湖南省衡陽市2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（教師版）

2024屆高三統(tǒng)一考試試題數(shù)學(xué)注意事項：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名?考生號?考場號?座位號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.4.本試卷主要考試內(nèi)容：高考全部內(nèi)容.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1設(shè)集合，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】化簡集合A,B再求交集即可.【詳解】因為，所以，所以.故選：A2.下列函數(shù)的最小正周期為，且在上單調(diào)遞減的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】求出各函數(shù)的周期和單調(diào)區(qū)間即可得出結(jié)論.【詳解】由題意，A項，在中，，，最小正周期為，當(dāng)單調(diào)遞增時，，解得：∴在上不單調(diào)遞減，A錯誤；B項，在中，，最小正周期，當(dāng)單調(diào)遞增時，，解得：∴在上不單調(diào)遞減，B錯誤；C項，在中，，周期,∴函數(shù)在即上單調(diào)遞減，∴函數(shù)在上單調(diào)遞減，C正確；D項，在中，，故D錯誤.故選：C.3.某旅游團(tuán)計劃去湖南旅游，該旅游團(tuán)從長沙?衡陽?郴州?株洲?益陽這5個城市中選擇4個（選擇的4個城市按照到達(dá)的先后順序分別記為第一站?第二站?第三站?第四站），且第一站不去株洲，則該旅游團(tuán)四站的城市安排共有（）A.96種 B.84種 C.72種 D.60種【答案】A【解析】【分析】根據(jù)分步乘法原理先考慮第一站，再考慮余下的三站得解.【詳解】因為第一站不去株洲，所以第一站可以從長沙?衡陽?郴州?益陽這4個城市中選擇1個，共有4種選擇，余下的三站可以從剩下的4個城市中選擇3個，所以該旅游團(tuán)四站的城市安排共有種.故選：A.4.在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，是方程的兩個不同的復(fù)數(shù)根，則的值為（）A.1 B. C.2 D.或2【答案】D【解析】【分析】分解因式解方程,再求模長即可求解.【詳解】由，得因為，所以或，當(dāng)或，；當(dāng)或，.故選：D5.星等是衡量天體光度的量.為了衡量星星的明暗程度，古希臘天文學(xué)家喜帕佮斯在公元前二世紀(jì)首先提出了星等這個概念，例如：2等星的星等值為2.已知兩個天體的星等值和它們對應(yīng)的亮度滿足關(guān)系式，則（）A.3等星的亮度是0.5等星亮度的倍B.0.5等星的亮度是3等星亮度的倍C.3等星的亮度是0.5等星亮度的10倍D.0.5等星的亮度是3等星亮度的10倍【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意建立對數(shù)關(guān)系式，并結(jié)合指對數(shù)互化求解.【詳解】本題考查對數(shù)運算的實際應(yīng)用，考查應(yīng)用意識與邏輯推理的核心素養(yǎng).當(dāng)時，，則，則，所以0.5等星的亮度是3等星亮度的10倍，故D正確.故選：D.6.已知是拋物線上的兩點，為的焦點，，點到軸的距離為，則的最小值為（）A.9 B.10 C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)拋物線的定義求解即可.【詳解】因為拋物線的準(zhǔn)線方程為，所以，因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)在線段上時，等號成立，所以的最小值為9，故選：A7.若函數(shù)與圖象的交點為，則曲線在點處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為（）A.4 B.6 C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)，結(jié)合單調(diào)性求出交點A的坐標(biāo)，求出曲線在點A處的切線方程得解.【詳解】由，得，設(shè)，則，所以為R上的增函數(shù)，因為，所以.又，則，所以曲線在點A處的切線方程為，令，得，令，得，則所求三角形的面積為.故選：B.8.在正三棱臺中，，二面角為，則該三棱臺的體積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合正三棱臺的結(jié)構(gòu)特征求出棱臺的高，再利用棱臺的體積公式計算即得.【詳解】在正三棱臺中，令的中點分別為，連接，則，于是二面角的平面角為，即，設(shè)上底面與下底面的中心分別為，連接，則，過點作，垂足為，則，則，則，所以該三棱臺的體積為.故選：B二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.已知半徑為的圓的圓心在直線上，且圓與直線相切，則圓的圓心坐標(biāo)可能為（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】【分析】利用圓心到直線的距離等于半徑列方程求解.【詳解】依題意可設(shè)圓的圓心坐標(biāo)為，則，解得或，所以圓的圓心坐標(biāo)為或.故選：AC10.若三個不同的平面兩兩相交，且，則交線的位置關(guān)系可能是（）A.重合 B.相交于一點 C.兩兩平行 D.恰有兩條交線平行【答案】ABC【解析】【分析】構(gòu)造長方體模型，選擇其中的若干平面作為平面，即可依次判斷即得.【詳解】如圖，作出一個長方體.對于A項，可把平面依次取為平面，它們兩兩相交于共同的交線,故A項正確；對于B項，可把平面依次取為平面，此時，,,,而易得三條交線交于同一點D，故B項正確；對于C項，可把平面依次取為平面,此時，,,,而易得三條交線兩兩平行，故C項正確；對于D項，可把平面依次取為平面,此時，,,,若只有,因平面，而平面，則平面,又平面,而平面平面=，則有,即交線的位置關(guān)系不可能是恰有兩條交線平行，故D項錯誤.故選：ABC.11.已知平行四邊形的面積為，且，則（）A.的最小值為2B.當(dāng)在上的投影向量為時，C.的最小值為D.當(dāng)在上的投影向量為時，【答案】ACD【解析】【分析】利用面積得出邊長乘積為定值，再利用平面向量基本定理表示結(jié)合不等式判斷A和C,利用投影向量判斷BD.【詳解】因為，所以.設(shè)，則，解得，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，A正確因為，所以，所以,,,，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以的最小值為,C正確.如圖，過點作，垂足為，則在上的投影向量為，當(dāng)在上的投影向量為時，.因為，所以，得，則,故B錯誤，D正確.故選：ACD12.已知函數(shù)的定義域為，函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，函數(shù)），則必有（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)為奇函數(shù)，利用奇函數(shù)性質(zhì)可得，從而可得且，從而可對A、B、D判斷；取特殊函數(shù)，從而可得，從而對C判斷.【詳解】對A、B、D：由條件可知，因為，所以，且，可得，所以，所以A、B、D均正確.對C：取，則，此時滿足是定義在上的奇函數(shù)，，所以未必成立，故C錯誤.故選：ABD.【點睛】關(guān)鍵點點睛：對于抽象函數(shù)，根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)，從而求出，然后可求得且得為奇函數(shù)，即可對A、B、D判斷求解；利用特殊函數(shù)可對C判斷求解.三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.若，則__________.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)兩角和的余弦公式化簡可得.【詳解】因為，所以，因為，所以，即.故答案為：.14.已知橢圓的周長，其中分別為橢圓的長半軸長與短半軸長.現(xiàn)有如圖所示的橢圓形鏡子，其外輪廓是橢圓，且該橢圓的離心率為，長軸長為，則這面鏡子的外輪廓的周長約為__________cm.（取3.14，結(jié)果精確到整數(shù)）【答案】211【解析】【分析】根據(jù)離心率公式和橢圓a、b、c的關(guān)系計算即可.【詳解】因為，所以,因為長軸長為，所以，故.故答案為：211.15.某中學(xué)高一?高二?高三的學(xué)生人數(shù)比例為，假設(shè)該中學(xué)高一?高二?高三的學(xué)生閱讀完《紅樓夢》的概率分別為，若從該中學(xué)三個年級的學(xué)生中隨機(jī)選取1名學(xué)生，則這名學(xué)生閱讀完《紅樓夢》的概率不大于0.233，已知該中學(xué)高三的學(xué)生閱讀完《紅樓夢》的概率不低于高一的學(xué)生閱讀完《紅樓夢》的概率，則的取值范圍是__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)全概率公式可知任選1名學(xué)生概率為，由該中學(xué)高三的學(xué)生閱讀完《紅樓夢》的概率不低于高一的學(xué)生閱讀完《紅樓夢》的概率可得，從而可求解.【詳解】若從該中學(xué)三個年級的學(xué)生中隨機(jī)選取1名學(xué)生，則這名學(xué)生閱讀完《紅樓夢》的概率為，解得.因為該中學(xué)高三的學(xué)生閱讀完《紅樓夢》的概率不低于高一的學(xué)生閱讀完《紅樓夢》的概率，所以.故的取值范圍是.故答案為：.16.若為正整數(shù)，記集合中的整數(shù)元素個數(shù)為，則數(shù)列的前62項和為__________.【答案】3841【解析】【分析】先轉(zhuǎn)化得，再分類討論的取值范圍，利用放縮法判斷得，，從而得解.【詳解】因為，當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，，因為，所以，又，所以，則；故數(shù)列的前62項和為.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題解決的關(guān)鍵是分析得，從而得到當(dāng)時，，由此得解.四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.17.已知某超市銷售的袋裝食用鹽的質(zhì)量（單位：）服從正態(tài)分布，且0.15.某次該超市稱量了120袋食用鹽，其總質(zhì)量為的值恰好等于這120袋食用鹽每袋的平均質(zhì)量（單位：）.（1）若從該超市銷售的袋裝食用鹽中隨機(jī)選取2袋，設(shè)這2袋中質(zhì)量不小于的袋數(shù)為，求的分布列；（2）若從該超市銷售的袋裝食用鹽中隨機(jī)選?。檎麛?shù)）袋，記質(zhì)量在的袋數(shù)為，求滿足的的最大值.【答案】（1）分布列見解析（2）199【解析】【分析】（1）根據(jù)題意可求得，從而求出，由的可能取值為，從而求出相應(yīng)概率即可列出分布列.（2）由（1）及可得，且，利用二項分布求方差公式從而可求解.【小問1詳解】依題意可得，則，的可能取值為，，，所以的分布列為0120.250.50.25【小問2詳解】因為，所以.依題意可得，所以.因為，所以，又為正整數(shù)，所以的最大值為199.18.在平面四邊形中，平分.（1）證明：與相等或互補.（2）若，求內(nèi)切圓的半徑.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）分別在與中利用正弦定理列等式，再由角平分線及邊相等得兩角正弦相等，從而得證；（2）分別在與中利用余弦定理列等式，由第（1）角與互補關(guān)系代入求出，再求得，再由等面積法求內(nèi)切圓半徑即可.【小問1詳解】在中，，在中，.因為平分，所以.又，所以，為三角形的內(nèi)角，所以與相等或互補.【小問2詳解】假設(shè)與相等，又平分，則，，，故與全等，則，這與已知矛盾.所以假設(shè)錯誤，與不相等，故與互補.在中，，在中，，所以.又，所以，則.所以的面積，設(shè)內(nèi)切圓的半徑的，則，故.19.在數(shù)列中，且.（1）證明：是等差數(shù)列；（2）設(shè)的前項和為，證明：.【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】【分析】（1）由題設(shè)求出，再利用等差數(shù)列的定義式計算，將結(jié)果代入化簡即得差為常數(shù).（2）根據(jù)（1）的結(jié)論求出數(shù)列的通項，再運用分組求和的方法求出再證明.【小問1詳解】因為，所以，所以，所以是公差為1的等差數(shù)列.【小問2詳解】因為，所以，由（1）知，則.設(shè)數(shù)列前項和為，則，則，所以，則，所以.20.在棱長為2的正方體中，分別是棱的中點，直線與平面交于點.（1）求的長；（2）若，求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，利用線面垂直性質(zhì)列方程求解即可；（2）利用線面角向量公式求解.【小問1詳解】以為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，所以.設(shè)，則.設(shè)平面的法向量為，則令，得.依題意可得，解得.所以.【小問2詳解】因為，所以，所以.設(shè)直線與平面所成的角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為.21.在平面直角坐標(biāo)系中，，動點滿足，點的軌跡記為曲線.（1）求的方程.（2）已知，過點的直線（斜率存在且斜率不為0）與交于兩點，直線與交于點，若為圓上的動點，試問是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，請說明理由.【答案】（1）（2）存在，【解析】【分析】（1）根據(jù)雙曲線定義即可求得答案；（2）設(shè)的方程為，聯(lián)立雙曲線方程，可得根與系數(shù)的關(guān)系，寫出直線、直線的方程，聯(lián)立并結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系化簡，求出點P的橫坐標(biāo)，說明其在定直線上，結(jié)合圓的幾何性質(zhì)，即可求得答案.【小問1詳解】因為，所以根據(jù)雙曲線的定義可知點的軌跡為以為焦點，實軸長為6的雙曲線的左支.由，得，所以的方程為.【注】的方程也可以寫為.【小問2詳解】由題意可設(shè)的方程為，設(shè)，聯(lián)立，得，滿足，則.直線，直線，聯(lián)立與，得，解得，故點在定直線上.因為圓的圓心到直線的距離為，所以的最小值為.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查了雙曲線方程的求解以及直線和雙曲線位置關(guān)系中的最小值問題，解答本題的關(guān)鍵是利用直線和雙曲線的方程，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系，推出點P在定直線上，進(jìn)而結(jié)合圓的幾何性質(zhì)，即可求解.22.已知函數(shù).（1）證明：當(dāng)時，對恒成立.（2）若存在，使得，比較與的大小，并說明理由.【答案】（1）證明見解析（2），理由見解析【解析】【分析】（1）構(gòu)造函數(shù)，通過導(dǎo)函數(shù)判斷單調(diào)性可得，進(jìn)而利用放縮和導(dǎo)數(shù)證明在上為增函數(shù)即可；（2）由，得，要證明，即證，構(gòu)造，再利用導(dǎo)數(shù)證明即可.【小問1詳解】設(shè)函數(shù)，則，當(dāng)時，，所以為增函數(shù)，所以，所以