注重解題后反思

PAGEPAGE6注重解題后反思培養(yǎng)多樣性思維葉燕琴衢江區(qū)實驗中學(xué)摘要數(shù)學(xué)家喬治波利亞說：“數(shù)學(xué)問題的解決僅僅只是一半，更重要的是解題之后的回顧”。解題后的反思是對整個解題活動的反思，不僅僅是對數(shù)學(xué)解題學(xué)習(xí)的一般性回顧或重復(fù)，而是深究數(shù)學(xué)解題活動中所涉及的知識、方法、思路、策略等，從中達(dá)到解一題會一類的效果。因此，解題后反思不僅可以提高數(shù)學(xué)有效學(xué)習(xí)，而且可以培養(yǎng)良好的思維品質(zhì)。關(guān)鍵詞解題反思多樣性隨著基礎(chǔ)教育課程改革的不斷深入，發(fā)展學(xué)生的智力，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，應(yīng)該說是與時代發(fā)展要求相適應(yīng)的一條主要的教學(xué)途徑，作為數(shù)學(xué)教學(xué)任務(wù)的學(xué)生的解題活動是培養(yǎng)學(xué)生再發(fā)現(xiàn)和再創(chuàng)造的過程。對解題教學(xué)而言，不僅要把“題”作為研究對象，把“解”作為研究目標(biāo)，而且也要把解題活動作為對象，把學(xué)會“數(shù)學(xué)地思維”促進(jìn)人的發(fā)展作為目標(biāo)。反思是認(rèn)識過程中強化自我意識、進(jìn)行自我監(jiān)控、自我調(diào)節(jié)的重要形式。反思活動進(jìn)行的深度和廣度，能反映自我意識、自我調(diào)節(jié)進(jìn)行的強弱。在反思過程中，不但元認(rèn)知能力可以得到實際的鍛煉和提高，而且通過反思后的總結(jié)提高可以使元認(rèn)知能力得到補充、豐富和完善。因此在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)注重學(xué)生智力開發(fā)，啟發(fā)學(xué)生多思考，使學(xué)生逐步形成反思的良好習(xí)慣。反思的形式是多種多樣的，反思內(nèi)容也是豐富多彩的。作為一名教學(xué)一線的數(shù)學(xué)老師，經(jīng)過多年的教學(xué)實踐，我認(rèn)為對數(shù)學(xué)解題的反思有如下幾個方面1.反思解題過程，養(yǎng)成思維的嚴(yán)謹(jǐn)性解數(shù)學(xué)題，學(xué)生有時由于審題不清，忽視條件，套用相近知識，考慮不周或計算出錯，難免產(chǎn)生這樣或那樣的錯誤，即學(xué)生解數(shù)學(xué)題，不能保證一次性正確和完善。許多數(shù)學(xué)題中的隱性條件，并不能阻礙解題的暢通，而學(xué)生受思維定勢或粗心等因素影響容易忽視，造成解題錯誤或失敗。由于解題回顧是對解題活動的再認(rèn)識，因而便于發(fā)現(xiàn)解題過程中的錯誤。例如粗心大意的書寫錯誤，審題、理解題意的偏差，公式、法則等知識套用中的錯誤等。解完題后，要重新審查解題過程和結(jié)果是否正確，答案是否全面等，這有利于培養(yǎng)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性。例1如何將一根長為10cm的木棒截為兩段，使得這兩段中的任意一段都能和長度分別為4cm和7cm的兩根木棒擺成三角形。分析由于思維定勢，有些同學(xué)將分割后的木棒長度理解為整數(shù)，因此對此題分兩種情況考慮，將木棒截為5cm和5cm或者4cm和6cm。解題后反思可對自己的解題活動重新認(rèn)識，以便克服粗心大意而養(yǎng)成認(rèn)真仔細(xì)的良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，而一個良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣對于學(xué)生甚至我們每一個人在解題活動中提高正確率、提高工作效率具有非常重要的意義。例2王叔叔家有一塊等腰三角形的菜地，腰長為40米，一條筆直的水渠從菜地穿過，這條水渠恰好垂直平分等腰三角形的一腰，水渠穿過菜地部分的長為15米(水渠的寬不計)，請你計算這塊等腰三角形菜地的面積．分析：本題是無附圖的幾何試題，在此情況下一般要考慮多種情況的出現(xiàn)，需要對題目進(jìn)行分情況討論。分類思想在中考解題中有著廣泛的應(yīng)用，我們在解題中應(yīng)仔細(xì)分析題意，挖掘題目的題設(shè)，結(jié)論中可能出現(xiàn)的不同的情況，然后采用分類的思想加以解決.解：（1)當(dāng)?shù)妊切螢殇J角三角形時(如圖1)，由勾股定理得AE＝25（m）由DE∥FC得，，得FC＝24（m）S△ABC=eq\f(1,2)×40×24=480（m2）(2)當(dāng)?shù)妊切螢殁g角三角形時(如圖2)同理可得，S△ABC=eq\f(1,2)×64×24=768（m2）圖1圖1圖2圖2A在教學(xué)中，教師如能不失時機地抓住學(xué)生在解題中由于思維的不嚴(yán)謹(jǐn)、考慮問題的不全面而導(dǎo)致的錯誤結(jié)果，有意識地啟發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生對解題結(jié)果的正誤作進(jìn)一步思考，從反思中正確鑒別解題結(jié)果的真?zhèn)?，產(chǎn)生錯誤的根源是什么？如何得出正確解答？等等。長此以往加以訓(xùn)練和培養(yǎng)，不僅有利于學(xué)生對基本技能進(jìn)一步理解和鞏固，而且有利于學(xué)生思維嚴(yán)謹(jǐn)性的培養(yǎng)。2.反思解題規(guī)律，養(yǎng)成思維的靈活性由于人類對事物的認(rèn)識總是遵循著由淺入深、從簡單到復(fù)雜、從具體到抽象、直至本質(zhì)的循環(huán)往復(fù)的基本規(guī)律。解題后反思正是遵循了這一基本規(guī)律。解題最基本的目的是使學(xué)生加深對知識的理解，掌握思考問題的基本方法，形成基本技能，最終實現(xiàn)能力的有效遷移。由于數(shù)學(xué)對象的抽象性，數(shù)學(xué)活動的探索性，數(shù)學(xué)推理的嚴(yán)謹(jǐn)性和數(shù)學(xué)語言的特殊性，所以處于思維發(fā)展中的學(xué)生不可能直接把握數(shù)學(xué)活動的本質(zhì)，必須通過反復(fù)思考、深入研究才能洞察數(shù)學(xué)活動的本質(zhì)。因此解完題目后，想一想這題滲透哪些數(shù)學(xué)思想方法，有無規(guī)律可循。力求揭示解題規(guī)律，知其所以然，知其所以然而后悟。做到能舉一反三觸類旁通的加以應(yīng)用，培養(yǎng)思維的靈活性。例3如圖1，一等腰直角三角尺GEF的兩條直角邊與正方形ABCD的兩條邊分別重合在一起?，F(xiàn)ABCD保持不動，將三角尺GEF繞斜邊EF的中點O（點O也是BD中點）按順時針方向旋轉(zhuǎn)。（1）如圖2，當(dāng)EF與AB相交于點M，GF與BD相交于點N時，通過觀察或測量BM、FN的長度，猜想BM、FN滿足的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；圖3ABDGEFOMNC圖2EABDG圖3ABDGEFOMNC圖2EABDGFOMNC圖圖1A(G)B(E)COD(F)分析：（1）相等，由△FNO≌△BMO得結(jié)論成立分析：（2）成立，由△FNO≌△BMO得結(jié)論成立反思：這類問題的（1）與（2）雖然圖形變了，但是解題的思路沒有變，結(jié)論也沒有變。在解（2）時可用（1）的思路。在對解題活動的整個反思與總結(jié)中我們便會發(fā)現(xiàn)問題的深層結(jié)構(gòu)，可以使學(xué)生所學(xué)知識更具系統(tǒng)和完整性，同時總結(jié)題目的共同特征，做到明一類，得一法，也就形成了解決此類問題的解題策略，同時也激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。3.反思解題方法，養(yǎng)成思維的廣闊性數(shù)學(xué)問題有機聯(lián)系縱橫交錯，解題思路靈活多變，解題方法途徑繁多。對一道數(shù)學(xué)題，由于審題的角度不同，得出多種解題方法。即使一次性解題合理正確，也未必能保證一次性解題就是最佳思路，最優(yōu)最簡捷的解法。若滿足解出就行，久而久之會變得思維狹窄。解答完一道題后，不能光停留在所得結(jié)論上，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行反思。教師向?qū)W生提出：你是怎樣想的？為什么這樣想？還有什么解法嗎？最優(yōu)化的解法是什么？將學(xué)生的思維一步一步展開，并引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)題目的基本特征、進(jìn)行多角度觀察、聯(lián)想，去探索更多更好的解題途徑。這有利于培養(yǎng)思維的廣闊性。例4某同學(xué)在進(jìn)行多邊形內(nèi)角和的計算時，求得的內(nèi)角和為1125°，當(dāng)發(fā)現(xiàn)錯了之后，重新檢查，發(fā)現(xiàn)是少加了一個內(nèi)角，問這個內(nèi)角是多少度？他求得的是幾邊行的內(nèi)角和？解法方法一；設(shè)這個多邊形的邊數(shù)為n當(dāng)(n－2)×180°=1125°時，有n=8.25因為少加了一個角，所以n=9所以少加的內(nèi)角的度數(shù)為(9－2)×180°－1125°=135°方法二：設(shè)這個多邊形的邊數(shù)為n，這個內(nèi)角的度數(shù)為x。根據(jù)題意，得1125°+x=(n－2)×180°因為邊數(shù)n為正整數(shù)，且0°＜x＜180°,解得n=9，x=135°.方法三：設(shè)這個多邊形的邊數(shù)為n則0°＜(n－2)×180°－1125°＜180°,解得8.25＜n＜9.25.又因為多邊形的邊數(shù)n是整數(shù)，所以n=9所以少加的內(nèi)角度數(shù)為(9－2)×180°－1125°=135°運用多種方法求解，既可暴露其思維過程，又能使學(xué)生思路開闊，熟練掌握知識的內(nèi)在聯(lián)系。在問題解決之后，要不斷地反思：解題過程是否浪費了重要的信息？解題過程多走了哪些思維回路，思維、運算能否變得簡捷？是否拘泥于思維定勢，照搬了熟悉的解法？通過這樣不斷地質(zhì)疑、不斷改進(jìn)，讓解題過程更具有合理性、科學(xué)性、簡捷性。4.反思拓展變式，養(yǎng)成思維的深刻性解完一題后，教師應(yīng)及時抓住某種契機，引導(dǎo)學(xué)生探索、聯(lián)想、創(chuàng)新，發(fā)揮典型習(xí)題的功效，將某些題目適當(dāng)變換條件，將所學(xué)的知識縱向加深，橫向溝通，可以發(fā)揮學(xué)生的潛能，培養(yǎng)學(xué)生的探索精神。也可讓學(xué)生試著編題，比如保留題目的結(jié)論或保留條件等。讓學(xué)生能通過做一道掌握一類題的解法。這有利于培養(yǎng)思維的深刻性。例5如圖,正方形ABCD的對角線相交與點O,點O是正方形A′B′C′O′的頂點，如果兩個正方形的邊長相等，正方形A′B′C′O′繞點O無論怎樣轉(zhuǎn)動，兩個正方形重疊部分的面積總等于一個定值。求出該定值并加以證明.AADCBOA′B′C′O′EFAABCDMFNＯＥ分析由△AEO≌△BFO得S重疊部分=S△AOB=S正方形變式一：圓心角為90°扇形繞點O轉(zhuǎn)動，重疊部分的面積還是一個定值嗎？定值是多少？生析：由△AEO≌△BFO得S重疊部分=S△AOB=S正方形變式二：正三角形ABC的對稱中心是O點，圓心角120°的扇形繞點O任意旋轉(zhuǎn)，兩個圖形重疊部分面積還是等于一個定值嗎？定值是多少？NMNMOECDBAPQＤABＥCNOM生析：由△AOD≌△BOE得S重疊部分=S△AOB=S△ABC變式三：正五邊形ABCDE的對稱中心是O點，圓心角72°的扇形繞點O任意旋轉(zhuǎn)，兩個圖形重疊部分面積還是等于一個定值嗎？定值是多少？生析：由△OEP≌△ODQ得S重疊部分=S△AOB=S五邊形總結(jié)規(guī)律（學(xué)生思考）點O是任意正n邊形的對稱中心，只要是圓心角度的扇形繞點O旋轉(zhuǎn)任意角度，兩個圖形重疊部分面積都等于一個定值，定值是S=Sn邊形。通過對典型題目的變化規(guī)律的探索與證明，培養(yǎng)學(xué)生探索能力和創(chuàng)新能力，收到以少勝多、事半功倍的效果。美國數(shù)學(xué)教育家波利亞指出：“學(xué)習(xí)任何東西，最好的途徑是自己去發(fā)現(xiàn)。”回顧反思作為數(shù)學(xué)教學(xué)中常見的一個環(huán)節(jié)，是引導(dǎo)學(xué)生再發(fā)現(xiàn)的一個過程。教師在教學(xué)過程中通過引導(dǎo)學(xué)生對問題進(jìn)行觀察分析、歸納類比、抽象概括，對問題中所蘊含的