備戰(zhàn)2024年高考模擬數(shù)學(xué)試卷03(新高考Ⅰ數(shù)學(xué)試卷專用)(解析版)

PAGEPAGE1備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)模擬卷03（新高考Ⅰ卷專用）第I卷（選擇題）一、單項(xiàng)選擇題1．若集合，，則（

）A． B． C． D．〖答案〗B〖解析〗，，，又，.故選：B.2．已知（，為虛數(shù)單位），若是實(shí)數(shù)，則（

）A． B．C． D．〖答案〗A〖解析〗因?yàn)槭菍?shí)數(shù)，所以，故選：A3．已知一個(gè)古典概型，其樣本空間中共有12個(gè)樣本點(diǎn)，其中事件有6個(gè)樣本點(diǎn)，事件有4個(gè)樣本點(diǎn)，事件有8個(gè)樣本點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．〖答案〗D〖解析〗根據(jù)概率公式計(jì)算可得，，；由概率的加法公式可知，代入計(jì)算可得故選：D4．若一系列函數(shù)的〖解析〗式和值域相同，但定義域不相同，則稱這些函數(shù)為“同值函數(shù)”.例如函數(shù)，與函數(shù)，即為“同值函數(shù)”，給出下面四個(gè)函數(shù)，其中能夠被用來構(gòu)造“同值函數(shù)”的是（

）A． B． C． D．〖答案〗D〖解析〗要想能夠被用來構(gòu)造“同值函數(shù)”，則要函數(shù)不單調(diào)，ABC選項(xiàng)，在R上單調(diào)遞減，在R上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，ABC錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，不妨設(shè)，與函數(shù)，，兩者的值域相同，為同值函數(shù)，D正確.故選：D5．已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上，且，，則（

）A． B． C． D．〖答案〗A〖解析〗根據(jù)拋物線，得:，因?yàn)椋?，得三點(diǎn)共線，所以直線過點(diǎn)且斜率不為，故設(shè)直線的方程為：，與拋物線方程聯(lián)立得：，化簡得：，設(shè)，此時(shí)，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得：．由，知，即，化簡得：，又因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，所以：，所以：，所以（舍去負(fù)值）．由，得：，即：，所以：，所以：，所以：.故選：A6．設(shè)，，且，則（

）A． B． C． D．〖答案〗A〖解析〗因?yàn)?，所以，所以，即．又，，所以，即或，即（舍去）．故選：7．已知數(shù)列滿足，且，則下列說法中錯(cuò)誤的是（

）A．若，則是等差數(shù)列B．若，則是等差數(shù)列C．若，則是等比數(shù)列D．若，則是等比數(shù)列〖答案〗B〖解析〗對(duì)于A項(xiàng)：，得：，因?yàn)椋海缘茫?，所以：為等差?shù)列，故A項(xiàng)正確；對(duì)于B項(xiàng)：，，所以：，，不滿足等差數(shù)列，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C項(xiàng)：，，所以：，故：，數(shù)列為等比數(shù)列，故C項(xiàng)正確對(duì)于D項(xiàng)：，得：，因?yàn)椋?，所以：，即：，所以：為等比?shù)列，故D項(xiàng)正確.故選：B.8．設(shè)，，，則（

）A． B． C． D．〖答案〗D〖解析〗由題意可得，，，設(shè)，，則，故當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；因?yàn)?，，，且，可得，，所?故選：D.二、多項(xiàng)選擇題9．若圓與直線相切，且與圓相切于點(diǎn)，則圓的半徑為（

）A．5 B．3 C． D．〖答案〗BD〖解析〗圓的圓心為，半徑為1，圓與圓相切于點(diǎn)，則圓心在軸，設(shè)圓心為，則由題意，解得或，時(shí)，半徑為，時(shí)，半徑為，故選：BD．10．《黃帝內(nèi)經(jīng)》中十二時(shí)辰養(yǎng)生法認(rèn)為：子時(shí)的睡眠對(duì)一天至關(guān)重要（子時(shí)是指23點(diǎn)到次日凌晨1點(diǎn)）．相關(guān)數(shù)據(jù)表明，入睡時(shí)間越晚，沉睡時(shí)間越少，睡眠指數(shù)也就越低．根據(jù)某次的抽樣數(shù)據(jù)，對(duì)早睡群體和晚睡群體的睡眠指數(shù)統(tǒng)計(jì)如圖，則下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．在睡眠指數(shù)的人群中，早睡人數(shù)多于晚睡人數(shù)B．早睡人群睡眠指數(shù)主要集中在C．早睡人群睡眠指數(shù)的極差比晚睡人群睡眠指數(shù)的極差小D．晚睡人群睡眠指數(shù)主要集中在〖答案〗ACD〖解析〗由圖知，每一組中的早睡人群占比與晚睡人群占比都是以早睡與晚睡各自的總?cè)藬?shù)為基數(shù)的，所以每一組中的早睡人數(shù)與晚睡人數(shù)不能從所占的百分比來判斷，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；早睡人群睡眠指數(shù)主要集中在，晚睡人群睡眠指數(shù)主要集中在，選項(xiàng)B正確，選項(xiàng)D錯(cuò)誤；早睡人群睡眠指數(shù)的極差和晚睡人群睡眠指數(shù)的極差的大小無法確定，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤．故選：ACD.11．如圖，四棱錐中，底面是正方形，平面，，，分別是，的中點(diǎn)，是棱上的動(dòng)點(diǎn)，則（

）A．B．存在點(diǎn)，使平面C．存在點(diǎn)，使直線與所成的角為D．點(diǎn)到平面與平面的距離和為定值〖答案〗ABD〖解析〗依題意可知兩兩相互垂直，以為原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，設(shè)，，所以，所以，A選項(xiàng)正確.點(diǎn)到平面與平面的距離和為為定值，D選項(xiàng)正確.，，設(shè)平面的法向量為，則，故可設(shè)，要使平面，平面，則，解得，所以存在點(diǎn)，使平面，B選項(xiàng)正確.若直線與直線所成角為，則，，無解，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：ABD12．定義在R上的函數(shù)滿足為奇函數(shù)，函數(shù)滿足，若與恰有2023個(gè)交點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）A． B．為的對(duì)稱軸C． D．〖答案〗BCD〖解析〗，則函數(shù)圖象關(guān)于直線對(duì)稱，B正確；是奇函數(shù)，即，，則的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，，，C正確；所以，從而，所以是周期函數(shù)，4是它的一個(gè)周期，，A錯(cuò)；又，圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，因此與的圖象的交點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，點(diǎn)是它們的一個(gè)公共點(diǎn)，，D正確．故選：BCD．第II卷（非選擇題）三、填空題13．已知向量，，則在上的投影向量的坐標(biāo)為．〖答案〗〖解析〗，，則在上的投影向量為．故〖答案〗為：14．已知雙曲線和橢圓有相同的焦點(diǎn)，則的最小值為.〖答案〗9〖解析〗的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，故，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故的最小值為9.故〖答案〗為：915．已知函數(shù)的部分圖像如圖所示，且關(guān)于的不等式的解集為，，則正偶數(shù)a的最小值為．

〖答案〗4〖解析〗由題意得，所以，而，，所以，而，故，所以，又過點(diǎn)，所以，即，所以，則，又，即，又，則，所以，則，又，所以，則，所以，由，得，所以，解得，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間內(nèi)不存在正偶數(shù)，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間內(nèi)存在1個(gè)正偶數(shù)4，所以正偶數(shù)a的最小值為．故〖答案〗為：.16．已知函數(shù)若函數(shù)有4個(gè)零點(diǎn)．則實(shí)數(shù)的取值范圍是．〖答案〗〖解析〗當(dāng)且時(shí)，，，當(dāng)且時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．故在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，取得極小值，時(shí)，；時(shí)，由〖解析〗式可知，為奇函數(shù)．畫出圖象大致如下：令得，設(shè)，得關(guān)于的方程（*）恒成立，設(shè)（*）式有兩個(gè)不等實(shí)根，，當(dāng)，時(shí)，即，滿足題意，當(dāng)或，滿足題意，方法一：令，則或，故或，綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是．方法二：（*）式化為，令，易知在，上單調(diào)遞增，且，，，其圖象大致如圖：當(dāng)或時(shí)，滿足或，綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是．四、解答題17．在中，角、、的對(duì)邊分別為、、，且，(1)求角的大??；(2)若，，求的值.(1)解：因?yàn)?，由正弦定理可得，所以，，因?yàn)?、，所以，，則，故.(2)解：因?yàn)?，，，由余弦定理可得，則，由正弦定理可得，所以，.18．某娛樂節(jié)目闖關(guān)游戲共有三關(guān)，游戲規(guī)則如下，選手依次參加第一，二，三關(guān)，闖關(guān)成功可獲得的獎(jiǎng)金分別為1000元、2000元、3000元.獎(jiǎng)金可累加，若某關(guān)闖關(guān)成功，選手可以選擇結(jié)束闖關(guān)游戲并獲得相應(yīng)獎(jiǎng)金，也可以選擇繼續(xù)闖關(guān)，若有任何一關(guān)闖關(guān)失敗，則連同前面所得獎(jiǎng)金全部歸零，闖關(guān)游戲結(jié)束.選手小劉參加闖關(guān)游戲，已知他第一，二，三關(guān)闖關(guān)成功的概率分別為，，.第一關(guān)闖關(guān)成功選擇繼續(xù)闖關(guān)的概率為，第二關(guān)闖關(guān)成功選擇繼續(xù)闖關(guān)的概率為，且每關(guān)闖關(guān)成功與否互不影響.(1)求小劉第一關(guān)闖關(guān)成功，但所得總獎(jiǎng)金為零的概率；(2)設(shè)小劉所得獎(jiǎng)金為X，求隨機(jī)變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望.解：(1)由題意，要使小劉第一關(guān)闖關(guān)成功，但所得總獎(jiǎng)金為零，選擇闖第二關(guān)且失敗，或選擇闖第二關(guān)且成功，又選擇闖第三關(guān)且失敗，所以小劉第一關(guān)闖關(guān)成功，但所得總獎(jiǎng)金為零的概率.(2)由題意，，且，，，，X的分布列如下：0100030006000元.19．在數(shù)列中，，是的前n項(xiàng)和，且數(shù)列是公差為的等差數(shù)列．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．解：(1)由已知得，，所以，①當(dāng)時(shí)，，②，得，也符合該式，所以．(2)由(1)得，所以，③，④，得．故．20．已知矩形ABCD中，點(diǎn)E在邊CD上，且．現(xiàn)將沿AE向上翻折，使點(diǎn)D到點(diǎn)P的位置，構(gòu)成如圖所示的四棱錐．

(1)若點(diǎn)F在線段AP上，且平面PBC，求的值；(2)若，求銳二面角的余弦值．解：(1)點(diǎn)為線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，滿足平面PBC，證明如下：如圖，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接，則，

又，，所以．因?yàn)椋?，所以四邊形為平行四邊形，有，又平面，平面，所以平面．此時(shí)有.(2)，為等腰直角三角形，，，，．取的中點(diǎn)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，，，

則，，因?yàn)?，，所以，解得，則，，，設(shè)平面的法向量為，則，不妨取，則，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，則銳二面角的的余弦值為．21．在中，已知點(diǎn)邊上的中線長與邊上的中線長之和為，記的重心G的軌跡為曲線C．(1)求C的方程；(2)若圓，過坐標(biāo)原點(diǎn)O且與y軸不重合的任意直線與圓相交于點(diǎn)，直線與曲線的另一個(gè)交點(diǎn)分別是點(diǎn)，求面積的最大值．解：(1)設(shè)的中點(diǎn)為S，的中點(diǎn)為T，所以，，所以，所以，所以G點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，長軸長的橢圓．所以，所以，，所以曲線C的方程為．

.

(2)設(shè)直線為（不妨設(shè)），設(shè)，，

所以，，，解得（舍去），則，由于AB是單位圓的直徑，所以，所以直線EN的斜率為，直線EN的方程為，同理可求得，則，由上述分析可知，，而，所以，所以，令，