黃金卷07-【贏在高考·黃金8卷】備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)模擬卷（廣東專用）

【贏在高考·黃金8卷】備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)模擬卷（廣東專用）黃金卷07（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）第I卷（選擇題）一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的。1．滿足等式的集合X共有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】D【分析】根據(jù)方程的實數(shù)根可得集合，則，由集合的并集與元素的關(guān)系即可得符合條件的所有集合.【詳解】解：方程的實數(shù)根有，解集構(gòu)成的集合為，即，則符合該等式的集合為，，，，故這樣的集合共有4個.故選：D.2．已知單位向量，滿足，若向量，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)向量的數(shù)量積運算以及夾角的余弦公式，可得答案.【詳解】由單位向量，則，即，，.故選：B.3．已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】將改寫成的形式，利用誘導(dǎo)公式和二倍角公式即可求得結(jié)果.【詳解】由可得，，由二倍角公式可得；即故選：A4．現(xiàn)將六個字母排成一排，要求相鄰，且不相鄰，則不同的排列方式有（

）種．A．192 B．240 C．120 D．28【答案】A【分析】先求出相鄰時排列種數(shù)，再求出相鄰，且在中間時排列種數(shù)，兩種情況相減即可.【詳解】當(dāng)相鄰時，不同的排列方式有種，當(dāng)相鄰，且在中間時，不同的排列方式有種，則要求相鄰，且不相鄰，則不同的排列方式有種.故選：A.5．古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的“三角形數(shù)”是一列點（或圓球）在等距的排列下可以形成正三角形的數(shù)，如1，3，6，10，15，…，我國宋元時期數(shù)學(xué)家朱世杰在《四元玉鑒》中所記載的“垛積術(shù)”，其中的“落一形”錐垛就是每層為“三角形數(shù)”的三角錐的錐垛（如圖所示，頂上一層1個球，下一層3個球，再下一層6個球…），若一“落一形”三角錐垛有20層，則該錐垛球的總個數(shù)為（

）（參考公式：）A．1450 B．1490 C．1540 D．1580【答案】C【分析】根據(jù)已知條件及合情推理中的歸納推理，利用參考公式及等差數(shù)列前項和公式即可求解.【詳解】因為“三角形數(shù)”可以寫為所以第層“三角形數(shù)”為，所以層時，垛球的總個數(shù)為：，所以若一“落一形”三角錐垛有20層，則該錐垛球的總個數(shù)為.故選：C.6．設(shè)，，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)討論其單調(diào)性，利用單調(diào)性比較可得.【詳解】由題知，記，則易知在上單調(diào)遞減，所以，當(dāng)時，所以，在上單調(diào)遞減，故即又為增函數(shù)，所以.故選：B7．《九章算術(shù)》是我國古代著名的數(shù)學(xué)著作，書中記載有幾何體“芻甍”.現(xiàn)有一個芻甍如圖所示，底面為正方形，平面，四邊形，為兩個全等的等腰梯形，，且，則此芻甍的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，求出點到平面的距離，再由幾何體的結(jié)構(gòu)特征確定球心位置，結(jié)合球面的性質(zhì)求解作答.【詳解】取、中點、，正方形中心，中點，連接，根據(jù)題意可得平面，，點是的中點，，在等腰中，，，同理，則等腰梯形的高為，根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征可知，芻甍的外接球的球心在直線上，連接，正方體的外接圓的半徑，則有，而，，當(dāng)點在線段的延長線（含點）時，

視為非負(fù)數(shù)，若點在線段的延長線（不含點）時，

視為負(fù)數(shù)，即有，則，解得，則芻甍的外接球的半徑為，則芻甍的外接球的表面積為，故選：C.8．已知函數(shù)（且），若對任意，，則實數(shù)a的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】當(dāng)時，恒成立，利用圖象關(guān)系可得，且，求得.當(dāng)，恒成立，變形構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)判斷單調(diào)性，從而推出，進(jìn)一步得到，綜上得到.【詳解】當(dāng)時，，由圖可知，，此時若對任意，，只需，即，即.當(dāng)，，此時若對任意，，即，，所以只需.令，則，當(dāng)單調(diào)遞增，當(dāng)單調(diào)遞減，，.綜上，.故選:D.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目的要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。9．中國共產(chǎn)黨第二十次全國代表大會的報告中，一組組數(shù)據(jù)折射出新時代十年的非凡成就，數(shù)字的背后是無數(shù)的付出，更是開啟新征程的希望.二十大首場新聞發(fā)布會指出近十年我國居民生活水平進(jìn)一步提高，其中2017年全國居民恩格爾系數(shù)為29.39%，這是歷史上中國恩格爾系數(shù)首次跌破30%.恩格爾系數(shù)是由德國統(tǒng)計學(xué)家恩斯特·恩格爾提出的，計算公式是“恩格爾系數(shù)”.恩格爾系數(shù)是國際上通用的衡量居民生活水平高低的一項重要指標(biāo)，一般隨居民家庭收入和生活水平的提高而下降，恩格爾系數(shù)達(dá)60%以上為貧困，50%~60%為溫飽，40%~50%為小康，30%~40%為富裕，低于30%為最富裕.如圖是近十年我國農(nóng)村與城鎮(zhèn)居民的恩格爾系數(shù)折線圖，由圖可知（

）A．城鎮(zhèn)居民2015年開始進(jìn)入“最富?！彼紹．農(nóng)村居民恩格爾系數(shù)的平均數(shù)低于32%C．城鎮(zhèn)居民恩格爾系數(shù)的第45百分位數(shù)高于29%D．全國居民恩格爾系數(shù)等于農(nóng)村居民恩格爾系數(shù)和城鎮(zhèn)居民恩格爾系數(shù)的平均數(shù)【答案】AC【分析】根據(jù)折線統(tǒng)計圖一一分析即可.【詳解】解：對于A：從折線統(tǒng)計圖可知年開始城鎮(zhèn)居民的恩格爾系數(shù)均低于，即從2015年開始進(jìn)入“最富?！彼剑蔄正確；對于B：農(nóng)村居民恩格爾系數(shù)只有、、這三年在之間，其余年份均大于，且、這兩年大于（等于），故農(nóng)村居民恩格爾系數(shù)的平均數(shù)高于，故B錯誤；對于C：城鎮(zhèn)居民恩格爾系數(shù)從小到大排列（所對應(yīng)的年份）前位分別為、、、、，因為，所以第百分位數(shù)為第位，即年的恩格爾系數(shù)，由圖可知年的恩格爾系數(shù)高于，故C正確；對于D：由于無法確定農(nóng)村居民與城鎮(zhèn)居民的比例，顯然農(nóng)村居民占比要大于，故不能用農(nóng)村居民恩格爾系數(shù)和城鎮(zhèn)居民恩格爾系數(shù)的平均數(shù)作為全國居民恩格爾系數(shù)，故D錯誤；故選：AC10．已知直線：，：，圓C：，若圓C與直線，都相切，則下列選項一定正確的是（

）A．與關(guān)于直線對稱B．若圓C的圓心在x軸上，則圓C的半徑為3或9C．圓C的圓心在直線或直線上D．與兩坐標(biāo)軸都相切的圓C有且只有2個【答案】ACD【分析】對于A，將線關(guān)于線對稱轉(zhuǎn)化為點關(guān)于線對稱，利用點關(guān)于線對稱的解決辦法及點在直線上即可求解；對于B，根據(jù)已知條件設(shè)出圓心，利用直線與圓的相切的條件及點到直線的距離公式即可求解；對于C，利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程得出圓心和半徑，利用直線與圓的相切的條件及點到直線的距離公式，結(jié)合點在直線上即可求解；對于D，根據(jù)已知條件及選項C的結(jié)論，利用點到坐標(biāo)軸的距離公式及半徑的定義，結(jié)合點在直線上即可求解.【詳解】對于A，設(shè)直線：上任意一點關(guān)于直線對稱的點為，則，解得，所以點在直線：上，所以與關(guān)于直線對稱，故A正確；對于B，因為圓C的圓心在x軸上，設(shè)圓心為，因為圓C與直線，都相切，所以，解得或，當(dāng)時，；當(dāng)時，，故B錯誤；對于C，由圓C：，得圓心為，半徑為，因為圓C與直線，都相切，所以，解得或，所以圓心在直線或直線上，故C正確；對于D，由圓C：，得圓心為，半徑為，因為圓與兩坐標(biāo)軸都相切，得圓心到軸的距離為，到軸的距離為，所以且，即，解得或，當(dāng)時，由題意可知，解得或，當(dāng)時，此時不滿足，所以與兩坐標(biāo)軸都相切的圓C有且只有2個，故D正確.故選：ACD.11．已知函數(shù)，則下列選項正確的有（

）A．函數(shù)極小值為1B．函數(shù)在上單調(diào)遞增C．當(dāng)時，函數(shù)的最大值為D．當(dāng)時，方程恰有3個不等實根【答案】AC【分析】求導(dǎo)得，分析的單調(diào)性，進(jìn)而可得極大值、極小值與最值，即可判斷ABC是否正確；作出的圖象，結(jié)合圖象即可判斷D是否正確.【詳解】對于AB：，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，所以的極大值為，的極小值為，故A正確，B錯誤；對于C：由函數(shù)單調(diào)性知，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上遞增，且，，故函數(shù)的最大值為，故C正確；對于D：當(dāng)時，，時，，且的極大值為，的極小值為，由上述分析可知，的圖象為：由圖象可得當(dāng)或時，有1個實數(shù)根，當(dāng)或時，有2個實數(shù)根，當(dāng)時，有3個實數(shù)根，故D錯誤.故選：AC.12．近年來，納米晶的多項技術(shù)和方法在水軟化領(lǐng)域均有重要應(yīng)用.納米晶體結(jié)構(gòu)眾多，下圖是一種納米晶的結(jié)構(gòu)示意圖，其是由正四面體沿棱的三等分點作平行于底面的截面得到所有棱長均為n的幾何體，則下列說法正確的有（

）A．該結(jié)構(gòu)的納米晶個體的表面積為B．該結(jié)構(gòu)的納米晶個體的體積為C．該結(jié)構(gòu)的納米晶個體外接球的表面積為D．二面角A1?A2A3?B3的余弦值為【答案】ABD【分析】對于A：該幾何體是由4個正三角形和4個正六邊形構(gòu)成，代公式計算即可.對于B：棱長為a的正四面體的高為，根據(jù)割補(bǔ)法代公式計算.對于C：設(shè)外接球球心為O，三角形的中心為，正六邊形的中心為，則O在上，計算可得；對于D：二面角是原正四面體側(cè)面和底面成角的補(bǔ)角，計算可得.【詳解】對于A：該幾何體是由4個正三角形和4個正六邊形構(gòu)成，所以表面積，故A正確；對于B：棱長為a的正四面體的高為，所以，故B正確；對于C：設(shè)外接球球心為O，三角形的中心為，正六邊形的中心為，則O在上，幾何體上下底面距離為，可得，計算整理得，因此該幾何體的外接球表面積為，故C錯誤；對于D：二面角為是原正四面體側(cè)面和底面成角的補(bǔ)角，如圖，過正四面體的頂點作平面于點，易知為的中心，延長交于點，則為的中點，連接，設(shè)正四面體的棱長為2，則，所以，，因為平面，所以，又，，所以平面，平面，所以，所以即為所求側(cè)面與底面所成二面角的平面角，在中，，所以側(cè)面與底面所成二面角的平面角的余弦值為，所以二面角A1?A2A3?B3的余弦值為，故D正確.故選：ABD.第II卷（非選擇題）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在的展開式中，的系數(shù)為．【答案】【分析】原多項式中寫出含的項，然后再從中寫出含的項，即可得含的系數(shù).【詳解】由含的項中對應(yīng)的指數(shù)分別為，所以，對于中含的項為，所以含的系數(shù)是.故答案為：.14．定義開區(qū)間的長度為．經(jīng)過估算，函數(shù)的零點屬于開區(qū)間（只要求寫出一個符合條件，且長度不超過的開區(qū)間）．【答案】（不唯一）【分析】利用函數(shù)的零點存在定理求解.【詳解】解：因為都是減函數(shù)，所以是減函數(shù)，又，即，所以函數(shù)在上有零點，且，故答案為（不唯一）15．如圖，曲柄連桿機(jī)構(gòu)中，曲柄CB繞C點旋轉(zhuǎn)時，通過連桿AB的傳遞，活塞做直線往復(fù)運動.當(dāng)曲柄在CB0位置時，曲柄和連桿成一條直線，連桿的端點A在A0處.設(shè)連桿AB長200，曲柄CB長70，則曲柄自CB0按順時針方向旋轉(zhuǎn)53.2°時，活塞移動的距離（即連桿的端點A移動的距離A0A）約為.（結(jié)果保留整數(shù)）（參考數(shù)據(jù)：sin53.2°≈0.8）【答案】36【分析】在中，利用正弦定理求出，再求出，，再利用兩角和的正弦公式可求出，再利用正弦定理可求出，從而可求得答案【詳解】如圖，在中，，，，，由正弦定理，，∵，∴，故為銳角，∴，∴，所以，故.故曲柄按順時針方向旋轉(zhuǎn)時活塞移動的距離約為36mm.故答案為：3616．已知直線與雙曲線交于A，B兩點（A在B的上方），A為BD的中點，過點A作直線與y軸垂直且交于點E，若的內(nèi)心到y(tǒng)軸的距離不小于，則雙曲線C的離心率取值范圍是.【答案】【分析】先求得的坐標(biāo)，根據(jù)三角形的內(nèi)心以及角平分線定理以及的內(nèi)心到軸的距離的范圍，求得的取值范圍，進(jìn)而求得離心率的取值范圍.【詳解】因為A在B的上方，且這兩點都在C上，所以，，則.因為A是線段BD的中點，又軸，所以，，所以的內(nèi)心G在線段EA上.因為DG平分，所以在中所以，設(shè)，所以，因為G到y(tǒng)軸的距離不小于，∴，∴.∴，故.故答案為：四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及驗算步驟。17．如圖，在中，D是邊上的一點，，．(1)證明：；(2)若D為靠近B的三等分點，，，，為鈍角，求．【分析】（1）在和中分別用正弦定理表示出，相比即可證明結(jié)論；（2）利用（1）的結(jié)論可求得，繼而由余弦定理求得的長，即可得長，從而求得的長，即可求得答案.【詳解】（1）證明：在中，，在中，,由于,故，所以.（2）因為，故，由為鈍角，故為銳角，又，且D為靠近B的三等分點，，，故，故,故，則,故.18．已知公差不為0的等差數(shù)列中，，是和的等比中項.(1)求數(shù)列的通項公式：(2)保持?jǐn)?shù)列中各項先后順序不變，在與之間插入，使它們和原數(shù)列的項構(gòu)成一個新的數(shù)列，記的前項和為，求的值.【分析】（1）公式法解決即可；（2）與（，2，…）之間插入，說明在數(shù)列中有10項來自，10項來自，分組求和即可.【詳解】（1）設(shè)數(shù)列的公差為，因為是和的等比中項，所以，即，因為所以或（舍）所以，所以通項公式（2）由（1）得，因為與（）之間插入，所以在數(shù)列中有10項來自，10項來自，所以19．如圖所示，三棱錐，BC為圓O的直徑，A是弧上異于B、C的點.點D在直線AC上，平面PAB，E為PC的中點.(1)求證：平面PAB；(2)若，求平面PAB與平面PBC夾角的余弦值.【分析】（1）由已知可推出，進(jìn)而得出D為AC中點，證得，即可根據(jù)線面平行的判定定理；（2）先證明平面.方法一：以點為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系，寫出各點的坐標(biāo)，求出平面PAB與平面PBC的法向量，進(jìn)而根據(jù)向量法求出夾角即可；方法二：以點為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系，寫出各點的坐標(biāo)，求出平面PAB與平面PBC的法向量，進(jìn)而根據(jù)向量法求出夾角即可.【詳解】（1）因為平面PAB，平面平面，平面CAB所以.又O為BC中點，所以D為AC中點.又E為PC中點，所以，因為平面，平面，所以平面.（2）如圖1，取的中點F，連結(jié)PF、AF.由已知底面在半圓O上，BC為圓O的直徑，可得.因為所以，所以.又，則有，所以，.則有，，，所以，，，又，平面，平面.所以平面.法一：如圖2建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.由，，可得.，，，，，.所以，，.設(shè)為平面PAB的一個法向量，則，

令，則，，則.設(shè)為平面PBC的一個法向量，則，令，則，，則.設(shè)平面PAB與平面PBC的夾角為，則.法二：如圖3，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.因為，則，，，，，所以，，.設(shè)為平面PAB的一個法向量，則，令，則，，則.設(shè)為平面PBC的一個法向量，則，令，則，，則.設(shè)平面PAB與平面PBC的夾角為，則.20．學(xué)校舉辦學(xué)生與智能機(jī)器人的圍棋比賽，現(xiàn)有來自兩個班的學(xué)生報名表，分別裝入兩袋，第一袋有5名男生和4名女生的報名表，第二袋有6名男生和5名女生的報名表，現(xiàn)隨機(jī)選擇一袋，然后從中隨機(jī)抽取2名學(xué)生，讓他們參加比賽.(1)求恰好抽到一名男生和一名女生的概率；(2)比賽記分規(guī)則如下：在一輪比賽中，兩人同時贏積2分，一贏一輸積0分，兩人同時輸積分.現(xiàn)抽中甲、乙兩位同學(xué)，每輪比賽甲贏概率為，乙贏概率為，比賽共進(jìn)行二輪.（i）在一輪比賽中，求這兩名學(xué)生得分的分布列；（ii）在兩輪比賽中，求這兩名學(xué)生得分的分布列和均值.【分析】（1）設(shè)“抽到第一袋”，“抽到第二袋”，B＝“隨機(jī)抽取2張，恰好抽到一名男生和一名女生的報名表”，由條件概率公式結(jié)合全概率公式求解；（2）（i）的可能取值為－2，0，2，計算出相應(yīng)概率，即得分布列；（ii）的可能取值為－4，－2，0，2，4，計算出相應(yīng)概率，即得分布列和均值；【詳解】（1）設(shè)“抽到第一袋”，“抽到第二袋”，B＝“隨機(jī)抽取2張，恰好抽到一名男生和一名女生的報名表”由全概率公式得（2）（i）設(shè)在一輪比賽中得分為，則的可能取值為－2，0，2，則得分為的分布列用表格表示－202P（ii）設(shè)在二輪比賽中得分為，則的可能取值為－4，－2，0，2，4，則得分為的分布列用表格表示為－4－2024P21．已知橢圓，直線l：與橢圓交于兩點，且點位于第一象限.(1)若點是橢圓的右頂點，當(dāng)時，證明：直線和的斜率之積為定值；(2)當(dāng)直線過橢圓的右焦點時，軸上是否存在定點，使點到直線的距離與點到直線的距離相等？若存在，求出點的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.【分析】(1)聯(lián)立直線方程和橢圓方程得，由韋達(dá)定理可得的關(guān)系，再由計算即可得證；(2)由題意可得直線的方程為，聯(lián)立直線方程與橢圓方程得，由韋達(dá)定理之間的關(guān)系，假設(shè)存在滿足題意的點，設(shè)，由題意可得.代入計算，如果有解，則存在，否則不存在.【詳解】（1）證明：因為，所以直線l：，聯(lián)