遼寧省朝陽市部分學(xué)校2024屆高三上學(xué)期12月考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

PAGEPAGE1遼寧省朝陽市部分學(xué)校2024屆高三上學(xué)期12月考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題1.復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限〖答案〗D〖解析〗由題意可得：，所以該復(fù)數(shù)對應(yīng)的點為，該點在第四象限.故選：D.2.設(shè)集合，，則集合中元素的個數(shù)為（）A.2 B.5 C.6 D.7〖答案〗D〖解析〗，因為所以a，，所以，所以，所以集合中元素的個數(shù)為7.故選：D.3.在梯形ABCD中，，，則（）A.5 B.6 C.－5 D.－6〖答案〗B〖解析〗因為，所以.所以.故選：B.4.若，，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因為，，所以，，所以.故選：C.5.函數(shù)在上單調(diào)遞減,且為奇函數(shù).若,則滿足的x的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由為奇函數(shù)，得，所以不等式等價于.又因為在上單調(diào)遞減，所以，即.故選：A.6.某中學(xué)的募捐小組暑假期間走上街頭進(jìn)行了一次募捐活動，共收到了5000元.他們第1天只收到了20元，從第2天起，每一天收到的捐款都比前一天多15元，這次募捐活動一共進(jìn)行了（）A.20天 B.25天 C.30天 D.35天〖答案〗B〖解析〗由題意可知，每一天收到的捐款成等差數(shù)列，首項為20，公差為15，設(shè)這次募捐活動一共進(jìn)行了n天，則，得（負(fù)值舍去）.故選：B.7.設(shè)的小數(shù)部分為x，則（）A.1 B.2 C.3 D.4〖答案〗B〖解析〗由，得的整數(shù)部分為4，則，所以，即，故.故選:B8.在四面體PABC中，AP，AB，AC兩兩垂直，，若四面體PABC內(nèi)切球的半徑不小于，則AC的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗取棱中點，記為.由題意得：，，.因為，平面，平面.所以平面.則.設(shè)，四面體PABC內(nèi)切球的半徑為.因為AP，AB，AC兩兩垂直，.，則，.所以在中，，.則的面積為，因為.所以四面體PABC內(nèi)切球的半徑.因為是關(guān)于的增函數(shù)，，所以的解集為.故選：D.二、選擇題9.已知函數(shù)，則（）A.只有1個零點B.直線與曲線有唯一公共點C.恰有2個零點D.曲線與圓相切〖答案〗ABD〖解析〗令，得，則的圖象為半圓，如圖所示，令，解得，由圖可知，只有1個零點，A正確，C錯誤；聯(lián)立與，消去并整理得，解得（舍去），由圖可知直線與圓的上半部分只有一個交點，B正確；半圓與圓的圓心、半徑分別為，所以圓心距，即圓心距等于半徑之和，由圖可知曲線與圓外切，D正確.故選：ABD.10.在正四棱臺中，，，則（）A.該正四棱臺的體積為B.直線與底面所成的角為60°C.線段的長為D.以為球心，且表面積為的球與底面相切〖答案〗BCD〖解析〗連接，，過作，垂足為.因為，，所以，，所以，，所以該正四棱臺的體積，A錯誤.直線與底面所成的角為，由，所以，B正確.，C正確.設(shè)以為球心，且表面積為的球的半徑為，則，解得，所以以為球心，且表面積為的球與底面相切，D正確.故選：BCD.11.已知函數(shù)，則（）A.一個周期為B.的圖象關(guān)于點對稱C.的圖象關(guān)于直線對稱D.在上單調(diào)遞增〖答案〗BD〖解析〗，故A錯誤；，故B正確；，故C錯誤；，因為，則，可知，所以，故D正確.故選：BD.12.已知雙曲線C：的右焦點為F，過點F作C的一條漸近線的垂線，垂足為A，該垂線與另一條漸近線的交點為B，若，則C的離心率e可能為（）A. B. C. D.〖答案〗BD〖解析〗不妨設(shè)C的一條漸近線的方程為，依題意，直線的斜率為，且，，則：，設(shè)，聯(lián)立，可得，,設(shè)，聯(lián)立，可得，，因為，即，化簡得，又，當(dāng)時，，即，當(dāng)時，，即，所以或.故選：BD..三、填空題13.國家射擊運動員甲在某次訓(xùn)練中的5次射擊成績（單位：環(huán)）為9，6，m，10，8，其中m為整數(shù)，若這5次射擊成績的第40百分位數(shù)為8，則______.〖答案〗8〖解析〗因為，所以將成績從小到大排列，第40百分位數(shù)是第二個成績和第三個成績的平均數(shù).所以，解得.故〖答案〗為：814.設(shè)函數(shù)的圖象在點處的切線為，則的斜率的最小值為______，此時______.〖答案〗－8〖解析〗因為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立.所以的斜率的最小值為－8，此時.故〖答案〗為：－8；.15.已知，是橢圓C兩個焦點，若C上存在一點P滿足，則C的短軸長與長軸長的比值的取值范圍是______.〖答案〗〖解析〗因為，所以，所以，則，則.故〖答案〗為：.16.已知函數(shù)，若不等式對恒成立，則的取值范圍是________.〖答案〗〖解析〗因為，所以圖象的對稱軸為直線，則的最小值為.不等式對恒成立等價于，.因為在上單調(diào)遞增，所以，則，解得，故的取值范圍是.故〖答案〗為：.四、解答題17.如圖所示，在三棱錐中，，直線兩兩垂直，點分別為棱的中點.（1）證明：平面；（2）求平面與平面所成角的余弦值.（1）證明：因為點分別為棱的中點，所以.又平面，平面，且，所以平面ADE.（2）解：以為原點，所在直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)，則，，，得，.設(shè)平面的法向量為，則取，則，，即.由平面，得平面的一個法向量為，所以平面與平面所成角的余弦值為.18.在中，內(nèi)角、、的對邊分別為、、，已知.（1）求；（2）已知，當(dāng)取得最大值時，求的面積.（1）解：由正弦定理以及，可得，則，則，所以，即，所以，即.（2）解：由余弦定理可得，當(dāng)且僅當(dāng)時，即當(dāng)時，等號成立，所以，則的最大值為，此時，所以的面積為.19.（1）圖1與圖2是一個串、并聯(lián)電路的示意圖，若電路中的組件是獨立工作的組件，它們正常工作的概率均為，試比較這兩個電路的可靠性；（2）圖3是一個串、并聯(lián)電路的所意圖，A，B，C，D，E，F(xiàn)是電路中獨立工作的組件，它們下方的小數(shù)是它們各自正常工作的概率，求只有3個組件正常工作且該電路正常工作的概率.解：（1）圖1電路正常工作的概率為，圖2電路正常工作的概率為，因為，所以，所以，所以圖1電路的可靠性大于圖2電路的可靠性.（2）因為只有3個組件正常工作且該電路正常工作，所以這3個組件為A，F(xiàn)，D或E，C，D，故所求概率為.20.已知數(shù)列的前n項和為，且，，數(shù)列滿足，.（1）求，的通項公式；（2）求數(shù)列的前n項和.解：（1）因為，所以，所以，，，…，，，累乘得，，所以，.因為符合上式，所以.當(dāng)時，，所以，即.因為符合上式，所以.因為，所以，兩邊取倒數(shù)得，即.因為，所以數(shù)列是首項為，公比為3的等比數(shù)列，所以，故.（2）由（1）知，所以令，則，兩式相減得，，所以，故.21.已知拋物線的焦點為F，且A，B，C三個不同的點均在上.（1）若直線AB的方程為，且點F為的重心，求p的值；（2）設(shè)，直線AB經(jīng)過點，直線BC的斜率為1，動點D在直線AC上，且，求點D的軌跡方程.解：（1）拋物線的焦點，設(shè)，由消去x得，則，，由點F是的重心，得，則，而點C在上，于是，又，所以.（2）當(dāng)時，的方程為，設(shè)，，，直線斜率，同理得直線的斜率，直線的斜率，直線AB的方程為，化簡得.而直線AB過點，即，顯然，則，又，即，于是，整理得，直線AC的方程為，化簡得，將代入，得，令，得，直線AC過定點，設(shè)線段ME的中點為G，則G的坐標(biāo)為，因為D在直線AC上，且，因此D在以G為圓心，EM為直徑的圓上運動，因為，所以D的軌跡方程為（且）.22.已知，，是關(guān)于x的方程的三個不同