2024年高考數(shù)學(xué)優(yōu)等生培優(yōu)第41講 含參不等式解法-解析版96

第41講含參不等式解法1.若函數(shù)f(x)在區(qū)間D上存在最小值和最大值,則不等式f(x)＞a在區(qū)間D上恒成立?＞a;不等式f(x)≥a在區(qū)間D上恒成立?≥a;不等式f(x)＜b在區(qū)間D上恒成立?＜b;不等式f(x)≤b在區(qū)間D上恒成立?≤b.2.若函數(shù)f(x)在區(qū)間D上不存在最大(小)值,且值域為(m,n),則不等式f(x)＞a(或f(x)≥a)在區(qū)間D上恒成立?m≥a;不等式f(x)＜b(或f(x)≤b)在區(qū)間D上恒成立?n≤b.3.若函數(shù)f(x)在區(qū)間D上存在最小值和最大值,則不等式a＜f(x)在區(qū)間D上有解?a＜﹔不等式a≤f(x)在區(qū)間D上有解?a≤不等式a＞f(x)在區(qū)間D上有解?a＞﹔不等式a≥f(x)在區(qū)間D上有解?a≥4.若函數(shù)f(x)在區(qū)間D上不存在最大(小)值,且值域為(m,n),則不等式a＜f(x)(或a≤f(x))在區(qū)間D上有解?a＜n;不等式b＞f(x)(或b≥f(x))在區(qū)間D上有解?b＞m.結(jié)論一、利用二次函數(shù)的性質(zhì)對形如f(x)＞0或f(x)＜0在其定義域上的不等式恒成立問題,若f(x)滿足二次函數(shù)的一般結(jié)構(gòu),那不妨將題轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)在其定義域上的圖像在坐標(biāo)系中與x軸的高低比較.一般來講,對(或)在x∈R上恒成立問題,可以利用二次項系數(shù)及判別式進(jìn)行討論;對(或)在x∈D(D≠R)上恒成立問題,常用分離參數(shù)法.【例1】若不等式的解集是R,則m的取值范圍是__________【答案】[1,9)【解析】要想應(yīng)用上面的結(jié)論,就得保證是二次的,這樣才有判別式,但二次項系數(shù)含有參數(shù)m,所以要討論m－1是否是0.(1)當(dāng)m－1＝0時,原不等式化為2＞0恒成立,滿足題意;(2)當(dāng)m－1≠0時,只需所以m∈[1,9).【變式】已知,若x∈[–2,2],f(x)≥2恒成立，則a的取值范圍是_________________.【答案】【解析】本題可以考慮f(x－2＝g(x)的零點分布情況進(jìn)行分類討論,分無零點、零點在區(qū)間的左側(cè)、零點在區(qū)間的右側(cè)三種情況,即Δ≤0或或，,即在[－2,2]上成立(1),所以(2)或所以綜上,結(jié)論二、分離變量若在等式或不等式中出現(xiàn)兩個變量,其中一個變量的范圍已知,另一個變量的范圍為所求,且容易通過恒等變形將兩個變量分別置于等號或不等號的兩邊,則可將恒成立問題轉(zhuǎn)化成函數(shù)的最值問題求解.這類題型的基本解題思路如下:(1)將參數(shù)與變量分離,即化為g(a)≥f(x)(或g(a)≤f(x))恒成立的形式;(2)求f(x)在x∈D上的最大(或最小)值;(3)解不等式g(a)≥(或g(a)≤),得a的取值范圍.【例2】當(dāng)x∈[1,2]時,不等式恒成立,則m的取值范圍是_________.【答案】(–∞,－5)【解析】當(dāng)x∈[1,2]時,由得.令則易知f(x)在[1,2]上是增函數(shù),所以當(dāng)x∈[1,2]時,＝f(1)＝－5,則m＜–5,即m∈(–∞,－5).【變式】已知x∈(–∞,1]時,不等式恒成立,則a的取值范圍是___________【答案】【解析】令,因為x∈(–∞,1],所以t∈(0,2],所以原不等式可化為:.要使上式在t∈(0,2]上恒成立,只須求出f(t)＝在t∈(0,2]上的最小值即可.因為又因為,所以所以,所以,結(jié)論三、變換主元在不等式的恒成立問題中，有一類題型是題中的參數(shù)如a，m，k等的范圍是已知的，而問題要求的反而是變量x的范圍。這類題型中，由于已知范圍的變量是以前我們所接觸的參數(shù)，因而題中的函數(shù)結(jié)構(gòu)也就發(fā)生了改變，此時函數(shù)是以參數(shù)為自變量的函數(shù)。一般來說，我們在觀察這類恒成立問題時，哪個變量的范圍是已知的，哪個就是該函數(shù)的自變量。【例3】若|a|≤2,不等式恒成立,則x的取值范圍是__________.【答案】x＜–1或x＞3【解析】原不等式轉(zhuǎn)化為在|a|≤2時恒成立,設(shè),則f(a)在|a|≤2上恒大于0,故有即解得，所以x＜－1或x＞3.【變式】若不等式對于a∈(－∞,3]恒成立,則x的取值范圍是_______________.【答案】(－∞,0)∪(1,＋∞)【解析】注意到對于α∈(－∞,3]恒成立是關(guān)于a的一次不等式.不妨設(shè),則f(a)在a∈(–∞,3]上單調(diào)遞減,則問題等價于f(3)＞0,所以?或,則x的取值范圍是x∈(－∞,0)∪(1,＋∞).結(jié)論四、恒成立問題1.對任意的x∈D,都有f(x)＞m,則＞m;2.對任意的x∈D,都有f(x)＜m,則＜m.【例4】若對任意x＞0,都有,則a的取值范圍是___________.【答案】【解析】原題等價于則為減函數(shù),于是.故.【變式】已知函數(shù),若對任意,都有,則實數(shù)的取值范圍是____________________【答案】【解析】對任意的,都有,轉(zhuǎn)化為恒成立,題意等價于,令,且在上為減函數(shù),所以.故.結(jié)論五、能成立問題1.若存在,使得,則;2.若存在,使得,則.【例5】存在實數(shù),使得不等式有解,則的取值范圍為________________【答案】【解析】變量分離得,只需當(dāng)時,.因為,所以,即.【變式】已知函數(shù),若定義域不為空集,則的取值范圍為________________【答案】【解析】的定義域非空,相當(dāng)于存在實數(shù),使成立,的最大值大于0成立,,解得或,即.結(jié)論六、恰成立問題1.若不等式在區(qū)間上恰成立,則等價于不等式的解集為;2.若不等式在區(qū)間上恰成立,則等價于不等式的解集為.【例6】不等式的解集為,則________________【答案】6【解析】由題意知的兩根分別為,根據(jù)韋達(dá)定理可得.所以.【變式】已知函數(shù),若的解集為,則________________【答案】-5【解析】因為的解集為,所以的解集為,所以等價于方程的兩個根為2和3,由韋達(dá)定理可得.結(jié)論七、“任意=存在”型對任意的,存在,使得,則的值域是值域的子集,即.【例7】函數(shù),對于任意的,均存在,使得成立,則的取值范圍是________________【答案】【解析】設(shè)在區(qū)間上的值域為在區(qū)間上的值域為,本題轉(zhuǎn)化成兩函數(shù)的值域之間的關(guān)系,即需滿足,即.所以且,解得.故.【變式】已知,對任意的,存在,使得,則的取值范圍是________________【答案】【解析】由可得的值域為,3],的值域是,又對任意的,存在,使得,則的值域包含的值域,即,則,解得.故.結(jié)論八、“存在=存在”型若存在,存在,使得,則的值域與的值域有非空交集,即.【例8】已知函數(shù),若有,則的取值范圍為______