浙江省紹興市春暉中學2023-2024學年高二上學期期中數(shù)學試卷

春暉中學20232024學年第一學期高二數(shù)學期中試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知直線，則該直線的傾斜角是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用斜率與傾斜角的關系計算即可.【詳解】設該直線傾斜角為，由題意可知，故.故選：A2.圓與圓的位置關系為（）A.內(nèi)切 B.相交 C.外切 D.外離【答案】B【解析】【分析】根據(jù)圓與圓的位置關系判斷即可.【詳解】圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑所以，則，故兩圓相交.故選：B.3.過兩點的直線方程為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)兩點式方程直接求解即可.【詳解】解：∵直線過兩點和，∴直線的兩點式方程為＝，整理得.故選：C.4.平面的一個法向量，點在內(nèi)，則點到平面的距離為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由點到平面距離的向量法計算．【詳解】，所以點到平面的距離為．故選：C．5.“”是“直線與圓相交”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】先求出直線與圓相交的充要條件，結合四種條件的定義可得答案.詳解】直線與圓相交，顯然，推不出，而可推出，故是必要不充分條件.故選：B.6.已知雙曲線的焦點與橢圓：的上、下頂點相同，且經(jīng)過的焦點，則的方程為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】設雙曲線方程為，由題意算出即可.【詳解】橢圓：，上、下頂點分別為，，上、下焦點分別為，.因為雙曲線的焦點與的上、下頂點相同，且經(jīng)過的焦點，設雙曲線方程為，則有，，，所以雙曲線的方程為.故選：C7.已知雙曲線的左、右焦點分別為，，離心率為，P為雙曲線右支上一點，且滿足，則的周長為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用雙曲線的離心率列方程，由此求得，結合雙曲線的定義求得，由此求得的周長.【詳解】由題意可得，，即有，可得，，P為雙曲線右支上一點，可得，又，可得，則的周長為，故選：C【點睛】本小題主要考查雙曲線的離心率和定義，屬于基礎題.8.已知橢圓的左?右焦點分別為，，過點的直線與橢圓交于，兩點，若為正三角形，則該橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)是正三角形，此時軸，結合橢圓定義，求得三邊長，再由，求得a，b間的關系，從而求得離心率.【詳解】因為是正三角形，所以，軸.設，則，，故，解得，從而.將代入橢圓方程可得，因此，得，故橢圓離心率，故選：D.二、選擇題:本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.已知直線，直線，則下列結論正確的是（）A.在軸上的截距為 B.過定點C.若，則或 D.若，則【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)直線截距的定義可判定A，由直線方程可求定點判定B，利用兩直線的位置關系可判定C、D.【詳解】由易知，故A正確；由，故B正確；若兩直線平行，則有且，解得，故C錯誤；若兩直線垂直，則有，故D正確.故選：ABD10.關于曲線C：，下列說法正確的是（）A.若曲線C表示圓，則B.若，曲線C表示兩條直線C.若，過點與曲線C相切的直線有兩條D.若，則直線被曲線C截得弦長等于【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)圓的一般方程的特點，結合圓的性質(zhì)和圓的弦長公式逐一判斷即可.【詳解】A：，所以當曲線C表示圓時，有，所以本選項說法正確；B：當時，由A可知：且，所以當時，曲線C表示點，因此本選項說法不正確；C：當時，由A可知：，因為，所以點在圓外面，所以過點與曲線C相切的直線有兩條，因此本選項說法正確；D：當時，由A可知：，圓心到直線距離為：，所以弦長為：，因此本選項說法正確，故選：ACD11.設橢圓:的左、右焦點分別為，，是橢圓上的動點，則下列結論中正確的有（）A.離心率 B.C.面積的最大值為 D.直線與以線段為直徑的圓相切【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)橢圓的定義、性質(zhì)及直線與圓的位置關系一一判定選項即可.【詳解】由橢圓方程可知橢圓離心率為，故A錯誤；由橢圓定義可知，故B正確；當P在上下頂點時的面積可取得最大值為，故C正確；以為直徑的圓的圓心為原點，半徑為，而圓心到直線的距離，即與直線相切，故D正確.故選：BCD12.矩形ABCD中，，，沿對角線AC將矩形折成一個大小為的二面角，若，則下列結論正確的有（）A.四面體ABCD的體積為B.點B與D之間的距離為C.異面直線AC與BD所成角為45°D.直線AD與平面ABC所成角的正弦值為【答案】ACD【解析】【分析】分別作，垂足為E，F(xiàn)，利用向量法求出，可判斷B，由題可得平面，然后利用棱錐的體積公式可得可判斷A，利用向量法求出判斷C，根據(jù)等積法結合條件可得直線AD與平面ABC所成角的正弦值判斷D.【詳解】分別作，垂足為E，F(xiàn)，則，由已知可得，，因為，所以，所以，故B錯誤；因為，，所以，即，同理，又，平面，則平面，所以四面體ABCD的體積為，故A正確；由題可得，，，則，則，得，所以異面直線與所成的角為，故C正確；設點到平面為，則，所以，所以，設直線AD與平面ABC所成角為，則，故D正確.故選：ACD．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知，是橢圓：的兩個焦點，點在上，則的最大值為________．【答案】9【解析】【分析】根據(jù)橢圓的定義可得，結合基本不等式即可求得的最大值.【詳解】∵在橢圓上∴∴根據(jù)基本不等式可得，即，當且僅當時取等號.故答案為：9.14.在平面直角坐標系內(nèi)，點關于直線對稱的點的坐標為___________.【答案】【解析】【分析】設對稱點為，根據(jù)直線，又中點在直線上，列方程求解，即可得點的坐標.【詳解】解：設對稱點為，則可得，又直線的斜率為所以，即①又中點在直線上，所以，即②聯(lián)立①②解得：，所以點的坐標為.故答案為：.15.已知，，，若，，，四點共面，則______．【答案】5【解析】【分析】根據(jù)，，，四點共面，由求解.【詳解】解：因為，，，且，，，四點共面，所以，則，解得，故答案為：516.若對于一個實常數(shù)，恰有三組實數(shù)對滿足關系式，則______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)點到直線的距離和代數(shù)式的幾何意義求解即可.【詳解】由，若，則需與矛盾，所以，由，得點到直線的距離為，由，得點在圓上，根據(jù)題意恰有三組實數(shù)對滿足關系式，等價于圓上恰有三個點滿足到直線的距離為，圓心到直線的距離為，則需圓的半徑，過作直線于，交圓于，則，則要使圓上恰有三個點滿足到直線的距離為，有.故答案為：四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知直線的方程為，若直線在軸上的截距為，且.（1）求直線和直線的交點坐標；（2）已知不過原點的直線經(jīng)過直線與直線的交點，且在軸上截距是在軸上的截距的倍，求直線的方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用直線的位置關系及點斜式先求得，聯(lián)立方程計算交點即可；（2）利用截距式計算即可.【小問1詳解】設直線和直線的斜率分別為，由題意知，∵，∴．又因為直線在軸上的截距為，所以直線過點.所以直線的方程為，即:.聯(lián)立，得，即交點為.【小問2詳解】因直線不過原點，設其在軸上的截距為，方程為，因為過，所以，解得，所以直線的方程.18.已知空間向量，.（1）若與共線，求實數(shù)的值；（2）若與所成角是銳角，求實數(shù)的范圍．【答案】（1）（2）{且}．【解析】【分析】（1）利用空間向量共線的坐標表示計算即可；（2）利用空間向量夾角的坐標表示計算即可.【小問1詳解】由已知可得，．因為與共線，所以，解得．【小問2詳解】由(1)知，．所以，∴．又當時，與共線，所以實數(shù)的范圍為{且}．19.在平面直角坐標系xOy中，點A的坐標為，動點P滿足（1）求動點P的軌跡C的方程（2）若直線l過點且與軌跡C相切，求直線l的方程.【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）設，根據(jù)動點滿足，再用兩點間距離公式列式化簡作答.（2）討論直線的斜率，設出直線l的方程，由圓心到直線的距離等于圓的半徑求解作答.【小問1詳解】設，由，得，化簡得，所以P點的軌跡的方程為.【小問2詳解】由（1）知，軌跡：表示圓心為，半徑為2的圓，當直線l的斜率不存在時，方程為，圓心到直線l的距離為2，與相切；當直線l的斜率存在時，設，即，于是，解得，因此直線的方程為，即，所以直線l的方程為或.20.如下圖，在四棱錐中，平面平面，平面平面，又.（1）求點到平面的距離；（2）設，，，平面與平面夾角的余弦值為，求BC的長．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)判定線面垂直即證平面即可；（2）建立空間直角坐標系，利用空間向量計算面面角即可.【小問1詳解】如圖，在平面中取一點E，并過點E分別作直線，，因為平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以．同理因為平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，又，平面，所以平面，即點P到平面的距離為.【小問2詳解】如圖所示，以A點為原點，分別以分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系．設，則，∴，，，．設平面的法向量為，則，令，得．同理，設平面的法向量為，有，令，即．由題意知，解得，所以的長為．21.已知雙曲線：：(，)與有相同的漸近線，且經(jīng)過點.（1）求雙曲線的方程；（2）已知直線與雙曲線交于不同的兩點?，且線段的中點在圓上，求實數(shù)的值.【答案】（1）；（2）.【解析】分析】（1）根據(jù)共漸近線設雙曲線的方程，然后代入點計算；（2）聯(lián)立直線與雙曲線的方程，得關于的一元二次方程，寫出韋達定理，然后表示出的中點坐標，代入圓的方程計算.【詳解】（1）由題意，設雙曲線的方程為，又因為雙曲線過點，，所以雙曲線的方程為：（2）由得設，則，，所以則中點坐標為，代入圓得，所以.22.已知橢圓的離心率為，、分別為橢圓的左、右頂點，、分別為橢圓的左、右焦點，．（1）求橢圓方程；（2）設與軸不垂直的直線交橢圓于、兩點（、在軸的兩側），記直線，，，的斜率分別為，，，．（i）求的值；（ii）若，求面積的取值范圍．【答案】22.23.（i）；（ii）【解析】【分析】（1）結合離心率與焦點到頂點的距離計算即可得；（2）（i）設出直線，聯(lián)立后消去得與有關的韋達定理后求解即可得；（ii）借助（i）中的結論，將面積用未知數(shù)表達后結合換元法借助函數(shù)性質(zhì)求最最值即可得.【小問1詳解】由于橢圓的離心率為，故，又，所以，，，所以橢圓的方程為.