山東省名?？荚嚶?lián)盟2023-2024學(xué)年高三下學(xué)期開(kāi)學(xué)考試數(shù)學(xué)試題含答案

機(jī)密★啟用前試卷類(lèi)型A山東名?？荚嚶?lián)盟高三年級(jí)下學(xué)期開(kāi)學(xué)聯(lián)考數(shù)學(xué)試題2024.2注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的考生號(hào)、姓名、考點(diǎn)學(xué)校、考場(chǎng)號(hào)及座位號(hào)填寫(xiě)在答題卡上．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需要改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上．寫(xiě)在本試卷上無(wú)效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．二項(xiàng)式的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為（）A．4B．8C．16D．322．歐拉公式（是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，i是虛數(shù)單位）是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉提出的，它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系．已知，則（）A．1B．C．2D．3．已知非零向量滿足，且，則與夾角為（）A．B．C．D．4．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)的值是（）A．1B．C．2D．5．已知數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，則“”是“是單調(diào)遞減數(shù)列”的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件6．若曲線在處的切線與曲線也相切，則（）A．B．1C．D．27．已知點(diǎn)是直線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，則的服小值為（）A．0B．1C．D．28．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為為原點(diǎn)，以為直徑的圓與雙曲線交于點(diǎn)，且，則雙曲線的離心率為（）A．2B．3C．4D.5二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每個(gè)小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．進(jìn)入冬季哈爾濱旅游火爆全網(wǎng)，下圖是2024年1月1．日到1'月7日哈爾濱冰雪大世界和中央大街日旅游人數(shù)的折線圖，則（）A．中央大街日旅游人數(shù)的極差是1.2B．冰雪大世界日旅游人數(shù)的中位數(shù)是2.3C．冰雪大世界日旅游人數(shù)的平均數(shù)比中央大街大D．冰雪大世界日旅游人數(shù)的方差比中央大街大10．已知函數(shù)的部分圖像如圖所示，則（）A．B．是圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸C．在上有兩個(gè)不相等的解，則D．已知函數(shù)，當(dāng)取最大值時(shí)，11．在長(zhǎng)方體中，為的中點(diǎn)，點(diǎn)滿足，則（）A．若為的中點(diǎn)，則三棱錐體積為定值B．存在點(diǎn)使得C．當(dāng)時(shí)，平面截長(zhǎng)方體所得截面的面積為D．若為長(zhǎng)方體外接球上一點(diǎn)，，則的最小值為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．從2，3，4，5，6，7，8中任取兩個(gè)不同的數(shù)，事件為“取到的兩個(gè)數(shù)的和為偶數(shù)”，事件為“取到的兩個(gè)數(shù)均為偶數(shù)”，則______．13．已知的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，已知，，則外接圓的半徑為_(kāi)_____．14．已知函數(shù)，若不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_____．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15．（13分）已知數(shù)列滿足．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2），求數(shù)列的前項(xiàng)和．16．（15分）甲、乙兩人進(jìn)行乒乓球比賽，比賽采用五局三勝制（一方先勝三局即獲勝，比賽結(jié)束），每一局比賽中兩人都要決出勝負(fù)，不出現(xiàn)平局，且甲獲勝的概率為．（1）若，求甲以獲勝的概率；（2）若，求比賽結(jié)束時(shí)，比賽局?jǐn)?shù)的分布列及數(shù)學(xué)期望．17．（15分）已知四棱錐平面，四邊形為梯形，，．（1）證明：平面平面；（2）平面與平面的交線為，求直線與平面夾角的正弦值．18．（17分）已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）設(shè)函數(shù)．（?。┣蟮闹担唬áⅲ┳C明：存在實(shí)數(shù)，使得曲線關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)．19．（17分）已知拋物線是上不同的三點(diǎn)，過(guò)三點(diǎn)的三條切線分別兩兩交于點(diǎn)，則稱(chēng)三角形為拋物線的外切三角形．（1）當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為為坐標(biāo)原點(diǎn)，且時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）設(shè)外切三角形的垂心為，試判斷是否在定直線上，若是，求出該定直線；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）證明：三角形與外切三角形的面積之比為定值．山東名?？荚嚶?lián)盟2024年2月高三年級(jí)下學(xué)期開(kāi)學(xué)考數(shù)學(xué)試題參考答案一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．題號(hào)12345678答案CACBBDAD6．【解析】由題意得，在處的切線為，設(shè)該直線與曲線相切的切點(diǎn)為，所以，所以切點(diǎn)在直線上，所以，故選：D．7．【解析】圓的圓心為半徑為1，點(diǎn)到直線的距離．解法一：，設(shè)，則在中，，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以的最小?．解法二：當(dāng)時(shí)，取得最大值，此時(shí)取得最小值0，其他位置，所以的最小值0．故選：A．8．【解析】解法一：由題意得，，，所以，即，又，所以．在中，由勾股定理得：，解得，所以雙曲線的離心率為5．解法二：點(diǎn)一定在右支上，不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，由于，所以，一定滿足，即，化簡(jiǎn)得，，結(jié)合，整理得，，同除得，，解得，或（舍），所以雙曲線的離心率為5，故選：C．二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．題號(hào)91011答案BCABDACD10．【解析】對(duì)于A：因?yàn)橹芷?，所以．?duì)于B：代入得，所以，則，因?yàn)?，所以，則，其對(duì)稱(chēng)軸為，所以是的對(duì)稱(chēng)軸．對(duì)于C：因?yàn)?，所以或，因?yàn)?，所以令，所以或有兩個(gè)解，結(jié)合的圖象，與有一個(gè)交點(diǎn)，與有一個(gè)交點(diǎn)，共兩個(gè)交點(diǎn)，所以符合題意，答案錯(cuò)誤．對(duì)于D：，令，所以．所以當(dāng)時(shí)取到最大值，此時(shí)．答案：ABD11．【解析】對(duì)于A：因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，為的中點(diǎn)，所以，所以面，則到面的距離為定值，所以體積為定值．對(duì)于B：在平面的投影為，由三垂線定理得，若，則，因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，所以與不垂直，所以B錯(cuò)．對(duì)于C：平面與平面重合，平面與平面重合，所以延長(zhǎng)會(huì)與有交點(diǎn)，因?yàn)椋匝娱L(zhǎng)與交于點(diǎn)，取中點(diǎn)，則平面截長(zhǎng)方體所得截面為矩形，所以面積為．對(duì)于D：長(zhǎng)方體外接球球心為中點(diǎn)，半徑為，由阿氏球得，在直線上必存在一點(diǎn)，使得，此時(shí)點(diǎn)在延長(zhǎng)線上，且滿足，以為原點(diǎn)，建系如圖，所以，則，因?yàn)?，所以．答案：ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．；13．；14．．13．【解析】解法一：由正弦定理得，，化簡(jiǎn)得，，所以由正弦定理得，因?yàn)?，所以為正三角形，由，所以外接圓的半徑．解法二：由余弦定理得，，化簡(jiǎn)得，因?yàn)椋詾檎切?，由，得，所以外接圓的半徑為．14．【解析】只需保證恒成立．令，則在上遞減，在上遞增，當(dāng)時(shí)，故存在，使得．又，故或恒成立．又當(dāng)時(shí)，則不恒成立，于是恒成立．當(dāng)時(shí)，若，顯然不成立；當(dāng)時(shí)，滿足題意；當(dāng)時(shí)，，若，顯然成立；若時(shí)，則恒成立，求導(dǎo)可得．綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答題應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15．【解析】因?yàn)?，所以，累加得：，?jīng)檢驗(yàn)時(shí)符合，所以【注：丟捕對(duì)的檢監(jiān)不扣分】（2）因?yàn)?，所以，所以【注：此處沒(méi)有使用并項(xiàng)法求和，而是使用不完全歸納法得出規(guī)律求和，不扣分】16．【解析】（1）記表示甲以獲勝，則前4局兩人比分為平，第5局甲獲勝，所以；【注：浸有列出式子，直接給出答束，扣3分】（2）的可能取值為3，4，5，，，故；【注：1．不列出分布列的?格，不扣分；2．沒(méi)有單獨(dú)給出隨機(jī)變童的取值，后面求概時(shí)有體現(xiàn)，不扣分；3．每一個(gè)概值的計(jì)算只有結(jié)來(lái)沒(méi)有式子，各和1分；4．?dāng)?shù)學(xué)期望只有結(jié)果，沒(méi)有式子，和1分；5．結(jié)果沒(méi)有化成最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)，不扣分】17．【解析】（1）證明：連接，過(guò)做的垂線交于點(diǎn)，所以，因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，所以，所以【注：其他方法證得，同樣得分】因?yàn)槊婷?，所以，與交于點(diǎn)，所以面，因?yàn)槊?，所以面面【注?．此處鐵少面，直接得面面，扣1分；2．證得面后建系，由兩平面的法向量重直得兩平面垂直也同樣得分】（2）延長(zhǎng)交于點(diǎn)，因?yàn)槊?，且面，所以，即為面與面的交線，以為原點(diǎn)建系如圖：，，設(shè)面的方向量為，則，取，設(shè)直線與平面的夾角為，所以所以直線與平面夾角的正弦值為．解法二：延長(zhǎng)交于點(diǎn)，因?yàn)槊妫颐?，所以，即為面與面的交線如圖建立空間直角坐標(biāo)系：所以，設(shè)面的方向量為，則，取，設(shè)直線與平面的夾角為，所以，所以直線與平面夾角的正弦值為．解法三：延長(zhǎng)交于點(diǎn)，因?yàn)槊?，且面，所以，即為面與面的交線做于點(diǎn)，連接，因?yàn)槊妫扇咕€定理可知：．在中，，所以．設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，由，得，因?yàn)槊?，所以在中，．設(shè)與平面得夾角為，則，所以直線與平面夾角的正弦值為．18．【解析】（1）由題意可知，則的定義域?yàn)椋?dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，若；若，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．【注：1．丟接的情況，扣1分；2．單調(diào)區(qū)間未用區(qū)間表示，共扣1分】（2）（?。┖瘮?shù)，則，，故．（ⅱ）函數(shù)的定義域?yàn)椋舸嬖?，使得曲線關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，則關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，所以由．可知曲線關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)．【注：1．由（?。┑挠?jì)算結(jié)果猜想得出對(duì)稱(chēng)軸為直線，也得2分；2．只要出理或或兩者做差等于0等式子，即得2分；沒(méi)有最后一句結(jié)論，不扣分】19．【解析】（1）由題意可知，求導(dǎo)得，則切線的方程為為切線與軸的交點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．【注：求導(dǎo)正確得1分；正確求解點(diǎn)或處的切線得1分；正確求得點(diǎn)的坐標(biāo)得1分】（2）設(shè)，則拋物線在點(diǎn)處的切線的方程為，同理可得切線的方程為，【注：得由其中