專題5.3 正余弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)（十一個重難點突破）-2023-2024學年高一數(shù)學重難點突破及混淆易錯規(guī)避（人教A版2019必修第一冊）（解析版）

專題5.3正余弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)知識點1正余弦函數(shù)的圖象1.正弦函數(shù)的圖象（五點法）①畫出正弦曲線在上的圖象的五個關(guān)鍵點，，，，，用光滑的曲線連接；②將所得圖象向左、向右平行移動(每次個單位長度)．2．余弦函數(shù)圖象方法1：要得到的圖象，只需把的圖象向左平移個單位長度即可，這是由于.方法2：用“五點法”：畫余弦曲線在上的圖象時，所取的五個關(guān)鍵點分別為，，，，，再用光滑的曲線連接．溫馨提示：（1）“五點法”作圖中的“五點”是指函數(shù)的最高點、最低點以及圖象與坐標軸的交點，這是作正弦函數(shù)、余弦函數(shù)圖象最常用的方法．（2）“五點法”畫正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象時要注意圖象的對稱性和凸凹方向．重難點1“五點法”作圖的應用1．用“五點法”作在的圖象時，應取的五點為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】取內(nèi)五個關(guān)鍵點，即分別令x＝0，，，π，2π即可．【詳解】∵，∴周期T＝2π．由“五點法”作圖可知:應描出的五個點的橫坐標分別是x＝0，，π，，2π．代入解析式可得點的坐標分別為，∴B正確．故選：B．【點睛】本題考查五點法作圖，取內(nèi)五點即可，屬于基礎(chǔ)題．2．已知函數(shù)．完成下面表格，并用“五點法”作函數(shù)在上的簡圖：

x0π2π【答案】填表見解析；作圖見解析【分析】根據(jù)“五點法”列表，描點作圖即可得解.【詳解】補充完整的表格如下：x0π2π13531描點、連線得函數(shù)的圖象如圖所示，

3．函數(shù)，用五點作圖法畫出函數(shù)在上的圖象；（先列表，再畫圖）【答案】答案見解析【分析】先寫出分段函數(shù)，列出表格，從而畫出函數(shù)圖象.【詳解】，按五個關(guān)鍵點列表：0010003010描點并將它們用光滑的曲線連接起來如下圖所示：4．用“五點法”畫出下列函數(shù)的簡圖：(1)，；(2)，．【答案】(1)答案見解析(2)答案見解析【分析】（1）（2）先列表，再描點，然后連線即可【詳解】（1）按五個關(guān)鍵點列表：0010012101描點，并將這些點依次連成一條光滑曲線，即得所求圖象，如圖，

（2）按五個關(guān)鍵點列表：010012002描點，并將這些點依次連成一條光滑曲線，即得所求圖象，如圖．

5．作出函數(shù)的圖象【答案】見解析【分析】去絕對值后，結(jié)合函數(shù)的圖象，即可畫出函數(shù)的圖象.【詳解】，，作出函數(shù)圖象后，將軸下方的部分沿軸翻折到軸上方，即為函數(shù)的圖象，如圖

重難點2利用正余弦函數(shù)的圖象求不等式6．若，且，，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)正余弦函數(shù)的取值范圍，分別求解，，再求解交集即可.【詳解】由，可得或；由，可得．綜上，的取值范圍是．故選：B.7．（1991·全國·高考真題）滿足的x的集合是（

）A． B．C． D．或【答案】A【分析】根據(jù)正弦函數(shù)圖象，解不等式.【詳解】，故，，解得：，，所以滿足的x的集合是.故選：A8．當，若，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)余弦函數(shù)的單調(diào)性解三角不等式，即得答案.【詳解】由題意，，當時，，而在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故的取值范圍為，故選：B9．“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】由，得，充分性成立；由，得，必要性不成立，從而可判斷.【詳解】由，得，但由，得，不能推出，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A10．不等式在上的解集為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】結(jié)合余弦函數(shù)圖象分析運算，即可得結(jié)果.【詳解】∵，則，注意到，結(jié)合余弦函數(shù)圖象解得.故選：D.11．根據(jù)正弦函數(shù)的圖象，寫出使下列不等式成立的x的取值范圍：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】根據(jù)正余弦函數(shù)的圖象，結(jié)合誘導公式求解即可.【詳解】（1）

即，當時，或，故由正弦函數(shù)的圖象可得解得.（2）即，當時，或，故解得（3）即，故當時，或，故，解得.（4）即，故當時，或，故，解得重難點3正余弦曲線與其他曲線的交點問題12．方程的實數(shù)解有A．0個 B．1個 C．2個 D．無窮多個【答案】D【解析】分別作出與的圖象再觀察圖像判定即可.【詳解】解析:作出函數(shù)與的圖象,如圖,觀察圖象可知,的圖象向左無限延伸,且與x軸無限靠近,因此與的圖象有無窮多個交點,∴方程的實數(shù)解有無窮多個.故選：D【點睛】本題主要考查了根據(jù)函數(shù)圖像分析函數(shù)零點個數(shù)的問題,屬于基礎(chǔ)題.13．已知方程，.若，則方程有（

）解A．0個 B．1個 C．2個 D．1個或2個【答案】D【分析】在同一平面直角坐標系中分別畫出和的函數(shù)圖象，通過平移的函數(shù)圖象即可得解.【詳解】如圖所示：

當時，方程在上有唯一解，當且時，方程在上有兩個解，綜上所述：方程在上有1個或2個解.故選：D.14．函數(shù)，，若方程有個不同的實數(shù)解，則的值為.【答案】或【分析】化簡函數(shù)在上的函數(shù)解析式，數(shù)形結(jié)合可得出實數(shù)的值.【詳解】當時，，因為方程在上有三個不同的實數(shù)解，所以，直線與函數(shù)在上的圖象有三個交點，如下圖所示：

由圖可知，當或時，直線與函數(shù)在上的圖象有三個交點，故或.故答案為：或.15．如果方程在上有兩個不同的解，則實數(shù)a的取值范圍是.【答案】【分析】結(jié)合三角函數(shù)圖像判斷即可；【詳解】

結(jié)合三角函數(shù)圖像可知，當時，直線有兩個交點，故答案為：16．若函數(shù)有兩個零點，則實數(shù)取值范圍是.兩個零點之和為.【答案】或【分析】在同一平面直角坐標系中作出函數(shù)的圖像與直線，根據(jù)圖像可得實數(shù)m的取值范圍，利用對稱性可得零點之和.【詳解】由得.在同一平面直角坐標系中作出函數(shù)的圖像與直線.如圖所示.

由圖知,當時,兩圖像有兩個交點,則原函數(shù)有兩個零點,此時.設兩個零點分別為,,由于兩交點關(guān)于直線或關(guān)于對稱,所以或,或.故答案為：；或.知識點2周期函數(shù)1.周期函數(shù)的定義：一般地,設函數(shù)的定義域為,如果存在一個非零常數(shù),使得對每一個,都有,且,那么函數(shù)就叫做周期函數(shù).非零常數(shù)叫做這個函數(shù)的周期.2.最小正周期的定義：如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個最小的正數(shù),那么這個最小正數(shù)就叫做的最小正周期知識點3正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期性和奇偶性函數(shù)圖象定義域定義域值域周期性奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)單調(diào)性在()上單調(diào)遞增;在上單調(diào)遞減在上單調(diào)遞增;在()上單調(diào)遞減最值當()時，;當()時，;當()時，;當時，對稱性對稱中心為(),對稱軸為直線()對稱中心為(),對稱軸為直線()溫馨提示：（1）正弦函數(shù)、余弦函數(shù)有單調(diào)區(qū)間，但都不是定義域上的單調(diào)函數(shù)，即正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在整個定義域內(nèi)不單調(diào)．（2）正弦曲線(余弦曲線)的對稱軸一定過正弦曲線(余弦曲線)的最高點或最低點，即此時的正弦值(余弦值)取最大值或最小值．重難點4三角函數(shù)的周期問題17．函數(shù)的最小正周期為．【答案】/【分析】利用正弦型函數(shù)的周期公式以及絕對值函數(shù)的性質(zhì)可求得函數(shù)的最小正周期.【詳解】因為的最小正周期為，所以的最小正周期為．故答案為：.18．求下列函數(shù)的周期：(1)，；(2)，；(3)，．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1），（2）中利用三角函數(shù)周期可求解，（3）根據(jù)周期函數(shù)定義結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】（1）由題意知：，所以：的周期為：，故所求周期為：.（2）由題意知：，所以：的周期為：，故所求周期為：.（3）由題意可得：，根據(jù)函數(shù)周期的定義可得：的周期為.又的圖象可以看成將在軸下方的圖象翻折到軸上方得到的，故其最小正周期為，故所求周期為：.19．請寫出一個最小正周期為的函數(shù)．（寫出一個即可）【答案】（答案不唯一）【分析】根據(jù)三角函數(shù)周期公式確定即可得答案.【詳解】由的周期為，得，不妨取，得一個滿足題意的函數(shù).故答案為：（答案不唯一）20．如果函數(shù)的相鄰兩個零點之間的距離為，則.【答案】6【分析】根據(jù)余弦函數(shù)相鄰兩零點的距離與周期的關(guān)系即可得到答案.【詳解】∵函數(shù)f(x)的相鄰兩個零點之間的距離為，∴周期，由，得.故答案為：6.21．已知函數(shù)的最小正周期為，則.【答案】12【分析】根據(jù)三角函數(shù)的最小正周期公式列方程，解方程求得的值.【詳解】由于，依題意可知.故答案為：22．函數(shù)的最小正周期是，則．【答案】【分析】利用周期公式直接構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的方程求解即可.【詳解】因為函數(shù)的最小正周期是，所以可得，解得，故答案為：.重難點5三角函數(shù)的奇偶性問題23．下列函數(shù)中是偶函數(shù)的是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義，即可結(jié)合選項逐一求解.【詳解】對于A，為定義域內(nèi)的單調(diào)遞增函數(shù)，為非奇非偶函數(shù)，對于B，定義域為全體實數(shù)，且，故為偶函數(shù)，對于C，的定義域為，不關(guān)于原點對稱，故為非奇非偶函數(shù)，對于D，的定義域為全體實數(shù)，但是，故為奇函數(shù)，故選：B24．函數(shù)是（

）A．奇函數(shù) B．偶函數(shù) C．非奇非偶函數(shù) D．以上都不對【答案】B【分析】利用誘導公式化簡給定的函數(shù)，再利用余弦函數(shù)性質(zhì)判斷作答.【詳解】依題意，函數(shù)，化為是偶函數(shù).故選：B25．若函數(shù)，則函數(shù)的大致圖象是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】先根據(jù)函數(shù)的奇偶性可排除BD，再根據(jù)時函數(shù)值的符號即可排除A.【詳解】函數(shù)的定義域為，因為，所以函數(shù)為偶函數(shù)，故排除BD，當時，，，所以，故排除A，而C滿足題意故選：C.26．已知函數(shù)是偶函數(shù)，則.【答案】1【分析】根據(jù)給定條件，利用偶函數(shù)的定義列式求解即得.【詳解】函數(shù)的定義域為R，依題意，，則，，即，整理得，而不恒為0，，因此，所以.故答案為：127．已知，若，則．【答案】【分析】構(gòu)造新函數(shù)，利用的奇偶性求解．【詳解】設，易知的定義域是，又，∴是奇函數(shù)，∵，所以，∴，故答案為：．28．若函數(shù)為奇函數(shù)，當時，，則.【答案】【分析】首先利用奇函數(shù)的性質(zhì)求，再求值.【詳解】因為函數(shù)是奇函數(shù)，所以，得，即時，，所以.故答案為：重難點6求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間29．下列關(guān)于函數(shù)，的單調(diào)性的敘述，正確的是（

）A．在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減B．在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減C．在及上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減D．在上單調(diào)遞增，在及上單調(diào)遞減【答案】C【分析】利用正弦函數(shù)的單調(diào)性，直接分析求解即可.【詳解】解：，當時，函數(shù)y單調(diào)遞增；當時，函數(shù)y單調(diào)遞減；當時，函數(shù)y單調(diào)遞增．故只有C正確．故選：30．已知函數(shù)，則在上的單調(diào)遞增區(qū)間為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由正弦函數(shù)的單調(diào)性以及復合函數(shù)單調(diào)性即可求解.【詳解】當時，，所以當，即時，函數(shù)單調(diào)遞增．故選：B.31．已知函數(shù)，則的一個單調(diào)遞增區(qū)間是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用誘導公式化簡函數(shù)式，再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)逐項判斷作答.【詳解】函數(shù)，由正弦函數(shù)的性質(zhì)知，函數(shù)在、上都不單調(diào)，在上單調(diào)遞減，即選項BCD都不是，函數(shù)在上單調(diào)遞增，A是.故選：A32．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，即函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，利用復合函數(shù)性質(zhì)，可得所求區(qū)間為，，化簡即可求解.【詳解】函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，即函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間,令，，解得，，所以原函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，.故選：．33．函數(shù)和都單調(diào)遞增的區(qū)間是（）．A． B．C． D．【答案】A【分析】利用正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間即可求解.【詳解】函數(shù)的單調(diào)遞增的區(qū)間是，函數(shù)的單調(diào)遞增的區(qū)間是，由，可得函數(shù)和都單調(diào)遞增的區(qū)間是.故選：A.34．已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的最小正周期及；(2)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；【答案】(1)，(2)【分析】（1）根據(jù)三角函數(shù)周期公式即可求函數(shù)的最小正周期；（2）根據(jù)三角函數(shù)單調(diào)性即可求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；【詳解】（1）對于函數(shù)，它的最小正周期為；；（2）令，，求得，，即，．所以，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是．重難點7利用單調(diào)性比較三角函數(shù)值的大小35．給出下列各式的值：①②③④其中符號為負的是（

）A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④【答案】A【分析】首先判斷出各角所處的象限，再根據(jù)不同象限三角函數(shù)值的符號即可得出①②③符號為負，利用三角函數(shù)單調(diào)性即可求得，即可得出結(jié)論.【詳解】對于①，易知，即5弧度的角位于第三象限，其正弦值為負，符合題意；對于②，易知是第二象限角，其余弦值為負，正弦值為正，所以可得符號為負，符合題意；對于③，易知弧度的角與弧度的角終邊相同，又弧度的角位于第二象限，其正切值為負，即的符號為負，符合題意；對于④，由三角函數(shù)單調(diào)性可知，所以，符號為正，不符合題意.所以符號為負的是①②③.故選：A36．設，，，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)指對數(shù)函數(shù)及余弦函數(shù)性質(zhì)判斷大小關(guān)系即可.【詳解】由，則，而，所以.故選：D37．已知，，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)余弦函數(shù)的單調(diào)性可判斷的大小關(guān)系，利用可得，結(jié)合兩邊取對數(shù)可得的大小關(guān)系，即可得答案.【詳解】因為，故，即，又，即，故，即，即，故選：D38．已知a，b是兩個連續(xù)整數(shù)，若，則.（從“，，”這三個符號中選擇一個填空）【答案】【分析】先根據(jù)不等式求出，然后利用正弦函數(shù)單調(diào)性比較大小即可.【詳解】因為a，b是兩個連續(xù)整數(shù)，且，所以，因為函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以.故答案為：39．利用三角函數(shù)的單調(diào)性，比較下列各組數(shù)的大?。?1)，；(2)，．【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用正弦函數(shù)的單調(diào)性比較大小即可.（2）利用余弦函數(shù)的單調(diào)性比較大小即可.【詳解】（1）由于，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以．（2）由于，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以．重難點8求三角函數(shù)的對稱性40．函數(shù)的圖象的一條對稱軸是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】將各項對應自變量代入解析式求函數(shù)值，判斷是否成立即可.【詳解】時，不是對稱軸；時，不是對稱軸；時，是對稱軸；時，不是對稱軸；故選：C41．已知函數(shù)，，則“曲線關(guān)于直線對稱”是“曲線關(guān)于直線對稱”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】分別求出兩個函數(shù)的對稱軸的集合，利用兩個集合的關(guān)系即可判斷.【詳解】令，得，所以曲線關(guān)于直線對稱．令，得，所以曲線關(guān)于直線對稱．因為所以“曲線關(guān)于直線對稱”是“曲線關(guān)于直線對稱”的充分不必要條件．故選：42．（多選）函數(shù)具有性質(zhì)（

）A．最小正周期為 B．圖象關(guān)于點對稱C．圖象關(guān)于直線對稱 D．在區(qū)間是減函數(shù)【答案】ABD【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)一一判斷可得.【詳解】因為，所以函數(shù)的最小正周期，故A正確；因為，所以函數(shù)圖象關(guān)于點對稱，故B正確；又，所以函數(shù)圖象不關(guān)于直線對稱，故C錯誤；當，則，因為在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在區(qū)間是減函數(shù)，故D正確；故選：ABD43．（多選）已知函數(shù)（），下列結(jié)論錯誤的是（

）A．函數(shù)的最小正周期為B．函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱C．函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)D．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱【答案】BC【分析】根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)一一判斷即可.【詳解】因為，所以的最小正周期為，故A正確；當時，，的圖象不關(guān)于點對稱，故B錯誤；當時，，因為在上不單調(diào)，所以函數(shù)在區(qū)間上不是減函數(shù)，故C錯誤；當時，為最大值，的圖象關(guān)于對稱，故D正確．故選：BC．44．函數(shù)，的圖象的對稱中心的坐標是.【答案】，，.【分析】利用正弦型函數(shù)的對稱性可求得函數(shù)的對稱中心坐標，即可得解.【詳解】由可得，又，所以或或，所以函數(shù)的對稱中心為，，.故答案為：，，.重難點9求三角函數(shù)的值域45．設函數(shù)，.(1)求函數(shù)的最小正周期和對稱軸方程以及單調(diào)遞增區(qū)間；(2)求函數(shù)在區(qū)間上的最小值和最大值，并求出取最值時的值.【答案】(1)詳見解析；(2)詳見解析【分析】（1）利用三角函數(shù)周期定義即可求得函數(shù)的最小正周期，利用整體代換法即可求得函數(shù)的對稱軸方程以及單調(diào)遞增區(qū)間；（2）利用正弦函數(shù)圖像性質(zhì)和換元法即可求得函數(shù)在區(qū)間上的最小值和最大值，進而得到取最值時的值.【詳解】（1）的最小正周期為，由，可得，則的對稱軸為，由，可得，則的單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）由，可得，則，故函數(shù)在區(qū)間上的最小值為最大值為，當即時函數(shù)取得最小值為，當即時函數(shù)取得最大值為.46．已知函數(shù)，，若函數(shù)的值域為，則.【答案】/【分析】根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合整體思想即可得解.【詳解】因為，則，則，則，即，則.故答案為：.47．已知函數(shù).(1)求在區(qū)間上的最大值和最小值；(2)求在區(qū)間上的單調(diào)遞減區(qū)間.【答案】(1)最大值為，最小值為；(2)，.【分析】（1）根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合條件即得；（2）利用正弦函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合條件即得.【詳解】（1）由可得,，當?shù)眉磿r，函數(shù)取得最大值，當?shù)眉磿r，函數(shù)取得最小值，即在區(qū)間上的最大值為，最小值為；（2）∵時單調(diào)遞減，∴時單調(diào)遞減，當時，；當時，；∴的單調(diào)遞減區(qū)間是，.48．已知函數(shù)的最小正周期為．(1)求的值；(2)求函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間；(3)求在區(qū)間上的最值．【答案】(1)(2)(3)最小值為，最大值【分析】（1）先通過周期公式求出參數(shù),再求的值;（2）利用整體的思想令求解即可;（3）還是利用整體的思想,先算出的范圍，再求出的范圍，即可求得最值.【詳解】（1）因為函數(shù)的最小正周期為，所以，可得，則，（2），令解得則函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間.（3）因為，所以，可得，，所以在區(qū)間上的最小值為，最大值.49．（1）函數(shù)，的值域為；（2）函數(shù)的最大值是.【答案】【分析】（1）由的范圍可得的范圍，結(jié)合余弦函數(shù)性質(zhì)可求得結(jié)果；（2）令，將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于的二次函數(shù)最大值的求解問題，結(jié)合的范圍可求得結(jié)果.【詳解】（1）當時，，，，即的值域為；（2），；令，則，，則當時，，即的最大值為.故答案為：；.50．已知函數(shù)．(1)若，求實數(shù)的值；(2)求的最大值．【答案】(1)或(2)答案見解析【分析】（1）將條件代入運算可得解；（2）換元，令，，化為，分類討論求出的最大值.【詳解】（1）函數(shù)，所以整理得，解得或．（2）因為，設，則，化為，則為二次函數(shù)，開口向下，對稱軸為，所以當，即時，的最大值為；當，即時，的最大值為；當，即時，的最大值為；所以當時，的最大值；當時，的最大值為；當時，的最大值為．重難點10根據(jù)單調(diào)性求參數(shù)51．已知函數(shù)，其中.若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】若在區(qū)間上單調(diào)遞增，滿足兩條件：①區(qū)間的長度超過；②的整體范圍在余弦函數(shù)的增區(qū)間內(nèi)，取合適的整數(shù)k求出ω的取值范圍.【詳解】，∵函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，∴，∴，∵，∴，若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，解得，當時，，又因為，∴.故選：A52．已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的最大值為．【答案】【分析】求出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，再借助集合的包含關(guān)系，列式計算即得.【詳解】函數(shù)中，由，得，即函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，依題意，，則，解得，由，得，即，而，因此，所以的最大值為.故答案為：53．若是一個三角形的內(nèi)角，且函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，則的取值范圍是．【答案】【分析】由函數(shù)解析式求出含參單調(diào)區(qū)間，根據(jù)，結(jié)合角的范圍確定是那個單調(diào)區(qū)間的子區(qū)間，即可列不等式解除答案.【詳解】函數(shù)，令，解得：，令，解得：則的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞增函數(shù)，則，是一個三角形的內(nèi)角，，，，要使，只能令，得，且，此時，則，則，解得，是一個三角形的內(nèi)角，，若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞減函數(shù)，則，，，要使，只能令，得，且，此時，則，則，解得，與矛盾，函數(shù)在區(qū)間上是不能是單調(diào)遞減函數(shù)，綜上所述，，故答案為：.54．已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則取值范圍是.【答案】【分析】利用整體代入得方法得到的單調(diào)遞增區(qū)間，然后列不等式求解即可.【詳解】令，解得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，因為在上單調(diào)遞增，所以，解得，所以.故答案為：55．已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實數(shù)的取值范圍為