2024年高考數(shù)學(xué)優(yōu)等生培優(yōu)第46講 空間垂直關(guān)系-解析版8

第46講空間垂直關(guān)系通關(guān)一、直線與平面垂直的判定定理(1)自然語言:一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂間(2)圖形語言:如圖所示.(3)符號(hào)語言:通關(guān)二、直線與平面垂直的性質(zhì)定理自然語言:垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行.圖形語言:如圖所示.符號(hào)語言:要點(diǎn)詮釋:直線與平面垂直的定義常常逆用，即oLB若平行直線中一條垂直于平面，則另一條也垂直于該平面.(3)垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行.(4)過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知平面垂直.(5)過一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知直線垂直.通關(guān)三、平面與平面垂直的判定定理(1)兩個(gè)平面垂直的定義如果兩個(gè)相交平面所成的二面角是直二面角，那么就說這兩個(gè)平面互相垂直.平面與β垂直，記作.(2)兩個(gè)平面垂直的判定定理自然語言:一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直.圖形語言:如圖所示.符號(hào)語言:.要點(diǎn)詮釋:(1)兩個(gè)平面互相垂直是兩個(gè)平面相交的特殊情況，正方體中任意相鄰的兩個(gè)面都是互相垂直的;(2)由定理可知，要證明平面與平面垂直，可轉(zhuǎn)化為從現(xiàn)有直線中尋找平面的垂線，即證明線面垂直;(3)面面垂直的判定定理提供了找出垂直于一個(gè)平面的另一個(gè)平面的依據(jù).通關(guān)四、平面與平面垂直的性質(zhì)定理自然語言：兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直圖形語言：如圖所示．符號(hào)語言：．要點(diǎn)詮釋：(1)兩個(gè)平面互相垂直是兩個(gè)平面相交的特殊情況，正方體中任意相鄰的兩個(gè)面都是互相垂直的；(2)由定理可知，要證明平面與平面垂直，可轉(zhuǎn)化為從現(xiàn)有直線中尋找平面的垂線，即證明線面垂直；(3)面面垂直的判定定理提供了找出垂直于一個(gè)平面的另一個(gè)平面的依據(jù)．結(jié)論一、線線垂直思考途徑:1.轉(zhuǎn)化為相交垂直;2.轉(zhuǎn)化為線面垂直;3.轉(zhuǎn)化為線與另一線的射影垂直;4.轉(zhuǎn)化為線與形成射影的斜線垂直.支持定理:配圖助記:【例1】如圖，ABCD是正方形，SA垂直于平面ABCD，過A且垂直于SC的平面分別交SB，SC，SD于點(diǎn)E，F(xiàn)，G，求證:AE⊥SB，AG⊥SD.【解析】證明因?yàn)镾A⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，所以SA⊥BC.又因?yàn)锳BCD為正方形，所以BC⊥AB，所以BC⊥平面ASB.因?yàn)锳E?平面ASB，所以BC⊥AE.又因?yàn)镾C⊥平面AEFG，所以SC⊥AE，所以AE上平面SBC.又因?yàn)镾B?平面SBC，所以AE⊥SB，同理可證AG⊥SD.【變式】如圖，四面體P-ABC中，PA上面ABC，AB上BC，過A作AE⊥PB交PB于E，過A作AF⊥PC交PC于F.求證:PC⊥EF.【解析】證明因?yàn)镻A上面ABC，且BC?面ABC，所以BC⊥PA，且BC⊥AB，所以BC⊥面ABE，所以BC⊥AE.又PB⊥AE，且BC∩PB=B，所以AE⊥面PBC，且PC?面PBC，所以AE⊥PC.又AF⊥PC，且AF∩AE=A，所以PC⊥面AEF，且EF?面AEF，所以PC⊥EF.結(jié)論二、線面垂直思考途徑:1.轉(zhuǎn)化為該直線與平面內(nèi)任一直線垂直;2.轉(zhuǎn)化為該直線與平面內(nèi)相交二直線垂直;3.轉(zhuǎn)化為該直線與平面的任意一條垂線平行;4.轉(zhuǎn)化為該直線垂直于另一個(gè)平行平面;5.轉(zhuǎn)化為該直線與平面的垂線平行.支持定理.支持定理：配圖助記:要點(diǎn)詮釋：平面和平面垂直的判定定理的兩個(gè)條件：，缺一不可．【例2】如圖，在正方體，為的中點(diǎn)，為底面的中心．求證面.【解析】證法一由于，且，所以面，，所以連結(jié)，設(shè)，則因?yàn)?，，所以，所以，，所以?證法二由于，且，所以面，且面，所以.取中點(diǎn)，連結(jié)，則在正方形中，由，分別為的中點(diǎn)，可知，又且，所以面,又面，所以所以面PAC．【變式】在四棱錐中，底面為矩形，底面，分別為，AB的中點(diǎn)．若，求證：面【解析】證法一取中點(diǎn)，連結(jié)則所以，所以四邊形是平行四邊形．因?yàn)榈酌妫颐?，所以．又由底面是矩形有，所以面．又面PAD，所以．又因?yàn)椋允堑妊苯侨切危驗(yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以，所以．又，面．又，所以面．證法二先完全仿照證法一可證明面取中點(diǎn)，連接，則，所以面面，所以面MRN，所以MN⊥CD．因?yàn)椤螾DA＝45°，所以PA＝AD，又BC＝AD，所以PA＝BC，又AN＝BN，且＝∠CBN＝90°，所以根據(jù)三角形全等可知PN＝NC，又PM＝MC，所以因?yàn)镃D∩PC＝C，所以MN⊥面PCD結(jié)論三、面面垂直思考途徑：1．轉(zhuǎn)化為判斷二面角是直二面角；2．轉(zhuǎn)化為線面垂直．支持定理：二面角的平面角為；②；③配圖助記： 【例3】在四棱錐S－ABCD中，底面ABCD是正方形，SA⊥底面ABCD，SA＝AB，點(diǎn)M是SD的中點(diǎn)，AN⊥SC，且交SC于點(diǎn)N．證明：平面SAC⊥平面AMN．【解析】證明因?yàn)镾A⊥底面ABCD，CDC平面ABCD，所以SA⊥CD．又因?yàn)镃D⊥AD，SAC平面SAD，ADC平面SAD，SA∩AD＝A，所以CD⊥平面SAD．AMC平面SAD，所以CD⊥AM．又因?yàn)镾A＝AD＝AB，M是SD的中點(diǎn)，所以AM⊥SD．SDC平面SCD，CDC平面SCD，SD∩CD＝D，所以AM⊥平面SCD．SCC平面SCD，所以AM⊥SC．又因?yàn)锳N⊥SC，AM，ANC平面AMNAM∩AN＝A，所以SC⊥平面AMN．又因?yàn)镾CC平面SAC，所以平面SAC⊥面AMN．【變式】如圖，在直四棱柱中，，，點(diǎn)M是棱BB1，上一點(diǎn)（1）求證：面A1BD；（2）求證：（3）試確點(diǎn)M的位置，使得平面DMC1⊥平面CC1D1D．【解析】1)證明由直四棱柱，得所以是平行四邊形，所以而BD?平面平面，所以面(2)證明因?yàn)槊鍭BCD，ACC面ABCD，所以又因?yàn)锽D⊥AC，且所以AC⊥面而MD?面所以MD⊥AC(3)當(dāng)點(diǎn)M為棱的中點(diǎn)時(shí)，平面平面取DC的中點(diǎn)的中點(diǎn)連結(jié)交DC