2024年高考數(shù)學(xué)優(yōu)等生培優(yōu)第14講 復(fù)合函數(shù)與第15講 抽象函數(shù)-解析版56

第14講復(fù)合函數(shù)通關(guān)一、復(fù)合函數(shù)定義設(shè)且函數(shù)的值域為定義域的子集，那么通過的聯(lián)系而得到自變量x的函數(shù)，稱為是x的復(fù)合函數(shù)，記為通關(guān)二、復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性(同增異減)對于復(fù)合函數(shù)，為內(nèi)層函數(shù)，為外層函數(shù)，則復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性符合下表：外層函數(shù)單調(diào)性內(nèi)層函數(shù)單調(diào)性函數(shù)單調(diào)性增增增減減減增減減增結(jié)論一、復(fù)合函數(shù)的求值與求參1.復(fù)合函數(shù)函數(shù)值計算的步驟：求函數(shù)值遵循“由內(nèi)到外”的順序，一層層求出函數(shù)值.2.已知函數(shù)值求自變量的步驟：若已知函數(shù)值求x的解，則遵循“由外到內(nèi)”的順序，一層層拆解直到求出x的值.【例1】設(shè)函數(shù)，則_______；若，則實數(shù)的值為_______.【答案】【解析】因為函數(shù)，所以，所以.由，可知：當(dāng)時，，解得當(dāng)時，，不成立.當(dāng)時，，解得（舍去）.綜上可知，【變式】若函數(shù)，則函數(shù)的值域是————【答案】【解析】當(dāng)時，，所以；當(dāng)時，，所以所以函數(shù)的值域是結(jié)論二、與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性1.若，函數(shù)的單調(diào)增（減）區(qū)間即函數(shù)的單調(diào)增（減）區(qū)間.2.若，函數(shù)的單調(diào)增（減）區(qū)間即函數(shù)的單調(diào)減（增）區(qū)間.【例2】函數(shù)的值域是（） A. B. C. D.【答案】C【解析】設(shè)，則因為，所以為關(guān)于的減函數(shù).因為，所以，故所求函數(shù)的值域為.故選C.【變式】如果函數(shù)在區(qū)間上的最大值14，則的值為（） A. B.1 C.3 D.或3【答案】D【解析】令，則當(dāng)時，因為，所以，又函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，解得當(dāng)時，因為，所以又函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，解得.綜上可知，或故選D.結(jié)論三、與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性1.若，函數(shù)的單調(diào)增（減）區(qū)間即函數(shù)的單調(diào)增（減）區(qū)間.2.若，函數(shù)的單調(diào)減（增）區(qū)間即函數(shù)的單調(diào)減（增）區(qū)間.【例3】設(shè)函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，則的最小值為（） A.2 B.1 C. D.【答案】D【解析】可令，由在上遞減，可得在上是增函數(shù)，且在上恒成立，可得且，解得，則的最小值為.故選D.【變式】函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（） A. B. C. D.【答案】B【解析】由題可得，解得或，由二次函數(shù)的性質(zhì)和復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.故選B.結(jié)論四、復(fù)合函數(shù)的奇偶性（內(nèi)偶則偶，內(nèi)奇同外）若則奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)【例】4、若函數(shù)是奇函數(shù)，函數(shù)是偶函數(shù)，則一定成立的是（） A.函數(shù)是奇函數(shù) B.函數(shù)是奇函數(shù) C.函數(shù)是奇函數(shù) D.函數(shù)是奇函數(shù)【答案】C【解析】由題知函數(shù)滿足，則有，，，，所以根據(jù)奇偶函數(shù)的判斷可得只有C選項是正確的.故選C.【變式】已知為R上的函數(shù)，其中函數(shù)為奇函數(shù)，函數(shù)為偶函數(shù)，則（） A.函數(shù)為偶函數(shù) B.函數(shù)為奇函數(shù) C.函數(shù)為偶函數(shù) D.函數(shù)為奇函數(shù)【答案】A【解析】設(shè)，因為為偶函數(shù)所以，則，所以函數(shù)是偶函數(shù).故選A.結(jié)論五、復(fù)合函數(shù)的零點關(guān)于的方程根的個數(shù)，令，1.作出的圖像；2.解方程，求出對應(yīng)的解；3.結(jié)合的值和的圖像，令，將所求的個數(shù)匯總后即為的根的個數(shù).【例5】已知函數(shù)，則函數(shù)的零點個數(shù)為（） A.2 B.3 C.4 D.5【答案】B【解析】由可得或.當(dāng)時，，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，函數(shù)在處有極小值.繪制函數(shù)的圖像，如圖所示，觀察可得，函數(shù)的零點個數(shù)為3.故選B.【變式】函數(shù)的圖像如圖所示，則方程的實數(shù)根的個數(shù)為（） A.3 B.6 C.9 D.12【答案】C【解析】令，則由有，由圖像知有三個根，分別令，解出有9個符合方程，再令解出相應(yīng)的根的個數(shù)為9個.故選C.第15講抽象函數(shù)通關(guān)一、抽象函數(shù)模型抽象模型原函數(shù)通關(guān)二、抽象函數(shù)的單調(diào)性抽象函數(shù)單調(diào)性的判斷,關(guān)鍵是根據(jù)題目所給的性質(zhì)和符號條件,構(gòu)造相應(yīng)的關(guān)于的函數(shù)值,從而比較出與的大小,同時還要注意,等變形技巧.通關(guān)三、抽象函數(shù)的奇偶性抽象函數(shù)奇偶性的判斷往往借助于賦值法和定義,對于已給恒等式中出現(xiàn)的兩個或兩個以上的變量,利用賦值的方法將其替換成都出現(xiàn)的形式,在恒等式中僅有這兩種形式或是具體函數(shù)值的形式,而不會出現(xiàn)新的函數(shù)結(jié)構(gòu).通關(guān)四、抽象函數(shù)的注意事項解題時需把握好如下三點：一是注意函數(shù)定義域；二是利用函數(shù)的奇偶性去掉函數(shù)符號“”前的“負(fù)號”；三是利用函數(shù)單調(diào)性去掉函數(shù)符號“".注意定義域優(yōu)先原則,賦值法（常量賦值和變量賦值,換元法.結(jié)論一、型【例1】已知函數(shù)對任意實數(shù)都有,且當(dāng)時,.求在上的值域.【解析】設(shè)且,則,由條件當(dāng)時,,所以.又,所以為增函數(shù).令,則.又令,得,所以,故為奇函數(shù),則.所以在上的值域為.【變式】函數(shù)對任意的實數(shù)有,且當(dāng)時,有.(1)求證:在上為增函數(shù)；(2)若,解不等式.【解析】證明：取且,則,故,所以,即.所以函數(shù)在上為增函數(shù).(2)因為,所以,所以,由(1)知函數(shù)在上為增函數(shù),故,所以,即或,所以原不等式的解集是或.結(jié)論二、型【例】2已知函數(shù)的定義域是,當(dāng)時,,且.(1)求的值；(2)證明:在定義域上是增函數(shù).【解析】令,則,所以.證明：設(shè),則.因為,所以,所以,即,所以,所以在上是增函數(shù).【變式】的定義域為,且對一切都有,當(dāng)時,有.求的值；(2)判斷的單調(diào)性并證明；(3)若,解不等式.【解析】(1).(2)設(shè),則由,得,因為,所以.所以.即在上是增函數(shù).因為,所以,原不等式化為.因為在上是增函數(shù),所以,解得,故原不等式的解集為.結(jié)論三、型【例3】設(shè)函數(shù)定義在上,當(dāng)時,,且對任意,有,當(dāng)時,.(1)證明：；(2)證明：在上是增函數(shù).【解析】（1證明令得,所以或.若,當(dāng)時,有,這與當(dāng)時,矛盾,所以.(2)證明設(shè),則,由已知得,因為,若時,,而,所以,所以在上是增函數(shù).【變式】已知對一切,滿足,且當(dāng)時,.求證：時,在上為減函數(shù).【解析】證明(1因為對一切有,且,令,得.現(xiàn)設(shè),則,而,所以,所以.(2)設(shè)且,則.所以,即為減函數(shù).結(jié)論四、型【例4】給出四個等式：①；②；③；④,則不滿足任一等式的函數(shù)是（）.A. B. C. D.【解析】選項滿足②選項滿足④選項滿足③選項不滿