新教材新高考2024年高考數(shù)學高頻考點精講精練 第06講 對數(shù)與對數(shù)函數(shù)（高頻精講）（原卷版）

第06講對數(shù)與對數(shù)函數(shù)(精講）目錄TOC\o"1-3"\h\u第一部分：知識點必背 2第二部分：高考真題回歸 3第三部分：高頻考點一遍過 4高頻考點一：對數(shù)的運算 4高頻考點二：換底公式 5高頻考點三：對數(shù)函數(shù)的概念 5高頻考點四：對數(shù)函數(shù)的定義域 6高頻考點五：對數(shù)函數(shù)的值域 7①求對數(shù)函數(shù)在區(qū)間上的值域 7②求對數(shù)型復合函數(shù)的值域 7③根據(jù)對數(shù)函數(shù)的值域求參數(shù)值或范圍 8高頻考點六：對數(shù)函數(shù)的圖象 10①對數(shù)（型）函數(shù)與其它函數(shù)的圖象 10②根據(jù)對數(shù)（型）函數(shù)的圖象判斷參數(shù) 14③對數(shù)（型）函數(shù)圖象過定點問題 16高頻考點七：對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性 17①對數(shù)函數(shù)（型）函數(shù)的單調(diào)性 17②由對數(shù)函數(shù)（型）函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù) 18③由對數(shù)函數(shù)（型）函數(shù)的單調(diào)性解不等式 19④對數(shù)（指數(shù)）綜合比較大小 20高頻考點八：對數(shù)函數(shù)的最值 21①求對數(shù)（型）函數(shù)的最值 21②根據(jù)對數(shù)（型）函數(shù)的最值求參數(shù) 21③對數(shù)（型）函數(shù)的最值與不等式綜合應用 23第四部分：高考新題型 24①開放性試題 24②劣夠性試題 24第五部分：數(shù)學思想方法 25①數(shù)形結合的思想 25②分類討論的思想 26第六部分：新文化題 27溫馨提醒：瀏覽過程中按ctrl+Home可回到開頭第一部分：知識點必背1、對數(shù)的概念（1）對數(shù)：一般地，如果，那么數(shù)叫做以為底的對數(shù)，記作，其中叫做對數(shù)的底數(shù)，叫做真數(shù).（2）牢記兩個重要對數(shù)：常用對數(shù)，以10為底的對數(shù)；自然對數(shù)，以無理數(shù)e=2.71828…為底數(shù)的對數(shù).（3）對數(shù)式與指數(shù)式的互化：.2、對數(shù)的性質(zhì)、運算性質(zhì)與換底公式（1）對數(shù)的性質(zhì)根據(jù)對數(shù)的概念，知對數(shù)具有以下性質(zhì)：①負數(shù)和零沒有對數(shù)，即；②1的對數(shù)等于0，即；③底數(shù)的對數(shù)等于1，即；④對數(shù)恒等式.（2）對數(shù)的運算性質(zhì)如果，那么：①；②；③.（3）對數(shù)的換底公式對數(shù)的換底公式：.換底公式將底數(shù)不同的對數(shù)轉化為底數(shù)相同的對數(shù)，進而進行化簡、計算或證明.換底公式應用時究竟換成什么為底，由已知條件來確定，一般換成以10為底的常用對數(shù)或以為底的自然對數(shù).換底公式的變形及推廣：①；②；③(其中，，均大于0且不等于1，).3、對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)（1）對數(shù)函數(shù)的定義形如(，且)的函數(shù)叫做對數(shù)函數(shù)，其中是自變量，函數(shù)的定義域是．（2）對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)圖象性質(zhì)定義域：值域：過點，即當時，在上是單調(diào)增函數(shù)在上是單調(diào)減函數(shù)第二部分：高考真題回歸1．（2022·天津·高考真題）化簡的值為（

）A．1 B．2 C．4 D．62．（2022·浙江·高考真題）已知，則（

）A．25 B．5 C． D．3．（2022·全國（甲卷文）高考真題）已知，則（

）A． B． C． D．4．（2022·北京·高考真題）在北京冬奧會上，國家速滑館“冰絲帶”使用高效環(huán)保的二氧化碳跨臨界直冷制冰技術，為實現(xiàn)綠色冬奧作出了貢獻．如圖描述了一定條件下二氧化碳所處的狀態(tài)與T和的關系，其中T表示溫度，單位是K；P表示壓強，單位是．下列結論中正確的是（

）A．當，時，二氧化碳處于液態(tài)B．當，時，二氧化碳處于氣態(tài)C．當，時，二氧化碳處于超臨界狀態(tài)D．當，時，二氧化碳處于超臨界狀態(tài)5．（2022·全國（乙卷文）高考真題）若是奇函數(shù)，則_____，______．第三部分：高頻考點一遍過高頻考點一：對數(shù)的運算典型例題例題1．（2023秋·浙江·高一期末）計算：_________．例題2．（2023·全國·高三專題練習）____________例題3．（2023·全國·高三專題練習）=_______練透核心考點1．（2023·全國·高三專題練習）.=_____________2．（2023·全國·高三專題練習）________3．（2023·全國·高三專題練習）=______高頻考點二：換底公式典型例題例題1．（2023秋·重慶·高一校聯(lián)考期末）設,則三者的大小關系是（

）A． B．C． D．例題2．（2023春·河北衡水·高一?？奸_學考試）已知，則__________.例題3．（2023秋·廣西桂林·高一統(tǒng)考期末）_________.練透核心考點1．（2023·四川瀘州·四川省瀘縣第四中學?？级＃┮阎?，，則（

）A． B． C． D．2．（2023·全國·高三專題練習）若，，則___________．3．（2023秋·福建漳州·高一統(tǒng)考期末）已知______．高頻考點三：對數(shù)函數(shù)的概念典型例題例題1．（2023·高一課時練習）函數(shù)是以為底數(shù)的對數(shù)函數(shù)，則等于A．3 B． C． D．例題2．（2023·高一課時練習）若函數(shù)是對數(shù)函數(shù)，則.例題3．（2023秋·湖北·高一湖北省黃梅縣第一中學校聯(lián)考期末）已知對數(shù)函數(shù)，(1)求的值；(2)解不等式．練透核心考點1．（2023秋·遼寧·高一遼河油田第二高級中學校考期末）若對數(shù)函數(shù)的圖象過點，則__________．2．（2023·高一課時練習）若對數(shù)函數(shù)的圖象過點，則此函數(shù)的表達式為______.3．（2023·高一課時練習）已知對數(shù)函數(shù)，則______．高頻考點四：對數(shù)函數(shù)的定義域典型例題例題1．（2023秋·四川雅安·高一統(tǒng)考期末）函數(shù)定義域為（

）A． B． C． D．例題2．（2023春·北京順義·高一牛欄山一中?？茧A段練習）函數(shù)的定義域為___．練透核心考點1．（2023秋·遼寧丹東·高一丹東市第四中學?？计谀┰O函數(shù)的定義域A，函數(shù)的定義域為B，則（

）A． B． C． D．2．（2023秋·湖南長沙·高一雅禮中學校考期末）函數(shù)的定義域為__________．高頻考點五：對數(shù)函數(shù)的值域①求對數(shù)函數(shù)在區(qū)間上的值域典型例題例題1．（2023·高一課時練習）函數(shù)的值域為（

）A．(3，＋∞) B．(－∞，3) C．[3，＋∞) D．(－∞，3]例題2．（2023秋·山西朔州·高一懷仁市第一中學校校考期末）已知函數(shù)，則函數(shù)的值域為（

） B． C． D．②求對數(shù)型復合函數(shù)的值域典型例題例題1．（2023秋·湖北武漢·高一武漢外國語學校（武漢實驗外國語學校）校考期末）函數(shù)的值域為_______________.例題2．（2023春·遼寧沈陽·高一沈陽市第一二〇中學?？奸_學考試）已知函數(shù)，.(1)求實數(shù)的值；(2)，.求的最小值、最大值及對應的的值.例題3．（2023·山東臨沂·高一?？计谀┰O函數(shù)，且，．(1)求的解析式；(2)當時，求的值域．練透核心考點1．（2023·高一課時練習）函數(shù)的最小值是______．2．（2023秋·湖南湘潭·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)．(1)求的定義域;(2)求的值域．3．（2023秋·廣東深圳·高一?？计谀┮阎瘮?shù)（且）．(1)若，求的值域；③根據(jù)對數(shù)函數(shù)的值域求參數(shù)值或范圍典型例題例題1．（2023·全國·高三專題練習）若函數(shù)的值域為，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．例題2．（2023·全國·高三專題練習）函數(shù)的值域為，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．例題3．（2023秋·湖北武漢·高一武漢市新洲區(qū)第一中學?？计谀┮阎瘮?shù).(1)若函數(shù)的定義域為，值域為，求實數(shù)的值；例題4．（2023秋·河北保定·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，.(1)當時，求函數(shù)的值域；(2)若函數(shù)的最小值為-6，求實數(shù)的值.練透核心考點1．（2023·高一課時練習）已知的值域為R，且在上是增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．或C．或 D．2．（2023秋·重慶九龍坡·高一重慶市鐵路中學校?？计谀┖瘮?shù)的值域為，則實數(shù)的取值范圍為_____.3．（2023秋·北京·高一北京市十一學校?？计谀┮阎瘮?shù)的值域為，則的取值范圍是______.高頻考點六：對數(shù)函數(shù)的圖象①對數(shù)（型）函數(shù)與其它函數(shù)的圖象典型例題例題1．（2023秋·陜西西安·高一統(tǒng)考期末）在同一平面直角坐標系中，函數(shù)，且的圖象可能是（

）A． B．C． D．例題2．（2023秋·湖南益陽·高一校聯(lián)考期末）函數(shù)（且）的圖像大致為（

）A． B．C． D．例題3．（2023·全國·高三專題練習）函數(shù)的圖象大致為（

）A． B．C． D．例題4．（2023秋·吉林長春·高一長春市實驗中學?？计谀┮阎瘮?shù)的圖象關于直線對稱，則函數(shù)圖象的大致形狀為（

）A． B．C． D．練透核心考點1．（2023·全國·高三對口高考）已知a、b滿足，則函數(shù)與函數(shù)在同一平面直角坐標系中的圖像可能是（

）．A． B．C． D．2．（2023·全國·高三專題練習）已知（且，且），則函數(shù)與的圖像可能是（

）A． B．C． D．3．（2023秋·內(nèi)蒙古呼和浩特·高一統(tǒng)考期末）若，則函數(shù)的圖象可能是（

）A． B．C． D．4．（2023春·甘肅蘭州·高一校考開學考試）若函數(shù)y＝a|x|(a>0，且a≠1)的值域為{y|y≥1}，則函數(shù)y＝loga|x|的圖象大致是()A． B．C． D．②根據(jù)對數(shù)（型）函數(shù)的圖象判斷參數(shù)典型例題例題1．（2023·高一課時練習）已知，，函數(shù)的圖象如圖，則，的取值范圍分別是（

）A．， B．，C．， D．，例題2．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)的圖象如圖所示，則滿足的關系是（

）A． B．C． D．例題3．（2022秋·廣東廣州·高一廣州市白云中學?？计谀┖瘮?shù)與的圖像如圖所示，則實數(shù)的值可能為（

）A． B． C． D．3練透核心考點1．（2023·全國·高三專題練習）已知定義在上的函數(shù)的圖象如圖所示，則滿足的關系是A． B．C． D．2．（2022·高一單元測試）已知函數(shù)（且，，為常數(shù)）的圖象如圖，則下列結論正確的是（

）A．， B．，C．， D．，3．（多選）（2023春·湖南常德·高一漢壽縣第一中學校考開學考試）已知函數(shù)(為常數(shù)，其中)的圖象如圖，則下列結論成立的是（

）A． B．C． D．③對數(shù)（型）函數(shù)圖象過定點問題典型例題例題1．（2023秋·甘肅酒泉·高一統(tǒng)考期末）已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞減，則函數(shù)（且）的圖象過定點（

）A． B． C． D．例題2．（多選）（2023秋·重慶·高一校聯(lián)考期末）已知函數(shù)且的圖象過定點，正數(shù)滿足，則（

）A． B． C． D．例題3．（2023秋·四川成都·高一校考期末）已知函數(shù)（）的圖像恒過定點，則點的坐標為____.例題4．（2023秋·山東臨沂·高一統(tǒng)考期末）一次函數(shù)的圖象經(jīng)過函數(shù)的定點，則的最小值為___________.練透核心考點1．（2023春·上海寶山·高一?？茧A段練習）函數(shù)（且）的圖象恒過定點______．2．（2023秋·上海金山·高一統(tǒng)考期末）已知常數(shù)且，無論a取何值，函數(shù)的圖像恒過一個定點，則此定點為__________．3．（2023秋·山東濰坊·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)（且）的圖象恒過定點M，則點M的坐標為______．4．（2023·高一課時練習）已知正數(shù)，，函數(shù)（且）的圖象過定點A，且點A在直線上，則的最小值為________.高頻考點七：對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性①對數(shù)函數(shù)（型）函數(shù)的單調(diào)性典型例題例題1．（2023秋·吉林·高一長春市第二實驗中學校聯(lián)考期末）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（

）A． B． C． D．例題2．（2023秋·上海松江·高一?？计谀┖瘮?shù)的單調(diào)減區(qū)間為（

）A． B． C． D．例題3．（2023秋·內(nèi)蒙古烏蘭察布·高一?？计谀┖瘮?shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是______．練透核心考點1．（2023春·湖南株洲·高二株洲二中?？茧A段練習）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（

）A． B． C． D．.2．（2023·江西上饒·高三校聯(lián)考階段練習）已知的單調(diào)減區(qū)間為（

）A． B． C． D．3．（2023秋·陜西渭南·高一統(tǒng)考期末）已知在區(qū)間上是減函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是___________．②由對數(shù)函數(shù)（型）函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)典型例題例題1．（2023春·寧夏銀川·高三銀川一中校考階段練習）已知函數(shù)，若在上為減函數(shù)，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．例題2．（2023春·江西宜春·高三?？奸_學考試）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實數(shù)的取值范圍是（

）A．（－2，4] B．[－2，4）C． D．例題3．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)對任意兩個不相等的實數(shù)，都滿足不等式，則實數(shù)的取值范圍為__________．例題4．（2023春·重慶永川·高一重慶市永川北山中學校?？奸_學考試）已知函數(shù)是定義在上的增函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是__________.練透核心考點1．（2023秋·福建莆田·高一莆田第五中學?？计谀┮阎瘮?shù)在區(qū)間上是增函數(shù),則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．2．（2023秋·湖南常德·高一漢壽縣第一中學校考期末）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．3．（2023·河南平頂山·葉縣高級中學校聯(lián)考模擬預測）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍為______．（2023秋·四川眉山·高一?？计谀┰O函數(shù)且在區(qū)間上是增函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是___________.③由對數(shù)函數(shù)（型）函數(shù)的單調(diào)性解不等式典型例題例題1．（2023秋·重慶渝中·高一重慶巴蜀中學?？计谀┖瘮?shù)的定義域為（

）A．[0，1) B．(－∞，1) C．(1，+∞) D．[0，+∞)例題2．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，則關于的不等式的解集為（

）A． B． C． D．例題3．（2023·全國·高三對口高考）已知對數(shù)函數(shù)，且，則關于的不等式的解集為______．練透核心考點1．（2023秋·全國·高三校聯(lián)考開學考試）“”成立的一個必要不充分條件為（

）A． B． C． D．2．（2023·高一課時練習）已知函數(shù)是定義域為的偶函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞增．若實數(shù)a滿足，則a的取值范圍是（

）A． B．C． D．3．（2023秋·上海浦東新·高一上海市建平中學?？计谀┮阎瘮?shù).(1)當時，求不等式的解集；④對數(shù)（指數(shù)）綜合比較大小典型例題例題1．（2023春·湖南長沙·高一湖南師大附中?？茧A段練習）設，則的大小關系為（

）A． B．C． D．例題2．（2023·全國·高三專題練習）已知，，，則，，的大小關系為（

）A． B．C． D．例題3．（2023春·江西上饒·高一校聯(lián)考階段練習）已知，，，則（

）A． B． C． D．練透核心考點1．（2023春·湖北·高一隨州市第一中學校聯(lián)考階段練習）已知，則a，b，c的大小關系為（

）A． B． C． D．2．（2023·重慶·統(tǒng)考模擬預測）已知，，，則a，b，c的大小關系為（

）．A． B．C． D．3．（2023秋·廣東廣州·高一統(tǒng)考期末）已知，，，則（

）A． B．C． D．高頻考點八：對數(shù)函數(shù)的最值①求對數(shù)（型）函數(shù)的最值典型例題例題1．（2023·高一課時練習）若(為自然對數(shù))，則函數(shù)的最小值為（

）A．-3 B．-2 C．0 D．6例題2．（2023秋·云南昆明·高一昆明一中統(tǒng)考期末）函數(shù)的最大值為________.例題3．（2023秋·陜西西安·高一校考期末）已知函數(shù)，，求的最大值及最小值.練透核心考點1．（2023秋·內(nèi)蒙古烏蘭察布·高一校考期末）函數(shù)（）在上的最大值是（

）．A．0 B．1 C．3 D．a(chǎn)2．（2023·高一課時練習）函數(shù)的最小值是______．3．（2023秋·上海浦東新·高一上海南匯中學?？计谀┖瘮?shù)，的最大值為______.②根據(jù)對數(shù)（型）函數(shù)的最值求參數(shù)典型例題例題1．（多選）（2023秋·四川綿陽·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)（0，且）的定義域為，值域為．若的最小值為，則實數(shù)的值可以是（

）A． B． C． D．例題2．（2023秋·黑龍江哈爾濱·高一哈爾濱三中?？计谀┮阎瘮?shù)定義域為，(1)求的取值范圍；(2)若，函數(shù)在[-2,1]上的最大值與最小值和為0，求實數(shù)的值.例題3．（2023秋·河北邢臺·高一邢臺一中?？计谀┮阎瘮?shù)，且.(1)若函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關于直線對稱，且點在函數(shù)的圖象上，求實數(shù)的值；(2)已知函數(shù).若的最大值為12，求實數(shù)的值.練透核心考點1．（2023秋·上海徐匯·高一上海市西南位育中學校考期末）若不等式在上恒成立，則實數(shù)的取值范圍為________．2．（2023春·甘肅蘭州·高一校考開學考試）已知函數(shù)若，求的單調(diào)區(qū)間；是否存在實數(shù)a，使的最小值為0？若存在，求出a的值；若不存在，說明理由．3．（2023秋·廣東廣州·高一廣州市第五中學?？茧A段練習）已知函數(shù)，或.(1)若，解關于x的不等式：；(2)若函數(shù)的最小值為，求實數(shù)a的值．③對數(shù)（型）函數(shù)的最值與不等式綜合應用典型例題例題1．（2023·江蘇·高一專題練習）當時，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍為A． B． C． D．例題2．（2023秋·河北廊坊·高一?？计谀┤舨坏仁綄愠闪ⅲ瑒t實數(shù)的取值范圍為___________.例題3．（2023秋·河北邯鄲·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)在區(qū)間上的最大值為2，最小值為．(1)求實數(shù)，的值；(2)若對任意的，恒成立，求實數(shù)的取值范圍．練透核心考點1．（2023·全國·高三專題練習）若且在上恒正，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．2．（2023·高一課時練習）若不等式（）恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是______．3．（2023秋·廣東河源·高一龍川縣第一中學統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，的圖象過點(1，0)，且為偶函數(shù).（1）求函數(shù)的解析式；（2）若對任意的，不等式恒成立，求的取值范圍.第四部分：高考新題型①開放性試題1．（2023秋·廣東揭陽·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù)滿足①；②在定義域內(nèi)單調(diào)遞增.請寫出一個符合條件①②的函數(shù)的表達式______.2．（2023春·浙江紹興·高三統(tǒng)考開學考試）已知函數(shù)滿足：，且當時，，請你寫出符合上述條件的一個函數(shù)__________.3．（2023秋·廣東揭陽·高一統(tǒng)考期末）寫出一個同時具有下列性質(zhì)①②的函數(shù)：______．①對、，；②在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增．②劣夠性試題1．（2023秋·四川雅安·高一統(tǒng)考期末）在“①函數(shù)是偶函數(shù)；②函數(shù)是奇函數(shù).”這兩個條件中選擇一個補充在下列的橫線上，并作答問題.已知函數(shù)，且___________.(1)求的解析式；(2)判斷在上的單調(diào)性，并根據(jù)單調(diào)性定義證明你的結論.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.2．（2023秋·河北保定·高一保定一中?？计谀?；②且；③恒成立，且.在以上三個條件中選擇一個，補充在下面的問題中，并作答.問題：已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點，__________.(1)求的解析式；(2)若，求在的值域.3．（2023·高一課時練習）在①，②這兩個條件中選擇一個，補充在下面問題中，并給出解答．已知函數(shù)滿足______．(1)求的值；(2)若函數(shù)，證明：．第五部分：數(shù)學思想方法①數(shù)形結合的思想1．（2023·陜西西安·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)滿足，若，則（

）A． B．C． D．2．（多選）（2023春·湖南長沙·高一長沙一中?？茧A段練習）已知函數(shù)，且，下列結論正確的是（

）A． B．C． D．的最小值為83．（2023秋·陜西渭南·高一統(tǒng)考期末）設方程的解為，方程的解為，則___________．4．（2023秋·安徽黃山·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，若存在，滿足，則的取值范圍是___________.②分類討論的思想1．（2023春·安徽·高一淮北一中校聯(lián)考開學考試）已知函數(shù)為偶函數(shù)，且．(1)求m的值，并確定的解析式；(2)若（且），求在上值域．2．（2023秋·湖南長沙·高一統(tǒng)考期末）已知（，且）.(1)求函數(shù)的定義域；(2)當（其中，且為常數(shù)）時，是否存在最小值，如果存在，求出最小值；如果不存在，請說明理由；(3)當時，求滿足不等式的實數(shù)的取值范圍.3．（2023秋·廣東汕頭·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)（且）(1)當時，解不等式；(2)，，求實數(shù)的取值范圍．第六部分：新文化題1．（2023·全國·高三專題練習）我國古代數(shù)學家李善蘭在《對數(shù)探源》中利用尖錐術理論來制作對數(shù)表.他通過“對數(shù)積”求得ln2≈0.693，ln5A．－1.519 B．－1.726 C．－1.609 D．－1.3162．（20