2020-2021學(xué)年浙江省寧波市高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷人教A版

點(diǎn)均在球。的表面上，則球。的表面積是（）

2020-2021學(xué)年浙江省寧波市高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題：本大題共10小題，每小題3分，共30分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一項(xiàng)是符合題目要A.8a7TB.47r學(xué)D.87r

求的.

1.直線C與平面a不平行，則（）8.把平面圖形M上的所有點(diǎn)在一個(gè)平面上的射影構(gòu)成的圖形“叫作圖形M在這個(gè)平面上的射影.如圖，在長(zhǎng)

A.e與a相交B.eca方體48co—￡TGH中，48=5,AD=4,AE=3,則△E8。在平面E8C上的射影的面積是（）

C.e與a相交或euaD.以上結(jié)論都不對(duì)

2.已知a,b,c是三條直線，a,0,y是三個(gè)平面，下列命題正確的是（）

A.若?！╝,b〃B，a//p,則a〃bB.若a1y,貝明〃y

C.若buB，bla,則a10D.若bua,c//a,貝加〃c

A.2V34B.yC.10D.30

3.橢圓的?個(gè)頂點(diǎn)與其兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形，則橢圓的離心率為（）

9.如圖所示，橢圓2+?=l（a>2）的左、右焦點(diǎn)分別為后，尸2,過(guò)Fi的直線交橢圓于“，N兩點(diǎn),交y軸于

4忌吟點(diǎn)H,若Fi，，是線段MN的三等分點(diǎn)，則AFZMN的周長(zhǎng)為（）

4.橢圓5M+ky2=5的一個(gè)焦點(diǎn)是（0,2）,那么k等于（）

A.-lB.lC.y/5D.-V5

A.20B.10C.2遙D.4V5

5.在正四校柱48。。一4]8傳[。]中，AAt=4,AB=2,點(diǎn)E,F分別為校8當(dāng)，上兩點(diǎn)，且8￡*=：8當(dāng)，

CF=1CC則（）

V10.如圖，在長(zhǎng)方形4BCD中，AD<CD,現(xiàn)將△ACD沿“折至△力C%使得二面角4-CD1-B為銳二面角,

設(shè)直線4D1與直線BC所成角的大小為a,直線BDi與平面ABC所成角的大小為0,二面角A-CD1-B的大小

A.D〔E工力F,且直線Z\E,HF異面

為y,則a,。,y的大小關(guān)系是（）

B.DiE工力F,且直線D】E,人尸相交

C.D1E=AF,且直線D]E,力/異面

DDiE=HF,且直線DiE,AF相交

A.a>p>yB.a>y>/?C.y>a>pD.不能確定

6.已知橢圓9+?=1的右焦點(diǎn)為F，P是橢圓上一點(diǎn)，點(diǎn)4（0,2遙），當(dāng)△4PF周長(zhǎng)最大時(shí)，直線4P的方程二、填空題：本大題共7小題，其中雙空題每小題4分，單空題每小題4分，共25分.

為（）

已知橢圓C的焦點(diǎn)在%軸上，它的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4,焦距為2,則橢圓C的短軸長(zhǎng)為.標(biāo)準(zhǔn)方程為

A.y=-yx+2bB.y*x+26C.y=-\f3x+26D.y=伍+26

一圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為20cm,母線與軸的夾角為30。，上底面半徑為15cm,則下底面半徑為,圓臺(tái)的

7.在四面體力BCD中，4D1底面力BC,AC=1,AB=\/3,且4847=90。，AD=2,若該四面體力BCD的頂高為?

（2）若直線1與橢圓C交于P,Q兩點(diǎn)，且OP1OQ,。為坐標(biāo)系原點(diǎn)，求直線2的方程.

某幾何體的-?.視圖如圖所示，則該幾何體的底面的面積為，體積為.

如圖所示，在直三棱柱A8C-A]BiG中，△ABC是邊長(zhǎng)為6的等邊：角形，0,E分別為力%,8c的中點(diǎn).

4】

（1）證明：AE〃平面8DQ；

MS

（2）若CG=20求與平面4CG4所成角的正弦值.

已知直三棱柱48。一%3￡中，乙4BC=90。，AB=2,BC=Cg=l,則異面直線力反與BC】所成角的正

弦值為.

如圖所示，在多面體48。。￡中，DE//AB,ACLBC,平面DAC_L平而48C,BC=2AC=4,AB=2DE,

DA=DC,點(diǎn)F為8C的中點(diǎn).

橢圓如2+叮2=1與直線工+”1=0相交于48兩點(diǎn)，C是線段A8的中點(diǎn)，若|48|=2a0C的斜率為

2,則m—n=,離心率e=.

過(guò)橢圓C：5+A=1（Q>匕>0）的右焦點(diǎn)作比軸的垂線，交橢圓C于48兩點(diǎn)，直線1過(guò)。的左焦點(diǎn)和上頂

點(diǎn)，若以力B為直徑的圓與，存在公共點(diǎn)，則橢圓C的離心率的取值范圍是.

（1）證明：EF1平面ABC：

在四樓錐P-/18CD中，四邊形4BCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，Z.DAB=6Q°,PA=PD,z.APD=9Q°,平面PAD1

平面ABCD,Q點(diǎn)是aPBC內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（含邊界），且滿足DQ14C,則Q點(diǎn)所形成的軌跡長(zhǎng)度是.

（2）若直線BE與平面ABC所成的角為60。，求平面。CE與平面ADC所成的銳二面角的正弦值.

三、解答題：本大題共5小題，共45分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.

已知橢圓的中心在原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為生（-710）,且右頂點(diǎn)為。（2,0）.設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)是（1,}22

C：彳小l（a>b>0）1

（1）求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓ab的離心率為2且過(guò)點(diǎn)

（0,V3）,

（2）若P是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，求線段24的中點(diǎn)M的軌跡方程.

已知橢圓。：軌2+丫2=1及直線|：丫=%+加，771€/?.

（1）當(dāng)m為何值時(shí)，直線]與橢圓C有公共點(diǎn)：

第3頁(yè)共24頁(yè)第4頁(yè)共24頁(yè)

(1)求橢圓C的方程;

(2)已知ABMN是橢圓C的內(nèi)接三角形，

①若點(diǎn)B為橢圓C的上頂點(diǎn)，原點(diǎn)。為的垂心，求線段MN的長(zhǎng):

②若原點(diǎn)。為△BMN的重心，求原點(diǎn)。到直線MN距離的最小值.

【解答】

解：根據(jù)題意，橢圓短軸的端點(diǎn)與其兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形

參考答案與試題解析

設(shè)橢圓的方程為臥普=l(a>b>0)

2020-2021學(xué)年浙江省寧波市高二(上)期中數(shù)學(xué)試卷可得橢圓的短軸的頂點(diǎn)為(0,士b),焦點(diǎn)坐標(biāo)為(±c,0),其中c=VaZ-/>2

橢圓的短軸的端點(diǎn)與其兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形，

一、選擇題：本大題共10小題，每小題3分，共30分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一項(xiàng)是符合題目要

b=y/3c,可得，a?—d-y/3c,平方化簡(jiǎn)得a=2c

求的.

1.因此該橢圓的離心率e=￡=；

a2

【答案】

4.

C

【考點(diǎn)】【答案】

空間中直線與平面之間的位置關(guān)系B

【解析】【考點(diǎn)】

題目給出了空間中的直線，與一個(gè)平面a的關(guān)系是不平行.因?yàn)榭臻g中直線和平面的位置關(guān)系有三種，現(xiàn)在已橢圓的定義

經(jīng)排除了平行這種情況，所以直線e與平面a的位置關(guān)系只有滿足其它兩種位置關(guān)系中的一種，至于是哪一【解析】

種不確定.2

把橢圓5/+ky=5的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，得到c2的值等于4,解方程求出k.

【解答】【解答】

解：因?yàn)榭臻g中直線和平面的位置關(guān)系有三種，即直線和平面平行、直線和平而相交及直線在平面內(nèi)，解：橢圓5爐+組2=5,

因直線e與平面a不平行，所以直線e與平面a的位置關(guān)系是：直線e與平面a相交或，Ua.

即X2+4=1*

故選Ck

2.焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,2),c2=4,

【答案】

C

【考點(diǎn)】k=1,

故選B.

空間中直線與平面之間的位置關(guān)系

空間中直線與直線之間的位置關(guān)系5.

【答案】

命題的真假判斷與應(yīng)用

A

【解析】【考點(diǎn)】

對(duì)于A,a與b相交、平行或異面；對(duì)于B,6與y相交或平行：對(duì)于C,由面面垂宜的性質(zhì)定理得a10：對(duì)■于異面直線的判定

D,b與c平行或異面.【解析】

【解答】作圖，通過(guò)計(jì)算可知,力/取點(diǎn)M為BC的中點(diǎn)，則/IMF。1共面，顯然點(diǎn)E不在面4MFD］內(nèi)，由此直線

由a,b,c是三條直線，a,B，y是三個(gè)平面，知：DiE,4F異面.

對(duì)于4,若。〃。，b〃氏a〃￡,則a與b相交、平行或異面，故A錯(cuò)誤：【解答】

對(duì)于8,若aly,則夕與y相交或平行，故8錯(cuò)誤；

對(duì)于C,若bu0,bla,則由面面垂直的性質(zhì)定理得a_L/?,故C正確：DyE=小D1B：+BF=E,AF=7AC?+CF2=gH

對(duì)于0.若bua,c//a,則從與c平行或異面，故0錯(cuò)誤.如圖,取點(diǎn)M為BC的中點(diǎn)，則ADi〃MF,

3.故AMFDi共面，點(diǎn)E在面4M尸。1面外，

【答案】故直線DiE,4/異面.

C6.

【考點(diǎn)】【答案】

橢圓的定義D

【解析】【考點(diǎn)】

根據(jù)題意，橢圓短軸的端點(diǎn)與其兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形.以焦點(diǎn)在工軸的橢圓為例，設(shè)出方程并根據(jù)等邊橢圓的離心率

三角形的性質(zhì)建立關(guān)于Q、仄C的等式，化簡(jiǎn)并利用橢圓的性質(zhì)即可算出此橢圓的離心率.【解析】

第7頁(yè)共24頁(yè)第8頁(yè)共24頁(yè)

如圖所示，設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為F',根據(jù)橢圓的定義|PF|+|PF'|=2a=6,利用|PA|-|PFl￡|AF'|,即可得【解析】

出當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)A,F',P共線時(shí)取等號(hào)，即可求得AP的方程.如圖所示，4EBD在平面EBC上的射影為△0E8,即可求出結(jié)論.

【解答】【解答】

如圖所示，△EBD在平面EBC上的射影為△OEB,

面積為:x125+9x4=2V34,

9.

【答案】

D

【考點(diǎn)】

b=?c=2,如圖所示設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為橢圓中的平面幾何問(wèn)題

橢圓的定義

廠(-2,0),

【解析】

\AF\=卜+(275)2=4=\AF'\,

連接HF2,由橢圓的對(duì)稱性，可得=HN=H七，推出4HF/2=乙”尸2&,乙HF?N=AHNF?,由三角形

則|Pr|+\PF'\=2a=6,?/\PA\-\PF'\<\AF'\,內(nèi)角和定理可得NF2_LF】F2,推出N點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，推出M點(diǎn)的坐標(biāo)，代入橢圓的方程：

△4PF的周長(zhǎng)=尸|+\PA\+\PF\=\AF\+|P川+6一|P/|W4+6+4=14,當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)4,F1,P笄+9=1,解得必進(jìn)而可得出結(jié)論.

共線時(shí)取等號(hào).

【解答】

則直線AP的方程：泰一：=1，整理得￥=伍+26,

解：因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在弁軸上，且H是線段MN的三等分點(diǎn)，

7.則“為NF1的中點(diǎn)，連接HF?,

【答案】

D

【考點(diǎn)】

球的表面積和體積

球內(nèi)接多面體

棱錐的結(jié)構(gòu)特征

【解析】

容易確定48,AC,4。兩兩垂宜，再結(jié)合長(zhǎng)方體外接球宜徑為其體對(duì)角線長(zhǎng)，即可得解.

由橢圓的對(duì)稱性，可得HF】=HN=HF2，

【解答】

所以乙“尸1尸2二乙"尸2月，

解：1--ABAC=90°,Z.HF2N=Z.HNF2.

在4NF1七中，乙HFd?+乙HNF2+^.HFF+Z.HFN=180°,

：.AB1AC,212

所以4HF2F1+MHFzN=90°,即

乂AD1平面ABC,

ADLAB,AD1AC,設(shè)N(c,?),即N(C,3，

則球。的直徑為其體對(duì)角線長(zhǎng)，即球。的直徑為：

過(guò)點(diǎn)M作MG1F/2，垂足為G,

Jl2+(V3)2+22=2V2,

可得AMGR~ANF28,相似比為1:2,

則球。的半徑為r=V2,根據(jù)相似-：角形的性質(zhì)，M(-2c,-%

故球0的表面積為：47rx(>/2)2=87r.

故選。.將點(diǎn)M坐標(biāo)代入橢圓的方程：W+9=1，

8.

由c?=a2—b2=a2—4,

【答案】解得/=5,

A所以△F2MN的周長(zhǎng)4a=4V5.

【考點(diǎn)】故選D.

平行投影及平行投影作圖法10.

【答案】

則R-r=/sin30°=20x：=10,

B

【考點(diǎn)】所以底面圓的半徑為R=15+10=25(crn).

二面角的平面角及求法【答案】

【解析】2,4

運(yùn)用極限思想，假設(shè)CD邊長(zhǎng)-+8,AD=1,依題意，假設(shè)CD邊長(zhǎng)-+8,AD=1,而二面角y大于線面角【考點(diǎn)】

0,綜合即可得到答案.由三視圖求體積

【解答】【解析】

首先把三視圖轉(zhuǎn)換為幾何體的直觀圖，進(jìn)?步求出幾何體的底面積和體積.

假設(shè)C0邊長(zhǎng)t+8,AD=1,此時(shí)，只要將△4CD沿折起?點(diǎn)點(diǎn)，不難發(fā)現(xiàn)，OT],”0,y->0,

【解答】

但是0是線面角，y是二面角，一面角在折的過(guò)程中，兩個(gè)面的影響程度大于線面角，根據(jù)兒何體的T視圖轉(zhuǎn)換為宜觀圖為：該幾何體為底面為矩形高為2的平行六面體.

所以y>￡,即a>y>0.如圖所示：

二、填空題：本大題共7小題，其中雙空題每小題4分，單空題每小題4分，共25分.

【答案】

2魚(yú)分91

【考點(diǎn)】

橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

橢圓的離心率

所以該幾何體的底面積為：2x1=2,

【解析】

幾何體的體積為：2x1x2=4.

根據(jù)題意可得2a=4,2c=2,b2=a2-c2,解得a,c,b,進(jìn)而得短軸長(zhǎng)，橢圓的方程.

故答案為：2；4.

【解答】

【答案】

因?yàn)殚L(zhǎng)軸長(zhǎng)為4,焦距為2,

所以2a=4,2c=2,3V10

解得a=2,c=1,10

【考點(diǎn)】

所以爐=a2-c2=22—I2=3>b=V3.

異面直線及其所成的角

短軸長(zhǎng)為2力=2>/3,

【解析】

所以橢圓的方程為9+9=1，連接&C,交BG于點(diǎn)0,取力C的中點(diǎn)。，連接OD,易知乙BOD或其補(bǔ)角即為所求，再在中，由余弦定

理，即可得解.

【答案】

【解答】

25cm,1073cm

連接BiC,交BC〔于點(diǎn)0,則。為BG的中點(diǎn)，取AC的中點(diǎn)。，連接。D,

【考點(diǎn)】

旋轉(zhuǎn)體(圓柱、圓錐、圓臺(tái))

OD//AB1,OD==y,

【解析】

」?乙80?；蚱溲a(bǔ)角即為異面直線AB】與BG所成角，

根據(jù)題意畫(huà)出圖形，結(jié)合圖形求出圓臺(tái)的高和下底面圓的半徑.

【解答】在AOBD中，BD="C=冬OB=加1=凈

由余弦定理知，coszFOD=OB2+OD2-BD2=

sinzFOD=—,

10

異面直線481與8G所成角的正弦值為甯.

圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為/=20cm,母線與軸的夾角為30。，上底面的半徑為r=15cm,

所以圓臺(tái)的高為力=18s30。=20x曰=10怖(cm),

第11頁(yè)共24頁(yè)第12頁(yè)共24頁(yè)

Bl

【答案】

（0,芻

【考點(diǎn)】

橢圓的離心率

【解析】

由題意可得直線48的方程，代入橢圓的方程可得弦長(zhǎng)48的值，進(jìn)而求出以48為宜徑的圓的方程，由題意再

3\f2求直線，的方程，求出圓心到宜線1的距離d,進(jìn)?步求出離心率的范圍.

【解答】

【考點(diǎn)】

由題意可得直線48的方程為x=c,代入橢圓的方程可得好=捺，

橢圓的崗心率

【解析】

所以以4B為直徑的圓的方程為（翼-c）2+V=去

設(shè)4（勺,%）,8。2，力），聯(lián)立橢圓與直線的方程，消掉y得關(guān)于元的一元二次方，結(jié)合韋達(dá)定理可得

由題意的方程可得左焦點(diǎn)的坐標(biāo)為（-G0）,上頂點(diǎn)坐標(biāo)（01）,

勺+小，/工2，%+y2，由弦長(zhǎng)公式可得+層+3mn-m-n=0①，由0C的斜率為2,得：=2,代入

所以直線，的方程為=+5=1，即》工一。+加=0,

①，解得n,m,即可得m—九，離心率e.

【解答】若以48為直徑的圓與1存在公共點(diǎn)，則圓心到直線的距離d<r,

設(shè)4（右，%），8。2，月），

22

聯(lián)立橢圓與直線的方程[m.+ny=1整理可得（巾+n）x-2nx+n-