知識(shí)資料數(shù)學(xué)線性代數(shù)(三)(新版)

朽木易折，金石可鏤。千里之行，始于足下。PAGE第頁/共頁需課件7（五）矩陣的秩定義在矩陣A中任取k行k列，這些行列交錯(cuò)處的元素按它們?cè)贏中的羅列所構(gòu)成的行列式，稱為矩陣A的k階子式。m×n矩陣共有CkmCkn個(gè)k階子式。定義倘若在矩陣A中有一個(gè)r階非零子式Dr，而所有r+1階子式全等于0，那么Dr稱為矩陣A的最高階非零子式，數(shù)r稱為A的秩，記作R(A）。零矩陣沒有非零子式，規(guī)定零矩陣的秩為0。定理若A~B，則R(A)=R(B）。這一定理說明初等變換不改變矩陣的秩，因此，當(dāng)把矩陣變?yōu)樾须A梯形，即可看出矩陣的秩，因?yàn)樾须A梯形的秩就等于非零行的行數(shù)。由此還可知，若R(A)=r，則A的標(biāo)準(zhǔn)形左上角為r階單位陣，矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形由其行數(shù)m、列數(shù)n及秩r所徹低決定。（六）例題【例1-8-5】設(shè)A、B為n階方陣，AB＝O，則(A)A=O或B=O(B）BA＝O(c)（BA）2=O(D)(A+B)2=A2＋B2【解】由兩個(gè)非零矩陣的乘積可以是零矩陣，知（A）不成立；由矩陣乘法不滿意交換律，預(yù)計(jì)（B）、（D）不成立；而（BA)2＝BABA＝BOA＝O知（C）成立，故選(C）。因此三、n維向量（一）n維向量n個(gè)有序數(shù)al,a2，…，an所組成的數(shù)組α=（α1，α2…αn）稱為n維向量。為了交流向量與矩陣的聯(lián)系，，維向量亦記作并把α稱為行向量，a稱為列向量。行向量即行矩陣，列向量即列矩陣，規(guī)定向量與矩陣一樣舉行運(yùn)算，αT=a,aT="α；行向量與列向量不能相加。m個(gè)n維列向量所組成的向量組可對(duì)應(yīng)一個(gè)n×m矩陣反之，一個(gè)m×n矩陣A有m個(gè)n維行向量，這些行向量所組成的向量組稱為矩陣A。的行向量組；同時(shí)，A又有n個(gè)m維列向量，這些列向量所組成的向量組稱為A的列向量組。（二）向量組的線性相關(guān)與線性無關(guān)定義設(shè)有向量組A:α1,α2，…，αm與向量β，倘若有一組數(shù)kl,k2，…，km使則稱向量β是向量組α1,α2，…，αm的線性組合，或稱β可由α1,α2，…，αm，線性表出定義設(shè)有向量組A:α1,α2，…，αm，倘若有一組不全為0的數(shù)kl,k2，…，km使則說向量組A是線性相關(guān)的，否則說向量組A是線性無關(guān)的。這時(shí)，向量組A線性相關(guān)，也就是線性方程組。有非零解，而向量組A線性無關(guān)也就是上列線性方程組沒有非零解。這時(shí)，向量組A是否線性相關(guān)，也就是線性方程組是否有非零解。定理設(shè)向量組α1,α2，…，αm線性無關(guān)，而向量組α1,α2，…，αm，β線性相關(guān)，則β可由α1,α2，…，αm線性表示，且表示式是唯一的。（三）向量組的秩定義設(shè)有向量組A(A可以含有限個(gè)向量，也可以含無限多個(gè)向量），倘若在A中能選出r個(gè)向量α1,α2，…，αr，滿意(i)α1,α2，…，αr線性無關(guān)；(ii)A中隨意r十1個(gè)向量都線性相關(guān)。則向量組α1,α2，…，αr稱為向量組A的最大線性無關(guān)向量組（簡(jiǎn)稱最大無關(guān)組），數(shù)r稱為向量組A的秩。只含零向量的向量組沒有最大無關(guān)組，規(guī)定它的秩為0。按此定義可知：向量組A線性相關(guān)的充足須要條件是A的秩小于A所含向量的個(gè)數(shù)；線性無關(guān)的充足須要條件是A的秩等于A所含向量的個(gè)數(shù)。定義設(shè)有兩個(gè)向量組A與B，倘若A中每個(gè)向量都能由向量組B線性表示，則稱向量組A能由向量組B線性表示。倘若向量組A與B能互相線性表示，則稱向量組A與B等價(jià)。顯然，一個(gè)向量組與它自己的最大無關(guān)組等價(jià)。定理若向量組A能由向量組B線性表示，則向量組A的秩不大于向量組B的秩。若向量組A與B等價(jià)，則它們的秩相等。注重向量組等價(jià)與矩陣等價(jià)是兩個(gè)不同的概念，不要混淆。定理若矩陣A經(jīng)行變換變?yōu)榫仃嘊，則A的行向量組與B的行向量組等價(jià)；若矩陣A經(jīng)列變換變?yōu)锽，則A與B的列向量組等價(jià)；矩陣A的行向量組的秩以及列向量組的秩都等于矩陣A的秩。由上述兩定理可推知(i）設(shè)n個(gè)n維向量構(gòu)成方陣A，則此n個(gè)向量線性相關(guān)的充足須要條件是|A|=0。(ii）設(shè)Dr是矩陣A的最高階非零子式，則Dr所對(duì)應(yīng)的r個(gè)行向量即是A的行向量組的最大無關(guān)組，Dr所對(duì)應(yīng)的r個(gè)列向量即是A的列向量組的最大無關(guān)組。(iii）設(shè)C＝AB，則R（C）≤R(A),R(C)≤（B）。當(dāng)B可逆時(shí)，R(C)=R(A)，當(dāng)A可逆時(shí)，R(C)=R(B）。（五）例題[例1-8-9］設(shè)A為n階方陣，且|A|=0，則必有(A)A中某一行元素全為0(B)A的第n行是其余，n-1行的線性組合(C)A