3第三章-集中量數(shù)

第三章集中量數(shù)

集中量數(shù)的概念集中量數(shù)就是對一組數(shù)據(jù)的集中趨勢特點進行度量和描述的統(tǒng)計量。它反映了次數(shù)分布中大量數(shù)據(jù)向某方向集中的程度。

常用的集中量數(shù)有算術(shù)平均數(shù)、中數(shù)、眾數(shù)、加權(quán)平均數(shù)、幾何平均數(shù)、調(diào)和平均數(shù)等。算術(shù)平均數(shù)是所有觀察值的總和除以總頻數(shù)所得之商。用表示。假設(shè)以X1，X2，···，XN表示變量X的各個觀察值，N表示觀察值的個數(shù)，那么算術(shù)平均數(shù)可表示為：

算術(shù)平均數(shù)的概念〔1〕在一組數(shù)據(jù)中每個變量與平均數(shù)之差的總和等于0，即?！?〕在一組數(shù)據(jù)中，每一個數(shù)都加上一常數(shù)C，那么所得的平均數(shù)為原來的平均數(shù)加常數(shù)C，即。〔3〕在一組數(shù)據(jù)中，每一個數(shù)都乘以一常數(shù)C，那么所得的平均數(shù)為原來的平均數(shù)乘以常數(shù)C，即。算術(shù)平均數(shù)的特點〔1〕未分組數(shù)據(jù)〔原始數(shù)據(jù)〕計算法〔2〕數(shù)據(jù)分組后〔次數(shù)分布表〕計算法

〔式中XC為各區(qū)間的組中值，f為各區(qū)間的次數(shù)〕算術(shù)平均數(shù)的計算方法

算術(shù)平均數(shù)的優(yōu)缺點算術(shù)平均數(shù)具備一個良好的集中量數(shù)所應(yīng)具備的一些條件：①反響靈敏；②嚴(yán)密確定；③簡明易懂；④計算簡單；⑤適合代數(shù)運算；⑥較少受抽樣變動的影響。

算術(shù)平均數(shù)的優(yōu)缺點

除此之外，算術(shù)平均數(shù)還有以下一些特殊的優(yōu)點：①只知一組觀察值的總和及總頻數(shù)就可以求出算術(shù)平均數(shù)；②用加權(quán)法可以求出幾個平均數(shù)的總平均數(shù)；③用樣本數(shù)據(jù)推斷總體集中量數(shù)時，算術(shù)平均數(shù)最接近總體集中量數(shù)的真值，它是總體平均數(shù)的最好估計值；④在計算方差、標(biāo)準(zhǔn)差、相關(guān)系數(shù)以及進行統(tǒng)計推斷時，都要用到它。

算術(shù)平均數(shù)的優(yōu)缺點

但是算術(shù)平均數(shù)也有一些缺點：①易受極端數(shù)據(jù)的影響；②假設(shè)出現(xiàn)模糊不清的數(shù)據(jù)時，無法計算平均數(shù)。算術(shù)平均數(shù)的意義、適用條件及應(yīng)用原那么算術(shù)平均數(shù)的意義算術(shù)平均數(shù)是應(yīng)用最普遍的集中量數(shù)，它是“真值”漸近、最正確的估計值。算術(shù)平均數(shù)的適用的條件一組數(shù)據(jù)是比較準(zhǔn)確，可靠又同質(zhì)，而且需要每一個數(shù)據(jù)都參加計算，同時還要作進一步代數(shù)運算時，這時就需要用算術(shù)平均數(shù)表示其集中趨勢。算術(shù)平均數(shù)的意義、適用條件及應(yīng)用原那么計算和應(yīng)用算術(shù)平均數(shù)的原那么①同質(zhì)性原那么；②平均數(shù)與個體數(shù)值相結(jié)合的原那么；③平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差、方差相結(jié)合的原那么。

中數(shù)是按順序排列在一起的一組數(shù)據(jù)中居于中間位置的數(shù)，即在這組數(shù)據(jù)中，有一半的數(shù)據(jù)比它大，有一半的數(shù)據(jù)比它小。中數(shù)用Ｍd表示。中數(shù)的概念〔1〕一組數(shù)據(jù)中無重復(fù)數(shù)值的情況指一組數(shù)據(jù)中沒有相同的數(shù)，這時取處于序列中間位置的那個數(shù)為中數(shù)。如果數(shù)據(jù)個數(shù)為奇數(shù)，那么中數(shù)為位置的那個數(shù)；如果數(shù)據(jù)個數(shù)為偶數(shù)，那么中數(shù)為居于中間位置兩個數(shù)的平均數(shù)，即第與第位置的兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)。

未分組數(shù)據(jù)〔原始數(shù)據(jù)〕求中數(shù)的方法〔2〕一組數(shù)據(jù)中有重復(fù)數(shù)值的情況指一組數(shù)據(jù)中有相同數(shù)值的數(shù)據(jù)，這時計算中數(shù)的方法根本與無重復(fù)數(shù)值的單列數(shù)據(jù)相同。但根據(jù)重復(fù)數(shù)值數(shù)據(jù)在該組數(shù)據(jù)中所處的位置又細(xì)分為以下兩種情況：①當(dāng)重復(fù)數(shù)值沒有位于數(shù)列中間時，求中數(shù)的方法與無重復(fù)數(shù)據(jù)時求中數(shù)的方法相同。②當(dāng)重復(fù)數(shù)目位于數(shù)列中間時，需要假設(shè)位于中間的幾個重復(fù)數(shù)目為連續(xù)數(shù)目，取序列中上下各那一點上的數(shù)值為中數(shù)。未分組數(shù)據(jù)〔原始數(shù)據(jù)〕求中數(shù)的方法

將原始數(shù)據(jù)整理成次數(shù)分布表后，求中數(shù)的原理同重復(fù)數(shù)目求中數(shù)是一樣的，也是取序列中將N平分為兩半的那一點的值作為中數(shù)。

或

式中為中數(shù)所在分組區(qū)間的精確下限，為中數(shù)所在分組區(qū)間的精確上限，為該組以下各組的累加次數(shù)，為該組以上各組的累加次數(shù)，為該組的次數(shù)。數(shù)據(jù)分組后〔次數(shù)分布表〕求中數(shù)的方法中數(shù)的意義與應(yīng)用中數(shù)的意義中數(shù)雖然也具備一個良好集中量數(shù)所應(yīng)具備的一些條件，如計算簡單，嚴(yán)密確定，簡明易懂；但與算術(shù)平均數(shù)相比是相形見絀的，如反響不夠靈敏，受抽樣的影響較大，不適合代數(shù)運算等。因此，在一般情況下，中數(shù)不被普遍應(yīng)用，但在一些特殊情況下，它的應(yīng)用受到重視。中數(shù)的意義與應(yīng)用中數(shù)適用的情況〔1〕當(dāng)一組觀測結(jié)果中出現(xiàn)兩極端數(shù)目時；〔2〕當(dāng)次數(shù)分布的兩端數(shù)據(jù)或個別數(shù)據(jù)不清楚時；〔3〕當(dāng)需要快速估計一組數(shù)據(jù)的代表值時。一項研究調(diào)查了19名大學(xué)生，他們的月消費〔單位：人民幣元〕如下：220，227，230，231，232，232，235，236，237，239，240，245，246，249，253，258，260，510，600現(xiàn)欲了解他們的平均月消費？思考題由于這19名大學(xué)生的月消費中存在極端數(shù)據(jù)，算術(shù)平均數(shù)〔元〕不能很好地反映他們的平均月消費〔19人中17人月消費低于272.63元〕，應(yīng)求中數(shù)：

〔元〕答：這些大學(xué)生的平均月消費是239元。解：眾數(shù)有理論眾數(shù)和粗略眾數(shù)兩種定義方法。理論眾數(shù)是指與次數(shù)分布曲線最高點相對應(yīng)的橫坐標(biāo)上的一點。粗略眾數(shù)是指一組數(shù)據(jù)〔或次數(shù)分布〕中次數(shù)出現(xiàn)最多的那個數(shù)的數(shù)值。眾數(shù)用表示。眾數(shù)的概念

〔1〕用觀察法直接尋找粗略眾數(shù)在一組原始數(shù)據(jù)中，次數(shù)出現(xiàn)最多的那個數(shù)值就是眾數(shù)；在次數(shù)分布表中，次數(shù)最多一組的組中值就是粗略眾數(shù)。

眾數(shù)的計算方法

〔2〕用經(jīng)驗公式求理論眾數(shù)的近似值①皮爾遜經(jīng)驗法〔適合正態(tài)分布〕②金氏插補法〔適合偏態(tài)分布〕

其中為含眾數(shù)這一區(qū)間的精確下限，為高于眾數(shù)所在組一個組距那一分組區(qū)間的次數(shù)，為低于眾數(shù)所在組一個組距那一分組區(qū)間的次數(shù)。眾數(shù)的計算方法眾數(shù)的意義與應(yīng)用眾數(shù)的意義眾數(shù)雖然簡明易懂，較少受兩極端數(shù)值的影響，但它并不具備一個良好集中量數(shù)的根本條件。如極不準(zhǔn)確、穩(wěn)定，反響不靈敏，不適合代數(shù)運算，受抽樣的影響較大等。因此，在一般情況下，眾數(shù)應(yīng)用也不廣泛，但在一些特殊情況下也常有應(yīng)用。眾數(shù)的意義與應(yīng)用眾數(shù)適用的情況〔1〕當(dāng)需要快速而粗略地尋求一組數(shù)據(jù)的代表值時；〔2〕當(dāng)一組數(shù)據(jù)出現(xiàn)不同質(zhì)的情況時；〔3〕當(dāng)次數(shù)分布中有兩極端的數(shù)目時；〔4〕當(dāng)粗略估計次數(shù)分布的形態(tài)時。學(xué)校要召開運動會，決定從高一年級8個班中抽調(diào)40名男生組成一個整齊的彩旗方陣隊，如果從高一〔1〕班的體檢表中任意抽出10份男生表格，得到10個男同學(xué)的身高〔單位：米〕如下：1.631.601.681.661.661.631.751.661.581.65請根據(jù)這10個身高值提供的信息確定參加方隊學(xué)生的最正確身高值應(yīng)取多少？并說明理由。思考題參加方隊學(xué)生的最正確身高值應(yīng)取1.66。這是因為從這10個身高值可以看出，1.66出現(xiàn)的次數(shù)最多，是這組數(shù)的眾數(shù)，既然這10個男生中有3個身高為1.66米，而一個班遠(yuǎn)不止10個男生，那么8個班的男生中應(yīng)該能選出40名這種身高的人。答：〔1〕當(dāng)次數(shù)分布呈正態(tài)時：〔2〕當(dāng)次數(shù)分布呈正偏態(tài)時：且〔3〕當(dāng)次數(shù)分布呈負(fù)偏態(tài)時：且

算術(shù)平均數(shù)、中數(shù)、眾數(shù)之間的關(guān)系

算術(shù)平均數(shù)、中數(shù)、眾數(shù)之間的關(guān)系

加權(quán)平均數(shù)的概念加權(quán)平均數(shù)是不同比重數(shù)據(jù)〔或平均數(shù)〕的平均數(shù)，用表示。加權(quán)平均數(shù)的計算方法

式中為權(quán)數(shù)加權(quán)平均數(shù)

加權(quán)平均數(shù)的應(yīng)用當(dāng)測量所得的數(shù)據(jù)，其單位權(quán)重并不相等時，要用加權(quán)平均數(shù)來求平均數(shù)。加權(quán)平均數(shù)

幾何平均數(shù)的概念幾何平均數(shù)是N個數(shù)值連乘積的N次方根，用表示。幾何平均數(shù)的計算方法

幾何平均數(shù)

幾何平均數(shù)的應(yīng)用〔1〕直接應(yīng)用公式計算幾何平均數(shù)當(dāng)一組實驗數(shù)據(jù)中有少數(shù)數(shù)據(jù)偏大或偏小，數(shù)據(jù)的分布呈偏態(tài)時，要用幾何平均數(shù)作為集中趨勢的代表。