新教材新高考2024年高考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)精講精練 第08講 拓展三：三角形中面積（定值最值取值范圍）問(wèn)題高頻精講（原卷版）

第08講拓展三：三角形中面積問(wèn)題（含定值，最值，取值范圍）(精講）目錄TOC\o"1-3"\h\u第一部分：知識(shí)點(diǎn)必背 2第二部分：高考真題回歸 2第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過(guò) 4高頻考點(diǎn)一：求三角形面積（定值問(wèn)題） 4高頻考點(diǎn)二：根據(jù)三角形面積求其它元素 11高頻考點(diǎn)三：求三角形面積最值 18高頻考點(diǎn)四：求三角形面積取值范圍 24角度1：普通三角形面積取值范圍 24角度2：銳角三角形面積取值范圍 29第四部分：數(shù)學(xué)文化題 35第五部分：高考新題型 39溫馨提醒：瀏覽過(guò)程中按ctrl+Home可回到開(kāi)頭第一部分：知識(shí)點(diǎn)必背1、三角形面積的計(jì)算公式：①；②；③（其中，是三角形的各邊長(zhǎng)，是三角形的內(nèi)切圓半徑）；④(其中，是三角形的各邊長(zhǎng)，是三角形的外接圓半徑).2、三角形面積最值：核心技巧：利用基本不等式，再代入面積公式.3、三角形面積取值范圍：核心技巧：利用正弦定理，，代入面積公式，再結(jié)合輔助角公式，根據(jù)角的取值范圍，求面積的取值范圍.第二部分：高考真題回歸1．（2022·浙江·統(tǒng)考高考真題）在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．已知．(1)求的值；(2)若，求的面積．2．（2021·全國(guó)（新高考Ⅱ卷）·統(tǒng)考高考真題）在中，角、、所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為、、，，.．（1）若，求的面積；（2）是否存在正整數(shù)，使得為鈍角三角形?若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由．3．（2022·全國(guó)（新高考Ⅱ卷）·統(tǒng)考高考真題）記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，分別以a，b，c為邊長(zhǎng)的三個(gè)正三角形的面積依次為，已知．(1)求的面積；(2)若，求b．第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過(guò)高頻考點(diǎn)一：求三角形面積（定值問(wèn)題）典型例題例題1．（2023·江蘇南通·二模）記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知．(1)若，求；(2)若，求的面積．例題2．（2023·湖南常德·統(tǒng)考一模）如圖，在中，已知角，，所對(duì)的邊分別為，，，角的平分線(xiàn)交于點(diǎn)，且，.(1)求的大??；(2)若，求的面積.例題3．（2023·山東·煙臺(tái)二中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知平面四邊形中，，，．(1)求；(2)若，，求四邊形的面積．例題4．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)，，分別為的內(nèi)角，，的對(duì)邊，且．(1)求證：；(2)若，，求的面積．練透核心考點(diǎn)1．（2023·云南昭通·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，且滿(mǎn)足.從①，②，③，這三個(gè)條件中任選一個(gè)作為已知條件.(1)求角的大小；(2)點(diǎn)在線(xiàn)段的延長(zhǎng)線(xiàn)上，且，若，求的面積.2．（2023·北京西城·統(tǒng)考一模）如圖，在中，，，平分交于點(diǎn)，．(1)求的值；(2)求的面積．3．（2023·遼寧大連·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a，b，c，且，(1)求角A的大?。?2)若，求的面積．4．（2023·陜西西安·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c.已知，.(1)求C的值；(2)若，求的面積.5．（2023·福建莆田·統(tǒng)考二模）的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，，D為的中點(diǎn)，且．(1)證明：；(2)若，求的面積．高頻考點(diǎn)二：根據(jù)三角形面積求其它元素典型例題例題1．（2023·青?！ばＢ?lián)考模擬預(yù)測(cè)）在中，內(nèi)角，，所對(duì)應(yīng)的邊分別是，，，若的面積是，則（

）A． B． C． D．例題2．（2023·北京海淀·統(tǒng)考一模）在中，．(1)求；(2)若的面積為，再?gòu)臈l件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使存在且唯一確定，求的值．條件①：；條件②：；條件③：．注：如果選擇的條件不符合要求，第(2)問(wèn)得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．例題3．（2023·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知銳角，，，分別是角，，的對(duì)邊，且．(1)證明：；(2)若為的角平分線(xiàn)，交于點(diǎn)，且．求的值．例題4．（2023·吉林通化·梅河口市第五中學(xué)?？级＃┯浀膬?nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，分別以，，為直徑的三個(gè)半圓的面積依次為，，．(1)若，證明：；(2)若，且的面積為，，求．練透核心考點(diǎn)1．（2023·陜西漢中·統(tǒng)考二模）若三角形的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且，，其面積，則邊=________．2．（2023·河南安陽(yáng)·統(tǒng)考二模）已知的角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且．(1)求A；(2)若的面積為，，點(diǎn)D為邊BC的中點(diǎn)，求AD的長(zhǎng)．3．（2023·北京石景山·統(tǒng)考一模）如圖，在中，，，點(diǎn)在邊上，.(1)求的長(zhǎng)；(2)若的面積為，求的長(zhǎng).4．（2023·山東棗莊·統(tǒng)考二模）已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，向量，，且．(1)求A；(2)若，△ABC的面積為，求a．高頻考點(diǎn)三：求三角形面積最值典型例題例題1．（2023·江西南昌·統(tǒng)考一模）如圖，一塊三角形鐵片，已知，，，現(xiàn)在這塊鐵片中間發(fā)現(xiàn)一個(gè)小洞，記為點(diǎn)，，.如果過(guò)點(diǎn)作一條直線(xiàn)分別交，于點(diǎn)，，并沿直線(xiàn)裁掉，則剩下的四邊形面積的最大值為（

）A． B． C． D．例題2．（2023·貴州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，若，，則面積的最大值為_(kāi)__________.例題3．（2023·山西太原·統(tǒng)考一模）在中，分別為內(nèi)角的對(duì)邊，點(diǎn)在上，.(1)從下面條件①、②中選擇一個(gè)條件作為已知，求；(2)在（1）的條件下，求面積的最大值.條件①：；條件②：.注：若條件①和條件②分別解答，則按第一個(gè)解?計(jì)分.例題4．（2023·山西·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四邊形中，已知，，．(1)若，求的長(zhǎng)；(2)求面積的最大值．練透核心考點(diǎn)1．（2023·四川遂寧·統(tǒng)考二模）中，角、、所對(duì)的邊分別為、、.若，且，則面積的最大值為_(kāi)__________.2．（2023·全國(guó)·校聯(lián)考二模）已知的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且.(1)求角的大??；(2)若，角與角的內(nèi)角平分線(xiàn)相交于點(diǎn)，求面積的最大值.3．（2023·廣西桂林·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，．(1)求角的大??；(2)若，為外一點(diǎn)（、在直線(xiàn)兩側(cè)），，，求四邊形面積的最大值．4．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若________．在以下兩個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在橫線(xiàn)上：①；②，并解答下列問(wèn)題．(1)求角A；(2)若，求面積的最大值．注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分．高頻考點(diǎn)四：求三角形面積取值范圍角度1：普通三角形面積取值范圍典型例題例題1．（2023·河南新鄉(xiāng)·統(tǒng)考二模）如圖，在中，，在上，，，．(1)求的值；(2)求面積的取值范圍．例題2．（2023春·山西·高一統(tǒng)考階段練習(xí)）在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且．(1)若，求角的值；(2)若外接圓的周長(zhǎng)為，求面積的取值范圍．例題3．（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）在中，角的對(duì)邊分別為．(1)求角；(2)若點(diǎn)滿(mǎn)足，且，求面積的取值范圍．練透核心考點(diǎn)1．（2023·山東臨沂·統(tǒng)考一模）在中，角所對(duì)的邊分別為，已知．(1)求；(2)若，求面積的取值范圍．2．（2023秋·福建泉州·高三校考階段練習(xí)）已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，．(1)若，求B的大??；(2)若△ABC不是鈍角三角形，且，求△ABC的面積取值范圍．3．（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）在中，角、、的對(duì)邊分別是、、，且滿(mǎn)足．(1)求角的大??；(2)若，求的面積的取值范圍．角度2：銳角三角形面積取值范圍典型例題例題1．（2023·山東德州·統(tǒng)考一模）在銳角中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且．(1)求證：；(2)若的角平分線(xiàn)交于，且，求面積的取值范圍．例題2．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知銳角三角形的內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，且.(1)求角的大?。?2)若，求面積的取值范圍.例題3．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知銳角三角形中，角，，的對(duì)邊分別為，，，且滿(mǎn)足，.(1)求的取值范圍；(2)若，求三角形面積的取值范圍.練透核心考點(diǎn)1．（2023·河北石家莊·統(tǒng)考一模）已知內(nèi)角所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為.(1)求；(2)若為銳角三角形，且，求面積的取值范圍.2．（2023·四川涼山·統(tǒng)考一模）在銳角中，角A，，所對(duì)的邊分別為．(1)求A；(2)若，求面積的取值范圍．3．（2023春·黑龍江哈爾濱·高一黑龍江省哈爾濱市雙城區(qū)兆麟中學(xué)校考階段練習(xí)）在中，a，b，c分別為角A，B，C的對(duì)邊，且.(1)求角A；(2)若為銳角三角形，邊，求面積的取值范圍.第四部分：數(shù)學(xué)文化題1．（2023·江蘇常州·?？家荒＃┮獯罄麛?shù)學(xué)家斐波那契于1202年寫(xiě)成《計(jì)算之書(shū)》，其中第12章提出兔子問(wèn)題，衍生出數(shù)列：1，1，2，3，5，8，13，….記該數(shù)列為，則，，.如圖，由三個(gè)圖（1）中底角為60°等腰梯形可組成一個(gè)輪廓為正三角形（圖（2））的圖形，根據(jù)改圖所揭示的幾何性質(zhì)，計(jì)算（

）A．1 B．3 C．5 D．72．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）萊洛三角形是定寬曲線(xiàn)所能構(gòu)成的面積最小的圖形，他是由德國(guó)機(jī)械學(xué)家萊洛首先發(fā)現(xiàn)的，故而得名．它是分別以正三角形ABC的頂點(diǎn)為圓心，以正三角形邊長(zhǎng)為半徑作三段圓弧組成的一條封閉曲線(xiàn)，如圖所示．現(xiàn)在我們要制作一個(gè)高為10的柱形幾何體，其側(cè)面與底面垂直，底面為一萊洛三角形ABC，且正三角形ABC邊長(zhǎng)為2，則該幾何體的體積為（

）A． B．C． D．3．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）“奔馳定理”是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論，因?yàn)檫@個(gè)定理對(duì)應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車(chē)（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地稱(chēng)其為“奔馳定理”．奔馳定理：已知O是內(nèi)的一點(diǎn)，的面積分別為，則有．設(shè)O是銳角內(nèi)的一點(diǎn)，分別是的三個(gè)內(nèi)角，以下命題不正確的有（

）A．若，則O為的重心B．若，則C．若，，則D．若O為的垂心，則4．（2023春·河北保定·高一河北省唐縣第一中學(xué)校考階段練習(xí)）“我將來(lái)要當(dāng)一名麥田里的守望者，有那么一群孩子在一大塊麥田里玩，幾千幾萬(wàn)的小孩子，附近沒(méi)有一個(gè)大人，我是說(shuō)，除了我．”《麥田里的守望者》中的主人公霍爾頓將自己的精神生活寄托于那廣闊無(wú)垠的麥田．假設(shè)霍爾頓想在一望無(wú)際的麥田里劃一塊形為平面四邊形的麥田成為守望者．如圖所示，為了分割麥田，他將B，D連接，經(jīng)測(cè)量知，．(1)霍爾頓發(fā)現(xiàn)無(wú)論多長(zhǎng)，都為一個(gè)定值，試問(wèn)霍爾頓的發(fā)現(xiàn)正確嗎？若正確，求出此定值；若不正確，請(qǐng)說(shuō)明理由.(2)霍爾頓發(fā)現(xiàn)小麥的生長(zhǎng)和發(fā)育與分割土地面積的平方和有關(guān)，記與的面積分別為和，為了更好地規(guī)劃麥田，請(qǐng)你幫助霍爾頓求出的最大值．第五部分：高考新題型1．（2023春·浙江杭州·高一浙江大學(xué)附屬中學(xué)期中）在①；②；③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題的橫線(xiàn)上，并加以解答.問(wèn)題：的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且滿(mǎn)足________.(1)求A；(2)若，且，求的面積.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答給分.2．（2023春·貴州貴陽(yáng)·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，；(1)求；(2)若的面積為，_________求．請(qǐng)?jiān)冖?；②；③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)，補(bǔ)充在上面的橫線(xiàn)上，并完成解答（如果選擇多個(gè)條件解答，按第一個(gè)解答記分）．3．（2023·北京·北京四中?？寄M預(yù)測(cè)）在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別是，，．已知．(1)求角的大??；(2)再?gòu)臈l件①、條件②