第一年屬投資階段，沒有利潤，第二年每人可獲b元收入，從第三年起每人每年的收入可

在上一年基礎(chǔ)上遞增50%，若某人在分流前工資收入每年為a元，分流后第n年總收入為an元.

(1)求an;(2)當(dāng)b

3

88a時,這個人哪一年收入量少?最少收入是多少?2723(3)當(dāng)ba時,是否一定可以保證這個人分流后的年收入永遠超過分流前的收入?

[解題思路]建立數(shù)學(xué)模型，求出an,再運用重要不等式求an的最小值，解不等式.

2[解答](1)a1a,當(dāng)n2時,ana3n1b(150%)n2,即

湖南高考數(shù)學(xué)大綱公式答題技巧復(fù)習(xí)第31頁

高考數(shù)學(xué)典型易錯題會診

a

an2n12n3

ab

33

(n1)(n2)

(2)

82

當(dāng)ba時,當(dāng)n2時,ana

273

n1

83

272

n2

2

2a

3

2

n1

83272

n2

82a,而且僅當(dāng)93

n1

83

272

n2

即n3時取等號

32

(3)當(dāng)n2,ba時ana

832

僅當(dāng)

3

n1

n1

33a82

n2

22a

3

n1

33a82

n2

a

3382

n2

即n1log2

3

11223時取等號,而1log21log22,故等號不成立,當(dāng)n2時,有ana,但當(dāng)n2時,a2a22338

3

3

253

aa,故當(dāng)ba時,一定可以保證這個人分流后的年收入永遠超過分流前的年收入.248

2.某地區(qū)發(fā)生流行性病毒感染,居住在該地區(qū)的居民必須服用一種藥物預(yù)防,規(guī)定每人每天早晚八時各服用一片,現(xiàn)知該藥片含藥量為220毫克,若人的腎臟每12小時從體(n≥2)可得an-所以{an

11001100

0.4(an1)33

(n2)

110011001100

}是一個等比數(shù)列,an(a1)0.4n10333

1100

an386不會產(chǎn)生副作用.

3

考點高分解題綜合訓(xùn)練

１設(shè)數(shù)集Ｍ{x|mxmN{x|nxn},且M、N都是集合{x|0≤x≤1}的子集，如果把b-a叫做集合{x|a≤x≤b}的“長度”，那么集合M∩N的“長度”的最小值是()

131C.12A.

235.D.12B.

3413

答案：C解析：集合M的長度為、集合N的長度為，因M、N都是集合{x}0≤x≤1}的子集，而{x}0≤x≤1}的長度為1，由此得集合M∩N的“長度”的最小值是()-1=2已知(x5,y),(x,y),且||||6,則|2x3y12|的最大值為

(

34

13

1.12

3412

)

湖南高考數(shù)學(xué)大綱公式答題技巧復(fù)習(xí)第32頁

高考數(shù)學(xué)典型易錯題會診

A.1262

C.6B.1262D.12

答案：A解析：略．

3已知奇函數(shù)f(x)在(-∞,0)上為減函數(shù),且f(2)=0,則不等式(x-1)f(x-1)>0的解集為()

A.{x|-3<x<-1}

B.{x|-3<x<1或x>2}

C.{x|-3<x<0或x>3}

D.{x|-1<x<1或<1<x<3}

答案：D解析：由(x-1)f(x-1)>0得x10f(x1)0，由題x10x10x10x1設(shè)1x3,1x1

f(x1)f(2)x12f(x1)f(1)x12

4函數(shù)f(x)是R上的增函數(shù),A(0,1),B(3,1)是其圖像上的兩點,那么|f(x+1)|<1的解集是()

A.(1,4)B(-1,2)

C.(-∞,1)∪[4,+∞]D.(-∞,-1)∪[2,+∞]

答案：B易知過A、B兩點的直線即y=x-1，即f(x)=x-1是增函數(shù)，由f(x+1)=(x+1)-1，得當(dāng)|f(x1)|1時,|(x1)1|1∴1(x1)1..即0(x1)2即0x13.1x2.

5已知f(x)=x

x(x0),則不等式f(x25x5)1的解集為(x0)()232323232323

A.{x|1<x<4}

B.{x|x>3或x<2}

C.{x|1<x<2或3<x<4}

D.{x|x<0}

答案：C解析：略．

6.設(shè)f(x),g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，當(dāng)x<0時f′(x)g(x)+f(x)g′(x)>0,且g(-3)=0,則不等式f(x)g(x)<0的解集為()

A．(-3,0)∪(3,+∞)

B.(-3,0)∪(0,3)

C.(-∞,-3)∪(3,+∞)

D.(-∞,-3)∪(0,3)

答案：D解析：設(shè)F(x)=f(x)2g(x)，

F(-x)=f(-x)2g(-x)=-f(x)2g(x)=-F(x)

∴F(x)為奇函數(shù)

又x<0時，F(xiàn)′(x)=f′(x)g(x)+f(x)g′，(x)>0

∴x<0時，F(xiàn)(x)為增函數(shù)

∵奇函數(shù)在對稱區(qū)間上的單凋性相同，

∴x>0時，9(x)也為增函數(shù)

∵F(-3)=f(-3)g(-3)=0

∴F(3)=-F(-3)=0

如圖為一個符合題意的圖象觀

湖南高考數(shù)學(xué)大綱公式答題技巧復(fù)習(xí)第33頁

高考數(shù)學(xué)典型易錯題會診

察知9(x)=f(x)，g(x)<0解集為(-∞，-3)∪(0，3)

7已知y=logb(2-bx)在[0,1]上是增函數(shù)，則不等式：logb|x+2|>logb|x-4|的解集是________.答案：{x|x<1，x7≠-2}解析：因為當(dāng)b>0，所以2-bx在[0，1]上遞減，由已知可知0<b<1，所以原不等式等價于0<|x+2|<，x-4|，解得{x|x<|，x≠-2}．8已知函數(shù)y=f(x)是偶函數(shù),當(dāng)x>0時，

f(x)=x+.當(dāng)x[3,1]時,記f(x)的最大值為m,最小值為n,則有mn______.答案：依題意x∈[-3，-1]時f(x)=f(-x)=-x+

1

9定義符號函數(shù)sgnx=0

1

x0

x0,則不等式:x2(2x1)sgnx的解集是______.x0

44

=(x),∴m=f(-1)=5，n=f(-2)=4，m-n=1，xx

4

x

答案：-2解析：略；10已知關(guān)于x的不等式(1)a=4時，求集合M；

答案：當(dāng)a=4時，原不等式可化為

54

ax5x2a

0的解集為M.

4x5x24

0，

54

54

即4(x-)(x-2)(x+2)<0，∴x∈(-∞，-2)∪(，2)，故M為(-∞，-2)∪(，2)．(2)若3∈M且5M,求實數(shù)a的取值范圍。答案：由3∈M得由5M得

3a53a

2

<0，∴a>9或a<，①

53

5a55a

53

2

≥0，∴1≤<a25，②

53

由①、②得1≤a<，或9<a<25．因此a的取值范圍是[1，]∪(9，25)．11已知函數(shù)f(x)對任意實數(shù)P、q都滿足f(p+q)=f(p)f(q),且f(1)=.(1)當(dāng)n∈N+時，求f(n)的表達式；

答案：解：由已知得f(n)f(n1)f(1)f(n1)()2f(n2)()n1f(1)()n.

13

13

13

13

.

13

(2)設(shè)annf(n)(n),求證:(3)設(shè)bn

nf(n1)

(nN),snf(n)

a

k1k1n

n

k

34

bk,試比較

k1

n

1

6的大小.Sk

n

1

答案：證明由(1)可知則ann()n,設(shè)Tn

313

13

13

13

13

k1

ak則Tn1

1112()2n()n333

∴Tn1()22()3(n1)()nn()n1.

湖南高考數(shù)學(xué)大綱公式答題技巧復(fù)習(xí)第34頁

高考數(shù)學(xué)典型易錯題會診

兩式相減得Tn()2()3()nn()n1

1111()nn()n1,Tn233231313131313k1n311n13ak()1()n.443234

nn1(3)解由(1)可知bnn.sn3k1bk1n(n1)(12n),36

則16116(),Snn(n1)nn1

故有k1n11111116(1)6(1)6.Sk223nn1n1

212某村計劃建造一個室及，x1≠x2，則由λ(x1-x2)≤(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]

和，|f(x1)-f(x2)，|≤|x1-x2|②

22可知λ(x1-x2)≤(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]≤|x1-x2|2|f(x1)-f(x2)1≤|x1-x2|，

從而A≤1．假設(shè)有b0≠a0，使得f(b0)=0，則由①式知

20<λ(a0-b0)≤(a0-b0)[f(a0)-f(b0)]=0矛盾．

∴不存在b0≠a0，使得f(b0)=0．

(Ⅱ)證明ba0)2(12)(aa0,)；

答案：由b=oa-λf(a)③

22222可知(6-a0)=[a-a0-λf(a)]=(a-a0)-2λ(a-a0)f(a)+λ[f(a)]④

由f(a0)=0和①式，得(a-a0)f(a)=(a-a0)

2[f(a)-f(a0)]≥λ(a-a0)⑤

222由f(a0)=0和②式知，[f(a)]=[f(a)-f(a0)]≤(a-a0)⑥

222222由⑤、⑥代人④式，得(b-a0)≤(a-a0)-2λ(a-a0)+λ(a-a0)

=(1-λ2)(a-a0)2

湖南高考數(shù)學(xué)大綱公式答題技巧復(fù)習(xí)第35頁22

高考數(shù)學(xué)典型易錯題會診

(Ⅲ)證明[f(b)]2(12)[f(a)]2.

答案：由③式可知[f(b)]=[f(b)-f(a)+f(a)]

22=f(b)-f(a)]+2f(a)[f(b)-f(a)]+[f(a)]

≤(b-a)-22

=λ[f(a)]-

≤λ[f(a)-

222222222ba[f(b)-f(a)]+[f(a)](用②式)222(b-a)[f(b)-f(a)]+[f(a)]2222λ2(b-a)+[f(a)](用①)222=λ[f(a)]-2λ[f(a)]+[f(a)]

=(1-λ2)[f(a)]2

x22x214已知函數(shù)f(x)=x1

(1)設(shè)0<|x|<1,0<|t|≤1,求證：|t+x|+|t-x|<|f(tx+1)|

1(x1)21答案：∵f(x)=∴f(tx+1)=tx+txx1

∴|f(tx+1)|=tx111=|t|+≥2tx|=2，當(dāng)且僅當(dāng)，|tx|=1時，上式取等號．|tx||tx|tx

∵0<|x|<1，0<|tx|<1．∴|tx|≠1，∴|f(tx+1)|>2

2222222222s=(|t+x|+|t-x1)=2(t+x)+2|t-x|-(|t+x|+|t-x|)=2(t+x)+2|t-x|.

22當(dāng)|t|≥|x|時，s=4t≤4；當(dāng)|t||x|時s=4x<4

∴|t+x|+|t-x|≤2<1f(tx+1)|即，|t+x|+|t-x|<|f(tx+1)|

nnn(3)設(shè)x是正實數(shù)，求證:[f(x+1)]-f(x+1)≥2-2.

答案：n=1時，結(jié)論顯然成立

nn當(dāng)n≥2時，[f(x+1)]-f(x+1)=(x+

n2C1nx1x)-(x+nn1xn)111112n2n1n1n22n4n2n1Cnx2Cnxh2CnC1CnxCnn1Cnn2nxx2xxx

111n22n4n1n2=C1n2)Cn(xn4)Cn(xn2)n(xxxx

12n112n1[2(C12n2.nCnCn)]CnCnCn2

考點8直線與圓

典型易錯題會診

命題角度1直線的方程

1．(典型例題)已知點A(,1),B(0,0)C(3,0),設(shè)BAC的平分線AE與BC相交于E,那么有BCCE,其中等于

A.2B.1

2C.3D.13

1,故|BC|3|CE|,3.2()[考場錯解]∵|AC|1,|AB|2,由第36頁

高考數(shù)學(xué)典型易錯題會診

[專家把脈]主要是沒有考慮到BC與CE的向,BC與CE的方向相反,應(yīng)為負值.

[對癥下藥]|BC|3|CE|,而BC與CE的方向相反,故3.

2.(典型例題)點(1,-1)到直線x-y+1=0的距離是()

A.1

2B.3

2

2C.232D.2

[考場錯解]直接運用點到直線的距離公式.

|11(1)11|

2122.故選C2

[專家把脈]在運用點到直線的距離公式時，沒有理解直線Ax+By+C=0中，B的取值，B應(yīng)取-1,而不是取1.

[對癥下藥]|11(1