專題2求數(shù)列的前n項和

專題2 求數(shù)列的前n項和數(shù)列求和是數(shù)列問題中的基本題型，是數(shù)列部分的重點內(nèi)容，在高考中也占據(jù)重要地位，它具有復(fù)雜多變、綜合性強、解法靈活等特點．?dāng)?shù)列求和的方法主要有公式法、倒序相加法、錯位相減法、裂項相消法、分組求和法、并項求和法等．一、公式法（1）直接利用公式求和：等差數(shù)列的前n項和；等比數(shù)列的前n項和.（2）特殊數(shù)列的前項和：①；②；③；=4\*GB3④.【典例1】設(shè)為等差數(shù)列，為正項等比數(shù)列，，，，分別求出及的前10項的和及．【答案】；．【分析】利用等差等比數(shù)列的性質(zhì)，．結(jié)合已知條件求得，．進(jìn)而求得等差數(shù)列的公差和等比數(shù)列的公比，進(jìn)而利用求和公式求和.【詳解】解：∵為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，，．又∵，，∴，，即，又∵，∴，則．由知，為公差為的等差數(shù)列．∴．由知，為公比為的等比數(shù)列，.二、倒序相加法如果一個數(shù)列首末兩端等“距離”的兩項的和相等，那么求這個數(shù)列的前項和即可用倒序相加法，類比推導(dǎo)等差數(shù)列的前項和公式，將數(shù)列反序，再與原數(shù)列相加.【典例1】已知函數(shù)滿足，若數(shù)列滿足，則數(shù)列的前20項的和為（）A．230 B．115 C．110 D．100【答案】B【分析】利用倒序相加法即可求得前20項的和.【詳解】，①，②兩式相加，又因為故，所以所以的前20項的和為故選：B【變式1】已知函數(shù)，求．【答案】/【解析】，，設(shè)①，則②，①+②得，.【變式2】德國大數(shù)學(xué)家高斯被譽為數(shù)學(xué)界的王子．在其年幼時，對的求和運算中，提出了倒序相加法的原理，該原理基于所給數(shù)據(jù)前后對應(yīng)項的和呈現(xiàn)一定的規(guī)律生成．因此，此方法也稱為高斯算法．現(xiàn)有函數(shù)，求的值.【答案】1009【分析】根據(jù)給定的函數(shù)式，求出，再利用倒序相加法求和作答.【詳解】由函數(shù)，得，令，則，兩式相加得，解得，所以所求值為1009.故答案為：1009【變式3】設(shè)函數(shù)，設(shè)，．求數(shù)列的通項公式．【答案】【分析】通過，將已知倒序相加得出的式子，注意是否滿足即可.【詳解】；時，，，相加得，所以，又，所以對一切正整數(shù)，有；三、錯位相減法若數(shù)列是等差數(shù)列,數(shù)列是等比數(shù)列,求數(shù)列的前項和時,將的各項乘等比數(shù)列的公比寫出和,然后將兩式錯項對齊,同次項對應(yīng)相減寫出，轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列的求和.【典例1】等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，且，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根據(jù)等比數(shù)列的通項公式，結(jié)合等比數(shù)列的下標(biāo)性質(zhì)進(jìn)行求解即可；（2）利用錯位相減法進(jìn)行求解即可.【詳解】解：（1）設(shè)數(shù)列的公比為，則，由得：，所以.由，得到所以數(shù)列的通項公式為.（2）由條件知，又將以上兩式相減得所以.【變式1】（2023全國甲卷）設(shè)為數(shù)列的前n項和，已知．(1)求的通項公式；(2)求數(shù)列的前n項和．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)即可求出；（2）根據(jù)錯位相減法即可解出．【詳解】（1）因為，當(dāng)時，，即；當(dāng)時，，即，當(dāng)時，，所以，化簡得：，當(dāng)時，，即，當(dāng)時都滿足上式，所以．（2）因為，所以，，兩式相減得，，，即，．【典例2】（2021全國乙卷）設(shè)是首項為1的等比數(shù)列，數(shù)列滿足．已知，，成等差數(shù)列．（1）求和的通項公式；（2）記和分別為和的前n項和．證明：．【答案】（1），；（2）證明見解析.【分析】（1）利用等差數(shù)列的性質(zhì)及得到，解方程即可；（2）利用公式法、錯位相減法分別求出，再作差比較即可.【詳解】（1）因為是首項為1的等比數(shù)列且，，成等差數(shù)列，所以，所以，即，解得，所以，所以.（2）證明：由（1）可得，，①，②①②得，所以，所以，所以.四、裂項相消法（1）適用數(shù)列：形如eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,anbn)))(bn－an＝d，d為常數(shù))的數(shù)列可以用裂項求和.（2）常見裂項：等差型裂項：①；②；③.根式型裂項：①；②；③.指數(shù)型裂項：①；②.【典例1】設(shè)數(shù)列滿足.（1）求的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和．【答案】(1)；(2).【解析】（1）利用遞推公式,作差后即可求得的通項公式.（2）將的通項公式代入,可得數(shù)列的表達(dá)式.利用裂項法即可求得前項和.【詳解】（1）數(shù)列滿足時,∴∴當(dāng)時,,上式也成立∴（2）∴數(shù)列的前n項和【變式1】等差數(shù)列各項均為正數(shù)，，前n項和為，等比數(shù)列中，，且．(1)求與；(2)證明：．【答案】(1);(2)證明見詳解.【詳解】（1）設(shè)公差為，公比為，則，解得或（舍去），則；（2）由（1）得，則，則，則.【典例2】設(shè)數(shù)列的前n項和為，滿足.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)記，求數(shù)列的前n項和.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)與的關(guān)系即可求出數(shù)列的通項公式（2），利用裂項相消法即可求出數(shù)列的和.【詳解】（1）當(dāng)時，，解得，當(dāng)時，，，即，即，所以數(shù)列是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，所以.（2）由（1）知，，所以.【典例3】已知為等比數(shù)列的前n項和，若，，成等差數(shù)列，且.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若，且數(shù)列的前n項和為，證明：.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）首先列方程，求公比；其次，列方程，求首項；最后求出數(shù)列的通項公式；（2）求出，然后運用裂項相消法求出可得結(jié)論.【詳解】（1）設(shè)數(shù)列的公比為q，由，，成等差數(shù)列可得，故，解得，由可得，解得，故，即數(shù)列的通項公式為.（2）由（1）可得，故.當(dāng)時，取得最大值，當(dāng)時，，故.五、分組求和法某些數(shù)列，通過適當(dāng)分組，可得出兩個或幾個等差數(shù)列或等比數(shù)列，進(jìn)而利用等差數(shù)列或等比數(shù)列的求和公式分別求和，從而得出原數(shù)列的和．【典例1】等差數(shù)列中，，．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，求的值．【答案】（1）；（2）【詳解】（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列的公差為．由已知得，解得．所以．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得．所以．六、并項求和法當(dāng)通項中含有或或含有時，數(shù)列中相鄰兩項的符號異號，可以考慮使用奇偶并項法將相鄰兩項合并后求和，對項數(shù)的奇偶分別進(jìn)行求和.【典例1】已知數(shù)列的前項和為，且.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和.【答案】（1）；（2）.【詳解】（1）當(dāng)時，，所以；當(dāng)時，因為，所以，兩式作差得，即，因為，所以數(shù)列是首項為3，公比為3的等比數(shù)列，故.（2），當(dāng)為偶數(shù)時，前項和；當(dāng)為奇數(shù)時，前項和，則【典例2】1．已知為等差數(shù)列，，記，分別為數(shù)列，的前n項和，，．(1)求的通項公式；(2)證明：當(dāng)時，．【答案】(1)；(2)證明見解析.【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，用表示及，即可求解作答.（2）方法1，利用（1）的結(jié)論求出，，再分奇偶結(jié)合分組求和法求出，并與作差比較作答；方法2，利用（1）的結(jié)論求出，，再分奇偶借助等差數(shù)列前n項和公式求出，并與作差比較作答.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，而，則，于是，解得，，所以數(shù)列的通項公式是.（2）方法1：由（1）知，，，當(dāng)為偶數(shù)時，，，當(dāng)時，，因此，當(dāng)為奇數(shù)時，，當(dāng)時，，因此，所以當(dāng)時，.方法2：由（1）知，，，當(dāng)為偶數(shù)時，，當(dāng)時，，因此，當(dāng)為奇數(shù)時，若，則，顯然滿足上式，因此當(dāng)為奇數(shù)時，，當(dāng)時，，因此，所以當(dāng)時，.七、通項含絕對值的數(shù)列求和【典例1】記為等