【Syx】分類加法計數原理與分步乘法計數原理第1課時 高二下數學人教A版（2019）選擇性必修第三冊

章前引言汽車號碼牌的序號一般是從26個英文字母、10個阿拉伯數字中選出若干個，并按照適當順序排列而成。隨著人們生活水平的提高，家庭汽車擁有量迅速增長，汽車號碼序號需要擴容，那么，交通管理部門應如何確定序號的組成方法，才能滿足民眾的需求呢？這就需要“數出”某種汽車號碼牌序號組成的方案下所有可能的序號數，這就是計數。章前引言

日常生活、生產中類似的問題大量存在.

例如，幼兒會通過一個一個地數的方法，計算自己擁有玩具的數量；學校要舉行班際籃球比賽，在確定賽制后，體育組的老師需要知道共需要舉行多少場比賽；用紅、黃、綠三面旗幟組成航海信號，顏色的不同排列表示不同的信號，需要知道共可以組成多少種不同的信號……

如果問題中數量很少，一個一個地數也不失為一種計數的好方法.但如果問題中數量很多，我們還一個一個地去數嗎？章前引言在小學我們學了加法和乘法，這是將若干個“小”的數結合成“較大”的數最基本的方法.這兩種方法經過推廣就成了本章將要學習的分類加法計數原理和分步乘法計數原理.這兩個原理是解決計數問題的最基本、最重要的方法，利用兩個計算原理還可以得到兩類特殊計數問題的計數公式——排列數公式和組合數公式，應用公式就可以方便地解決一些計數問題.作為計數原理與計數公式的一個應用，本章我們還將學習在數學上有廣泛應用的二項式定理.第六章計數原理6.1分類加法計數原理與分步乘法計數原理問題導入

計數問題是我們從小就經常遇到的，通過列舉一個一個地數是計數的基本方法，但當問題中的數量很大時，列舉的方法效率不高，能否設計巧妙的“數法”，以提高效率呢？

本節(jié)課，我們會分析一些簡單的問題（實例），并嘗試從中得出巧妙的計數方法.問題思考問題1用一個大寫的英文字母或一個阿拉伯數字給教室里的一個座位編號，總共能編出多少種不同的號碼?完成一件什么事怎么完成這件事英文字母有什么要求給一個座位編號用一個英文字母或一個阿拉伯數字方案1：方案2：用英文字母編號用阿拉伯數字編號261026+10=36分析：因為英文字母共有26個，阿拉伯數字共有10個，所以總共可以編出種不同的號碼.問題思考探究1你能說一說這個問題的特征嗎？

首先，這里要完成的事情是“給一個座位編號”；其次是“或”字的出現(xiàn)：一個座位編號用一個英文字母或一個阿拉伯數字表示.因為英文字母與阿拉伯數字互不相同，所以用英文字母編出的號碼與用阿拉伯數字編出的號碼也互不相同.這兩類號碼數相加就得到了號碼的總數.

上述計數過程的基本環(huán)節(jié)是：(1)確定分類標準，根據問題條件分為字母號碼和數字號碼兩類；(2)分別計算各類號碼的個數;(3)各類號碼的個數相加，得出所有號碼的個數.新知探究

完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m＋n種不同的方法．1.分類加法計數原理注意：兩類不同方案中的方法互不相同.典例分析

l

A大學B大學生物學數學化學會計學醫(yī)學信息技術學物理學法學工程學問題思考

問題思考

分析：樹狀圖A123456789A1A2A3A4A5A6A7A8A9與字母A對應的編號有9種字母

數字

得到的號碼追問1：你能用樹狀圖列出所有可能的號碼嗎？問題思考

問題3你能說一說這個問題的特征嗎？

上述問題要完成的一件事情仍然是“給一個座位編號”，其中最重要的特征是“和”字的出現(xiàn)：一個座位編號由一個英文字母和一個阿拉伯數字構成.

因此得到一個座位號要經過先確定一個英文字母，后確定一個阿拉伯數字這兩個步驟，每一個英文字母與不同的數字組成的號碼是互不相同的.新知探究2.分步乘法計數原理一般地，完成一件事需要兩個步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有

N＝m×n種不同的方法.注意：(1)無論第1步采用哪種方法，與之對應的第2步都有相同的方法數;(2)各個步驟相互依存,只有各個步驟都完成了,這件事才算完成.典例分析

解：任選男生和女生各1人，可以分兩個步驟完成：分析：根據分步乘法計數原理，共有不同選法的種數為完成一件什么事怎么完成這件事英文字母有什么要求選兩名班級代表1名男生和1名女生第1步：第2步：選男生選女生N=30×24=720

問題思考

典例分析例3

書架的第1層放有4本不同的計算機書，第2層放有3本不同的文藝書，第3層放有2本不同的體育書.(1)從書架上任取1本書，有多少種不同取法？(2)從書架的第1層、第2層、第3層各取1本書，有多少種不同取法？分析：(2)要完成的一件事是“從書架第1層、第2層、第3層中各取1本書”，可以分三個步驟完成.（分步乘法）

當堂訓練1.填空題(1)一項工作可以用2種方法完成，有5人只會用第1種方法完成，另有4人只會用第2種方法完成，從中選出1人來完成這項工作，不同選法的種數是________；

(2)從A村去B村的道路有3條，從B村去C村的道路有2條，從A村經B村去C村，不同路線的條數是_________.962.在例1中，若數學也是A大學的強項專業(yè)，則A大學有6個專業(yè)可以選擇，B大學有4個專業(yè)可以選擇，應用分類加法計數原理，得到這名同學可能的專業(yè)選擇種數為6+4=10.這種算法有什么問題？當堂訓練3.書架上層放有6本不同的數學書，下層放有5本不同的語文書.

(1)從書架上任取1本書，有多少種不同的取法?

(2)從書架上任取數學書和語文書各1本，有多少種不同的取法?4.現(xiàn)有高一年級的學生3名，高二年級的學生5名，高三年級的學生4名.

(1)從三個年級的學生中任選1人參加接待外賓的活動，有多少種不同的選法?

(2)從三個年級的學生中各選1人參加接待外賓的活動，有多少種不同的選法?解：(1)11種；(2)30種.解：(1)12種；(2)60種.當堂訓練3.書架上層放有6本不同的數學書，下層放有5本不同的語文書.

(1)從書架上任取1本書，有多少種不同的取法?

(2)從書架上任取數學書和語文書各1本，有多少種不同的取法?4.現(xiàn)有高一年級的學生3名，高二年級的學生5名，高三年級的學生4名.

(1)從三個年級的學生中任選1人參加接待外賓的活動，有多少種不同的選法?

(2)從三個年級的學生中各選1人參加接待外賓的活動，有多少種不同的選法?解：(1)11種；(2)30種.解：(1)12種；(2)60種.課堂小結1.解答計數問題的一般思路：完成一件什么事怎么完成這件事英文字母有什么要求方法的分類過程的分步利用加法原理進行計數利用乘法原理進行計數課堂