2024年高考數(shù)學(xué)優(yōu)等生培優(yōu)第46講 空間垂直關(guān)系-解析版8

第46講空間垂直關(guān)系通關(guān)一、直線與平面垂直的判定定理(1)自然語言:一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂間(2)圖形語言:如圖所示.(3)符號語言:通關(guān)二、直線與平面垂直的性質(zhì)定理自然語言:垂直于同一個平面的兩條直線平行.圖形語言:如圖所示.符號語言:要點詮釋:直線與平面垂直的定義常常逆用，即oLB若平行直線中一條垂直于平面，則另一條也垂直于該平面.(3)垂直于同一條直線的兩個平面平行.(4)過一點有且只有一條直線與已知平面垂直.(5)過一點有且只有一個平面與已知直線垂直.通關(guān)三、平面與平面垂直的判定定理(1)兩個平面垂直的定義如果兩個相交平面所成的二面角是直二面角，那么就說這兩個平面互相垂直.平面與β垂直，記作.(2)兩個平面垂直的判定定理自然語言:一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直.圖形語言:如圖所示.符號語言:.要點詮釋:(1)兩個平面互相垂直是兩個平面相交的特殊情況，正方體中任意相鄰的兩個面都是互相垂直的;(2)由定理可知，要證明平面與平面垂直，可轉(zhuǎn)化為從現(xiàn)有直線中尋找平面的垂線，即證明線面垂直;(3)面面垂直的判定定理提供了找出垂直于一個平面的另一個平面的依據(jù).通關(guān)四、平面與平面垂直的性質(zhì)定理自然語言：兩個平面垂直，則一個平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個平面垂直圖形語言：如圖所示．符號語言：．要點詮釋：(1)兩個平面互相垂直是兩個平面相交的特殊情況，正方體中任意相鄰的兩個面都是互相垂直的；(2)由定理可知，要證明平面與平面垂直，可轉(zhuǎn)化為從現(xiàn)有直線中尋找平面的垂線，即證明線面垂直；(3)面面垂直的判定定理提供了找出垂直于一個平面的另一個平面的依據(jù)．結(jié)論一、線線垂直思考途徑:1.轉(zhuǎn)化為相交垂直;2.轉(zhuǎn)化為線面垂直;3.轉(zhuǎn)化為線與另一線的射影垂直;4.轉(zhuǎn)化為線與形成射影的斜線垂直.支持定理:配圖助記:【例1】如圖，ABCD是正方形，SA垂直于平面ABCD，過A且垂直于SC的平面分別交SB，SC，SD于點E，F(xiàn)，G，求證:AE⊥SB，AG⊥SD.【解析】證明因為SA⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，所以SA⊥BC.又因為ABCD為正方形，所以BC⊥AB，所以BC⊥平面ASB.因為AE?平面ASB，所以BC⊥AE.又因為SC⊥平面AEFG，所以SC⊥AE，所以AE上平面SBC.又因為SB?平面SBC，所以AE⊥SB，同理可證AG⊥SD.【變式】如圖，四面體P-ABC中，PA上面ABC，AB上BC，過A作AE⊥PB交PB于E，過A作AF⊥PC交PC于F.求證:PC⊥EF.【解析】證明因為PA上面ABC，且BC?面ABC，所以BC⊥PA，且BC⊥AB，所以BC⊥面ABE，所以BC⊥AE.又PB⊥AE，且BC∩PB=B，所以AE⊥面PBC，且PC?面PBC，所以AE⊥PC.又AF⊥PC，且AF∩AE=A，所以PC⊥面AEF，且EF?面AEF，所以PC⊥EF.結(jié)論二、線面垂直思考途徑:1.轉(zhuǎn)化為該直線與平面內(nèi)任一直線垂直;2.轉(zhuǎn)化為該直線與平面內(nèi)相交二直線垂直;3.轉(zhuǎn)化為該直線與平面的任意一條垂線平行;4.轉(zhuǎn)化為該直線垂直于另一個平行平面;5.轉(zhuǎn)化為該直線與平面的垂線平行.支持定理.支持定理：配圖助記:要點詮釋：平面和平面垂直的判定定理的兩個條件：，缺一不可．【例2】如圖，在正方體，為的中點，為底面的中心．求證面.【解析】證法一由于，且，所以面，，所以連結(jié)，設(shè)，則因為，，所以，所以，，所以面.證法二由于，且，所以面，且面，所以.取中點，連結(jié)，則在正方形中，由，分別為的中點，可知，又且，所以面,又面，所以所以面PAC．【變式】在四棱錐中，底面為矩形，底面，分別為，AB的中點．若，求證：面【解析】證法一取中點，連結(jié)則所以，所以四邊形是平行四邊形．因為底面，且面，所以．又由底面是矩形有，所以面．又面PAD，所以．又因為，所以是等腰直角三角形．因為為中點，所以，所以．又，面．又，所以面．證法二先完全仿照證法一可證明面取中點，連接，則，所以面面，所以面MRN，所以MN⊥CD．因為∠PDA＝45°，所以PA＝AD，又BC＝AD，所以PA＝BC，又AN＝BN，且＝∠CBN＝90°，所以根據(jù)三角形全等可知PN＝NC，又PM＝MC，所以因為CD∩PC＝C，所以MN⊥面PCD結(jié)論三、面面垂直思考途徑：1．轉(zhuǎn)化為判斷二面角是直二面角；2．轉(zhuǎn)化為線面垂直．支持定理：二面角的平面角為；②；③配圖助記： 【例3】在四棱錐S－ABCD中，底面ABCD是正方形，SA⊥底面ABCD，SA＝AB，點M是SD的中點，AN⊥SC，且交SC于點N．證明：平面SAC⊥平面AMN．【解析】證明因為SA⊥底面ABCD，CDC平面ABCD，所以SA⊥CD．又因為CD⊥AD，SAC平面SAD，ADC平面SAD，SA∩AD＝A，所以CD⊥平面SAD．AMC平面SAD，所以CD⊥AM．又因為SA＝AD＝AB，M是SD的中點，所以AM⊥SD．SDC平面SCD，CDC平面SCD，SD∩CD＝D，所以AM⊥平面SCD．SCC平面SCD，所以AM⊥SC．又因為AN⊥SC，AM，ANC平面AMNAM∩AN＝A，所以SC⊥平面AMN．又因為SCC平面SAC，所以平面SAC⊥面AMN．【變式】如圖，在直四棱柱中，，，點M是棱BB1，上一點（1）求證：面A1BD；（2）求證：（3）試確點M的位置，使得平面DMC1⊥平面CC1D1D．【解析】1)證明由直四棱柱，得所以是平行四邊形，所以而BD?平面平面，所以面(2)證明因為面ABCD，ACC面ABCD，所以又因為BD⊥AC，且所以AC⊥面而MD?面所以MD⊥AC(3)當(dāng)點M為棱的中點時，平面平面取DC的中點的中點連結(jié)交DC