北師大版七年級數(shù)學(xué)下冊高頻考點(diǎn)專題突破 專題01 生活中的軸對稱 教材同步講練-【高頻考點(diǎn)】（原卷版+解析）

專題01生活中的軸對稱教材同步講練知識(shí)點(diǎn)1-1軸對稱圖形及軸對稱性質(zhì)1、軸對稱圖形：如果一個(gè)平面圖形沿一條直線折疊后，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個(gè)圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸．注意：軸對稱圖形的對稱軸可能只有一條，也可能有多條甚至無數(shù)條．2、兩個(gè)圖形成軸對稱：如果兩個(gè)平面圖形沿一條直線折疊后能夠完全重合，那么稱這兩個(gè)圖形成軸對稱，這條直線叫做這兩個(gè)圖形的對稱軸．3、軸對稱的性質(zhì)：在軸對稱圖形或兩個(gè)成軸對稱的圖形中，對應(yīng)點(diǎn)所連的線段被對稱軸垂直平分，對應(yīng)線段相等，對應(yīng)角相等．注意：在軸對稱圖形或兩個(gè)成軸對稱的圖形中，沿對稱軸折疊后，重合的點(diǎn)是對應(yīng)點(diǎn)，叫做對稱點(diǎn)．類似地，重合的線段是對應(yīng)線段，重合的角是對應(yīng)角．例1．（2021·黑龍江哈爾濱市·八年級期末）下列說法正確的是（）A．如果兩個(gè)三角形全等，則它們是關(guān)于某條直線成軸對稱的圖形B．如果兩個(gè)三角形關(guān)于某條直線成軸對稱，那么它們是全等三角形C．等邊三角形是關(guān)于一條邊上的中線成軸對稱的圖形D．一條線段是關(guān)于經(jīng)過該線段中點(diǎn)的中線成軸對稱的圖形變式1．（2021·無錫市八年級月考）下列說法正確的是（）A．關(guān)于某條直線對稱的兩個(gè)三角形是全等三角形B．全等三角形一定關(guān)于某條直線對稱C．兩圖形關(guān)于某條直線對稱，則這兩個(gè)圖形一定分別位于對稱軸的兩側(cè)D．有一條公共邊的兩個(gè)全等三角形關(guān)于公共邊的所在的直線對稱例2．（2021·沙坪壩區(qū)·重慶南開中學(xué)九年級月考）下列平面圖形是軸對稱圖形的是（）A．B．C．D．變式2．（2021·黑龍江哈爾濱市·八年級期末）下列圖案中，是軸對稱圖形的是（）A．B．C．D．變式3．（2021·江蘇九年級二模）如圖的四個(gè)圖案中，具有一個(gè)共有的性質(zhì)，那么在下列各數(shù)中也滿足上述性質(zhì)的是（）A．212 B．444 C．535 D．808例3．（2021北京市八年級期中）下列說法中正確的是（）①對稱軸上沒有對稱點(diǎn)；②如果與△關(guān)于直線對稱，那么；③如果線段，直線垂直平分，則和關(guān)于直線對稱；④射線不是軸對稱圖形．A．② B．①④ C．②④ D．②③變式4．（2021·四川石室初中八年級期中）如圖，△ABC與△A′B′C′關(guān)于直線MN對稱，P為MN上任一點(diǎn)（A、P、A′不共線），下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）A．△AA′P是等腰三角形 B．MN垂直平分AA′、CC′C．△ABC與△A′B′C′面積相等 D．直線AB，A′B′的交點(diǎn)不一定在直線MN上例4．（2021·四川廣安市·八年級期末）如圖，已知與關(guān)于直線l對稱，，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．變式5．（2021·江蘇八年級專題練習(xí)）如圖，若平行四邊形ABCD與平行四邊形EBCF關(guān)于BC所在直線對稱，，則的度數(shù)為（）A．30° B．45° C．50° D．60°變式6．（2021·江蘇南通市·九年級一模）如圖，在Rt△ACB中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足為D，△ABD與△ADB’關(guān)于直線AD對稱，點(diǎn)B的對稱點(diǎn)是點(diǎn)B’，若∠B’AC＝14°，則∠B的度數(shù)為（）A．38° B．48° C．50° D．52°知識(shí)點(diǎn)1-2利用軸對稱作圖1、已知軸對稱圖形求作對稱軸方法：先確定圖形的兩個(gè)對應(yīng)點(diǎn)，再作以這兩個(gè)對應(yīng)點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的垂直平分線，這條直線就是它的對稱軸．2、已知對稱軸，求作與已知圖形成軸對稱的圖形的步驟方法：（1）先觀察已知圖形，并確定能代表已知圖形的關(guān)鍵點(diǎn)；（2）分別作出這些關(guān)鍵點(diǎn)關(guān)于對稱軸的對應(yīng)點(diǎn)；（3）根據(jù)已知圖形連接這些對應(yīng)點(diǎn)，即可得到與已知圖形成軸對稱的圖形．例1．（2021·吳江市八年級月考）如圖是一個(gè)經(jīng)過改造的規(guī)則為的臺(tái)球桌面示意圖，圖中四個(gè)角上的陰影部分分別表示四個(gè)入球孔，如果一個(gè)球按圖中所示的方向被擊出（球可以經(jīng)過臺(tái)球邊緣多次反彈），那么球最后將落入的球袋是（）A．1號袋 B．2號袋 C．3號袋 D．4號袋變式1．（2021·河北八年級期末）如圖是臺(tái)球桌面示意圖，陰影部分表示四個(gè)入球孔，小明按圖中方向擊球（球可以多次反彈），則球最后落入的球袋是（）A．1號袋 B．2號袋 C．3號袋 D．4號袋變式2．（2021·湖南九年級其他模擬）圖1中的圖案可以由圖2的圖案通過翻折后得到的有（）A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)例2．（2021·福建廈門市·八年級期中）如圖，已知△ABC和直線m，畫出與△ABC關(guān)于直線m對稱的圖形（不要求寫出畫法，但應(yīng)保留作圖痕跡）變式3．（2021·浙江九年級一模）如圖，己知圖形X和直線l．以直線l為對稱軸，圖形X的軸對稱圖形是（）A． B．C． D．例3．（2021·河北秦皇島市·九年級一模）圖1和圖2中所有的小正方形都全等，將圖1的正方形放在圖2中①②③④的某一位置，使它與原來7個(gè)小正方形組成的圖形是軸對稱圖形，并且只有一條對稱軸，這個(gè)位置是（）A．① B．② C．③ D．④變式4．（2021·廣東九年級其他模擬）小明將一正方形紙片畫分成16個(gè)全等的小正方形，且如圖所示為他將其中四個(gè)小正方形涂成灰色的情形．若小明想再將一小正方形涂成灰色，使此紙片上的灰色區(qū)域成為線對稱圖形，則此小正方形的位置為何？（）.A．第一列第四行 B．第二列第一行 C．第三列第三行 D．第四列第一行變式5．（2021·石家莊市第四十四中學(xué)九年級一模）如圖，在的正方形網(wǎng)格中，格線的交點(diǎn)稱為格點(diǎn)，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形稱為格點(diǎn)三角形，圖中的為格點(diǎn)三角形，在圖中與成軸對稱的格點(diǎn)三角形可以畫出（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．3個(gè)以上例4．（2021·河北廊坊市·八年級期末）在正方形網(wǎng)格中建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，格點(diǎn)（網(wǎng)格線的交點(diǎn)），的坐標(biāo)分別為，．利用線段分別在圖1、圖2、圖3中按要求畫出，并寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．（1）的對稱軸是軸；（2）的對稱軸是過點(diǎn)且平行于坐標(biāo)軸的直線，并寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）的對稱軸是過點(diǎn)但不平行于坐標(biāo)軸的直線，且點(diǎn)落在軸右側(cè)的格點(diǎn)上．變式6．（2021·云南大理白族自治州·八年級期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，各頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為：A（4，0），B（-1，4），C（-3，1）．（1）在圖中作，使和關(guān)于軸對稱；（2）寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）求的面積．變式7．（2020·佛山市順德區(qū)北滘鎮(zhèn)碧江中學(xué)八年級月考）如圖，直角坐標(biāo)系中，在邊長為1的正方形網(wǎng)格中，的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，點(diǎn)，的坐標(biāo)分別是，（1）請?jiān)趫D中畫出關(guān)于軸的對稱，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為（2）請寫出點(diǎn)關(guān)軸的對稱點(diǎn)坐標(biāo)為．知識(shí)點(diǎn)1-3軸對稱的應(yīng)用（最短路徑）基本問題：在直線上找一點(diǎn)，使得其到直線異側(cè)兩點(diǎn)、的距離之和最小．變式1：在直線上找一點(diǎn)，使得其到直線同側(cè)兩點(diǎn)、的距離之和最小．變式2：直線、交于，是兩直線間的一點(diǎn)，在直線、上分別找一點(diǎn)、，使得的周長最短．例1．（2021·山東德州市·八年級期末）如圖，在中，，，，直線是中邊的垂直平分線，是直線上的一動(dòng)點(diǎn)，則的周長的最小值為_________．變式1．（2021·山東濱州市·八年級期末）如圖，在中，，，，P為BC邊的垂直平分線DE上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則周長的最小值為________．例2．（2020?綿陽期末）如圖，在四邊形ABCD中，∠C＝70°，∠B＝∠D＝90°，E、F分別是BC、DC上的點(diǎn)，當(dāng)△AEF的周長最小時(shí)，∠EAF的度數(shù)為（）A．30° B．40° C．50° D．70°變式2（2020?長白縣期末）如圖，∠AOB＝α，點(diǎn)P是∠AOB內(nèi)的一定點(diǎn)，點(diǎn)M、N分別在OA、OB上移動(dòng)，當(dāng)△PMN的周長最小時(shí)，∠MPN的值為（）A．90°+α B．90° C．180°﹣α D．180°﹣2α例3．（2021·湖北八年級期末）如圖，的頂點(diǎn)，，都在小正方形的頂點(diǎn)上，利用網(wǎng)格線按下列要求畫圖．（1）畫，使它與關(guān)于直線成軸對稱；（2）在直線上找一點(diǎn)，使點(diǎn)到點(diǎn)，點(diǎn)的距離之和最短；（3）在直線上找一點(diǎn)，使點(diǎn)到邊，的距離相等．變式3．（2021·河南駐馬店市·八年級期末）在如圖的正方形網(wǎng)格中，每一個(gè)小正方形的邊長為1，格點(diǎn)三角形（頂點(diǎn)是網(wǎng)格線交點(diǎn)的三角形）的頂點(diǎn)、的坐標(biāo)分別是，．（1）請?jiān)趫D中的網(wǎng)格平面內(nèi)建立平面直角坐標(biāo)系；（2）請畫出關(guān)于軸對稱的；（3）請?jiān)谳S上求作一點(diǎn)，使的周長最?。ūＡ糇鲌D痕跡，不寫作法）．例4．（2021·廣西貴港市·八年級期末）尺規(guī)作圖（只保留作圖痕跡，不要求寫出作法及證明過程）：如圖，已知點(diǎn)在內(nèi)，分別在、邊上求作點(diǎn)和點(diǎn)，使的周長最小．變式4．（2022?潁泉區(qū)期中）如圖，點(diǎn)P是∠AOB內(nèi)部一點(diǎn)，現(xiàn)有一只螞蟻要從P的出發(fā)，先到OA，再到OB，最后返回到點(diǎn)P．請作出螞蟻爬行的最短路徑（要求：保留作圖痕跡，不寫作法．）知識(shí)點(diǎn)1-4等腰三角形性質(zhì)及判定1、等腰三角形：有兩條邊相等的三角形稱為等腰三角形．相等的兩條邊叫做腰，另外一邊叫做底，腰和底的夾角叫做底角，兩腰的夾角叫做頂角．特別地，三邊相等的三角形叫做等邊三角形．2、等腰三角形性質(zhì)（1）等腰三角形的兩個(gè)底角相等，可簡寫成“等邊對等角”．（2）等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高重合（也稱“三線合一”）．注意：等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高線所在直線都是等腰三角形的對稱軸．3、等腰三角形的判定判定定理：如果一個(gè)三角形中有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對的邊也相等（簡寫成“等角對等邊”）.4、等邊三角形定義：三邊都相等的三角形叫作等邊三角形或正三角形，它是特殊的等腰三角形；性質(zhì)：等邊三角形除了具有等腰三角形的一切性質(zhì)外，還具有更特殊的性質(zhì)：（1）有三條對稱軸；（2）每個(gè)內(nèi)角都等于60°，三條邊都相等．判定：（1）三個(gè)角相等的三角形是等邊三角形；（2）有兩個(gè)角等于60°的三角形是等邊三角形；（3）有一個(gè)角等于60°的等腰三角形是等邊三角形．例1.（2021?香坊區(qū)八年級期末）等腰三角形的周長為13cm，其中一邊長為3cm．則該等腰三角形的底長為（）A．3cm或5cm B．3cm或7cm C．3cm D．5cm變式1．（2021?樺甸市八年級期末）等腰三角形的兩邊長分別是4cm和9cm，則它的周長是（）A．17cm B．22cm C．17cm或22cm D．無法確定例2．（2021·寧波市海曙區(qū)初二期末）若中剛好有，則稱此三角形為“可愛三角形”，并且稱作“可愛角”．現(xiàn)有一個(gè)“可愛且等腰的三角形”，那么聰明的同學(xué)們知道這個(gè)三角形的“可愛角”應(yīng)該是（）．A．或 B．或 C．或 D．或或變式2．（2021·哈爾濱初二月考）在中，是的平分線，且，若，則的大小為______．例3．（2021·成都市·初二期末）如圖鋼架中，焊上等長的13根鋼條來加固鋼架，若AP1=P1P2=P2P3=…=P13P14=P14A，則∠A的度數(shù)是．變式3．（2020·湖南永定·八年級期中）“三等分角”大約是在公元前五世紀(jì)由古希臘人提出來的．借助如圖所示的“三等分角儀”能三等分任何一個(gè)角．這個(gè)三等分角儀由兩根有槽的棒OA，OB組成，兩根棒在O點(diǎn)相連并可繞O轉(zhuǎn)動(dòng)，C點(diǎn)固定，OC=CD=DE，點(diǎn)D，E可在槽中滑動(dòng)，若∠BDE=78°，則∠AOB等于__度．例4．（2021?曹縣八年級期中）如圖，正方形的網(wǎng)格中，點(diǎn)A，B是小正方形的頂點(diǎn)，如果C點(diǎn)是小正方形的頂點(diǎn)，且使△ABC是等腰三角形，則點(diǎn)C的個(gè)數(shù)為（）A．6 B．7 C．8 D．9變式4.（2020·?？谑械谑闹袑W(xué)初二月考）如圖，在△ABC中，∠ABC＝60°，∠C＝45°，AD是BC邊上的高，∠ABC的平分線BE交AD于點(diǎn)F，則圖中共有等腰三角形()A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)例5．（2020·廣東揭陽·初二期末）如圖，中，，是中點(diǎn)，下列結(jié)論中不正確的是（）．A． B． C．平分 D．變式5．（2021·廣東高州·初二月考）等腰三角形底邊長為6，周長為16，則三角形的面積為（）A．30 B．25 C．24 D．12例6．（2021?渝水區(qū)八年級期中）如圖，點(diǎn)D，E在△ABC的邊BC上，BD＝AD＝DE＝AE＝CE．（1）求∠DAE的度數(shù)；（2）求證：△ABC是等腰三角形．變式6．（2021?南海區(qū)八年級期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D、E、F分別在AB、BC、AC邊上，且BE＝CF，BD＝CE．（1）求證：△DEF是等腰三角形；（2）當(dāng)∠A＝40°時(shí)，求∠DEF的度數(shù)．例7．（2021?福山區(qū)初二期末）在下列結(jié)論中：（1）有一個(gè)外角是120°的等腰三角形是等邊三角形；（2）有兩個(gè)外角相等的等腰三角形是等邊三角形；（3）有一邊上的高也是這邊上的中線的等腰三角形是等邊三角形；（4）三個(gè)外角都相等的三角形是等邊三角形．其中正確的個(gè)數(shù)是（）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)變式7．（2021·遼寧鐵嶺·八年級期末）如圖，是等邊中邊上的點(diǎn)，，，則是（）A．等腰三角形 B．等邊三角形 C．不等邊三角形 D．無法確定變式8．（2021·無錫市八年級期中）如圖，等邊△ABC的邊長為8cm，點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)，以1cm/秒的速度由C向B勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，以2cm/秒的速度由C向A勻速運(yùn)動(dòng)，AP、BQ交于點(diǎn)M，當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)A點(diǎn)時(shí)，P、Q兩點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)P、Q兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，若∠AMQ＝60°時(shí)，則t的值是（）A． B．2 C． D．3例8．（2021?香洲區(qū)八年級期中）如圖，AD是等邊△ABC的一條中線，若在邊AC上取一點(diǎn)E，使得AE＝AD，則∠EDC的度數(shù)為（）A．30° B．20° C．25° D．15°變式9.（2021?長沙八年級期中）如圖，直線l∥m，等邊△ABC的頂點(diǎn)B在直線m上，邊BC與直線m所夾銳角為18°，則∠α的度數(shù)為（）A．60° B．42° C．36° D．30°例9．（2021?南寧八年級期末）如圖，△ABC是邊長為2的等邊三角形，點(diǎn)P在AB上，過點(diǎn)P作PE⊥AC，垂足為E，延長BC到點(diǎn)Q，使CQ＝PA，連接PQ交AC于點(diǎn)D，則DE的長為（）A．0.5 B．0.9 C．1 D．1.25變式10.（2021?西鄉(xiāng)縣八年級期末）如圖，在等邊△ABC中，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DE⊥BC于點(diǎn)E，且CE＝1.5，則AB的長為（）A．3 B．4.5 C．6 D．7.5例10.（2021?赫章縣八年級期末）如圖，△ABC為等邊三角形，AE＝CD，AD、BE相交于點(diǎn)P，BQ⊥AD于點(diǎn)Q，PQ＝3，PE＝1．（1）求證：AD＝BE；（2）求AD的長．變式11.（2021?海珠區(qū)八年級期中）如圖，在△ABC中，BA＝BC，BD⊥AC，延長BC至E，恰好使得CE＝CD，BD＝DE．（1）求：∠E的度數(shù)；（2）求證：△ABC為等邊三角形．知識(shí)點(diǎn)1-5線段垂直平分線1、線段的軸對稱性：線段是軸對稱圖形，垂直并且平分線段的直線是它的一條對稱軸．2、定義：垂直于一條線段，并且平分這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線．注：如果兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線對稱，那么對稱軸是任何一對對應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線．3、性質(zhì)：線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等．注：對于含有垂直平分線的題目，首先考慮將垂直平分線上的點(diǎn)與線段兩端點(diǎn)連接起來．4、作圖已知：線段．求作：的垂直平分線．作法：（1）分別以點(diǎn)和為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)和．（2）作直線．直線就是線段的垂直平分線．例1．（2021·河北保定市·八年級期末）內(nèi)一點(diǎn)到三邊距離相等，則點(diǎn)一定是（）A．三條角平分線的交點(diǎn) B．三邊垂直平分線的交點(diǎn)C．三條高的交點(diǎn) D．三條中線的交點(diǎn)變式1．（2021·河南省實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級月考）元旦聯(lián)歡會(huì)上，同學(xué)們玩搶凳子游戲，在與A、B、C三名同學(xué)距離相等的位置放一個(gè)凳子，誰先搶到凳子誰獲勝．如果將A、B、C三名同學(xué)所在位置看作△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)，那么凳子應(yīng)該放在△ABC的（）A．三邊中線的交點(diǎn) B．三條角平分線的交點(diǎn)C．三邊上高的交點(diǎn) D．三邊垂直平分線的交點(diǎn)例2．（2021·河北保定市·八年級期末）如圖，在中，的垂直平分線分別交，于點(diǎn)，，若的周長為，，則的周長為（）A． B． C． D．變式2．（2021·全國九年級專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝11，AB的垂直平分線分別交AB，BC于點(diǎn)D、E，AC的垂直平分線分別交AC，BC于點(diǎn)F、G，則△AEG的周長為__．例3．（2021·遼寧九年級二模）如圖，在中，垂直平分AB，垂足為Q，交BC于點(diǎn)P．按以下步驟作圖：以點(diǎn)A為圓心，以適當(dāng)?shù)拈L為半徑作弧，分別交邊AC，AB于點(diǎn)D，E；分別以點(diǎn)D，E為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)F；作射線AF，射線AF與直線PQ相交于點(diǎn)G，則的度數(shù)為__________度．變式3．（2021·四川成都鐵路中學(xué)八年級期中）已知：△ABC是三邊都不相等的三角形，點(diǎn)P是三個(gè)內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，點(diǎn)O是三邊垂直平分線的交點(diǎn)，當(dāng)P、O同時(shí)在不等邊△ABC的內(nèi)部時(shí)，那么∠BOC和∠BPC的數(shù)量關(guān)系是___．例4．（2021·山東濟(jì)南市·七年級期末）如圖，在中，，分別作，兩邊的垂直平分線、，垂足分別是點(diǎn)、．以下說法正確的是______（填序號）．①；②；③；④點(diǎn)到點(diǎn)和點(diǎn)的距離相等．變式4．（2021·內(nèi)蒙古中考真題）如圖，在中，，根據(jù)尺規(guī)作圖的痕跡，判斷以下結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．B．C．D．例5．（2021·北京房山區(qū)·八年級期末）已知等邊三角形．如圖，（1）分別以點(diǎn)A，B為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧相交于M，N兩點(diǎn)；（2）作直線交于點(diǎn)D；（3）分別以點(diǎn)A，C為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧相交于H，L兩點(diǎn)；（4）作直線交于點(diǎn)E；（5）直線與直線相交于點(diǎn)O；（6）連接，，．根據(jù)以上作圖過程及所作圖形，下列結(jié)論：①；②；③；④，正確的是____________．變式5．（2021·廣西八年級月考）如圖，為了豐富群眾的娛樂活動(dòng)，某鎮(zhèn)準(zhǔn)備新建一個(gè)文化娛樂站，要求娛樂站到三個(gè)村、、的距離相等，請你用尺規(guī)作圖的方法確定娛樂站的位置（不寫作法，保留作圖痕跡）知識(shí)點(diǎn)1-6角平分線1、角是軸對稱圖形，角平分線所在的直線是它的對稱軸．2、性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等．如圖，已知平分，，，則．3、利用尺規(guī)，作的平分線．求作：射線，使．作法：（1）在和上分別截取，，使．（2）分別以，為圓心、以大于的長為半徑作弧，兩弧在內(nèi)交于點(diǎn)．（3）作射線．就是的平分線．例1．（2021?泰興市八年級期末）如圖，是的角平分線，，垂足為，的面積為60，，，則的長等于．變式1．（2021·黑龍江省八年級期末）如圖，AD是△ABC中∠BAC的角平分線，DE⊥AB于點(diǎn)E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，則AC長是()A．6 B．5 C．4 D．3例2．（2021·吉林龍?zhí)丁ぐ四昙壠谀┤鐖D，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，∠ACB的平分線與∠ABC的外角的平分線交于E點(diǎn)，連接AE，則∠AEC的度數(shù)是（）A．45° B．40° C．35° D．30°變式2．（上海市浦東新區(qū)多校聯(lián)考2021-2022學(xué)年八年級上學(xué)期期末質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題）如圖，在中，，三角形的兩個(gè)外角和的平分線交于點(diǎn)E．則______．例3．（2021?余杭區(qū)八年級月考）如圖，中，、的角平分線、交于點(diǎn)，延長、，，，則下列結(jié)論中正確的是．（填序號）①平分；②；③；④．變式3．（2021?保定八年級期末）如圖，在中，和的角平分線相交于點(diǎn)，過點(diǎn)做交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，下列四個(gè)結(jié)論：①；②點(diǎn)到各邊的距離相等；③；④設(shè)，，則．其中結(jié)論正確的是A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④例4．（2021?廣東省八年級期末）如圖，△ABC的三邊AB，BC，CA長分別是20，30，40，其三條角平分線將△ABC分為三個(gè)三角形，則S△ABO：S△BCO：S△CAO等于（）A．1：1：1 B．1：2：3 C．2：3：4 D．3：4：5變式4．（2020·江西南昌市·八年級期中）如圖，在中，已知：是它的角平分線，且．（1）求的面積；（2）在解完（1）問后，小智經(jīng)過反思后發(fā)現(xiàn)，小慧發(fā)現(xiàn)，請判斷小智和小慧的發(fā)現(xiàn)是否正確?若正確，請寫出證明過程，若錯(cuò)誤，請說明理由．例5．（2021?壽陽縣八年級期末）如圖，點(diǎn)在的平分線上，，于，點(diǎn)在上，且，若是上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是．變式5．（201?岐山縣九年級二模）如圖，在中，，的平分線交于點(diǎn)，，為上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為A．2 B． C． D．例6．（2022·遼寧撫順·八年級期末）如圖，在中，，點(diǎn)在的延長線上．（1）尺規(guī)作圖，作的角平分線；（保留作圖痕跡，不寫作法）（2）補(bǔ)全圖形，取的中點(diǎn)，連接并延長交的平分線于點(diǎn)；（3）判斷線段與的位置關(guān)系是，數(shù)量關(guān)系是．變式6．（2022·甘肅·金昌市龍門學(xué)校八年級期末）如圖所示，校園里有兩條路，在交叉口附近有兩塊宣傳牌，學(xué)校準(zhǔn)備在這里（內(nèi)部）安裝一盞路燈，要求燈柱離兩塊宣傳牌一樣遠(yuǎn)，并且到兩條路的距離也一樣遠(yuǎn)，請你幫助畫出燈柱的位置．（不寫過程，保留作圖痕跡）例7．（2021秋?奉賢區(qū)八年級期中）已知：如圖，，平分，平分．過點(diǎn)作直線，分別交、于、．（1）求證：是直角三角形．（2）求證：．變式7．（2021秋?鹿邑縣月考）如圖，在中，的平分線與的外角的平分線交于點(diǎn)，于點(diǎn)，，交的延長線于點(diǎn)．（1）若點(diǎn)到直線的距離為，求點(diǎn)到直線的距離；（2）求證：點(diǎn)在的平分線上．專題01生活中的軸對稱教材同步講練知識(shí)點(diǎn)1-1軸對稱圖形及軸對稱性質(zhì)1、軸對稱圖形：如果一個(gè)平面圖形沿一條直線折疊后，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個(gè)圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸．注意：軸對稱圖形的對稱軸可能只有一條，也可能有多條甚至無數(shù)條．2、兩個(gè)圖形成軸對稱：如果兩個(gè)平面圖形沿一條直線折疊后能夠完全重合，那么稱這兩個(gè)圖形成軸對稱，這條直線叫做這兩個(gè)圖形的對稱軸．3、軸對稱的性質(zhì)：在軸對稱圖形或兩個(gè)成軸對稱的圖形中，對應(yīng)點(diǎn)所連的線段被對稱軸垂直平分，對應(yīng)線段相等，對應(yīng)角相等．注意：在軸對稱圖形或兩個(gè)成軸對稱的圖形中，沿對稱軸折疊后，重合的點(diǎn)是對應(yīng)點(diǎn)，叫做對稱點(diǎn)．類似地，重合的線段是對應(yīng)線段，重合的角是對應(yīng)角．例1．（2021·黑龍江哈爾濱市·八年級期末）下列說法正確的是（）A．如果兩個(gè)三角形全等，則它們是關(guān)于某條直線成軸對稱的圖形B．如果兩個(gè)三角形關(guān)于某條直線成軸對稱，那么它們是全等三角形C．等邊三角形是關(guān)于一條邊上的中線成軸對稱的圖形D．一條線段是關(guān)于經(jīng)過該線段中點(diǎn)的中線成軸對稱的圖形【答案】B【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念和全等三角形的概念求解即可．【詳解】選項(xiàng)A：如果兩個(gè)三角形全等，則它們不一定是關(guān)于某條直線成軸對稱的圖形，選項(xiàng)A不正確；選項(xiàng)B：如果兩個(gè)三角形關(guān)于某條直線成軸對稱，那么它們是全等三角形，所以選項(xiàng)B正確；選項(xiàng)C：三角形的中線是線段，而對稱軸是直線，應(yīng)該說等邊三角形是關(guān)于一條邊上的中線所在直線成軸對稱的圖形，所以選項(xiàng)C不正確；選項(xiàng)D：一條線段是關(guān)于經(jīng)過該線段中垂線成軸對稱的圖形，所以選項(xiàng)D不正確；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形，軸對稱和軸對稱圖形的性質(zhì)，熟練掌握：①如果兩個(gè)圖形成軸對稱，那么這兩個(gè)圖形全等；②如果兩個(gè)圖形關(guān)于某直線對稱，那么對稱軸是任何一對對應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線；③線段、等腰三角形、等邊三角形等都是軸對稱圖形．變式1．（2021·無錫市八年級月考）下列說法正確的是（）A．關(guān)于某條直線對稱的兩個(gè)三角形是全等三角形B．全等三角形一定關(guān)于某條直線對稱C．兩圖形關(guān)于某條直線對稱，則這兩個(gè)圖形一定分別位于對稱軸的兩側(cè)D．有一條公共邊的兩個(gè)全等三角形關(guān)于公共邊的所在的直線對稱【答案】A【分析】根據(jù)軸對稱的定義：兩個(gè)圖形沿一條直線對著，直線兩旁的部分能完全重合，那么這兩個(gè)圖形成軸對稱進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A、關(guān)于某直線對稱的兩個(gè)三角形是全等三角形，此選項(xiàng)正確；

B、全等三角形是關(guān)于某直線對稱的錯(cuò)誤，例如圖一，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C、兩個(gè)圖形關(guān)于某直線對稱，則這兩個(gè)圖形一定分別位于這條直線的兩側(cè)錯(cuò)誤，例如圖二：故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D、有一條公共邊的兩個(gè)全等三角形關(guān)于公共邊所在的直線對稱，錯(cuò)誤，例如圖三：

故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：A．【點(diǎn)睛】此題主要考查了軸對稱圖形，關(guān)鍵是熟練把握軸對稱的定義．例2．（2021·沙坪壩區(qū)·重慶南開中學(xué)九年級月考）下列平面圖形是軸對稱圖形的是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】根據(jù)軸對稱圖形的定義判斷即可．【詳解】由軸對稱圖形的定義知，C選項(xiàng)符合題意，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查軸對稱圖形的識(shí)別，理解基本定義是解題關(guān)鍵．變式2．（2021·黑龍江哈爾濱市·八年級期末）下列圖案中，是軸對稱圖形的是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】根據(jù)軸對稱圖形的定義對各選項(xiàng)判斷即可得到答案．【詳解】A．不是軸對稱圖形，故本選項(xiàng)不合題意；B．不是軸對稱圖形，故本選項(xiàng)不合題意；C．是軸對稱圖形，故本選項(xiàng)符合題意；D．不是軸對稱圖形，故本選項(xiàng)不合題意；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對稱圖形的定義，找軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．變式3．（2021·江蘇九年級二模）如圖的四個(gè)圖案中，具有一個(gè)共有的性質(zhì)，那么在下列各數(shù)中也滿足上述性質(zhì)的是（）A．212 B．444 C．535 D．808【答案】D【分析】先確定每個(gè)圖形的性質(zhì)，然后找出他們的共同性質(zhì)，再判斷四個(gè)選項(xiàng)中是軸對稱的即可．【詳解】解：∵五角星是軸對稱和旋轉(zhuǎn)對稱圖形，三圓兩輛相切圖形是軸對稱圖形和旋轉(zhuǎn)對稱圖形，心形是軸對稱圖形，箭頭是軸對稱圖形，∴他們的共有性質(zhì)是軸對稱性質(zhì)，在四個(gè)選項(xiàng)中只有D是軸對稱圖形．故選擇D．【點(diǎn)睛】本題考查圖形的性質(zhì)，共同性質(zhì)，掌握軸對稱性質(zhì)是解題關(guān)鍵．例3．（2021北京市八年級期中）下列說法中正確的是（）①對稱軸上沒有對稱點(diǎn)；②如果與△關(guān)于直線對稱，那么；③如果線段，直線垂直平分，則和關(guān)于直線對稱；④射線不是軸對稱圖形．A．② B．①④ C．②④ D．②③【答案】A【分析】根據(jù)軸對稱的性質(zhì)和定義，對題中條件進(jìn)行一一分析，選出正確答案．【詳解】①對稱軸上有對稱點(diǎn)，錯(cuò)誤；②如果與△關(guān)于直線對稱，那么，正確；③如果線段，直線垂直平分，由于位置關(guān)系不明確，則和不一定關(guān)于直線對稱，錯(cuò)誤；④射線是軸對稱圖形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查軸對稱圖形的定義，如果一個(gè)圖形沿著一條直線對折，兩側(cè)的圖形能完全重合，這個(gè)圖形就是軸對稱圖形．折痕所在的這條直線叫做對稱軸．變式4．（2021·四川石室初中八年級期中）如圖，△ABC與△A′B′C′關(guān)于直線MN對稱，P為MN上任一點(diǎn)（A、P、A′不共線），下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）A．△AA′P是等腰三角形 B．MN垂直平分AA′、CC′C．△ABC與△A′B′C′面積相等 D．直線AB，A′B′的交點(diǎn)不一定在直線MN上【答案】D【分析】據(jù)對稱軸的定義，△ABC與△A′B′C′關(guān)于直線MN對稱，P為MN上任意一點(diǎn)，可以判斷出圖中各點(diǎn)或線段之間的關(guān)系．【詳解】解：∵△ABC與△A′B′C′關(guān)于直線MN對稱，P為MN上任意一點(diǎn)，∴△AA′P是等腰三角形，MN垂直平分AA′，CC′，這兩個(gè)三角形的面積相等，故A、B、C選項(xiàng)正確，直線AB，A′B′關(guān)于直線MN對稱，因此交點(diǎn)一定在MN上，故D錯(cuò)誤，故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了軸對稱性質(zhì)的理解和應(yīng)用，準(zhǔn)確分析判斷是解題的關(guān)鍵．例4．（2021·四川廣安市·八年級期末）如圖，已知與關(guān)于直線l對稱，，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)成軸對稱的兩個(gè)圖形全等求得未知角即可．【詳解】解：∵與關(guān)于直線l對稱，∴△ABC≌△A′B′C′，∴∠A＝∠A′＝25°，∵∠B＝110°，∴∠C＝180°?∠B?∠A＝180°?25°?110°＝45°．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查軸對稱的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題，解題的關(guān)鍵是熟知成軸對稱的兩個(gè)圖形全等．變式5．（2021·江蘇八年級專題練習(xí)）如圖，若平行四邊形ABCD與平行四邊形EBCF關(guān)于BC所在直線對稱，，則的度數(shù)為（）A．30° B．45° C．50° D．60°【答案】B【分析】根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可得∠ABC＝∠EBC，然后求出∠EBC，再根據(jù)平行四邊形的對角相等解答．【詳解】∵平行四邊形ABCD與平行四邊形EBCF關(guān)于BC所在的直線對稱，∴∠ABC＝∠EBC，∵∠ABE＝90°，∴∠EBC＝45°，∵四邊形EBCF是平行四邊形，∴∠F＝∠EBC＝45°．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對稱的性質(zhì)，平行四邊形的對角相等的性質(zhì)，熟記各性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．變式6．（2021·江蘇南通市·九年級一模）如圖，在Rt△ACB中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足為D，△ABD與△ADB’關(guān)于直線AD對稱，點(diǎn)B的對稱點(diǎn)是點(diǎn)B’，若∠B’AC＝14°，則∠B的度數(shù)為（）A．38° B．48° C．50° D．52°【答案】D【分析】由對稱的性質(zhì)得，根據(jù)∠BAC＝90°可得，再根據(jù)直角三角形兩銳角關(guān)系求解即可．【詳解】解：∵△ABD與△ADB’關(guān)于直線AD對稱，∴∵∠BAC＝90°，∠B’AC＝14°∴∴∴故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對稱的性質(zhì)以及直角三角形兩銳角關(guān)系，掌握軸對稱的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．知識(shí)點(diǎn)1-2利用軸對稱作圖1、已知軸對稱圖形求作對稱軸方法：先確定圖形的兩個(gè)對應(yīng)點(diǎn)，再作以這兩個(gè)對應(yīng)點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的垂直平分線，這條直線就是它的對稱軸．2、已知對稱軸，求作與已知圖形成軸對稱的圖形的步驟方法：（1）先觀察已知圖形，并確定能代表已知圖形的關(guān)鍵點(diǎn)；（2）分別作出這些關(guān)鍵點(diǎn)關(guān)于對稱軸的對應(yīng)點(diǎn)；（3）根據(jù)已知圖形連接這些對應(yīng)點(diǎn)，即可得到與已知圖形成軸對稱的圖形．例1．（2021·吳江市八年級月考）如圖是一個(gè)經(jīng)過改造的規(guī)則為的臺(tái)球桌面示意圖，圖中四個(gè)角上的陰影部分分別表示四個(gè)入球孔，如果一個(gè)球按圖中所示的方向被擊出（球可以經(jīng)過臺(tái)球邊緣多次反彈），那么球最后將落入的球袋是（）A．1號袋 B．2號袋 C．3號袋 D．4號袋【答案】D【分析】根據(jù)題意，畫出圖形，由軸對稱的性質(zhì)判定正確選項(xiàng)．【詳解】解：根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可知，臺(tái)球走過的路徑為：∴球最后將落入的球袋是4號袋，故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了軸對稱的性質(zhì)．軸對稱的性質(zhì)：（1）對應(yīng)點(diǎn)所連的線段被對稱軸垂直平分；（2）對應(yīng)線段相等，對應(yīng)角相等．注意結(jié)合圖形解題的思想；嚴(yán)格按軸對稱畫圖是正確解答本題的關(guān)鍵．變式1．（2021·河北八年級期末）如圖是臺(tái)球桌面示意圖，陰影部分表示四個(gè)入球孔，小明按圖中方向擊球（球可以多次反彈），則球最后落入的球袋是（）A．1號袋 B．2號袋 C．3號袋 D．4號袋【答案】B【分析】利用軸對稱畫圖可得答案．【詳解】解：如圖所示，，球最后落入的球袋是2號袋，故選：B．【點(diǎn)睛】此題主要考查了生活中的軸對稱現(xiàn)象，關(guān)鍵是正確畫出圖形．變式2．（2021·湖南九年級其他模擬）圖1中的圖案可以由圖2的圖案通過翻折后得到的有（）A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)【答案】C【分析】根據(jù)軸對稱性質(zhì)即可得到結(jié)論.【詳解】解：觀察圖案可知：具有軸對稱性質(zhì)的圖案只有2個(gè)，第二個(gè)需要上下翻折可得，第一個(gè)需要左右翻折可得.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了利用軸對稱設(shè)計(jì)圖案，解題關(guān)鍵是掌握軸對稱的性質(zhì).例2．（2021·福建廈門市·八年級期中）如圖，已知△ABC和直線m，畫出與△ABC關(guān)于直線m對稱的圖形（不要求寫出畫法，但應(yīng)保留作圖痕跡）【答案】見解析．【分析】找出點(diǎn)A、B、C關(guān)于直線m的對稱點(diǎn)的位置，然后順次連接即可．【詳解】解：如圖所示，△A′B′C′即為△ABC關(guān)于直線m對稱的圖形．

【點(diǎn)睛】本題考查了利用軸對稱變換作圖，準(zhǔn)確找出點(diǎn)A、B、C的對稱點(diǎn)的位置是解題的關(guān)鍵．變式3．（2021·浙江九年級一模）如圖，己知圖形X和直線l．以直線l為對稱軸，圖形X的軸對稱圖形是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念解答．【詳解】解：已知圖形的軸對稱圖形是故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對稱圖形的概念，軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．例3．（2021·河北秦皇島市·九年級一模）圖1和圖2中所有的小正方形都全等，將圖1的正方形放在圖2中①②③④的某一位置，使它與原來7個(gè)小正方形組成的圖形是軸對稱圖形，并且只有一條對稱軸，這個(gè)位置是（）A．① B．② C．③ D．④【答案】C【分析】根據(jù)軸對稱圖形的定義和對稱軸的條數(shù)兩個(gè)角度思考判斷．【詳解】當(dāng)放置在①位置時(shí)，構(gòu)成的圖形是軸對稱圖形，且有兩條對稱軸，∴A不符合題意；當(dāng)放置在②位置時(shí)，構(gòu)成的圖形不是軸對稱圖形，∴B不符合題意當(dāng)放置在③位置時(shí)，構(gòu)成的圖形是軸對稱圖形，且有一條對稱軸，∴C符合題意當(dāng)放置在④位置時(shí)，構(gòu)成的圖形不是軸對稱圖形，∴D不符合題意故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了拼圖中的軸對稱圖形，熟練掌握軸對稱圖形的定義，準(zhǔn)確確定對稱軸的條數(shù)是解題的關(guān)鍵．變式4．（2021·廣東九年級其他模擬）小明將一正方形紙片畫分成16個(gè)全等的小正方形，且如圖所示為他將其中四個(gè)小正方形涂成灰色的情形．若小明想再將一小正方形涂成灰色，使此紙片上的灰色區(qū)域成為線對稱圖形，則此小正方形的位置為何？（）.A．第一列第四行 B．第二列第一行 C．第三列第三行 D．第四列第一行【答案】B【分析】根據(jù)軸對稱圖形的性質(zhì)和紙片上的四個(gè)灰色小正方形，確定出對稱軸，即可得出小正方形的位置．【詳解】解：根據(jù)題意得：涂成灰色的小方格在第二列第一行．故選B．點(diǎn)評：此題考查了利用軸對稱設(shè)計(jì)圖案，解答此題的關(guān)鍵是根據(jù)題意確定出對稱軸，畫出圖形．變式5．（2021·石家莊市第四十四中學(xué)九年級一模）如圖，在的正方形網(wǎng)格中，格線的交點(diǎn)稱為格點(diǎn)，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形稱為格點(diǎn)三角形，圖中的為格點(diǎn)三角形，在圖中與成軸對稱的格點(diǎn)三角形可以畫出（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．3個(gè)以上【答案】D【分析】直接利用軸對稱圖形的性質(zhì)分別得出符合題意的答案．【詳解】解：符合題意的三角形如圖所示：滿足要求的圖形有4個(gè)故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查利用軸對稱來設(shè)計(jì)軸對稱圖形，關(guān)鍵是要掌握軸對稱的性質(zhì)和軸對稱圖形的含義．例4．（2021·河北廊坊市·八年級期末）在正方形網(wǎng)格中建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，格點(diǎn)（網(wǎng)格線的交點(diǎn)），的坐標(biāo)分別為，．利用線段分別在圖1、圖2、圖3中按要求畫出，并寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．（1）的對稱軸是軸；（2）的對稱軸是過點(diǎn)且平行于坐標(biāo)軸的直線，并寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）的對稱軸是過點(diǎn)但不平行于坐標(biāo)軸的直線，且點(diǎn)落在軸右側(cè)的格點(diǎn)上．【答案】（1）見解析；（2）見解析，點(diǎn)的坐標(biāo)為或；（3）見解析【分析】（1）做出點(diǎn)B關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)即可；（2）根據(jù)軸對稱的性質(zhì)和對稱軸的位置作圖即可；（3）根據(jù)軸對稱的性質(zhì)和對稱軸的位置作圖即可；【詳解】（1）如圖1，即為所求，點(diǎn)的坐標(biāo)為．（2）如圖2，即為所求，點(diǎn)的坐標(biāo)為或．（3）如圖3，即為所求，點(diǎn)的坐標(biāo)為或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了抽對稱變換作圖，準(zhǔn)確分析作圖是解題的關(guān)鍵．變式6．（2021·云南大理白族自治州·八年級期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，各頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為：A（4，0），B（-1，4），C（-3，1）．（1）在圖中作，使和關(guān)于軸對稱；（2）寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）求的面積．【答案】（1）如圖所示，見解析；（2），；（3）的面積為．【分析】(1)直接利用關(guān)于x軸對稱點(diǎn)的性質(zhì)，進(jìn)而得出答案；(2)直接利用(1)中所畫圖形得出各點(diǎn)坐標(biāo)即可；(3)利用三角形ABC所在矩形面積減去周圍三角形面積進(jìn)而得到答案．【詳解】解：(1)由關(guān)于x軸對稱點(diǎn)的性質(zhì)我們可以得到的圖形如圖所示(2)由(1)中所畫的圖形我們可以得出兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為：(3)如圖所示，∵，，∴．【點(diǎn)睛】此題主要考查了軸對稱變換以及三角形面積求法，正確得出對應(yīng)點(diǎn)位置是解題關(guān)鍵．變式7．（2020·佛山市順德區(qū)北滘鎮(zhèn)碧江中學(xué)八年級月考）如圖，直角坐標(biāo)系中，在邊長為1的正方形網(wǎng)格中，的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，點(diǎn)，的坐標(biāo)分別是，（1）請?jiān)趫D中畫出關(guān)于軸的對稱，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為（2）請寫出點(diǎn)關(guān)軸的對稱點(diǎn)坐標(biāo)為．【答案】（1）圖見解析，；（2）．【分析】（1）先根據(jù)軸對稱的性質(zhì)畫出點(diǎn)，再順次連接點(diǎn)即可得，然后根據(jù)點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)于y軸對稱的變換規(guī)律即可得；（2）根據(jù)點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)于x軸對稱的變換規(guī)律即可得．【詳解】（1）先畫出點(diǎn)，再順次連接點(diǎn)即可得，如圖所示：點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)于y軸對稱的變換規(guī)律：橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)相同，，，故答案為：；（2）點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)于x軸對稱的變換規(guī)律：橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了畫軸對稱圖形、點(diǎn)坐標(biāo)與軸對稱變化，熟練掌握點(diǎn)坐標(biāo)與軸對稱變換規(guī)律是解題關(guān)鍵．知識(shí)點(diǎn)1-3軸對稱的應(yīng)用（最短路徑）基本問題：在直線上找一點(diǎn)，使得其到直線異側(cè)兩點(diǎn)、的距離之和最?。兪?：在直線上找一點(diǎn)，使得其到直線同側(cè)兩點(diǎn)、的距離之和最小．變式2：直線、交于，是兩直線間的一點(diǎn)，在直線、上分別找一點(diǎn)、，使得的周長最短．例1．（2021·山東德州市·八年級期末）如圖，在中，，，，直線是中邊的垂直平分線，是直線上的一動(dòng)點(diǎn)，則的周長的最小值為_________．【答案】【分析】根據(jù)題意知點(diǎn)C關(guān)于直線m的對稱點(diǎn)為點(diǎn)B，故當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)D重合時(shí)，AP＋CP值的最小，求出AB長度即可得到結(jié)論．【詳解】解：∵直線m垂直平分BC，∴B、C關(guān)于直線m對稱，設(shè)直線m交AB于D，∴當(dāng)P和D重合時(shí)，AP＋CP的值最小，最小值等于AB的長，∴△APC周長的最小值是6＋4＝10．故答案為：10．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對稱?最短路線問題的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是找出P的位置．變式1．（2021·山東濱州市·八年級期末）如圖，在中，，，，P為BC邊的垂直平分線DE上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則周長的最小值為________．【答案】18【分析】因?yàn)锽C的垂直平分線為DE，所以點(diǎn)C和點(diǎn)B關(guān)于直線DE對稱，所以當(dāng)點(diǎn)動(dòng)點(diǎn)P和E重合時(shí)則△ACP的周長最小值，再結(jié)合題目的已知條件求出AB的長即可．【詳解】解：如圖，∵P為BC邊的垂直平分線DE上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，∴點(diǎn)C和點(diǎn)B關(guān)于直線DE對稱，∴當(dāng)點(diǎn)動(dòng)點(diǎn)P和E重合時(shí)則△ACP的周長最小值，∵∠ACB=90°，∠B=30°，AC=6，∴AB=2AC=12，∵AP+CP=AP+BP=AB=12，∴△ACP的周長最小值=AC+AB=18，故答案為：18．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對稱-最短路線的問題以及垂直平分線的性質(zhì)，正確確定P點(diǎn)的位置是解題的關(guān)鍵，確定點(diǎn)P的位置這類題在課本中有原題，因此加強(qiáng)課本題目的訓(xùn)練至關(guān)重要．例2．（2020?綿陽期末）如圖，在四邊形ABCD中，∠C＝70°，∠B＝∠D＝90°，E、F分別是BC、DC上的點(diǎn)，當(dāng)△AEF的周長最小時(shí)，∠EAF的度數(shù)為（）A．30° B．40° C．50° D．70°【分析】據(jù)要使△AEF的周長最小，即利用點(diǎn)的對稱，使三角形的三邊在同一直線上，作出A關(guān)于BC和CD的對稱點(diǎn)A′，A″，即可得出∠AA′E+∠A″＝∠HAA′＝70°，進(jìn)而得出∠AEF+∠AFE＝2（∠AA′E+∠A″），即可得出答案．【答案】解：作A關(guān)于BC和CD的對稱點(diǎn)A′，A″，連接A′A″，交BC于E，交CD于F，則A′A″即為△AEF的周長最小值．作DA延長線AH，∵∠C＝70°，∴∠DAB＝110°，∴∠HAA′＝70°，∴∠AA′E+∠A″＝∠HAA′＝70°，∵∠EA′A＝∠EAA′，∠FAD＝∠A″，∴∠EAA′+∠A″AF＝70°，∴∠EAF＝110°﹣70°＝40°，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查的是軸對稱﹣?zhàn)疃搪肪€問題，涉及到平面內(nèi)最短路線問題求法以及三角形的外角的性質(zhì)和垂直平分線的性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)已知得出E，F(xiàn)的位置是解題關(guān)鍵．變式2（2020?長白縣期末）如圖，∠AOB＝α，點(diǎn)P是∠AOB內(nèi)的一定點(diǎn)，點(diǎn)M、N分別在OA、OB上移動(dòng)，當(dāng)△PMN的周長最小時(shí)，∠MPN的值為（）A．90°+α B．90° C．180°﹣α D．180°﹣2α【分析】分別作點(diǎn)P關(guān)于OA、OB的對稱點(diǎn)P1、P2，連接P1、P2，交OA于M，交OB于N，△PMN的周長最小值等于P1P2的長，然后依據(jù)等腰△OP1P2中，∠OP1P2+∠OP2P1＝180°﹣2α，即可得出∠MPN＝∠OPM+∠OPN＝∠OP1M+∠OP2N＝180°﹣2α．【答案】解：分別作點(diǎn)P關(guān)于OA、OB的對稱點(diǎn)P1、P2，連接P1、P2，交OA于M，交OB于N，則OP1＝OP＝OP2，∠OP1M＝∠MPO，∠NPO＝∠NP2O，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可得MP＝P1M，PN＝P2N，∴△PMN的周長的最小值＝P1P2，由軸對稱的性質(zhì)可得∠P1OP2＝2∠AOB＝2α，∴等腰△OP1P2中，∠OP1P2+∠OP2P1＝180°﹣2α，∴∠MPN＝∠OPM+∠OPN＝∠OP1M+∠OP2N＝∠OP1P2+∠OP2P1＝180°﹣2α，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查軸對稱﹣?zhàn)疃搪肪€問題，正確正確作出輔助線，得到等腰△OP1P2中∠OP1P2+∠OP2P1的度數(shù)是關(guān)鍵．凡涉及最短距離問題，一般要考慮線段的性質(zhì)定理，多數(shù)情況要作點(diǎn)關(guān)于某直線的對稱點(diǎn)．例3．（2021·湖北八年級期末）如圖，的頂點(diǎn)，，都在小正方形的頂點(diǎn)上，利用網(wǎng)格線按下列要求畫圖．（1）畫，使它與關(guān)于直線成軸對稱；（2）在直線上找一點(diǎn)，使點(diǎn)到點(diǎn)，點(diǎn)的距離之和最短；（3）在直線上找一點(diǎn)，使點(diǎn)到邊，的距離相等．【答案】（1）答案見解析；（2）答案見解析；（3）答案見解析【分析】（1）根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，在網(wǎng)格上分別找到點(diǎn)A、點(diǎn)B、點(diǎn)C的對稱點(diǎn)點(diǎn)、點(diǎn)、點(diǎn)，連接、、，即可得到答案；（2）根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，得；再根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短的性質(zhì)，即可得到答案；（3）結(jié)合題意，根據(jù)角平分線的性質(zhì)分析，即可得到答案．【詳解】（1）如圖所示，在網(wǎng)格上分別找到點(diǎn)A、點(diǎn)B、點(diǎn)C的對稱點(diǎn)點(diǎn)、點(diǎn)、點(diǎn)，連接、、；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，點(diǎn)、點(diǎn)關(guān)于直線成軸對稱∴∴如下圖，連接∴當(dāng)點(diǎn)在直線和的交點(diǎn)處時(shí)，，為最小值，∴當(dāng)點(diǎn)在直線和的交點(diǎn)處時(shí)，取最小值，即點(diǎn)到點(diǎn)、點(diǎn)的距離之和最短；（3）如圖所示，連接根據(jù)題意的：∴點(diǎn)在直線和的交點(diǎn)處時(shí),點(diǎn)到邊，的距離相等．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對稱、兩點(diǎn)之間線段最短、角平分線的知識(shí)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握軸對稱、兩點(diǎn)之間線段最短、角平分線的性質(zhì)，從而完成求解．變式3．（2021·河南駐馬店市·八年級期末）在如圖的正方形網(wǎng)格中，每一個(gè)小正方形的邊長為1，格點(diǎn)三角形（頂點(diǎn)是網(wǎng)格線交點(diǎn)的三角形）的頂點(diǎn)、的坐標(biāo)分別是，．（1）請?jiān)趫D中的網(wǎng)格平面內(nèi)建立平面直角坐標(biāo)系；（2）請畫出關(guān)于軸對稱的；（3）請?jiān)谳S上求作一點(diǎn)，使的周長最?。ūＡ糇鲌D痕跡，不寫作法）．【答案】見解析【分析】（1）根據(jù)A、C兩點(diǎn)坐標(biāo)根據(jù)平面直角坐標(biāo)系即可；（2）畫出A、B、C關(guān)于y軸對稱的A1、B1、C1即可；（3）作點(diǎn)B1關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)B2，連接CB2交x軸于點(diǎn)P；【詳解】（1）如圖所示；（2）如圖所示；（3）點(diǎn)位置如圖所示．【點(diǎn)睛】本題考查了作圖-軸對稱變換、最短問題等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，學(xué)會(huì)利用軸對稱解決最短問題．例4．（2021·廣西貴港市·八年級期末）尺規(guī)作圖（只保留作圖痕跡，不要求寫出作法及證明過程）：如圖，已知點(diǎn)在內(nèi)，分別在、邊上求作點(diǎn)和點(diǎn)，使的周長最小．【答案】見解析【分析】步驟：①作P關(guān)于AB的對稱點(diǎn)P1．②作P關(guān)于BC的對稱點(diǎn)P2．③連接P1P2．④P1P2與AB的交點(diǎn)就是E，P1P2與BC的交點(diǎn)就是F．即為所求．【詳解】解：如圖：即為所求，注：①作關(guān)于的對稱點(diǎn)；②作關(guān)于的對稱點(diǎn)；③連接P1P2．

④P1P2與AB的交點(diǎn)就是E，P1P2與BC的交點(diǎn)就是F．【點(diǎn)睛】本題考查了作圖-復(fù)雜作圖，軸對稱等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考常考題型．變式4．（2022?潁泉區(qū)期中）如圖，點(diǎn)P是∠AOB內(nèi)部一點(diǎn)，現(xiàn)有一只螞蟻要從P的出發(fā)，先到OA，再到OB，最后返回到點(diǎn)P．請作出螞蟻爬行的最短路徑（要求：保留作圖痕跡，不寫作法．）【分析】作點(diǎn)P關(guān)于OA、OB的對稱點(diǎn)P′、P″，連接P′P″與OA、OB交于點(diǎn)M、N，可得螞蟻爬行的最短路徑為：PM+MN+PN＝P′M+MN+P″N＝P′P″．【答案】解：如圖，作點(diǎn)P關(guān)于OA、OB的對稱點(diǎn)P′、P″，連接P′P″與OA、OB交于點(diǎn)M、N，則螞蟻爬行的最短路徑為：PM+MN+PN＝P′M+MN+P″N＝P′P″．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對稱﹣?zhàn)疃搪肪€問題，解決本題的關(guān)鍵是掌握軸對稱的性質(zhì)．知識(shí)點(diǎn)1-4等腰三角形性質(zhì)及判定1、等腰三角形：有兩條邊相等的三角形稱為等腰三角形．相等的兩條邊叫做腰，另外一邊叫做底，腰和底的夾角叫做底角，兩腰的夾角叫做頂角．特別地，三邊相等的三角形叫做等邊三角形．2、等腰三角形性質(zhì)（1）等腰三角形的兩個(gè)底角相等，可簡寫成“等邊對等角”．（2）等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高重合（也稱“三線合一”）．注意：等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高線所在直線都是等腰三角形的對稱軸．3、等腰三角形的判定判定定理：如果一個(gè)三角形中有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對的邊也相等（簡寫成“等角對等邊”）.4、等邊三角形定義：三邊都相等的三角形叫作等邊三角形或正三角形，它是特殊的等腰三角形；性質(zhì)：等邊三角形除了具有等腰三角形的一切性質(zhì)外，還具有更特殊的性質(zhì)：（1）有三條對稱軸；（2）每個(gè)內(nèi)角都等于60°，三條邊都相等．判定：（1）三個(gè)角相等的三角形是等邊三角形；（2）有兩個(gè)角等于60°的三角形是等邊三角形；（3）有一個(gè)角等于60°的等腰三角形是等邊三角形．例1.（2021?香坊區(qū)八年級期末）等腰三角形的周長為13cm，其中一邊長為3cm．則該等腰三角形的底長為（）A．3cm或5cm B．3cm或7cm C．3cm D．5cm【答案】C【解答】解：①3cm是腰長時(shí)，底邊＝13﹣3×3＝7cm，此時(shí)，三角形的三邊分別為3cm、3cm、7cm，∵3+3＝6＜7，∴不能組成三角形；②3cm是底邊時(shí)，腰長＝（13﹣3）＝5cm，此時(shí)，三角形的三邊分別為5cm、5cm、3cm，能夠組成三角形，綜上所述，該等腰三角形的底長為3cm．故選：C．變式1．（2021?樺甸市八年級期末）等腰三角形的兩邊長分別是4cm和9cm，則它的周長是（）A．17cm B．22cm C．17cm或22cm D．無法確定【答案】B【解答】解：當(dāng)腰是4cm時(shí)，∵4+4＜9，∴此時(shí)不符合三角形三邊關(guān)系定理，此種情況不行；當(dāng)腰是9cm時(shí)，此時(shí)符合三角形三邊關(guān)系定理，三角形的周長是4cm+9cm+9cm＝22cm，故選：B．例2．（2021·寧波市海曙區(qū)初二期末）若中剛好有，則稱此三角形為“可愛三角形”，并且稱作“可愛角”．現(xiàn)有一個(gè)“可愛且等腰的三角形”，那么聰明的同學(xué)們知道這個(gè)三角形的“可愛角”應(yīng)該是（）．A．或 B．或 C．或 D．或或【答案】C【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和為180°且等腰三角形的兩個(gè)底角相等，再結(jié)合題中一個(gè)角是另一個(gè)角的2倍即可求解．【解析】解：由題意可知：設(shè)這個(gè)等腰三角形為△ABC，且，情況一：當(dāng)∠B是底角時(shí)，則另一底角為∠A，且∠A=∠B=2∠C，由三角形內(nèi)角和為180°可知：∠A+∠B+∠C=180°，∴5∠C=180°，∴∠C=36°，∠A=∠B=72°，此時(shí)可愛角為∠A=72°，情況二：當(dāng)∠C是底角，則另一底角為∠A，且∠B=2∠A=2∠C，由三角形內(nèi)角和為180°可知：∠A+∠B+∠C=180°，∴4∠C=180°，即∠C=45°，此時(shí)可愛角為∠A=45°，故選：C．【點(diǎn)睛】本題借助三角形內(nèi)角和考查了新定義題型，關(guān)鍵是讀懂題目意思，熟練掌握等腰三角形的兩底角相等及三角形內(nèi)角和為180°．變式2．（2021·哈爾濱初二月考）在中，是的平分線，且，若，則的大小為______．【答案】33°【分析】可在AB上截取AE＝AC，先根據(jù)SAS證明△AED≌△ACD，可得DE=DC，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)、題中條件可得BE＝ED，進(jìn)而可得∠C＝∠AED＝2∠B，而由三角形的內(nèi)角和易求得∠B+∠C的度數(shù)，進(jìn)一步即可求出答案．【解析】解：如圖，在AB上截取AE＝AC，在△AED和△ACD中，∵AE=AC，∠EAD=∠CAD，AD=AD，∴△AED≌△ACD（SAS），∴DE=DC，∠C＝∠AED，∵AB＝AC+CD，AB＝AE+EB，∴CD＝BE，∴BE＝ED，∴∠EDB＝∠B，∴∠C＝∠AED＝2∠B，又∵∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝99°，∴∠B＝33°．故答案為：33°．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理以及三角形的外角性質(zhì)等知識(shí)，正確添加輔助線、熟練掌握上述知識(shí)是解題的關(guān)鍵．例3．（2021·成都市·初二期末）如圖鋼架中，焊上等長的13根鋼條來加固鋼架，若AP1=P1P2=P2P3=…=P13P14=P14A，則∠A的度數(shù)是．【答案】12°．【解析】設(shè)∠A=x，∵AP1=P1P2=P2P3=…=P13P14=P14A，∴∠A=∠AP2P1=∠AP13P14=x．∴∠P2P1P3=∠P13P14P12=2x，∠P2P3P4=∠P13P12P10=3x，……，∠P7P6P8=∠P8P9P7=7x．∴∠AP7P8=7x，∠AP8P7=7x．在△AP7P8中，∠A+∠AP7P8+∠AP8P7=180°，即x+7x+7x=180°．解得x=12°，即∠A=12°．變式3．（2020·湖南永定·八年級期中）“三等分角”大約是在公元前五世紀(jì)由古希臘人提出來的．借助如圖所示的“三等分角儀”能三等分任何一個(gè)角．這個(gè)三等分角儀由兩根有槽的棒OA，OB組成，兩根棒在O點(diǎn)相連并可繞O轉(zhuǎn)動(dòng)，C點(diǎn)固定，OC=CD=DE，點(diǎn)D，E可在槽中滑動(dòng)，若∠BDE=78°，則∠AOB等于___度．【答案】26【分析】根據(jù)題意易得∠O=∠CDO，∠DCE=∠DEC，則有∠DCE=∠DEC=2∠O，∠BDE=3∠O，然后進(jìn)行求解即可．【解析】解：∵OC=CD=DE，∴∠O=∠CDO，∠DCE=∠DEC，∴∠DCE=∠DEC=2∠O，∴∠BDE=∠O+∠DEC=3∠O，∵∠BDE=78°，∴∠O=26°；故答案為26．【點(diǎn)睛】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．例4．（2021?曹縣八年級期中）如圖，正方形的網(wǎng)格中，點(diǎn)A，B是小正方形的頂點(diǎn)，如果C點(diǎn)是小正方形的頂點(diǎn)，且使△ABC是等腰三角形，則點(diǎn)C的個(gè)數(shù)為（）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C【解答】解：如圖，分情況討論：①AB為等腰△ABC的底邊時(shí)，符合條件的C點(diǎn)有4個(gè)；②AB為等腰△ABC其中的一條腰時(shí)，符合條件的C點(diǎn)有4個(gè)．所以△ABC是等腰三角形，點(diǎn)C的個(gè)數(shù)為8個(gè)，故選：C．變式4.（2020·?？谑械谑闹袑W(xué)初二月考）如圖，在△ABC中，∠ABC＝60°，∠C＝45°，AD是BC邊上的高，∠ABC的平分線BE交AD于點(diǎn)F，則圖中共有等腰三角形()A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【答案】B【分析】根據(jù)在△ABC中，∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，利用三角形內(nèi)角和定理求得∠BAC＝75°，然后可得等腰三角形．【解析】∵∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，AD是高，∴∠DAC＝45°，∴CD＝AD，∴△ADC為等腰直角三角形，∵∠ABC＝60°，BE是∠ABC平分線，∴∠ABE＝∠CBE＝30°，在△ABD中，∠BAD＝180°?∠ABD?∠ADB＝180°?60°?90°＝30°，∴∠ABF＝∠BAD＝30°，∴AF＝BF即△ABF是等腰三角形，在△ABC中，∠BAC＝180°?∠ABC?∠ACB＝180°?60°?45°＝75°，∵∠AEB＝∠CBE＋∠ACB＝30°＋45°＝75°，∴∠BAE＝∠BEA，∴AB＝EB即△ABE是等腰三角形，∴等腰三角形有△ACD，△ABF，△ABE；故答案選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理以及三角形的高、角平分線，等腰三角形的判定，解題關(guān)鍵是要熟練掌握這些基礎(chǔ)知識(shí)．例5．（2020·廣東揭陽·初二期末）如圖，中，，是中點(diǎn)，下列結(jié)論中不正確的是（）．A． B． C．平分 D．【答案】D【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)逐項(xiàng)分析即可．【解析】A、等腰三角形的兩個(gè)底角相等，所以，故A項(xiàng)結(jié)論正確；B、C項(xiàng)，等腰三角形頂角平分線、底邊上的中線以及底邊上的高線“三線合一”，所以，平分，故B、C項(xiàng)結(jié)論均正確；D、由于三角形角度不確定，故無法得到AB和BD的關(guān)系，故D項(xiàng)結(jié)論錯(cuò)誤，故選：D【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)：等腰三角形的兩個(gè)底角相等；等腰三角形頂角平分線、底邊上的中線以及底邊上的高線“三線合一”．變式5．（2021·廣東高州·初二月考）等腰三角形底邊長為6，周長為16，則三角形的面積為（）A．30 B．25 C．24 D．12【答案】D【分析】先求出腰長，作底邊上的高，根據(jù)等腰三角形三線合一和勾股定理求出高，再代入面積公式求解即可．【解析】解：根據(jù)題意，腰長為：，如圖，作底邊BC上的高AD，∴AB=5，BD=，∴AD=，∴三角形的面積為：．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理和等腰三角形的性質(zhì)，利用等腰三角形“三線合一”作出底邊上的高，再根據(jù)勾股定理求出高的長度，作高構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．例6．（2021?渝水區(qū)八年級期中）如圖，點(diǎn)D，E在△ABC的邊BC上，BD＝AD＝DE＝AE＝CE．（1）求∠DAE的度數(shù)；（2）求證：△ABC是等腰三角形．【答案】（1）∠DAE＝60°（2）略【解答】（1）解：∵AD＝DE＝AE，∴△ADE是等邊三角形，∴∠DAE＝60°；（2）證明：∵△ADE是等邊三角形∴∠ADE＝∠AED＝60°，∵BD＝AD，∴∠B＝∠BAD，∵∠ADE＝∠B+∠BAD∴∠B＝30°，同理∠C＝30°，∴∠B＝∠C，∴△ABC是等腰三角形．變式6．（2021?南海區(qū)八年級期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D、E、F分別在AB、BC、AC邊上，且BE＝CF，BD＝CE．（1）求證：△DEF是等腰三角形；（2）當(dāng)∠A＝40°時(shí)，求∠DEF的度數(shù)．【答案】（1）略（2）∠DEF＝70°【解答】證明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，在△DBE和△ECF中，∴△DBE≌△ECF，∴DE＝EF，∴△DEF是等腰三角形；（2）∵△DBE≌△ECF，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠B＝（180°﹣40°）＝70°∴∠1+∠2＝110°∴∠3+∠2＝110°∴∠DEF＝70°例7．（2021?福山區(qū)初二期末）在下列結(jié)論中：（1）有一個(gè)外角是120°的等腰三角形是等邊三角形；（2）有兩個(gè)外角相等的等腰三角形是等邊三角形；（3）有一邊上的高也是這邊上的中線的等腰三角形是等邊三角形；（4）三個(gè)外角都相等的三角形是等邊三角形．其中正確的個(gè)數(shù)是（）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【點(diǎn)撥】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和定義，可得：有一個(gè)角為60°的等腰三角形是等邊三角形；三個(gè)內(nèi)角都相等的三角形為等邊三角形；再由中線的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和的定義可解答本題．【解析】解：（1）：因?yàn)橥饨呛团c其對應(yīng)的內(nèi)角的和是180°，已知有一個(gè)外角是120°，即是有一個(gè)內(nèi)角是60°，有一個(gè)內(nèi)角為60°的等腰三角形是等邊三角形．該結(jié)論正確．（2）：兩個(gè)外角相等說明該三角形中兩個(gè)內(nèi)角相等，而等腰三角形的兩個(gè)底角是相等的，故不能確定該三角形是等邊三角形．該結(jié)論錯(cuò)誤．（3）：等腰三角形的底邊上的高和中線本來就是重合的，“有一邊”可能是底邊，故不能保證該三角形是等邊三角形．該結(jié)論錯(cuò)誤．（4）：三個(gè)外角都相等的三角形是等邊三角形．正確；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的判定，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用的等邊三角形的判定方法解決問題．變式7．（2021·遼寧鐵嶺·八年級期末）如圖，是等邊中邊上的點(diǎn)，，，則是（）A．等腰三角形 B．等邊三角形 C．不等邊三角形 D．無法確定【答案】B【分析】先證得△ABE≌△ACD，可得AE=AD，∠BAE=∠CAD=60°，即可證明△ADE是等邊三角形．【詳解】解：∵△ABC為等邊三角形∴AB=AC，∠BAE=60°，

∵∠1=∠2，BE=CD，∴△ABE≌△ACD（SAS），∴AE=AD，∠BAE=∠CAD=60°，∴△ADE是等邊三角形．故選B．【點(diǎn)睛】此題考查等邊三角形的性質(zhì)與判定，全等三角形的判定與性質(zhì)，解題關(guān)鍵在于掌握等邊三角形的判定定理．變式8．（2021·無錫市八年級期中）如圖，等邊△ABC的邊長為8cm，點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)，以1cm/秒的速度由C向B勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，以2cm/秒的速度由C向A勻速運(yùn)動(dòng)，AP、BQ交于點(diǎn)M，當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)A點(diǎn)時(shí)，P、Q兩點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)P、Q兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，若∠AMQ＝60°時(shí)，則t的值是（）A． B．2 C． D．3【答案】C【分析】由等邊三角形性質(zhì)可得：，，根據(jù)題意可得：，，進(jìn)而可得：，，根據(jù)三角形外角性質(zhì)可得：，即可證明：，即可求得的值．【解析】解：是等邊三角形，，，由題意，得：，，，，，，，在和中，，，，，解得：（秒，故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形性質(zhì)，全等三角形判定和性質(zhì)，解題關(guān)鍵是運(yùn)用方程思想建立方程求解．例8．（2021?香洲區(qū)八年級期中）如圖，AD是等邊△ABC的一條中線，若在邊AC上取一點(diǎn)E，使得AE＝AD，則∠EDC的度數(shù)為（）A．30° B．20° C．25° D．15°【答案】D【解答】解：∵△ABC為等邊三角形，∴∠BAC＝60°，∵AD是等邊△ABC的一條中線，∴AD⊥BC，∠CAD＝∠BAC＝30°，∵AE＝AD，∴∠ADE＝∠AED，∵∠ADE+∠AED+∠CAD＝180°，∴∠ADE＝75°，∴∠EDC＝90°﹣75°＝15°，故選：D變式9.（2021?長沙八年級期中）如圖，直線l∥m，等邊△ABC的頂點(diǎn)B在直線m上，邊BC與直線m所夾銳角為18°，則∠α的度數(shù)為（）A．60° B．42° C．36° D．30°【答案】B【解答】解：∵△ABC是等邊三角形，∴∠A＝∠ABC＝60°．∵l∥m，∴∠1＝∠ABC+18°＝78°．∴∠α＝180°﹣∠A﹣∠1＝180°﹣60°﹣78°＝42°．故選：B．例9．（2021?南寧八年級期末）如圖，△ABC是邊長為2的等邊三角形，點(diǎn)P在AB上，過點(diǎn)P作PE⊥AC，垂足為E，延長BC到點(diǎn)Q，使CQ＝PA，連接PQ交AC于點(diǎn)D，則DE的長為（）A．0.5 B．0.9 C．1 D．1.25【答案】C【解答】解：過P作BC的平行線交AC于F，∴∠Q＝∠FPD，∵△ABC是等邊三角形，∴∠APF＝∠B＝60°，∠AFP＝∠ACB＝60°，∴△APF是等邊三角形，∴AP＝PF，∵AP＝CQ，在△PFD中和△QCD中，，∴△PFD≌△QCD（AAS），∴FD＝CD，∵PE⊥AC于E，△APF是等邊三角形，∴AE＝EF，∴AE+DC＝EF+FD，∴DE＝，∵AC＝2，∴DE＝1，故選：C．變式10.（2021?西鄉(xiāng)縣八年級期末）如圖，在等邊△ABC中，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DE⊥BC于點(diǎn)E，且CE＝1.5，則AB的長為（）A．3 B．4.5 C．6 D．7.5【答案】C【解答】解：∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝∠C＝60°，AB＝BC＝AC，∵DE⊥BC，∴∠CDE＝30°，∵EC＝1.5，∴CD＝2EC＝3，∵BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D，∴AD＝CD＝3，∴AB＝AC＝AD+CD＝6．故選：C．例10.（2021?赫章縣八年級期末）如圖，△ABC為等邊三角形，AE＝CD，AD、BE相交于點(diǎn)P，BQ⊥AD于點(diǎn)Q，PQ＝3，PE＝1．（1）求證：AD＝BE；（2）求AD的長．【點(diǎn)撥】（1）根據(jù)等邊三角形的三條邊都相等可得AB＝CA，每一個(gè)角都是60°可得，∠BAE＝∠ACD＝60°，然后利用“邊角邊”證明△ABE和△CAD全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等證明即可；（2）根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得∠CAD＝∠ABE，然后求出∠BPQ＝60°，再根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出∠PBQ＝30°，然后根據(jù)直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半求出BP＝2PQ，再根據(jù)AD＝BE＝BP+PE代入數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算即可得解．【解析】（1）證明：∵△ABC為等邊三角形，∴AB＝CA＝BC，∠BAE＝∠ACD＝60°；在△ABE和△CAD中，，∴△ABE≌△CAD（SAS），∴AD＝BE；（2）解：∵△ABE≌△CAD，∴∠CAD＝∠ABE，∴∠BPQ＝∠ABE+∠BAD＝∠BAD+∠CAD＝∠BAE＝60°；∵BQ⊥AD，∴∠AQB＝90°，∴∠PBQ＝90°﹣60°＝30°，∵PQ＝3，∴在Rt△BPQ中，BP＝2PQ＝6，又∵PE＝1，∴AD＝BE＝BP+PE＝6+1＝7．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半，熟記性質(zhì)并求出BP＝2PQ是解題的關(guān)鍵．變式11.（2021?海珠區(qū)八年級期中）如圖，在△ABC中，BA＝BC，BD⊥AC，延長BC至E，恰好使得CE＝CD，BD＝DE．（1）求：∠E的度數(shù)；（2）求證：△ABC為等邊三角形．【答案】（1）∠E＝30°（2）△ABC是等邊三角形【解答】解：（1）在△ABC中，BD⊥AC，∴∠BDC＝90°，∵CE＝CD，BD＝DE，∴∠E＝∠CDE，∠E＝∠DBE，∵∠DCB是△DCE的外角，∴∠DCB＝∠E+∠CDE，設(shè)∠E＝x°，則∠DBE＝∠E＝∠CDE＝x°，∴∠DCB＝∠E+∠CDE＝2x°，在△BCD中，∵∠BDC+∠DCB+∠DBC＝180°，即：90°+2x°+x°＝180°，∴x＝30，故∠E＝30°；（2）由（1）得，∠DCB＝2∠E＝60°，∵BA＝BC，∴△ABC是等邊三角形．知識(shí)點(diǎn)1-5線段垂直平分線1、線段的軸對稱性：線段是軸對稱圖形，垂直并且平分線段的直線是它的一條對稱軸．2、定義：垂直于一條線段，并且平分這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線．注：如果兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線對稱，那么對稱軸是任何一對對應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線．3、性質(zhì)：線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等．注：對于含有垂直平分線的題目，首先考慮將垂直平分線上的點(diǎn)與線段兩端點(diǎn)連接起來．4、作圖已知：線段．求作：的垂直平分線．作法：（1）分別以點(diǎn)和為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)和．（2）作直線．直線就是線段的垂直平分線．例1．（2021·河北保定市·八年級期末）內(nèi)一點(diǎn)到三邊距離相等，則點(diǎn)一定是（）A．三條角平分線的交點(diǎn) B．三邊垂直平分線的交點(diǎn)C．三條高的交點(diǎn) D．三條中線的交點(diǎn)【答案】A【分析】根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等即可求解．【詳解】解：∵點(diǎn)P到三邊距離相等，∴點(diǎn)P一定在三條角平分線的交點(diǎn)上，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的性質(zhì)，掌握角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵．變式1．（2021·河南省實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級月考）元旦聯(lián)歡會(huì)上，同學(xué)們玩搶凳子游戲，在與A、B、C三名同學(xué)距離相等的位置放一個(gè)凳子，誰先搶到凳子誰獲勝．如果將A、B、C三名同學(xué)所在位置看作△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)，那么凳子應(yīng)該放在△ABC的（）A．三邊中線的交點(diǎn) B．三條角平分線的交點(diǎn)C．三邊上高的交點(diǎn) D．三邊垂直平分線的交點(diǎn)【答案】D【分析】為使游戲公平，要使凳子到三個(gè)人的距離相等，于是利用線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等可知，要放在三邊垂直平分線的交點(diǎn)上．【詳解】∵三角形的三條垂直平分線的交點(diǎn)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，∴凳子應(yīng)放在△ABC的三條垂直平分線的交點(diǎn)最合適，故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)的應(yīng)用，理解基本性質(zhì)是解題關(guān)鍵．例2．（2021·河北保定市·八年級期末）如圖，在中，的垂直平分線分別交，于點(diǎn)，，若的周長為，，則的周長為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得，，即可得到、的周長為，即可求解．【詳解】解：∵DE為BC的垂直平分線，∴，，∵的周長為，，∴，∴的周長為，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查線