天津市五所重點(diǎn)校2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期期末質(zhì)量聯(lián)合測試數(shù)學(xué)試題

2023~2024學(xué)年度第一學(xué)期期末重點(diǎn)校聯(lián)考高三數(shù)學(xué)出題學(xué)校：楊村一中蘆臺一中一、選擇題（本題共9小題，每題5分，共45分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1．設(shè)全集，集合，則（）A．B．C．D．2．已知，則“”是“”的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件3．中國茶文化博大精深、茶水的口感與茶葉的類型和水的溫度有關(guān)，某數(shù)學(xué)建模小組建立了茶水冷卻時(shí)間和茶水溫度的一組數(shù)據(jù)，經(jīng)過分析，提出了四種回歸模型，①②③④四種模型的殘差平方和的值分別是．則擬合效果最好的模型是（）A．模型①B．模型②C．模型③D．模型④4．已知，則的大小關(guān)系是（）A．B．C．D．5．某廣場設(shè)置了一些石凳供大家休息，這些石凳是由正方體截去八個(gè)一樣的四面體得到的。如圖所示，已知正方體邊長為6，則該石凳的體積為（）A．180B．36C．72D．2166．如圖為函數(shù)的大致圖象，其解析式可能為（）A．B．C．D．7．已知，則（）A．2B．5C．10D．208．已知函數(shù)，其圖象相鄰兩個(gè)對稱中心之間的距離為，且直線是其一條對稱軸，則下列結(jié)論正確的是（）A．函數(shù)的最小正周期為B．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增C．點(diǎn)是函數(shù)圖象的一個(gè)對稱中心D．將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的圖象向左平移個(gè)單位長度，可得到一個(gè)奇函數(shù)的圖象9．已知分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過向雙曲線的一條漸近線引垂線，垂足為點(diǎn)，且，則雙曲線的漸進(jìn)線方程為（）A．B．C．D．二、填空題（本題6小題，每題5分，共30分）10．設(shè)，則的共軛復(fù)數(shù)為_________．11．二項(xiàng)式的展開式中常數(shù)項(xiàng)為_________．（用數(shù)字作答）12．已知點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若以為圓心，為半徑的圓與直線相切，則拋物線的方程為_________．13．學(xué)校迎元旦文藝演出，邀選出小品、相聲、獨(dú)唱、魔術(shù)、合唱、朗誦等六個(gè)匯報(bào)演出節(jié)目，如果隨機(jī)安排節(jié)目出場，則朗誦第一個(gè)出場的概率為_________；若已知朗誦第一個(gè)出場，則小品是第二個(gè)出場的概率為_________．14．在梯形中，分別為線段和線段上的動點(diǎn)，且，則的取值范圍為_________．15．已知函數(shù)，且，若函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_________．三、解答題（本題5小題，共75分．將解題過程寫在答題紙上）16．（本題滿分14分）在中，角的對邊分別為，已知的面積為，周長為9，且滿足．（1）求的值；（2）若．（i）求的值；（ii）求的值．17．（本題滿分15分）在直三棱柱中，，點(diǎn)是的中點(diǎn)．（1）求異面直線所成角的余弦值；（2）求直線與平面所成角的正弦值；（3）求直線到平面的距離．18．（本題滿分15分）設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，左右頂點(diǎn)分別為，已知橢圓過點(diǎn)，且長軸長為6．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）點(diǎn)是橢圓上一點(diǎn)（不與頂點(diǎn)重合），直線交軸于點(diǎn)，且滿足，若，求直線的方程．19．（本題滿分15分）已知公差為的等差數(shù)列和公比的等比數(shù)列中，，．（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）求；（3）若在數(shù)列任意相鄰兩項(xiàng)之間插入一個(gè)實(shí)數(shù)，從而構(gòu)成一個(gè)新的數(shù)列．若實(shí)數(shù)滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和．20．（本題滿分16分）已知函數(shù)．（1）求函數(shù)在處的切線方程；（2）令．（i）討論函數(shù)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；（ii）若是的一個(gè)極值點(diǎn)，且，證明：．

2023~2024學(xué)年度第一學(xué)期期末重點(diǎn)校聯(lián)考高三數(shù)學(xué)參考答案一、選擇題（本題共9小題，每題5分，共45分．）1-5DABBA6-9CDCD二、填空題（本題共6小題，共30分，每空5分，13題前空2分，后空3分）10．11．8412．13．；14．15．三、解答題（本題共5小題，共75分）16．（本題滿分14分）（1）在中，由得：而解得（i）由（1）知且解得：則（ii）由則則17．（本題滿分15分）解：（1）以為軸建立按直角坐標(biāo)系，則．所以，所以．故異面直線和所成角的余弦值為．（2），設(shè)平面的法向量為．則即，取，得設(shè)直線與平面所成角為，則．所以直線與平面所成角的正弦值為．（3）連接交于點(diǎn)，連接，易得，所以平面．故點(diǎn)到平面的距離即為所求直線到平面的距離．記點(diǎn)到平面的距離為，則．所以直線到平面的距離為．18．（本題滿分15分）（1）由題意得：所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程方程為（2）由（1）知：，如圖，設(shè)，由直題意知直線的斜率不等于0，設(shè)直線的方程為：，令：，得：，由，得：，由根與系數(shù)關(guān)系得：，所以得：，由題意得：，又因?yàn)椋?，由：，得：，易知同號，則：，得：，故直線方程為或（注：另一種設(shè)直線的方法需寫斜率顯然存在或不存在不成立且不等于0，否則扣1分）19．（本題滿分15分）（1）由已知得，解得，（2）（3）由（1）得，所以20．（本題滿分16分）解：（1）所以從而在處的切線方程為，即（2）（i）①當(dāng)時(shí)，，在上是增函數(shù)，不存在極值點(diǎn)②當(dāng)時(shí)，令，顯然函數(shù)在是增函數(shù)，又因?yàn)?，必存在，使，為減函數(shù)；為增函數(shù)，所以是的