福建省泉州市部分學(xué)校2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

PAGEPAGE1福建省泉州市部分學(xué)校2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題，共40分．在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項.）1.若集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意得，所以．故選：C.2.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗B〖解析〗當時，，所以，則，即必要性成立；當時，取，則，即充分性不成立；所以“”是“”的必要不充分條件．故選：B.3.已知，，，則，，的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗因為，，，所以，，，所以.故選：A.4.下列區(qū)間中，函數(shù)一定存在零點的區(qū)間是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗函數(shù)的定義域為，當時，函數(shù)單調(diào)遞減，函數(shù)單調(diào)遞增，所以函數(shù)單調(diào)遞減，又，所以函數(shù)在上一定無零點；當時，函數(shù)單調(diào)遞減，函數(shù)單調(diào)遞增，所以函數(shù)單調(diào)遞減，又，，根據(jù)零點存性定理可得函數(shù)在內(nèi)一定存在零點.故選：B.5.若函數(shù)（且）在R上為增函數(shù)，則函數(shù)的圖象可以是（）A.B.C.D.〖答案〗C〖解析〗因為函數(shù)（且）在R上為增函數(shù)，所以，函數(shù)定義域為，所以排除AB，當時，為增函數(shù)，所以排除D.故選：C.6.已知函數(shù)，則滿足的的取值范圍為（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗由，得，所以為偶函數(shù)，又在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞增，則，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，對稱軸為軸，則，即，即，解得：.故選：B.7.已知函數(shù)的圖象恒過定點，且函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗∵函數(shù)的圖象恒過定點，令，求得，，故它的圖象經(jīng)過定點，∴，，故函數(shù)，因為在上單調(diào)遞減，∴，∴.故選：B．8.國內(nèi)生產(chǎn)總值（GDP）是指按國家市場價格計算的一個國家（或地區(qū)）所有常駐單位在一定時期內(nèi)生產(chǎn)活動的最終成果，常被公認為是衡量國家經(jīng)濟狀況的最佳指標．某城市2020年的GDP為8000億元，若保持6%的年平均增長率，則該城市的GDP達到1萬億元預(yù)計在（參考數(shù)據(jù)：）（）A.2023年 B.2024年 C.2025年 D.2026年〖答案〗B〖解析〗設(shè)經(jīng)過年該城市的GDP達到1萬億元，則，則，所以，所以至少要經(jīng)過4年，即預(yù)計在2024年該城市的GDP達到1萬億元.故選：B.二、多選題（本大題共4小題，共20分．在每小題有多項符合題目要求.）9.如圖所示是某受污染的湖泊在自然凈化過程中某種有害物質(zhì)的剩留量y與凈化時間t（月）的近似函數(shù)關(guān)系：的圖象．有以下說法：其中正確的說法是（）A.第4個月時，剩留量就會低于B.每月減少的有害物質(zhì)質(zhì)量都相等C.污染物每月的衰減率為D.當剩留，，時，所經(jīng)過的時間分別是，，，則〖答案〗ACD〖解析〗將代入函數(shù)，則，解得，則，對A，當時，，故A正確；對B，第一月的減少量為，第二月的減少量為，不相等，故B錯誤；對C，污染物每月的衰減率為，故C正確；對D，可得則，則，故D正確.故選：ACD.10.已知a，b為正實數(shù)，滿足，則下列判斷中正確的是（）A.有最小值B.有最小值C.函數(shù)的最小值為1D.有最大值〖答案〗AD〖解析〗由a，b為正實數(shù)，滿足，對于A，，當且僅當時，等號成立，所以有最小值，故A正確；對于B，，當且僅當時，等號成立，所以有最大值，故B錯誤；對于C，，當且僅當，即或時，等號成立，但，所以取不到最小值，故C錯誤；對于D，令，則，則，當且僅當，即，時，等號成立，則，即，所以有最大值，故D正確．故選：AD．11.若，則下列判斷錯誤的是（）A. B.C. D.〖答案〗BC〖解析〗由條件：，即，A正確；，即，B錯誤，D正確；由，則，C錯誤.故選：BC.12.某數(shù)學(xué)興趣小組對函數(shù)進行研究，得出如下結(jié)論，其中正確的有（）A.B.，都有C.的值域為D.，都有〖答案〗ACD〖解析〗對于A，，A正確；對于B，當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，因此函數(shù)在R上單調(diào)遞減，則，都有，B錯誤；對于C，由選項B知，當時，，當時，，即，，因此函數(shù)的值域為，C正確；對于D，當時，，，，，當且僅當時取等號，因此成立，D正確.故選：ACD.三、填空題（本大題共4小題，共20分.）13.已知，若冪函數(shù)奇函數(shù)，且在上為嚴格減函數(shù)，則__________.〖答案〗-1〖解析〗因為冪函數(shù)在上為嚴格減函數(shù)，所以，所以，又因為冪函數(shù)奇函數(shù)，且，所以.故〖答案〗為：-1.14.計算______．〖答案〗〖解析〗.故〖答案〗為：.15.函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為__________．〖答案〗〖解析〗函數(shù)的定義域是，在定義域內(nèi)函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是，而函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，就是在定義域內(nèi)函數(shù)的增區(qū)間，所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為.故〖答案〗為：.16.已知函數(shù)，若關(guān)于x的方程有5個不同的實數(shù)根，則實數(shù)m的取值范圍為______.〖答案〗〖解析〗作出函數(shù)圖象如下：令，則，所以，，，所以，，，所以，，，即，，，因為關(guān)于x的方程有5個不同的實數(shù)根，所以函數(shù)與直線，，共有5個交點，所以，解得，即實數(shù)m的取值范圍為.故〖答案〗為：.四、解答題（本大題共6小題，共70.0分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）17.已知集合，.（1）命題，命題，且是的必要非充分條件，求實數(shù)的取值范圍；（2）若，都有，求實數(shù)的取值范圍.解：（1）解不等式，即，解得，所以，，由于是的必要非充分條件，則，所以，解得，因此，實數(shù)的取值范圍是.（2）由，都有，得，，令，，當時，取最大值為，所以，，因此，實數(shù)的取值范圍是.18.函數(shù)的圖像過點和.（1）求函數(shù)的〖解析〗式；（2）當?shù)亩x域為時，求的最小值與最大值.解：（1）由題意得：，解得：，所以.（2）由題意得：，解得：，故的定義域為，，令，故，所以當時，單調(diào)遞增，所以，.19.已知函數(shù)（，）．（1）若關(guān)于的不等式的解集為，求不等式的解集；（2）若，，求關(guān)于的不等式的解集．解：（1）的不等式的解集為，，且，3是方程的兩個實數(shù)根，，，解得，，不等式等價于，即，故，解得或，所以該不等式的解集為.（2）當時，不等式等價于，即，又，所以不等式等價于，當，即時，不等式為，解得；當，即時，解不等式得或；當，即時，解不等式得或，綜上，當時，不等式的解集為，當時，不等式的解集為，當時，不等式的解集為．20.已知函數(shù)為奇函數(shù).（1）求的值；（2）探究單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；（3）若存在實數(shù)，使得不等式成立，求的范圍.解：（1）因為函數(shù)為奇函數(shù)，∴，即，化簡得，∴.（2）為增函數(shù)，證明：定義域為，任取設(shè)，，，即，所以為增函數(shù).（3）由已知存在實數(shù)，使得不等式成立，由（1）可知只需存在實數(shù),使得，即成立即可，令，易知在時單調(diào)遞增，所以，所以.21.北京時間2021年10月16日0時23分，搭載神舟十三號載人飛船的長征二號遙十三運載火箭，在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心精準發(fā)射，約582秒后，飛船與火箭成功分離，進入預(yù)定軌道，發(fā)射取得圓滿成功，這是我國載人航天工程立項實施以來的第21次飛行任務(wù)，也是空間站階段的第2次載人飛行任務(wù)。航天工程對人們的生活產(chǎn)生方方面面的影響，有關(guān)部門對某航模專賣店的商品銷售情況進行調(diào)查發(fā)現(xiàn)：該商品在過去的一個月內(nèi)（以30天計）的日銷售價格（元）與時間（天）的函數(shù)關(guān)系近似滿足（常數(shù)）.該商品的日銷售量（百個）與時間（天）部分數(shù)據(jù)如下表所示：（天）5101726（百個）4567已知第10天該商品日銷售收入為3500元.（1）求實數(shù)的值；（2）給出以下三種函數(shù)模型：①，②；③，請你依據(jù)上表中的數(shù)據(jù)，從以上三種函數(shù)模型中，選擇你認為最合適的一種函數(shù)模型，來描述該商品的日銷售量與時間的關(guān)系，說明你選擇的理由.并借助你選擇的模型，預(yù)估該商品的日銷售收入（，）（元）在哪一天達到最低？解：（1）由題意，，∴.（2）∵表格中對應(yīng)的數(shù)據(jù)勻速遞增時，對應(yīng)的數(shù)據(jù)并未勻速變化，∴排除模型①，又∵表示在兩側(cè)“等距”的函數(shù)值相等，而表格中的數(shù)據(jù)并未體現(xiàn)此規(guī)律（），∴排除模型②，對于模型③，將，代入模型③，有：，解得：，此時，，經(jīng)驗證，，均滿足，∴選模型③，，取等條件：，即，∴第16天達到最低.22.設(shè)，函數(shù)．（1）當時，求在的單調(diào)區(qū)間；（2）記為在上的最大值，求的最小值．解：（1）當