專(zhuān)題2求數(shù)列的前n項(xiàng)和

專(zhuān)題2 求數(shù)列的前n項(xiàng)和數(shù)列求和是數(shù)列問(wèn)題中的基本題型，是數(shù)列部分的重點(diǎn)內(nèi)容，在高考中也占據(jù)重要地位，它具有復(fù)雜多變、綜合性強(qiáng)、解法靈活等特點(diǎn)．?dāng)?shù)列求和的方法主要有公式法、倒序相加法、錯(cuò)位相減法、裂項(xiàng)相消法、分組求和法、并項(xiàng)求和法等．一、公式法（1）直接利用公式求和：等差數(shù)列的前n項(xiàng)和；等比數(shù)列的前n項(xiàng)和.（2）特殊數(shù)列的前項(xiàng)和：①；②；③；=4\*GB3④.【典例1】設(shè)為等差數(shù)列，為正項(xiàng)等比數(shù)列，，，，分別求出及的前10項(xiàng)的和及．【答案】；．【分析】利用等差等比數(shù)列的性質(zhì)，．結(jié)合已知條件求得，．進(jìn)而求得等差數(shù)列的公差和等比數(shù)列的公比，進(jìn)而利用求和公式求和.【詳解】解：∵為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，，．又∵，，∴，，即，又∵，∴，則．由知，為公差為的等差數(shù)列．∴．由知，為公比為的等比數(shù)列，.二、倒序相加法如果一個(gè)數(shù)列首末兩端等“距離”的兩項(xiàng)的和相等，那么求這個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)和即可用倒序相加法，類(lèi)比推導(dǎo)等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式，將數(shù)列反序，再與原數(shù)列相加.【典例1】已知函數(shù)滿(mǎn)足，若數(shù)列滿(mǎn)足，則數(shù)列的前20項(xiàng)的和為（）A．230 B．115 C．110 D．100【答案】B【分析】利用倒序相加法即可求得前20項(xiàng)的和.【詳解】，①，②兩式相加，又因?yàn)楣剩运缘那?0項(xiàng)的和為故選：B【變式1】已知函數(shù)，求．【答案】/【解析】，，設(shè)①，則②，①+②得，.【變式2】德國(guó)大數(shù)學(xué)家高斯被譽(yù)為數(shù)學(xué)界的王子．在其年幼時(shí)，對(duì)的求和運(yùn)算中，提出了倒序相加法的原理，該原理基于所給數(shù)據(jù)前后對(duì)應(yīng)項(xiàng)的和呈現(xiàn)一定的規(guī)律生成．因此，此方法也稱(chēng)為高斯算法．現(xiàn)有函數(shù)，求的值.【答案】1009【分析】根據(jù)給定的函數(shù)式，求出，再利用倒序相加法求和作答.【詳解】由函數(shù)，得，令，則，兩式相加得，解得，所以所求值為1009.故答案為：1009【變式3】設(shè)函數(shù)，設(shè)，．求數(shù)列的通項(xiàng)公式．【答案】【分析】通過(guò)，將已知倒序相加得出的式子，注意是否滿(mǎn)足即可.【詳解】；時(shí)，，，相加得，所以，又，所以對(duì)一切正整數(shù)，有；三、錯(cuò)位相減法若數(shù)列是等差數(shù)列,數(shù)列是等比數(shù)列,求數(shù)列的前項(xiàng)和時(shí),將的各項(xiàng)乘等比數(shù)列的公比寫(xiě)出和,然后將兩式錯(cuò)項(xiàng)對(duì)齊,同次項(xiàng)對(duì)應(yīng)相減寫(xiě)出，轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列的求和.【典例1】等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，結(jié)合等比數(shù)列的下標(biāo)性質(zhì)進(jìn)行求解即可；（2）利用錯(cuò)位相減法進(jìn)行求解即可.【詳解】解：（1）設(shè)數(shù)列的公比為，則，由得：，所以.由，得到所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）由條件知，又將以上兩式相減得所以.【變式1】（2023全國(guó)甲卷）設(shè)為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)即可求出；（2）根據(jù)錯(cuò)位相減法即可解出．【詳解】（1）因?yàn)椋?dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，所以，化簡(jiǎn)得：，當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)都滿(mǎn)足上式，所以．（2）因?yàn)?，所以，，兩式相減得，，，即，．【典例2】（2021全國(guó)乙卷）設(shè)是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，數(shù)列滿(mǎn)足．已知，，成等差數(shù)列．（1）求和的通項(xiàng)公式；（2）記和分別為和的前n項(xiàng)和．證明：．【答案】（1），；（2）證明見(jiàn)解析.【分析】（1）利用等差數(shù)列的性質(zhì)及得到，解方程即可；（2）利用公式法、錯(cuò)位相減法分別求出，再作差比較即可.【詳解】（1）因?yàn)槭鞘醉?xiàng)為1的等比數(shù)列且，，成等差數(shù)列，所以，所以，即，解得，所以，所以.（2）證明：由（1）可得，，①，②①②得，所以，所以，所以.四、裂項(xiàng)相消法（1）適用數(shù)列：形如eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,anbn)))(bn－an＝d，d為常數(shù))的數(shù)列可以用裂項(xiàng)求和.（2）常見(jiàn)裂項(xiàng)：等差型裂項(xiàng)：①；②；③.根式型裂項(xiàng)：①；②；③.指數(shù)型裂項(xiàng)：①；②.【典例1】設(shè)數(shù)列滿(mǎn)足.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)；(2).【解析】（1）利用遞推公式,作差后即可求得的通項(xiàng)公式.（2）將的通項(xiàng)公式代入,可得數(shù)列的表達(dá)式.利用裂項(xiàng)法即可求得前項(xiàng)和.【詳解】（1）數(shù)列滿(mǎn)足時(shí),∴∴當(dāng)時(shí),,上式也成立∴（2）∴數(shù)列的前n項(xiàng)和【變式1】等差數(shù)列各項(xiàng)均為正數(shù)，，前n項(xiàng)和為，等比數(shù)列中，，且．(1)求與；(2)證明：．【答案】(1);(2)證明見(jiàn)詳解.【詳解】（1）設(shè)公差為，公比為，則，解得或（舍去），則；（2）由（1）得，則，則，則.【典例2】設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，滿(mǎn)足.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)記，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)與的關(guān)系即可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式（2），利用裂項(xiàng)相消法即可求出數(shù)列的和.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，，，即，即，所以數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，所以.（2）由（1）知，，所以.【典例3】已知為等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，，成等差數(shù)列，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，且數(shù)列的前n項(xiàng)和為，證明：.【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）首先列方程，求公比；其次，列方程，求首項(xiàng)；最后求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求出，然后運(yùn)用裂項(xiàng)相消法求出可得結(jié)論.【詳解】（1）設(shè)數(shù)列的公比為q，由，，成等差數(shù)列可得，故，解得，由可得，解得，故，即數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）由（1）可得，故.當(dāng)時(shí)，取得最大值，當(dāng)時(shí)，，故.五、分組求和法某些數(shù)列，通過(guò)適當(dāng)分組，可得出兩個(gè)或幾個(gè)等差數(shù)列或等比數(shù)列，進(jìn)而利用等差數(shù)列或等比數(shù)列的求和公式分別求和，從而得出原數(shù)列的和．【典例1】等差數(shù)列中，，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求的值．【答案】（1）；（2）【詳解】（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列的公差為．由已知得，解得．所以．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得．所以．六、并項(xiàng)求和法當(dāng)通項(xiàng)中含有或或含有時(shí)，數(shù)列中相鄰兩項(xiàng)的符號(hào)異號(hào)，可以考慮使用奇偶并項(xiàng)法將相鄰兩項(xiàng)合并后求和，對(duì)項(xiàng)數(shù)的奇偶分別進(jìn)行求和.【典例1】已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）；（2）.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，所以；當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋?，兩式作差得，即，因?yàn)?，所以?shù)列是首項(xiàng)為3，公比為3的等比數(shù)列，故.（2），當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，前項(xiàng)和；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，前項(xiàng)和，則【典例2】1．已知為等差數(shù)列，，記，分別為數(shù)列，的前n項(xiàng)和，，．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)證明：當(dāng)時(shí)，．【答案】(1)；(2)證明見(jiàn)解析.【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，用表示及，即可求解作答.（2）方法1，利用（1）的結(jié)論求出，，再分奇偶結(jié)合分組求和法求出，并與作差比較作答；方法2，利用（1）的結(jié)論求出，，再分奇偶借助等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式求出，并與作差比較作答.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，而，則，于是，解得，，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式是.（2）方法1：由（1）知，，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，因此，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此，所以當(dāng)時(shí)，.方法2：由（1）知，，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，若，則，顯然滿(mǎn)足上式，因此當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此，所以當(dāng)時(shí)，.七、通項(xiàng)含絕對(duì)值的數(shù)列求和【典例1】記為等